ÁLGEBRA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA VIDA Y
DE LA AGRICULTURA
CARRERA DE INGENIERÍA EN AGROPECUARIA
BIOTECNOLOGÍA
BLOQUE SDT3
ASIGNATURA
:
Álgebra
PARALELO
:
SDT3: Agro Bio
DOCENTE
:
Paúl Añazco
FECHA
:
10 de agosto de 2019
TEMA
:
Unidad 2
Santo Domingo – Ecuador
1. ECUACIONES
Es una igualdad: A=B
•
•
•
•
Igualdad numérica: 3² =9
Literal: X=Y
Relativa: 𝑥 = 2𝑥 + 1
La solución de toda ecuación recibe el nombre de: “Raíz”
1.1. Propiedades de las ecuaciones
Propiedad aditiva
2𝑥 + 𝑦 = 1
2𝑥 + 𝑦 + 𝟑 = 1 + 𝟑
Propiedad multiplicativa
3𝑥 2 + 2 = 5
(3𝑥 2 + 2)(𝟐) = 5(𝟐)
6𝑥 2 + 4 = 10
Propiedad de exponentes
2𝑥 + 2 = √2
(2𝑥 + 2)2 = (√2)
2
1.2. Clasificación:
Ecuación de primer grado
con una incógnita
Ecuacion de segundo
grado (ax2+bx+c=0)
Ecuación polinómica
𝑥 = 2𝑥 + 2
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 0
𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 + 4 = 0
Racional
Irracional
Exponencial
2 = √𝑥 + 3
𝑒𝑥
𝑥=
2𝑥
𝑥+1
Logarítmica
log(𝑥 ) = 3
Trigonométrica
𝑠𝑒𝑛(𝑥)2 + cos(𝑥)2 = 1
ln(𝑥 ) = 2
1.2.1. Ecuación de primer grado con 1 incógnita:
1. Ejercicios:
𝟐𝐱 + 𝟏 = 𝐱 + 𝟓
2x − x = 5 − 1
x=4
𝟐 𝟓𝐱
𝟏
=
+
𝟑
𝟏 𝐱+𝟏
x + 2 5x(x + 1) + 1
=
3
x+1
𝐱+
(x + 2)(x + 1) = 3(5𝑥 2 + 5𝑥 + 1)
𝑥 2 + 3x + 2 = 15𝑥 2 + 15𝑥 + 3
14𝑥 2 − 12𝑥 − 1
1.2.2. Ecuaciones de segundo grado: Se resuelven mediante factorización o por
fórmula general.
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
2. Ejercicios:
𝟏) 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎
𝟐) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎
𝟑) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎
(𝑥 + 3) (𝑥 + 2) = 0
(𝑥 + 5) (𝑥 − 3) = 0
(𝑥 − 3) (𝑥 + 5) = 0
𝑥1 = −3
𝑥1 = −5
𝑥1 = 3
𝑥2 = −2
𝑥2 = 3
𝑥2 = −5
𝑺𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 𝒑𝒐𝒓:
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝒃
𝑬𝒋𝒎: 3 − 5 = −2 → −2 = −2
𝟒) 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 = 𝟎
𝑥=
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝟓) 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐 = 𝟎
𝑥=
−10 ± √(10)2 − 4(5)(−2)
2(5)
−(−1) ± √(−1)2 − 4(1)(−1)
2(1)
𝑥=
−10 ± √140
10
1 ± √1 + 4
2
𝑥=
−10 ± 2√35
10
𝑥=
𝑥=
1 ± √5
2
𝑥1 =
1 + √5
2
𝑥2 =
1 − √5
2
𝑥1 =
−5 + √35
5
𝑥2 =
−5 − √35
5
6) Hallar la suma de las raíces de la ecuación
√𝒙𝟐 + 𝟏 + √𝒙𝟐 − 𝟏
√𝒙𝟐 + 𝟏 − √𝒙𝟐 − 𝟏
+
√𝒙𝟐 + 𝟏 − √𝒙𝟐 − 𝟏
√𝒙𝟐 + 𝟏 + √𝒙𝟐 − 𝟏
= 𝟒 √𝒙𝟐 − 𝟏
(√𝑥 2 + 1 + √𝑥 2 − 1)2 + (√𝑥 2 + 1 − √𝑥 2 − 1)2
(√𝑥 2 + 1 − √𝑥 2 − 1)(√𝑥 2 + 1 + √𝑥 2 − 1)
= 4 √𝑥 2 − 1
(√𝑥 2 − 1)2 + 2(√𝑥 2 + 1 + √𝑥 2 − 1) + (√𝑥 2 − 1)2 + (√𝑥 2 + 1)2 − 2(√𝑥 2 + 1 + √𝑥 2 − 1) + (√𝑥 2 − 1)2
(√𝑥 2 + 1)2 − (√𝑥 2 − 1)2
= 4 √𝑥2 − 1
2(𝑥 2 + 1) + 2(𝑥 2 − 1)
= 4√𝑥 2 − 1
𝑥2 + 1 − 𝑥2 − 1
2(𝑥 2 + 1) + 2(𝑥 2 − 1)
= 4 √𝑥 2 − 1
2
𝑥 4 = 4 ∗ (𝑥 2 − 1)
2𝑥 2 = 4 √𝑥 2 − 1
𝑥 4 = 4𝑥 2 − 4
𝑥 2 = 2 √𝑥 2 − 1
𝑥 4 − 4𝑥 2 + 4 = 0
(𝑥 2 )2 = (2√𝑥 2 − 1)2
(𝑥 2 − 2)2 = 0 → 𝑥1 = √2 ; 𝑥2 = −√2
1.2.3. Ecuaciones polinómicas: Se resuelven por factorización o ruffini.
𝟏) 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟔 = 𝟎
(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 5𝑥 + 6) = 0
(𝑥 + 1)(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = 0
𝑥1 = −1
𝑥2 = −3
𝑥3 = −2
𝟐) 𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟑 − 𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝟗𝟔𝒙 − 𝟖𝟎 = 𝟎
(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)(𝑥 2 − 6𝑥 + 5) = 0
(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)(𝑥 − 5)(𝑥 − 1) = 0
𝑥1 = 4 𝑥3 = 5
𝑥2 = −4 𝑥4 = 1
𝟑) 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎
𝑥 2 (𝑥 + 2) − 1(𝑥 − 2) = 0
(𝑥 2 − 1)(𝑥 + 2) = 0
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0
𝑥1 = −1
𝑥2 = 1
𝑥3 = −2
𝟒) 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝟎
(𝑥 2 − 9)(𝑥 2 + 4) = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)(𝑥 2 + 4) = 0
𝑥1 = 3
𝑥2 = −3
5) 𝒙𝟒 − 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 = 𝟎
(𝑥 2 − 9)(𝑥 2 − 4) = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
𝑥1 = 3
𝑥2 = −3
𝑥3 = 2
𝑥4 = −2
6) 𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟎
(𝑥 2 − 4)(𝑥 2 + 4) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0
𝑥1 = 2
𝑥2 = −2
1.2.4. Ecuaciones lineales: Ecuaciones con incógnitas elevadas al exponente 1 ax + b
1.2.5. Ecuaciones lineales con dos incógnitas: Ax + By + C . Se encuentran
principalmente en problemas que conllevan al cálculo de dos incógnitas de
manera simultánea, mediante sistemas de ecuaciones.
