Apuntes Radicales-castellano (1)

4º ESO
RADICALES
DEFINICIÓN DE RAÍZ n-ÉSIMA DE UN NÚMERO REAL
Sea “a” un número real, y “n” un número natural, diremos que
n a b
si y sólo si
bn  a
donde
“n” es el índice de la raíz y “a” es el radicando de la raíz.
Ejemplo:
3
3
8

2p
o
r
q
u
e2

8
Ejemplo:
4
4
8
13p
 o
r
q
u
e3

8
1
CARACTERÍSTICAS DE UNA RAÍZ SEGÚN SU ÍNDICE
a) Si el índice de la raíz es par:
1. No se puede calcular una raíz de índice par de un número negativo
Ejemplo:
4 no hay ningún número real que elevado al cuadrado sea -4
2. La raíz de índice par de un número siempre tiene dos soluciones, una positiva y una
negativa:
Ejemplo:
9 3 e
2
2
9  3 porque 3  9 e (3)  9
b) Si el índice de la raíz es impar:
1. Siempre se puede calcular la raíz de índice impar de un número, tanto si es negativo
como positivo.
Ejemplo:
3
3
8


2p
o
r
q
u
e(

2
)


8
2. Una raíz de índice impar de un número siempre tiene solución única.
Ejemplo:
3
3
6
4


4p
o
r
q
u
e(

4
)


6
4
y no hay ningún otro número que elevado al
cubo sea –64.
EXPRESIÓN DE UNA RAÍZ EN FORMA DE POTENCIA
Una raíz
n
a p se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:
Ejemplo:
7
34  37
n
p
n
a a
p
4
Ejercicios: Expresa en forma de raíz las siguientes expresiones:
1)
3)
3
2
2
3
2
2)
 2  3
4)
 5 7
6)
 2x  4
2
2
3
1
1
5
5)
4
7)
 4x  5
3
8)
6
2
3
1
4º ESO
RADICALES
Ejercicios: Expresa en forma de potencia las siguientes raíces:
1)
5
72
2)
3)
3
a2
4)
5)
5
x2 y3
6)
7)
3
x4 y 2
8)
35
4
x3
3x
3
52 x
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
1)
2)
an  a
n
 a
n
n
1) Ej:
a
2) Ej:
3)
n
a·n bn a·b (¡ojo!, raíces de mismo índice)
3) Ej:
4)
n
a na

b nb
4) Ej:
5)
6)
7)
 a  a
p
n
n
n
p
5) Ej:
·
ap  apq
nq
·
n p
a
n·p
a
73  7
3
 5
4
4
5
3
4·3 53 20
5
7 57

3 53
 4 
3
5
5
43
4
·
5 3
·
5 2
1
5
7
7
07
6) Ej:
4 3
7) Ej:
43
24·32122
Nota: Recuerda que una raíz se puede expresar en forma de potencia de la siguiente forma:
p
n
ap  an y por lo tanto
1
n
a  a n , de forma que todas las propiedades de las raíces vistas en la
lista anterior, se pueden considerar una consecuencia de las propiedades de las operaciones con
potencias.
Ejercicios: Calcula, si es posible, las siguientes raíces:
1)
64
2)
3
64
576
3)
3
512
4)
5)
5
32
6)
5
1024
7)
5
243
8)
3
8·27·64
2
4º ESO
RADICALES
49·121·169
9)
11)
4
13)
5
10)
25
0, 01
12)
0,1296
14)
243
32
0,000729
3
6
1
1
·0
,0
0
1
·6
4
·5
3
EXTRAER FACTORES DE UN RADICAL
En un radical podemos extraer un factor siempre que el exponente del factor sea mayor o igual que el
índice de la raíz.
Método para extraer un factor de una raíz: Para extraer un factor se divide el exponente del factor
entre el índice de la raíz; el cociente de la división es el exponente con que sale el factor fuera de la
raíz y el resto de la división es el exponente con que queda el factor dentro de la raíz.
Ejemplo:
2 4
2
5
·x x35
·x

5
2
7
7 7
3

No puede salir ningún 5 porque está elevado a 2 y 2 es menor que 3

x está elevada a 4; dividiendo 4 entre 3 obtenemos 1 de cociente y 1 de resto:
4
1
3
1 ; es
5
2
3
1 ; es
decir, saldrá una x y se queda otra dentro

