RM

RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN: Se denomina así a la comparación que existe entre dos
cantidades; la cuál puede ser de dos tipos:
Por diferencia cuando hallamos el número de unidades que una
unidad excede a la otra, o por cociente cuando averiguamos cuantas
veces una cantidad contiene a otra.
- “b” es la media diferencial ó media aritmética se cumple que:
b  ac
2
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Es cuando se igualan 2 razones geométricas que tienen el mismo
valor y a su vez se clasifican:
I. DISCRETA O DISCONTINUA
Ejemplo
Razón aritmética ( r )
a  b  r ; r = valor de razón aritmética
Cuando sus cuatro valores son diferentes.
a  c
b
d
Razón geométrica ( k )
a
k
b
;
k=
valor de razón geométrica
Observaciones
- a  b  c  d ; a cada una se les llama las cuartas proporcionales.
Donde:
a : antecedente
- Siendo a y d términos extremos; b y c términos medios.
- Se cumple que: a.d  b.c
b : consecuente
18 - 6 = 12
;
(R.A.)
18
=3
6
(R.G.)
II. CONTINUA
Es cuando los términos medios son iguales.
a  b
b
c
Razón armónica ( h )
Está dado por las inversas de la razón aritmética.
1 1
  h;
a b
h = valor de razón armónica
PROPORCIÓN: Se denomina así a la igualdad que existe entre
Observaciones:
- a y c son las terceras proporcionales
- “b” es la media proporcional ó media geométrica
2
- Se cumple que: b  a.c
dos razones que tienen el mismo valor y pueden ser de dos tipos:
A continuación veamos algunos ejemplos:
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
I. ¿Cuál es la cuarta diferencial de 60; 40 y 30?
Es cuando se igualan dos razones aritméticas que tienen el mismo
valor y a su vez se clasifican en:
I. DISCRETA O DISCONTINUA
Cuando sus cuatro elementos son diferentes
ab  c d
Observaciones:
- a  b  c  d ; a cada una se les llama las cuartas diferenciales.
- Siendo a y d términos extremos; b y c términos medios.
II. CONTINUA
Es cuando los términos medios son iguales.
ab  bc
60 – 40 = 30 – x  x = 10
II. ¿Cuál es la media diferencial de 84 y 24?
84 – x = x – 24  x = 54
III. ¿Cuál es la tercera diferencial de 92 y 48?
92 – 48 = 48 – x  x = 4
IV. ¿Cuál es la cuarta proporcional de 40; 60 y 160?
40 160  x = 240
60

x
V. ¿Cuál es la media proporcional de 4 y 36?
4 x  x = 12

x 36
VI. ¿Cuál es la tercera proporcional de 40 y 80?
40 80  x = 160

80
x
PROPIEDADES
Observaciones
- a y c son las terceras diferenciales.
Para un caso particular sea la proporción:
Se cumple que:
a c

b d
GUÍA 1 - CIENCIAS
a+b c +d
=
b
d
1
2
a_ b c _d
=
b
d
III. Si:
a b c
= = =k ;
b c d
85
Se cumple:
3 razones
ab c d

a
c
3
4
ab cd

a
c
a = dk 3
ab cd

a- b c- d
5
IV. Si:
;
b = dk 2
a b c d
= = = =k
b c d e
y
c = dk
; Se cumple:
4 razones
Nota:
- Serie se le llama a tres o más razones.
a = ek 4 ; b = ek3 ; c = ek2 y d = ek
- Para que sea proporción deben intervenir cuatro elementos.
- Tres elementos hacen proporción solo que uno de ellos debe
repetirse dos veces y estaríamos en el caso de la proporción
aritmética ó geométrica.
V. Escala de un plano o mapa
Al hacer el plano de una habitación o de una ciudad, o al hacer un
mapa de un país o continente se establece una escala que es la
razón entre la distancia sobre el plano y la distancia real.
- Si el problema menciona simplemente proporción se refiere a la
proporción aritmética.
Escala =
dist. sobre el plano
dist. real
SERIE DE RAZONES ARITMÉTICAS
EQUIVALENTES ( S.R.A.E. )
PROBLEMAS RESUELTOS
a - b = a - b = ... = a n - bn = r
1
1
2
2
Problema 1
La razón aritmética y la razón geométrica de dos números son 20 y
7/3 respectivamente hallar el valor del antecedente de dichas
proporciones.
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES ( S.R.G.E. )
a1
b1