•
Si dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son paralelas, no existe solución
•
Si dos ecuaciones lineales son una misma recta, la solución es el conjunto de
números reales.
•
Si dos ecuaciones lineales cortan gráficamente en un punto, este eje será la
solución al sistema de ecuaciones.
1.2.5.1. Métodos de solución de los sistemas de ecuaciones:
a) Reducción:
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟔 ∗ (−𝟐)
𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟒
−4𝑥 − 2𝑦 = −2
4𝑥 + 3𝑦 = 14
0+𝑦 = 2
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜: 2𝑥 + 2 = 6 → 𝑦 =
4
→𝑦=2
2
𝑅 = (2,2)
b) Sustitución
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟔
𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟒
Despejar una variable de la primera ecuación: 𝑦 = 6 − 2𝑥
Reemplazar en la segunda: 4𝑥 + 3(6 − 2𝑥 ) = 14
Resolver:
4𝑥 + 3(6 − 2𝑥 ) = 14
4𝑥 + 18 − 6𝑥 = 14
−2𝑥 = 14 − 18
𝑥=2
Reemplazar para hallar 𝑦: 2(2) + 𝑦 = 6 → 𝑦 = 2
c) Igualación
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟔
{
→ 𝒚 = 𝟔 − 𝟐𝒙
𝟏𝟒 − 𝟒𝒙
𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟒 → 𝒚 =
𝟑
Igualar ambas variables
14 − 4𝑥
6 − 2𝑥 =
3
3(6 − 2𝑥 ) = 14 − 4𝑥
18 − 6𝑥 = 14 − 4𝑥
−6𝑥 + 4𝑥 = 14 − 18
−2𝑥 = −4
−4
𝑥=
=2
−2
Reemplazar:
𝑦 = 6 − 2(2)
𝑦 = 6−4
𝑦=2
d) Método gráfico
{
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟔
𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟒
Realizamos tabla de valores para cada ecuación hallando sus puntos de corte:
2𝑥 + 𝑦 = 6
x
0
3
y
6
0
4𝑥 + 3𝑦 = 14
x
0
7
2
•
y
14
3
0
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
𝟐𝒙 − 𝟏 𝒚 − 𝟑 𝟏𝟏
+
=
𝟑
𝟔
{ 𝟐
−𝟐𝒙 𝒚 − 𝟏 −𝟔
+
=
𝟓
𝟏𝟎
𝟓
Eliminar los denominadores en ambas ecuaciones
6∗(
2𝑥 − 1 𝑦 − 3 11
+
= )
2
3
6
3(2𝑥 − 1) + 2(𝑦 − 3) = 11
6𝑥 − 3 + 2𝑦 − 6 = 11
6𝑥 + 2𝑦 − 9 = 11
6𝑥 + 2𝑦 = 11 + 9
6𝑥 + 2𝑦 = 20
10 ∗ (
−2𝑥 𝑦 − 1 −6
)
+
=
5
10
5
2(−2𝑥 ) + (𝑦 − 1) = 2(−6)
−4𝑥 + 𝑦 − 1 = −12
−4𝑥 + 𝑦 = −12 + 1
−4𝑥 + 𝑦 = −11
Aplicar cualquier método para resolución de sistema de ecuaciones:
6𝑥 + 2𝑦 = 20
−4𝑥 + 𝑦 = −11 (∗ −2)
6𝑥 + 2𝑦 = 20
8𝑥 − 2𝑦 = 22
14𝑥 0 = 42
𝑥
=3
Reemplazar el valor encontrado en una ecuación del sistema:
6𝑥 + 2𝑦 = 20
6(3) + 2𝑦 = 20
18 + 2𝑦 = 20
2
𝑦= =1
2
𝑠𝑜𝑙: (3; 1)
𝟐(𝒙 + 𝟒) 𝒚 𝟗
− =
𝟑
𝟐 𝟐
{
𝟏
𝟒
𝒙 + 𝟐𝒚 − (𝟑𝒙 − 𝟐) = −
𝟑
𝟑
Eliminar los denominadores en la primera ecuación:
2(𝑥 + 4) 𝑦 9
6∗(
− = )
3
2 2
4𝑥 + 16 − 3𝑦 − 27 = 0
4𝑥 − 3𝑦 = 11
Resolver la segunda ecuación:
1
4
𝑥 + 2𝑦 − (3𝑥 − 2) = −
3
3
3𝑥 2 4
𝑥 + 2𝑦 −
+ + =0
3 3 3
2 4
𝑥 + 2𝑦 − 𝑥 + + = 0
3 3
6
2𝑦 + = 0
3
2𝑦 + 2 = 0
2𝑦 = −2
𝑦 = −1
Reemplazar el valor encontrado en una ecuación del sistema:
4𝑥 − 3𝑦 = 11
4𝑥 − 3(−1) = 11
4𝑥 + 3 = 11
4𝑥 = 8
𝑥=2
𝑠𝑜𝑙: (2; −1)
e) Método de Gauss
𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟕
(
)
𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = {𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝒛 = −𝟏𝟗
𝒙 − 𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟒
2 1 −3 7 → 𝐹1
|5 −4 1 −19| → 𝐹2
1 −1 −4 4 → 𝐹3
Convertir en 0 el 1er término de la fila 1 y 2; y el 2do término de la fila 1,
respectivamente.