7 está elevado a 5; dividiendo 5 entre 3 obtenemos 1 de cociente y 2 de resto:
decir, sale un 7 y se quedan 2 dentro
Nota: Sólo se pueden sacar factores (elementos de un producto) de un radical, NUNCA se pueden
sacar valores afectados por una suma o una resta; por ejemplo:
3
74  22 NO SE PUEDE RESOLVER COMO: 73 7  22 sería una tremenda BURRADA (calcula
las dos expresiones en la calculadora y verás que no son iguales).
Ejercicios: Extrae los factores de la raíz:
1)
3
3)
5)
3
4a 4
2)
12
4)
54
6)
8
3
16
27
4
3
4º ESO
RADICALES
7)
3 8x 3
9)
2·xy
· 2 x2y3
8)
11)
x7·y8·z3
13)
3x
27·xy
·3
2
y
5·x10
y8
5
10)
32·x6
81·y 5
12)
3
8·a3
2
14)
12
6·ya
· 14·b25
INTRODUCIR UN FACTOR DENTRO DE UNA RAÍZ.
Para introducir un factor en una raíz habrá que elevarlo al índice de la raíz:
Ejemplo:
5
x52
·
x 53 5
5 
2
·

2
·
x

8
x
4 4
Nota: Recuerda que estamos hablando de factores, nunca de sumandos.
Ejercicios: Introduce los factores dentro del radicando:
1)
7 a
3)
x3 y xy
5)
1 4 27
3 2
7)
xy2 4 2xy
2)
2a 3a
4)
x
6)
3 2
2 3
8)
2 4 ax
a 2
1
x
REDUCIR RADICALES A ÍNDICE COMÚN
(Se utiliza para poder multiplicar/dividir radicales que tienen diferente índice: primero se escriben con
índice común y después se multiplican/dividen los radicandos (propiedad 3)).
1º Calculamos el m.c.m de los índices y ese será el índice común.
2º Elevamos cada radicando al cociente de dividir el m.c.m calculado en 1º entre el índice de su
raíz.
Ejemplo: Sean
2ab e
3
3b
1º El m.c.m (2, 3) = 6
2
a
b6(2
a
b
)3
2º
3
3b6 3b
2
Ejercicios: Expresa con índice común los siguientes radicales:
4
4º ESO
RADICALES
1)
3
2)
3)
3
4)
3
5)
4;
4
8;
6
a3 ;
4
a;
n2 ;
4
n3 ;
2
5
6
5
10
x3
n5
6x z ;
x2
;
y
4
x2 ;
3
5xy ;
x
;
y
32
6
3 xy 3
2z
x
y2
OPERACIONES CON RAÍCES
Producto/Cociente de raíces:
1. Raíces con el mismo índice: Para multiplicar/dividir raíces del mismo índice, se aplica
directamente la propiedad 3, (4 para el caso de la división), de las raíces, es decir, el producto de
dos o más raíces del mismo índice es igual a una raíz que tiene el mismo índice que las otras y
como radicando el producto de los radicandos.
Ejemplo:
23
2
4 3
2
x
y
·
x
z
y

x
y
·
x
z
y

x
z
y

y
x
z
y



32
3 23 2
2. Raíces con distinto índice: Para multiplicar/dividir raíces con distinto índice primero se reducen a
índice común y después se aplica el caso 1.
Ejemplo:
5
x
y
·
6
x
z

5
x
y
·
6
x
z

5
x
y
·
6
x
z

5
x
y
6
x
zx

5
6
y
z








2
3 2
23
2
3
2
3
3
2
2
4
3
9
3
2
3
1
1
4
3
3
6
6
6
6
6
Ejercicios: Realiza los siguientes productos y cocientes de raíces:
3 12 15
·
·
4 5 4
a)
12·
b)
5·3 6
c)
2·3 3·4 4

d)
2 2· 3 6  4 3
e)
2 32 43
· ·
3 3 2
f)
3


2 2 3 · 3 32 2

5
4º ESO
RADICALES
 x

y

y
· xy
x 
g) 

18 : 3 50
h)
i)
3
3xy 2
ab
: 3
2
ab
x y
2ab 3 4a 2b
·
3c
9c
j)
Suma/Resta de raíces:
Sólo podemos sumar raíces de índices iguales, es decir, con el mismo índice y el mismo radicando.
Ejercicios: Realiza las siguientes sumas/restas de raíces.
a)
6 3 4 3 5 3
b)
3 2  3 8  3 18
12  48  27  75
c)
d) 7 54  3 18 
e) 4 12 
f)
g)
3
24 
3
50  6
5
3
2
3
48 
27 
75
2
3
5
16  3 54
1
 27
3
6
4º ESO
RADICALES
h)
i)
1
 2  4 2  6 8  4 64
2
3 x  4 x  2 36 x
RACIONALIZACIÓN
Racionalizar una fracción es transformarla en otra equivalente pero sin raíces en el denominador.
Vamos a estudiar 3 casos diferentes:
Caso 1: En el denominador hay una raíz cuadrada.
Para “eliminar” la raíz del denominador, multiplicamos el numerador y el denominador por la raíz del
denominador.
Ejemplo:
3 2 3 2 5
3 10
3 10 3 10