a2
b2

a3

b3
an
bn
k
Resolución:
Sean los números a y b luego:
a 7

b 3
a1; a2; a3;....................; an  antecedentes
a  b  20 y
b1; b2; b3;....................; bn  consecuentes
De donde: a = 7k y b = 3k
Reemplazando tenemos: 4k = 20  k = 5
Siendo el antecedente a = 35
k;
constante de proporcionalidad
PROBLEMA 2
En una serie de tres razones geométricas equivalentes de valor 4/3,
la suma de los términos de cada razón resulta: 49; 70 y 63. hallar la
suma de los consecuentes.
PROPIEDADES
1.
k
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
a a a
2. k  1 2 3
b1 b2 b3
 an
a
a
a
 1 2 3
 bn b 1 b 2 b 3
an
bn
n
II. Si:
n
a  a  a 
 1  2  3 
b  b  b 
 1  2  3
Nota:
I. Si:
n
a
 n
bn
Resolución:
Sea:
n
a 
 n
b 
 n
a c e 4 ; aplicando propiedad tenemos:
= = =
b d f 3
a +b c + d e + f 4 +3
=
=
=
b
d
f
3
Reemplazando las sumas:
a 3  a = 3k;b = 4k
=
b 4
a b
= =k;
b c
Se cumple:
2 razones
a = ck 2
y
b = ck
49 70 63 7
=
=
=
b
d
f 3
PROBLEMA 3
De la serie:
4
3
5
6



a
b
c
d
Hallar: c + d; Si a + b es 28
 b + d + f = 78
Resolución:
Del enunciado tenemos:
a = 4k ; b = 3k;
c = 5k y d = 6k
Como: a + b = 28  k = 4
Siendo: c + d = 44
PROBLEMA 4
En una serie de razones geométricas continuas se cumple que la
suma de los dos últimos términos es 9 veces la suma de los dos
primeros términos y además el último consecuente más el duplo del
primer consecuente es 66. Hallar la suma de los términos diferentes
de dicha serie:
A) 80
B) 40
C) 70
D) 50
E) 60
Resolución:
De la S.R.G.C.
Se cumple:
c + d = 9( a + b ) y d + 2b = 66 también:
a = dk3 ;b = dk2 y c = dk