𝑭𝟐 = 𝑭𝟏 − 𝟐𝑭𝟑
2 1 −3 7
|5 −4 1 −19|
0 3
5 −1
𝑭𝟐 = 𝟓𝑭𝟏 − 𝟐𝑭𝟐
2 1
|0 13
0 3
−3 7
−17 73|
5 −1
𝑭𝟑 = 𝟑𝑭𝟐 − 𝟏𝟑𝑭𝟑
2 1
−3
| 0 13 −17
0 0 −116
7
73 |
232
El nuevo sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma:
2𝑥 + 𝑦 + −3𝑧 = 7
3𝑦 − 17𝑧 = 73
−116𝑧 = 232
{
Resolver de abajo hacia arriba, reemplazando valores
𝒛=
232
= −2
−116
𝟑𝒚 − 𝟏𝟕(−𝟐) = 𝟕𝟑
3𝑦 + 34 = 73
𝒚=3
𝟐𝒙 + 𝟑 − 𝟑(−𝟐) = 𝟕
2𝑥 = 7 − 9
𝑥=
−2
2
𝒙 = −1
f) Método de Gauss Jordan
𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟕
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = {𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝒛 = −𝟏𝟗
𝒙 − 𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟒
Parte de la determinante final del método de Gauss.
2 1
−3
| 0 13 −17
0 0 −116
7
73 |
232
Se convierte en 1, el tercer término de la fila 3:
𝑭𝟑 =
2 1
| 0 13
0 0
𝑭𝟑
−𝟏𝟏𝟔
−3
−17
1
7
73|
−2
Convertir en 0 el 2do y 3er término de F1; y el 3er término de F2, respectivamente
𝑭𝟏 = 𝑭𝟐 − 𝟏𝟑𝑭𝟏
−26 0
| 0
13
0
0
22
−17
1
−18
73 |
−2
𝑭𝟏 = 𝑭𝟏 − 𝟐𝟐𝑭𝟑
−26
| 0
0
0
13
0
0
26
−17 73|
1
−2
𝑭𝟐 = 𝑭𝟐 + 𝟏𝟕𝑭𝟑
−26 0 0
| 0
13 0
0
0 1
26
39|
−2
Convertir en 1 el primer término de F1, y el 2do término de F2, respectivamente:
𝑭𝟏 =
𝑭𝟏
−𝟐𝟔
1 0 0
|0 13 0
0 0 1
𝑭𝟐 =
−1
39|
−2
𝑭𝟐
𝟏𝟑
1 0 0 −1
|0 1 0 3 |
0 0 1 −2
Entonces:
𝑥 = −1
(
)
{
𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑦 = 3
𝑧 = −2
g) Método de Cramer:
𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟕
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = {𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝒛 = −𝟏𝟗
𝒙 − 𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟒
Se basa en:
𝐴𝑥
=𝑥
𝐴
𝐴𝑦
=𝑦
𝐴
𝐴𝑧
=𝑧
𝐴
Donde A es la matriz con los coeficientes de las variables x, y, z.
2
1 −3
5 −4
1
|
𝑨 = | 1 −1 −4 || = 32 + 15 + 1 − (12 − 2 − 20) = 58
2
1 −3
5 −4
1
Ax, Ay y Az, son matrices que surgen del reemplazo de las variables x, y, z de A, por
los términos constantes:
7
1 −3
−19 −4 1
𝑨𝒙 = || 4
−1 −4|| = 112 – 57 + 4 – ( 48 – 7 + 76) = 59 − (117) = −58
7
1 −3
−19 −4 1
2
5
𝑨𝒚 = ||1
2
5
7
−3
−19 1
4
−4|| = 152 − 60 + 7 − (57 + 8 − 140) = 99 − (−75) = 174
7
−3
−19 1
2 1
7
5 −4 −19
𝑨𝒛 = ||1 −1
4 || = −32 − 35 − 19 − (−28 + 38 + 20) = −86 − (30) = −116
2 1
7
5 −4 −19
Entonces:
𝑥=
𝐴𝑥
58
=−
= −1
𝐴
58
𝑦=
𝑧=
𝐴𝑦 174
=
=3
𝐴
58
𝐴𝑧
116
=−
= −2
𝐴
58
h) Matriz inversa
{
𝒙+𝒚= 𝟏
𝒙−𝒚= 𝟏
1 1 1 0
|
||
|
1 −1 0 1
1 1
1 0
||
|
𝑭𝟐 = 𝑭𝟐 – 𝑭𝟏 → |
0 −2 −1 1
2 0
1 1
||
|
𝑭𝟏 = 𝑭𝟐 + 𝟐𝑭𝟏 → |
0 −2 −1 1
𝑭𝟏 =
1 1
𝑭𝟏
1 0
| | 2 2|
→|
0 −2
𝟐
−1 2
1
𝑭𝟐
𝑭𝟐 =
→ |2
1
−𝟐
2
1
2 | |1|
1 1
−
2
Tal que:
1 1
+ =1
2 2
1
1
𝑦 → − (− ) = 1
2
2
𝑥→
{
1.2.5.2. Sistema de ecuaciones no lineales
𝒙𝟐 − 𝒚 = 𝟎
{
𝒚−𝒙−𝟐=𝟎
𝑥2 = 𝑦
𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 0 → (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0
𝑥1 = 2 𝑥2 = −1
𝑦1 = 4 𝑦2 = 1
2. FRACCIÓN PARCIAL
Fracción impropia
𝑎
↔𝑎≥𝑏
𝑏
Dividir a/b
Fracción propia
𝑎
↔𝑎<𝑏
𝑏
Factorizar b
2.1. Fracciones parciales con factores lineales no repetitivos
𝒙+𝟏
𝑥+1
=
+ 𝟓𝒙 + 𝟔 (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
𝒙𝟐
𝑥+1
𝐴
𝐵
𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 + 2)
=
+
=
(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) (𝑥 + 2) (𝑥 + 3)
(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
Resolver el numerador:
𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 + 2) = 𝐴𝑥 + 3𝐴 + 𝐵𝑥 + 2𝐵
𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 = 𝑥 → 𝐴 + 𝐵 = 1
3𝐴 + 2𝐵 = 1
Resolver el sistema de ecuaciones:
𝐴+𝐵 = 1→𝐴=1−𝐵
{
3𝐴 + 2𝐵 = 1
3(1 − 𝐵) + 2𝐵 = 1
3−𝐵 =1→𝐵 =2
Por lo tanto:
𝐴
𝐵
−1
2
+
=
+
(𝑥 + 2) (𝑥 + 3) (𝑥 + 2) (𝑥 + 3)
2.2. Fracciones parciales con factores lineales repetitivos
𝒙+𝟑
𝑥+3
𝐴
𝐵
𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵
=
→
+
→
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 (𝑥 + 1)2
𝑥 + 1 (𝑥 + 1)2
(𝑥 + 1)2
𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵 = 0
𝐴𝑥 = 𝑥 → A = 1
𝐴+𝐵=3→𝐵=2
R=
1
2
+
𝑥 + 1 (𝑥 + 1)2
2.3. Fracciones parciales con factores parciales cuadraticos irreductibles
(𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 + 2) + 𝐶(𝑥 2 + 1)
𝑥 2 + 2𝑥 + 1
𝐴𝑥 + 𝐵
𝐶
→ 2
+
→
(𝑥 2 + 1)(𝑥 + 2)
𝑥 +1 𝑥+2
(𝑥 2 + 1)(𝑥 + 2)
𝐴𝑥 2 + 2𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 2𝐵 + 𝐶𝑥 2 + 𝐶 = 0
𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑥 2 = 𝑥 2 → 𝐴 + 𝐶 = 1
𝐵𝑥 + 2𝐴𝑥 = 2𝑥 → 𝐵 + 2𝐴 = 2
2𝐵 + 𝐶 = 1 →
2𝐵 + 𝐶 = 1
-
𝐶 = 1−𝐴
2𝐵 + 1 − 𝐴 = 1 → 𝐴 = 2𝐵
2
𝐵 + 2(2𝐵) = 2 → 𝐵 + 4𝐵 = 2 → 𝐵 = 5
-
2 ( 5) + 𝐶 = 1 → 𝐶 = 5
2
1
-
1
4
5
5
𝐴+ =1→𝐴=
𝑅=
4𝑥 + 2
1
+
2
5(𝑥 + 1) 5(𝑥 + 2)
2.4. Ejercicios:
𝒙+𝟑 𝟑
𝑏(𝑥 + 3)3
𝑏 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 27𝑥 + 27
]
𝟏) 𝒃(
) =
= 3[ 3
𝒃𝒙 − 𝟑𝒃
𝑏(𝑥 − 3)3
𝑏 𝑥 − 9𝑥 2 + 27𝑥 − 27
𝑥 3 + 9𝑥 2 + 27𝑥
𝑥 3 − 9𝑥 2 + 27𝑥 − 27
+ 27 1
3
2
-𝑥 + 9𝑥 − 27𝑥 +
27
2
18𝑥 − 0
+ 54
1
18𝑥 2 + 54
[1 +
]
𝑏2
(𝑥 − 3)3
1
𝐴
𝐵
𝐶
𝐴(𝑥 − 3)2 + 𝐵(𝑥 − 3) + 𝐶
[1
]
+
+
+
=
𝑏2
𝑥 − 3 (𝑥 − 3)2 (𝑥 − 3)3
(𝑥 − 3)3
= 𝐴(𝑥 2 − 6𝑥 + 9) + 𝐵𝑥 − 3𝐵 + 𝐶
= 𝐴𝑥 2 − 6𝐴𝑥 + 9𝐴 + 𝐵𝑥 − 3𝐵 + 𝐶
•
𝐴𝑥 2 = 18𝑥 2 → 𝐴 = 18
•
−6𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 = 0
•
−6𝐴 + 𝐵 = 0 → −6(18) + 𝐵 = 0 → 𝐵 = 108
•
9𝐴 − 3𝐵 + 𝐶 = 54
9(18) − 3(108) + 𝐶 = 54
162 − 324 + 𝐶 = 54
𝐶 = 54 + 162 → 𝐶 = 216
𝑅=
1
18
108
216
[1 +
]
+
+
2
2
𝑏
𝑥 − 3 (𝑥 − 3)
(𝑥 − 3)3
𝟐)
𝒂𝒙𝟐 (𝟐𝒙 + 𝟑) + 𝒂(𝟔𝒙 + 𝟏)
𝑥 2 (2𝑥 + 3) + (6𝑥 + 1)
=
𝑎
∙
𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟑
2𝑥 2 + 5𝑥 + 3
𝑎∙
2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 6𝑥 + 1
2𝑥 2 + 5𝑥 + 3
2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 6𝑥 + 1
−2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 3𝑥
−2𝑥 2 + 3𝑥 + 1
2𝑥 2 + 5𝑥 + 3
8𝑥 + 4
𝑎 ∙ [𝑥 − 1 +
2𝑥 2 + 5𝑥 + 3
𝑥−1
8𝑥 + 4
𝐴
𝐵
𝐴(2𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 + 1)
]
=
+
=
2𝑥 2 + 5𝑥 + 3
𝑥 + 1 2𝑥 + 3
(𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
2𝐴𝑥 + 3𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐵 = 0
•
2𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 = 8𝑥
2𝐴 + 𝐵 = 8
•
3𝐴 + 𝐵 = 4
2𝐴 + 𝐵 = 8
−3𝐴 − 𝐵 = −4
−𝐴
=4
𝐴 = −4
𝑅 = 𝑎 ∙ [𝑥 − 1 +
𝟑)
2(−4) + 𝐵 = 8
−8 + 𝐵 = 8
𝐵 = 8+8
𝐵 = 16
−4
16
]
+
𝑥 + 1 2𝑥 + 3
𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏
𝐴𝑥 + 𝐵
𝐶𝑥 + 𝐷
= 2
+ 2
𝟐
𝟐
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐) (𝑥 + 1) (𝑥 + 2)
(𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 2 + 2) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 2 + 1)
=
(𝑥 2 + 1)(𝑥 2 + 2)
𝐴𝑥 3 + 2𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 2 + 2𝐵 + 𝐶𝑥 3 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥 2 + 𝐷
-
𝐴𝑥 3 + 𝐶𝑥 3 = 𝑋 3
𝐴+𝐶 = 1
-
𝐵𝑥 2 + 𝐷𝑥 2 = 𝑥 2
𝐵+𝐷 = 1
-
2𝐴𝑥 + 𝐶𝑥 = 2𝑥
2𝐴 + 𝐶 = 2
-
2𝐵 + 𝐷 = 1
𝐶 = 1−𝐴
2𝐴 + (1 − 𝐴) = 2 → 2𝐴 + 1 − 𝐴 = 2 → 𝐴 = 1
𝐵 = 1−𝐷
2(1 − 𝐷 ) + 𝐷 = 1 → 2 − 2𝐷 + 𝐷 = 1 → 𝐷 = 1
𝑅=
(𝑥 2
𝑥
1
+ 2
+ 1) (𝑥 + 2)