· 


2
2·5
10
2 5 2 5 5 2 5
 
Ejercicios: Racionaliza:
a)
5
5
b)
2 6
2
c)
2 12
5 3
d)
3
2
e)
2a
ab
f)
3ab  1
3ab
g)
2  3 12
6
7
4º ESO
RADICALES
Caso 2: En el denominador hay una raíz de índice mayor que 2.
En este caso se multiplica el numerador y el denominador por una raíz del mismo índice que la del
denominador y con un radicando de exponente la diferencia entre el índice de la raíz y el exponente
inicial.
Ejemplo:
4
3 5 2 x2 y3

4
3 5 2 x2 y3
5
24 x 3 y 2
5
24 x 3 y 2
·

4 5 24 x3 y 2
3 5 2 x 2 y 3 24 x3 y 2

4 5 24 x3 y 2
3 5 25 x 5 y 5

22 5 24 x3 y 2 2 5 24 x3 y 2

3·2 xy
3xy
Ejercicios: Racionaliza:
a)
b)
c)
d)
3
4
9a 3b
ab
5
ab 2
6
4
18
ab  3 ab2
3
a 2b
Caso 3: El denominador es una suma o una diferencia en la que uno o ambos sumandos son una
raíz cuadrada.
Para “eliminar” la raíz o raíces cuadradas del denominador, multiplicamos el numerador y el
denominador por el conjugado del denominador; es decir, el mismo denominador cambiado de signo
en el medio.
Ejemplo:


   
2 7 3
2
2
7 3

·

2
7 3
7 3 7 3
7  3
2

2

7 3
73
  2
7 3
4

7 3

2
Ejercicios: Racionaliza
a)
1
2 3
b)
5
5 2
c)
3 5 2 3
2 3 3 5
8
RADICALES
d)
e)
f)
g)
h)
i)
4º ESO
2
2 1
2
3 2
1 2
1 2
52
3 2 5
2x
2 x
5 2
3 2 3
3
j)
ab 2
2a  2b
9
4º ESO
RADICALES
EJERCICIOS:
1. Calcula las siguientes raíces por el método más sencillo:
a)
3
8  27  64
b)
5
243  32  0, 00001
c)
49 121169
d)
25 : 0, 0001
e)
3
493
f)
g)
8 : 0, 0064
3
0,0642
2. Realiza las siguientes operaciones:
a)
1  6  5  16
b)
25 81 256
c)
3a 2  6a 4  25a8


d)  a b c d 




32
3. Introduce los factores en la raíz y simplifica:
a)
2 3 81
3 4
b)
 13 4
1  
 2  81
c)
a b a b
a b a b
x y
x y
d)  x  y 
4. Realiza las siguientes operaciones indicadas:
a)
b)
3
 x  1
2
1
x 1
a  3 4b 2
2b 

:

2
2b  a
a 
10
RADICALES
1
4a 2
c)
2a : 3
d)
3

8a 5bc 4 :  a ab 2 c 6 
2

e)
a3b  3 2a2b2  ab
4
3
e)
6
8
a
: a
a
a 8
: a
a
a
3
f)
6
4º ESO
2
: 4 a3
a
a5  5 a 4
8
a7
5. Realiza las siguientes sumas y restas:
14
1
9
1
1
 8  1
5
49
4
81
a)
2 80 
b)
18 y 
c)
x
2
1


 8x
2
x
2x
d)
4a  8b  9a  18b  2 16a  32b
e)
33
y
y
y


2
8
18
2x
3x
6x
 23
5
9
4
125
2a
2b
a
2
ab




b
a
2b
ab
2
e)
3  2x 
3
f)
 12  8x  3x 2  2 x3
6. Racionaliza simplificando el resultado:
5
2
a)
b)
c)
3
3
2
3
3
2 4
11
RADICALES
d)
3y
x y
e)
3
2 x
f)
3
2 x
g)
3xy 2
3
3
j)
x2 y
6 3  y 
h)
i)
4º ESO
3  y 
2
52
3 2 5
x
2 x
1
x y
k)
7. Pon bajo radical único y simplifica los resultados:
2 3 4
a)
b)
3
c)
3
33
1
9
d)
4
b3
13 41
b
b
b
32
12