Al sustituir en: d + 2b = 66
d + 2d 2
k = 66
2d
Obtenemos: d +
= 66  d = 54
9
3
2
1
1
 = 2 ; b = 54   = 6
3
3
Luego: a = 54 
1
c = 54   = 18
3
Nos piden: a + b + c + d = 80
PROBLEMA 5
En una proporción geométrica continua la suma de los antecedentes
es 18 y la suma de los términos extremos es 15. Calcular la suma de
los cuatro términos si el valor de la razón es la menor posible.
A) 15
B) 18
C) 24
D) 27
E) 30
Resolución:
Sea del enunciado:
a b
= =K
b c
a  c  15
También se sabe que:
a = cK2 ; b = ck
Reemplazando tenemos:
cK2 + cK = 18.........(1)
cK2 + c = 15............(2)
Al dividir miembro a miembro ( 1 ) y ( 2 ):
K2 +1
=
6
5
 (K2 - 5K + 6) = 0
(K -2) K -3 = 0
1. La razón de dos números es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152.
Encuentra el mayor de los dos números.
a) 54
b) 65
c) 52
d) 46
e) 48
3. Halla dos números tal que su media aritmética sea 18,5 y su
media geométrica 17,5. Dar como respuesta el valor de uno de ellos.
a) 10
b) 14,5 c) 12,5 d) 25,5 e) 17
5. En una serie de razones iguales, los antecedentes son 3; 5; 7 y 8,
y el producto de los consecuentes es 13 440; luego, la suma de los
consecuentes es:
a) 82
b) 38
c) 46
d) 86
e) 94
1
1
 K2  K 
9
3
K2 +K
BLOQUE I
4. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la
misma relación que los números 5; 3 y 16. ¿Cuál es uno cualquiera
de dichos números?
a) 6
b) 10
c) 12
d) 8
e) 16
Al reemplazando tenemos:
dk + d = 9 dk3 + dk2
y
PROBLEMAS PROPUESTOS 1
2. La relación geométrica entre dos números cuya suma es 65, se
invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el
menor de dichos números?
a) 24
b) 26
c) 32
d) 36
e) 18
a b c
= = =K
b c d
a  b  18
K= 2 Con lo cual:
c = 3 ; b = 6 y a = 12
Siendo: a + b + b + c = 27
 K =2 y K =3
Como la razón es la menor posible tomamos:
6. Tres términos consecutivos de una progresión aritmética creciente
tienen como suma 42 y como producto 2688. Determina el tercer
término.
a) 16
b) 25
c) 30
d) 35
e) 40
7. Tres números en progresión aritmética que aumentados en 2; 3 y
8 respectivamente, son proporcionales a 10; 25 y 50; Indica uno de
ellos:
a) 4
b) 6
c) 13
d) 3
e) 7
8. Tres números en progresión aritmética que aumentados en 2; 3 y
8 respectivamente, son proporcionales a 10; 25 y 50; Indica uno de
ellos:
a) 4
b) 6
c) 13
d) 3
e) 7
9. Si la razón de la suma con la diferencia de dos números enteros
positivos es 5/3. ¿Cuál es el número mayor, si su producto es 64?
a) 4
b) 16
c) 6
d) 8
d) 32
10. En una serie de razones geométricas iguales, los antecedentes
son: 2; 3; 7 y 11 y el producto de los consecuentes es 37 422; la
razón entre el consecuente y antecedente, es:
a) 1/9
b) 9
c) 1/3
d) 27
e) 3
BLOQUE II
11. En la actualidad la edad de Pedro es el doble de la edad de Juan
más 2 años. Hace tres años la relación de sus edades era como 3 es
a 1. Dentro de 5 años, la suma de las edades de Juan y Pedro será:
a) 38
b) 37
c) 36
d) 35
d) 34
12. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando dos
niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan entonces
5 niñas por cada niño. ¿Cuál es el número inicial de niñas?
a) 12
b) 40
c) 25
d) 60
e) 92
13. Un escuadrón de aviones y otro de barcos se dirigen a una isla.
Durante el viaje uno de los pilotos observa que el número de aviones
que él ve es al número de barcos como 1 a 2. Mientras uno de los
GUÍA 1 - CIENCIAS
marineros observa que el número de barcos que él ve esa al número
de aviones como 2 a 1. ¿Cuántas naves son en total?
a) 16
b) 24
c) 18
d) 30
e) 20
14. Pablo le da a Alberto 50m de ventaja en una carrera de 400m,
luego Alberto le da a David 40m de ventaja en una carrera de 200m
¿Cuántos metros le debe dar Pablo a David en una carrera de 100m?
a) 70m b) 80
c) 20
d) 30
e) 40
15. En una granja se observa que por cada 2 gallinas hay 3 patos y
por cada 5 cerdos hay 2 patos, si se aumentaran 33 gallinas estas
serían tantas como los cerdos. Calcular cuántos patos hay en el
corral.
a) 18
b) 12
c) 36
d) 20
e) 24
16. En una carrera de caballos “cachay” gana a “tripita” por 20
metros y “tripita” gana a “petete” por 30 metros, todo ellos en una
carrera de 1000 m, en la carrera de fondo de 5 000 m, ¿Por cuánto
ganará “cachay” a “petete”?
a) 320
b) 247
c) 300
d) 245
e) 400
17. En un clásico entre los equipos de la “U” y Alianza Lima, la
relación de hinchas al iniciar el partido es de 17 a 14, a favor de los
“íntimos”; sin embargo luego de un gol “crema” la relación inicial se
invierte ¿Cuántos se cambiaron a la U, sabiendo que asistieron 27
900 espectadores?
a) 2770 b) 2 500 c) 2 800 d) 2350 e) 2700
18. En la biblioteca del C.P.U. se observa que hay 5 libros de
aritmética por cada 4 libros de álgebra, además por cada 6 libros de
álgebra hay 5 libros de geometría. Si hay 20 libros más de aritmética
que de geometría, ¿cuántos libros de álgebra hay?
a) 40
b) 44
c) 48
d) 58
e) 30
19. Cierto día a una obra teatral asistieron 380 personas,
observándose que cada varón adulto ingresaba con 5 niños y cada
mujer adulta ingresaba con 3 niños. Si al final se tuvo 3 varones
adultos por cada 5 mujeres adultas. ¿Cuánto dinero se recaudó dicho
día, si la entrada fue de S/. 15.00 adultos y S/. 10.00 niños?
a) 4200 b) 5800 c) 4700 d) 3800 e) 6300
20. En el zoológico por cada 5 hombres que entran, 3 entran con un
niño y de cada 7 mujeres 4 entran con un niño, además por cada 6
hombres entran 5 mujeres. Si entraron 678 niños en toral ¿Cuántos
adultos entraron al teatro?
a) 1224 b) 1100 c) 1551 d) 1551 e) 2105
21. En una fábrica embotelladora se tiene tres máquinas A, B, y C,
por que cada 7 botellas que produce la máquina “A”, la máquina “B”
produce 5 y por cada 3 botellas que produce la máquina “B”, la
máquina “C” produce 2. en un día la máquina “A” produjo 4400
botellas más que “C”. ¿Cuántas botellas produjo la máquina “B” ese
día?
a) 2000
b) 3000 c) 4000
b) 4950 c) 3780
d) 3870 e) 3965
23. El volumen de agua contenida en un vaso A, es el doble del
volumen de vino en un vaso B y el de este el doble del vino que
contiene otro, C. La tercera parte de agua de A se vierte en B y un
tercio del resto en C. Después de esta operación se vierte el
contenido de B en C y por último todo el contenido de C en A.
Calcular la relación en que están al final los volúmenes de los dos
líquidos (vino a agua) en el vaso A.
b) 1:2
c) 4:3
d) 2:1
e) 3:4
24. Dos negociantes de vinos ingresaron por las fronteras del Perú,
portando uno de ellos 65 botellas de vino y el otro 25. Como no
tienen suficiente dinero para pagar los derechos de la aduana, el
primero paga con 5 botellas de vino y S/. 40 y el segundo con 4
botellas de vino, pero éste recibe de vuelto S/. 40. ¿Cuál es el precio
de cada botella de vino?
a) S/. 17
b) 18
c) 19
d) 20
e) 21
BLOQUE III
1. En una proporción geométrica continua la suma de los términos
extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cuál es la media
proporcional?
a) 18
b) 6
c) 8
d) 12
e) 2
2. La suma del antecedente y el consecuente de una razón
geométrica es 26. ¿Cuál es el valor absoluto de su diferencia, si la
razón vale 0,04?
a) 13
b) 32
c) 27
d) 24
e) 15
3. En una proporción geométrica continua la suma de los términos
extremos es 20 y su diferencia es 16. ¿Cuál es la media
proporcional?
a) 18
b) 6
c) 8
d) 12
e) 2
4. La media geométrica de dos números es 15. Si la proporción
continua que se forma tiene por razón 3/5, el valor absoluto de la
diferencia de los extremos es:
a) 3
b) 25
c) 16
d) 24
e) 13
5. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción
continua, si la suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la
suma y la diferencia de los dos primeros términos es 3?
a) 10
b) 26
c) 23
d) 17
e) 12
6. Sea la proporción:
a c 1
 