3. Inecuaciones
3.1. Inecuaciones lineales de 1er grado con una incógnita.
𝒙 + 𝟑 < 𝟐𝒙 − 𝟒
𝑥 − 2𝑥 < −4 − 3
−𝑥 < −7 ∗ (−1)
𝑥>7
𝑅 = 𝑥 ∈ (7; +∝)
𝒙 − 𝟑 < 𝟑𝒙 − 𝟒
𝑥 − 3𝑥 <− 4 + 3
−2𝑥 < 1
2𝑥 > 1
𝑥>
1
1
→ 𝑅 = 𝑥 ∈ ( ; +∝)
2
2
3.2. Inecuaciones de segundo grado
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 > 𝟎
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 0
(𝑥 + 1)2 = 0
𝑥 = −1
𝑅 = 𝑥 ∈ (−∝, −1)𝑈(−1, +∝)
𝒙² + 𝟐𝒙 + 𝟏 < 𝟎
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −1
𝑥=∅
𝒙² + 𝟓𝒙 + 𝟔 > 𝟎
𝑥² + 5𝑥 + 6 = 0
(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 = −2
𝑥 = −3
𝑥 ∈ (−∞; 3)𝑈(−2; +∞)
𝒙² + 𝟓𝒙 + 𝟔 < 𝟎
𝑥² + 5𝑥 + 6 = 0
(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 = −2
𝑥 = −3
𝑥 ∈ (−3; −2)
3.3. Expresiones algebraicas
𝒙+𝟑>𝒙−𝟐
0 > −5
𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑
𝑥∈𝑅
𝒙−𝟑>𝒙−𝟐
0>1
𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜
𝑥∈∅
3.4. Ecuaciones polinómicas
𝒙³ + 𝟔𝒙² + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟔 > 𝟎
𝑥²(𝑥 + 1) + 5𝑥(𝑥 + 1) + 6(𝑥 + 1) = 0
(𝑥 + 1)(𝑥² + 5𝑥 + 6) = 0
(𝑋 + 1)(𝑥² + 5𝑥 + 6) = 0
𝑥 = −1
𝑥 = −2
𝑥 = −3
𝑥 ∈ (−3; −2)𝑈(−1 + ∞)
𝒙³ + 𝟑𝒙² + 𝟑𝒙 + 𝟏 < 𝟎
(𝑥 + 1)³ = 0
𝑥 = −1
𝑥 = −1
𝑥 = −1
𝑥 ∈ (−∞; −1)
𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟐 ≥ 𝟎
𝑥 3 + 4𝑥 2 + 5𝑥 + 2 = 0
(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) = 0
𝑥 ∈ [−2, −1]𝑈[−1, +∞)
𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 ≤ 𝟎
𝑥 3 − 5𝑥 2 + 6𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0
𝑋 ∈ (−∞, 0]𝑈[2, 3]
𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟎
𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 0
(𝑥 + 1)3 = 0
𝑋 ∈ (−∞, −1)
(𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟑𝟎)(𝒙𝟐 − 𝟒)(𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔) ≤ 𝟎
𝑋1 = −10; 𝑋2 = −3; 𝑋3 = −2; 𝑋4 = 2; 𝑋5 = 3
𝑥 ∈ [−10, −3]𝑈[−2,2]𝑈[2,3]
3.5. Inecuaciones racionales
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏
≥𝟎
𝒙𝟐 − 𝟒
(𝑥 − 1)2
≥0
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑋 € = (−∞, −2)𝑈 [1,2)
𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑
≤𝟎
𝒙𝟐 − 𝟗
(𝑥 + 3)(𝑥 + 1)
=0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
𝑥1 = 3
𝑥2 = −1
𝑥 ∈= [−1,3)
𝒙+𝟑 𝒙−𝟒 𝒙−𝟑
≥
−
𝒙−𝟐 𝒙+𝟏 𝒙+𝟐
𝑥+3 𝑥−4 𝑥−3
−
+
≥0
𝑥−2 𝑥+1 𝑥+2
(𝑥 + 3)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) − (𝑥 − 4)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) + (𝑥 − 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
=0
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)
x + 3(x 2 + 3x + 2) + (x − 4)(x 2 − 2x + 2x − 4) + (x 2 − x − 2x − 2)
=0
(x − 2)(x + 1)(x + 2)
𝑥 3 + 6𝑥 2 + 11𝑥 + 6 + 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 4𝑥 + 16 + 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6
=0
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)
𝑥 3 + 6𝑥 2 + 16𝑥 − 4
=0
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)
𝑥 = 2; 𝑥2 = −1; 𝑥3 = −2; 𝑥4 = 0,2
𝑥 ∈ (−∞, −2) ∪ (−1; 0,22] ∪ (2, +∞)
3.6. Inecuaciones irracionales
𝑈𝑟 = 𝑈𝑟1 ∩ 𝑈𝑟2 ∩ 𝑈𝑟3
√𝒙 + 𝟐 > 𝟏
𝑼𝒓. 𝑋 + 2 ≥ 0 → 𝑋 ≥ −2
√𝑋 + 2 > 1
2
(√𝑋 + 2) > 12
𝑋+2 >1
𝑋 > −1
𝑋 ∈ [−1, +∞)
√𝒙 + 𝟑 + √𝟒 − 𝒙 > 𝟑
𝑼𝒓𝟏 = 𝑥 + 3 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −3
𝑈𝒓𝟐 = 4 − 𝑥 ≥ 0 → (−1) − 𝑥 ≥ −4 → 𝑥 ≤ 4
√𝑥 + 3 + √4 − 𝑥 > 3
2
2
(√𝑥 + 3) + 2√(𝑥 + 3)(4 − 𝑥) + (√4 − 𝑥 ) > 9
𝑥 + 3 + 2√4𝑥 − 𝑥 2 + 12 − 3𝑥 + 4 − 𝑥 > 9
𝑥 + 3 + 2√−𝑥 2 + 12 + 𝑥 + 4 − 𝑥 > 9
2√−𝑥 2 + 12 + 𝑥
