06.- Potencias y Raíces

Potencias y raíces
Potencias
1. Definición:
Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número
que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama
exponente.
Ejemplo: en la potencia 35, la base es 3 y el exponente es 5.
De forma más rigurosa decimos que una potencia es toda expresión tal que:
a · a · a · ... · a = an
⇒ a ;en donde a es base, n es exponente y a
n
n
es la enésima potencia
n veces
2. Signo de una potencia
El signo de una potencia de base negativa y exponente par siempre es positiva
Ejemplos:
(-9)2 = -9 · -9 = 81
y
-92 = -9 · 9 = -81
Observaciones: (-9)2 ≠ -92
Sin embargo si la base es negativa y el exponente es impar el resultado será siempre negativo,
utilicemos o no paréntesis
Ejemplos:
(-2)3 = -2 · -2 · -2 = -8
-23 = -2 · 2 · 2 = -8
3. Propiedades
Considere que a, b, m, n son números reales distintos de cero
1) an · am = an+m
Ejemplo: 82 · 83 = 82+3 = 85
2) a ÷ a = a
Ejemplo: 127 ÷ 123 = 127 - 3 = 124
n
m
m
n-m
n
3
2
3) (an) = (am) = an · m
Ejemplo: (72) = (73) = 72 · 3 = 76
4) (a · b)n = an · bn
Ejemplo: (3 · 5)2 = 32 · 52
5) (a ÷ b)n = an ÷ bn
6) a-n =
7)
Ejemplo: (5 ÷ 2)6 = 56 ÷ 26
1
an
( ab ) = ( ba )
-n
Ejemplo: 2-8 =
n
Ejemplo:
8) a0 = 1
1
28
( 75 ) = ( 57 )
-3
3
Ejemplo: 230 = 1
Raíces
4. Definición:
En la definición de potencias recordamos que 82 = 64. Esta igualdad también puede expresarse
como:
√64 = 8
expresión que debe leerse: 8 es igual a la raíz cuadrada de 64.
De igual forma, definimos la raíz n-sima de un número a al número b tal que bn = a
Y lo escribimos como:
n
b = √a con n ≠ 0
El número a se llama radicando y el número n, índice.
Además se debe precisar que no todas las raíces pertenecen a los IR.
Ejemplo: √-25
IR
3
√-8 = -2
-2 ∈ IR
Para una definición más completa debemos considerar un radicando con un exponente distinto
de uno, de donde se obtiene que:
n
b = √am
n
m
√am = a n
3
5
Ejemplo: √45 = 4 3
m
⇔ b=an
con
n≠0
5. Propiedades
Considere que a, b, k, m, n son números reales distintos de cero
1)
n m
2)
n
a⋅ b =
n
a÷ b=
n
a n ⋅b m = a⋅ b
n
a
m
=
n⋅ k
n
a
m
=
n÷ k
7)
n
a
n
=a
8)
n
am =
3)
4)
5)
6)
a=
n ⋅m
n
n
n
Ejemplo:
3 4
a⋅b
Ejemplo:
5
3 ⋅ 5 8 = 5 3 ⋅ 8 = 5 24
Ejemplo:
7
12 ÷ 7 2 = 7 12 ÷ 2 = 7 6
Ejemplo:
4
34 ⋅ 7 5 = 3 ⋅ 7 5
m⋅ k
Ejemplo:
3
85 =
a m÷ k
Ejemplo:
9
227 =
Ejemplo:
3
83 = 8
n
a÷b
n
a
( a)
n
7 = 3⋅ 4 7 = 12 7
a
m
m
5
Ejemplo:
4
27 =
3⋅2 5⋅2
8
6
= 810
9 ÷ 3 27 ÷ 3
2
( 2)
5
3
= 29
7
6. Racionalización
Cuando tenemos fracciones con raíces en el denominador conviene obtener fracciones
equivalentes pero que no tengan raíces en el denominador. A este proceso es a lo que
se llama racionalización de raíces de los denominadores. Por ejemplo, si queremos racionalizar
7
la fracción
, multiplicaremos numerador y denominador por 2 obteniendo:
2
7
2
⋅
2
2
=
7 2
( 2)
2
=
7 2
2
De forma que obtenemos la expresión 7 2 que es equivalente a
2
primera es una expresión mucho más recurrente que la segunda.
7
2
con la ventaja que la
Actividades
a)
Resuelva
i)
03
ii)
30
1
iii)
iv)
b)
c)
1 3

32

2
 8

  =
 


( )
 1
 
 2
−3
=
Descomponga las siguientes raíces cuadradas a su menor radicando entero en cada
caso:
i)
8
ii)
75
iii)
162
iv)
300
La expresión un tercio elevado a menos tres quintos, equivale a:
d)
La expresión dos quintos elevado a menos dos séptimos, equivale a:
e)
La expresión la raíz cuadrada de dieciséis medios, equivale a:
Ejercicios PSU
1.
35 =
A)
35
B)
81
C)
4 10
D)
310
E)
315
23
2.
3
4 =
A)
8
B)
6
4
C)
12
8
D)
12 3
E)
3
2
4
3.
4.
82 + 82 + 82 + 82 =
A)
88
B)
322
C)
328
D)
82
E)
28
3
27 =
1
II.) 27 3
I) 3
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
7
5.
7
=
A)
7
B)
7 7
C)
14 7
D)
7 7
2
E)
7
III)
6
36
6.
7.
 2
 
 3
−3
A)
-3
2
B)
32
243
C)
2
3
D)
1
E)
3
2
-62 · 3 =
A)
B)
C)
D)
E)
8.
2
 2
⋅  =
 3
-108
108
-182
-36
36
La expresión (512 + 511) es divisible por:
I) 3
A)
B)
C)
D)
E)
II) 5
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
III) 7
9.
 1
 
 5
A)
B)
C)
D)
E)
10.
−2
( )
⋅ 0, 2 ⋅ 4 =
1
2
5
10
100
 1 4   14 
 ⋅ 16    =
7
 4 
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
4
7
28