b d k
y además se cumple:
a1 c3
; el valor de k es:

b2 d6
a) 6
7.
b) 4
Si:
d) 6000 e) 8000
22. Un aritmético, al morir dejó a su esposa embarazada una
herencia de S/. 27940 condicionándola de la siguiente forma: ella
recibiría los 5/6 de lo que le toque al niño si era varón, pero si nacía
niña recibiría
7/9 de lo que a esta le tocaría. Si la esposa del
aritmético al dar a luz tubo quintillizos: dos niños y tres niñas
¿Cuánto le correspondió de la herencia a cada niña?
a) 4590
a) 1:1
87
M
c) 3
d) 2
d) 1/4
p q r ; q=4p; r=5p. Determina el valor de:
 
a b c
a2  b2  c2
2
 a  b  c
a) 0,38
b) 12,5
c) 2,36
8. Si: a  b  c  d ;
b c d e
Calcule:
a) 128
d) 0,42
a2  b2  c2
b2  c2  d2
e) 1,32

bcd
c  4e
ac ad

d
e
b) 80
d) 188
9. Si: a b c
   2005
m n p
e) 108
e) 78
Además:
a2005  b2005  c2005
m2005  n2005  p2005
k
13. El dividendo, el divisor y el residuo de una división entera suman
1609. ¿Cuánto puede valer o lo más el dividendo, si el cociente es
30?
A) 1515
B) 1220
C) 1540
D) 1544
E) 1555
14. La suma de los cuatro términos de una división entera es 353. Si
se multiplica el dividendo y el divisor por 7 y se vuelve a realizar la
operación la suma de los nuevos cuatro términos es 2375. Hallar el
dividendo original
A) 317 B) 311
C) 303 D) 291 E) 307
15. Si se dividen 2112 y 371 por un mismo número entero se halla
por residuos 35 y 36. Hallar la suma de las cifras de ese número
entero.
A) 13
B) 14
C) 11
D) 9
E) 8
“La verdadera Crisis es la Crisis de la Incompetencia”
Albert Einstein