>2
2
(√−𝑥 2 + 12 + 𝑥 )2 > (1)2
−𝑥 2 + 𝑥 + 12 − 1 > 0 (−1)
𝑥 2 + 𝑥 − 11 < 0
𝑥 2 + 𝑥 − 11 = 0
𝑥1 = 3.85; 𝑥2 = −2.85
𝑥 ∈ [−2,85; 3,85]
√𝒙 − 𝟖 < 𝟎
𝑼𝒓. 𝟏 𝑥 − 8 ≥ 0
𝑥≥8
𝟐
(√𝒙 − 𝟖) < 𝟎
𝑥−8 <0
𝑥<8
𝑥∈∅
√𝑥 2 − 𝑥 − 12 ≤ √𝑥 2 − 6𝑥 + 5
𝑼𝒓𝟏: 𝑥 2 − 𝑥 − 12 ≥ 0
(𝑥 − 4)(𝑥 + 3) = 0 → 𝑥1 = 4; 𝑥2 = −3
𝑼𝒓𝟐: 𝑥 2 − 6𝑥 + 5
(𝑥 − 5)(𝑥 − 1) = 0 → 𝑥1 = 5; 𝑥2 = 1
(√𝑥 2 − 𝑥 − 12 )2 ≤ (√𝑥 2 − 6𝑥 + 5 )2
𝑥 2 − 𝑥 − 12 ≤ 𝑥 2 − 6𝑥 + 5
𝑥≤
17
4
𝑅 = 𝑥 ∈ (−∞, −3]
√
𝟐𝒙 − 𝟖
𝟓−𝒙
+√
≥𝟎
𝒙−𝟏
𝒙+𝟑
2
(√
2
2𝑥 − 8
5−𝑥
) ≥ (√
)
𝑥−1
𝑥+3
2𝑥 − 8 5 − 𝑥
≥
𝑥−1
𝑥+3
(2𝑥 − 8)(𝑥 + 3) ≥ (5 − 𝑥)(𝑥 − 1)
2𝑥 2 + 6𝑥 − 8𝑥 − 24 ≥ 5𝑥 − 5 − 𝑥 2 + 𝑥
3𝑥 2 − 8𝑥 − 19 ≥ 0
𝒙𝟏 = 4,18
𝒙𝟐 = 1,51
𝑼𝒓𝟏 = 2𝑥 − 8 ≥ 0
𝑥≥4
𝑼𝒓𝟐 = 𝑥 − 1 ≥ 0
𝑥≥1
𝑼𝒓𝟑 = 5 − 𝑥 ≥ 0
−𝑥 ≥ −5 ≈ 𝑥 ≤ 5
𝑼𝒓𝟒 = 𝑥 + 3 ≥ 0
𝑥 ≥ −3
3.7.Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
Valor Absoluto: Distancia de un punto hasta el origen
−|−5| = 5
PROPIEDADES:
1. |𝒂| = 𝟎 ; 𝒂 = 𝟎
2. |𝒂| = 𝒃 ⟺ 𝒃 ≥ 𝟎 ∧ (𝒂 = 𝒃 ∨ 𝒂 = −𝒃)
Ejemplo 1:
|𝒙 + 𝟏| = 𝟐𝒙 + 𝟑
2𝑥 + 3 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −
3
2
𝒙 + 𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝟑 ∨ 𝒙 + 𝟏 = −𝟐𝒙 − 𝟑
𝑥 − 2𝑥 = 3 − 1 ∨ 𝑥 + 2𝑥 = −3 − 1
𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = −
4
3
4
𝑥 ∈ (− )
3
Ejemplo 2:
|𝒙 − 𝟑| = 𝟑𝒙 + 𝟏
3𝑥 + 1 ≥ 0 → 𝑥 ≥ −
1
3
𝑥 − 3 = 3𝑥 + 1 ∨ 𝑥 − 3 = −(3𝑥 + 1)
𝑥 − 3𝑥 = 1 + 3 ∨ 𝑥 − 3 = −3𝑥 − 1
−2𝑥 = 4 ∨ 4𝑥 = 2
𝑥=
4
2
∨ 𝑥=
−2
4
𝑥 = −2 ∨ 𝑥 =
1
2
3. |𝒂| = |𝒃| ↔ 𝒂 = 𝒃 ∨ 𝒂 = −𝒃
Ejemplo 1:
|𝒙 + 𝟏| = |𝟐𝒙 + 𝟐|
𝑥 + 1 = 2𝑥 + 2 ∨ 𝑥 + 1 = −(2𝑥 + 2)
𝑥 − 2𝑥 = 2 − 1 ∨ 𝑥 + 2𝑥 = −2 − 1
−𝑥 = +1 ∨ 3𝑥 = −3
𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = −1
𝟐
4. √𝒂 = |𝒂|
5. |𝒂|2 = 𝒂2
6. |𝒂| < 𝒃 ↔ (−𝒃 < 𝒂 < 𝒃) ↔ (−𝒃 < 𝒂 ˄ 𝒂 < 𝒃) ↔ (𝒂 > −𝒃 ˄ 𝒂 < 𝒃)
Ejemplo 1:
|𝑥 + 1| > 3
−3 > 𝑥 + 1 > 3
−3 − 1 > 𝑥 > 3 − 1
−4 > 𝑥 > 2
𝑥 < −4 ˄ 𝑥 > 2
EJERCICIOS:
|𝟐𝒙 − 𝟑| ≤ √𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 +
|−𝟗|
+ |𝟐𝒙 + 𝟏|
𝟒
3 2
√
|2𝑥 − 3| ≤ (𝑥 − ) + |2𝑥 + 1|
2
3
|2𝑥 − 3| ≤ |(𝑥 − )| + |2𝑥 + 1|
2
3
3
2 |𝑥 − | ≤ |𝑥 − | + |2𝑥 + 1|
2
2
32
|𝑥 − | ≤ (|2𝑥 + 1|)2
2
𝑥 2 − 3𝑥 +
9
≤ 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1
4
−3𝑥 2 − 7𝑥 +
5
≤0
4
−3𝑥 2 − 7𝑥 +
5
=0
4
𝑥1 =
1
5
; 𝑥2 = −
6
2
5
1
𝑥 ∈ (−∞, − ] 𝑈[ , +∞)
2
6
|𝒙 + 𝟑| + |𝒙 + 𝟐| = 𝟓
|𝑥 + 3| 𝑥 + 3 ↔ 𝑥 ≥ −3
{
𝑥 = −3 −𝑥 − 3 ↔ 𝑥 < −3
|𝑥 + 2| 𝑥 + 2 ↔ 𝑥 ≥ −2
{
𝑥 = −2 −𝑥 − 2 ↔ 𝑥 < −2
𝒙 < −𝟑:
(−𝑥 − 3) + (−𝑥 − 2) = 5
−2𝑥 − 5 = 5
2𝑥 = −10
𝑥 = −5
−𝟑 ≤ 𝒙 < −𝟐:
(𝑥 + 3) + (−𝑥 − 2) = 5
1=5
𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜
−𝟐 < 𝒙
(𝑥 + 3) + (𝑥 + 2) = 5
2𝑥 + 5 = 5
𝑥=0
𝑥 = {−5,0}
4. Relación binaria
Existe cuando la variable “y” está elevado a un exponente mayor a 1: 𝑦 𝑛 ↔ (𝑛 > 1)
𝐴𝑥𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 2 + 2𝑦 − 1 + 𝑥 = 0}
•
Rango: Se halla despejando “x”:
𝑥 = −𝑦 2 − 2𝑦 + 1
4 − 4(−1) ≥ 0
8 ≥ 0 → 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑 ∴ 𝑅 = ℝ
•
Dominio: Se halla despejando “y”:
𝑦 2 + 2𝑦 − 1 + 𝑥 = 0
4 − 4(−1 + 𝑥 ) ≥ 0
−4𝑥 ≥ −8
𝑥 ≤ 2 → 𝐷 = (−∞, 2]
5. Funciones
5.1. Función constante:
𝐷=ℝ
𝑓(𝑥) = 𝑎 {
𝑅=𝑎
5.2. Función lineal:
𝐷=ℝ
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ; (𝑎 ≠ 0) {
𝑅=ℝ
5.3. Función afín:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ; (𝑎 ≠ 0) {
𝐷=ℝ
𝑅=ℝ
5.4. Función cuadrática:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; (𝑎 ≠ 0) {
𝐷=ℝ
(−∞,
𝑅=
𝑦] ∨ [𝑦, +∞)
5.4.1. Consideraciones:
• Toda función cuadrática de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 posee 2 raíces.
• Trinomio cuadrado perfecto, tiene 1 raíz = vértice; además 𝑅 = [0, +∞)
• Si 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0, no hay raíces. No toca al eje x y solo hay vértice y punto de corte en
y; además 𝑅 = [𝑦, +∞)
5.4.2. Para graficar una función cuadrática:
• Se hallan las raíces o puntos de corte en x
• Se halla el vértice con la fórmula:
𝑏
𝑏
𝑉 = (− , 𝑓 (− ))
2𝑎
2𝑎
• Se halla el punto de corte con el eje “y” reemplazando x por 0.
5.5. Función polinómica:
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 𝑛
+ 𝑎𝑥 𝑛−1
𝐷=ℝ
𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 {
(−∞,
𝑅
=
𝑦] ∧ [𝑦, +∞)
+ ⋯ + 𝑎𝑛 ; (𝑎 ≠ 0) ∧ (𝑛 > 2) {
𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 {𝐷 = 𝑅 = ℝ
5.6. Funciones racionales:
𝑓(𝑥) =
𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 = 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏
→
{
𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒐𝒃𝒍í𝒄𝒖𝒂 = 𝑛 > 𝑚 (𝑒𝑛 1)
𝑐𝑥 𝑚 + 𝑑
𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 = 𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 𝑚
5.6.1. Cálculo de asíntotas, rango y dominio.
•
•
•
•
•
Verticales: Se iguala a cero
Oblícuas: Se divide el numerador para el denominador
Horizontales: Se divide el coeficiente del término con mayor grado en el
numerador, para el coeficiente del término independiente del denominador.
Dominio: Viene dado por las restricciones.
Rango: Se halla despejando x.
Ejemplo:
𝑓 (𝑥 ) =
2
𝑥+1
𝑨𝑽: 𝑥 + 1 = 0 → 𝑋 = −1
𝑹: 𝑦 =
2
2−𝑦
→ 𝑥𝑦 + 𝑦 = 2 → 𝑥𝑦 = 2 − 𝑦 → 𝑥 =
→𝑦=0
𝑥+1
𝑦
𝑫 = (−∞, −1)𝑈(−1, +∞); 𝑹 = (−∞, 0)𝑈(0, +∞)
5.7. Funciones irracionales:
𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥)
5.7.1. Consideraciones:
• Rango y dominio viene dado por las restricciones de la raíz.
Ejemplos:
𝐟(𝐱) = √𝐱 + 𝟏
𝑋+1≥0
𝑋 ≥ −1
𝐷 = [−1, +∞)
𝑅 = [0, ∞)
𝑭(𝒙) = √𝟏 − 𝒙
1−𝑋 ≥0
𝑋≤1
𝐷 = (−∞, 1]
𝑅 = [0, +∞)
𝑭(𝑿) = √𝑿𝟐 − 𝟒
𝑋2 − 4 ≥ 0
𝑋2 − 4 = 0
(𝑋 + 2)(𝑋 − 2) = 0
𝑋=2
𝑋2= − 2
𝐷 = (−∞, −2] ∪ [2, +∞)
𝑅 = [0, +∞)
𝑭(𝑿) = √𝟒 − 𝑿𝟐
4 − 𝑋2 ≥ 0
(2 + 𝑋) (2 − 𝑋) = 0
𝑋 = −2
2=𝑋
𝑅 = [0,2]; 𝐷 = [−2,2]
5.8. Función por valor absoluto/ a trozos:
𝑓 (𝑥 ) = |𝑟(𝑥 )|
Ejercicios:
𝑥 2 − 9 → (−∞, −3]𝑈[3, +∞)
𝑓(𝑥 ) = |𝑥 2 − 9| → {
9 − 𝑥 2 → (−3,3)
𝑫 = ℝ; 𝑹 = [0, +∞)
4−𝑥
𝑓(𝑥) = √
→ |𝑥|
|𝑥 | − 1
{
4−𝑥
4−𝑥
𝑥=1
√
{(1,4]
→𝑥≥0→
≥0→{
𝑥=4
𝑥−1
𝑥−1
4−𝑥
4−𝑥
𝑥=4
√
{(−∞, −1)
→𝑥<0→
<0→{
𝑥 = −1
−𝑥 − 1
{ −𝑥 − 1
𝑹 = [0, √5); 𝑫 = (−∞, −1)𝑈(1,4]
6. Monotonía de funciones
Función inyectiva: A cada valor de x le corresponde un único valor de y
o Toda función inyectiva tiene función inversa
o 𝑓 (𝑥 )1 = 𝑓(𝑥 )2 ↔ 𝑥1 = 𝑥2
o Prueba de la recta horizontal
Función sobreyectiva: R y D son iguales.
Función biyectiva: Aquella que es inyectiva y biyectiva a la vez.
Función creciente: Posee pendiente positiva (A medida que crece x, crece y
Función decreciente: Pendiente negativa (A medida que crece x, disminuye y
Paridad de funciones: (Aplicable a funciones que pasan por el origen)
o Una función es par si posee una simetría creciente en ambos lados.
o Una función es impar si posee simetría decreciente y creciente.
Función inversa:
o Toda función inversa es inyectiva
o Se representa por 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓 −1 (𝑥 )
o Rango 𝑓(𝑥 ) = Dominio 𝑓 −1 (𝑥 )
o Dominio 𝑓 (𝑥 ) = Rango 𝑓 −1 (𝑥 )
o Para hallar la función inversa, se transforma la notación 𝑓 (𝑥 ) por y, se
despeja x; finalmente se transforma x por la notación 𝑓 −1 (𝑥 ) y se cambia
y por x.
•
•
•
•
•
•
•
Ejemplo:
𝑓 (𝑥 ) =
4𝑥 − 2
4𝑥 − 2
→𝑦=
→ 𝑥𝑦 + 𝑦 = 4𝑥 − 2
𝑥+1
𝑥+1
𝑥 (𝑦 − 4) = −2 − 𝑦
𝑥=−
2+𝑦
2+𝑦
2+𝑥
→𝑥=
→ 𝑓 −1 (𝑥 ) =
𝑦−4
4+𝑦
4+𝑥
7. Composición de funciones
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 2
𝑔(𝑓(𝑥 )) = (𝑥 + 2)2 + 1
𝑔 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 2
𝑔(𝑓(𝑥 )) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 4 + 1
1)
𝑔(𝑓(𝑥 )) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 5
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 1
𝑔(𝑓(𝑥 )) = (𝑥 + 1)2 + 2(𝑥 + 1) + 1
𝑔(𝑥 ) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
𝑔(𝑓(𝑥 )) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 2𝑥 + 2 + 1
2)
𝑔(𝑓(𝑥 )) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4
3)
𝑥+1
𝑥<3
2𝑥 − 3
𝑥≥3
𝑓 (𝑥 ) =
𝑥<1
𝑔(𝑓(𝑥 ))
𝑥+3
𝑥<1
2𝑥 − 3
1≤ 𝑥<3
2𝑥 − 3
𝑥≥3
𝑔 (𝑥 ) =
𝑥2 − 1
𝑥≥1
𝑔(𝑥 ) =𝑥 + 1
𝑔 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 3
𝑔(𝑥 ) =𝑥 + 3
0
𝑔(𝑥 ) = 2𝑥 + 3
1
2
3
4
8. Operación con funciones
𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)
2𝑓(𝑥)
1) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 1
𝑔 (𝑥 ) = 𝑥 2 − 2
𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥) 𝑥 + 1 − 𝑥 2 + 2 −𝑥 2 + 𝑥 + 3
=
=
2𝑓(𝑥)
2(𝑥 + 1)
2(𝑥 + 1)
2) Realizar la misma operación anterior con el ejercicio 3 de composición de
funciones
𝑓 (𝑥 ) − 𝑔 (𝑥 )
=
2𝑓 (𝑥 )
𝑥+1
𝑥<3
2𝑥 − 3
𝑥≥3
𝑓 (𝑥 ) =
𝑥+3
𝑥<1
𝑔 (𝑥 ) =
𝑥2 − 1
𝑥≥1
𝑥+1−𝑥−3
2(𝑥+1)
𝑓 (𝑥)−𝑔(𝑥)
2𝑓(𝑥)
=
𝑥+1−𝑥 2+1
2(𝑥+1)
−1
= (𝑥+1)
=
2𝑥−3−𝑥 2 +1
2(2𝑥−3)
−𝑥 2 +𝑥+2
=
2(𝑥+1)
−𝑥 2 +2𝑥−2
2(2𝑥−3)
𝑥<1
1≤ 𝑥<3
𝑥≥3
9. Funciones trascendentes
𝑓 (𝑥 ) = 𝑒 𝑥
𝐷 =/𝑅 ; 𝑅 = (0, ∞+)
𝑦 = 𝑒𝑥
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛𝑒 𝑥
𝑙𝑛𝑦 = 𝑥
𝑓(𝑥)−1 = 𝑙𝑛𝑥
𝐷 = (0, ∞ +); 𝑅 =/𝑅
10. Función logarítmica
• El rango corresponde a los números reales
• El dominio viene por la restricción del argumento
log 2 (𝑥 ) = 2
log 3 (9) = 𝑥 → log 3 (33 ) = 𝑥 → 2 = 𝑥
2𝑥 = 8 → 𝑥 = log 2 8 → 𝑥 = log 2 (23 ) → 𝑥 = 3
10.1. Propiedades de los logaritmos
1)log(𝑥 ∗ 𝑦) = log 𝑥 + log 𝑦
𝑥
2)log 2 (𝑦) = log 2 (𝑥 ) − log 2 (𝑦)
3)log(𝑥)2 = 2 log(𝑥 )
1
1
log 𝑥 = log 𝑥 2 = log √𝑥
2
4)log 2 (𝑥 ) =
log8(𝑥)
log8(2)
5)log 𝑎 (1) = 0
6)log 3 (32 ) = 2
Ejemplos
log 2 (2𝑥 + 1) = 3 → 2𝑥 + 1 = 23 → 2𝑥 = 8 − 1 → 𝑥 =
7
2
log 5 ((𝑥 2 + 𝑥 + 4) = 2 → 𝑥 2 + 𝑥 − 21 = 0 → 𝑥1 = 4,1; 𝑥2 = −5.2
2 log 5 (𝑥 ) = 3 log 5 (4)
→ log 5 (𝑥 2 )
= log 5 (43 ) → 𝑥 2 = 64 → 𝑥 2 − 64 = 0 → (𝑥 − 8)(𝑥 + 8) → 𝑥1 = 8
4𝑥 − 2𝑥 = 0 → 22𝑥 − 2𝑥 = 0 → 2𝑥 = 𝑥 → 𝑥 = 0
3
3
3𝑥 = 9𝑥 → 3𝑥 = 34 → 𝑥 3 = 2𝑥 → 𝑥 3 − 2𝑥 = 0 → 𝑥 (𝑥 2 − 2) → 𝑥 = 0, 𝑥
= √2, −𝑥√2
22𝑥 − 2𝑥 − 12 = 0 → 𝑡 2 − 𝑡 − 12 = 0 → (2𝑥 − 4)(2𝑥 + 3) → 2𝑥 = 4 2𝑥 = −3 → 𝑥
= log 2 4 = 𝑥 log 2 −3 → 𝑥 = 2
log 𝑥 (4) = 2 →
log 2 4
2
=2→
= 2 → 2 log 2 𝑥 = 2 →→ 𝑥 = 2
log 2 𝑥
log 2 𝑥
𝑥
𝑥
{𝑥 + 𝑦 = 30 𝑦 log 3 𝑥 − log 3 𝑦 = 3} → log 3 ( ) = 3 → ( ) = 33 → 𝑥 = 27𝑦
𝑦
𝑦
27𝑦 + 4 = 30 → 28𝑦 = 30 → 𝑦 =
15
15
405
→𝑥+
= 30 → 𝑥 =
14
14
14