Ayudantia algebra Lineal

MAT1203 Álgebra Lineal
Ayudantı́a 4
Matrices y propiedades
Jorge Faundes
1.
a) Una matriz M se dice idempotente si M 2 = M .
Pruebe que si A y B son matrices tales que A = AB y B = BA entonces son idempotentes.
b) Sea K una matriz invertible tal que K T = −K y que I − K sea invertible.
Si B = (I + K)(I − K)−1 , pruebe que B T B = BB T = I.
2. Sea A matriz

1 0

R=
0 1
0 0
de 4 × 4 y sea

0 2
0 1 
1 4
la matriz escalonada de A. Si ci denota la columna i-ésima de A y fi su fila i-ésima encuentre
la solución de los sistemas Ax = c1 + c2 + c3 + c4 , AT y = 2f1 − 3f2 + 5f3 .
3. Sea X de n × n. Demuestre que XA = AX ∀A ∈ Mn (R) si y sólo si X = λI para algún λ ∈ R.
4. Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) Si v1 , v2 ∈ Rn son LI tal que v1 , v2 6∈ Ker(A) para una matriz A de m × n, entonces los
vectores Av1 , Av2 son LI.
b) Sean A, B de n × n, entonces Im(AB) ⊂ Im(A).
c) Si A de m × n cumple AAT = 0 entonces A = 0.
d) Dados v1 , · · · , vn LI en Rn y w1 , · · · , wn en Rn , entonces existe una matriz A de n × n
tal que Avi = wi para cada i ∈ {1, · · · , n}.
1
Soluciones:
1.
a) Como A = AB sigue A2 = (AB)A = A(BA) = AB = A y de la misma forma
B 2 = (BA)B = B(AB) = BA = B.
Luego A y B son idempotentes.
b) Observemos que (I − K)(I + K) = I + K − K − K 2 = I − K 2 y que
(I + K)(I − K) = I − K + K − K 2 = I − K 2 .
Entonces, (I − K)(I + K) = (I + K)(I − K), e invirtiendo (¿por qué es I + K invertible?)
se obtiene (I + K)−1 (I − K)−1 = (I − K)−1 (I + K)−1 .
Ası́,
B T = (I − K T )−1 (I + K T ) = (I + K)−1 (I − K) y se tiene
B T B = (I + K)−1 (I − K)(I + K)(I − K)−1 = (I + K)−1 (I + K)(I − K)(I − K)−1 = I.
BB T = (I + K)(I − K)−1 (I + K)−1 (I − K) = (I + K)(I + K)−1 (I − K)−1 (I − K) = I.
2. Sabemos que la solución de un sistema es de la forma x = xp + xh .
Observamos que xp = (1, 1, 1, 1) es una solución particular del primer sistema, y de la escalonada reducida se obtiene xh =< (−2, −1, −4, 1) >.
Para el segundo sistema, notamos que las columnas de AT son LI, y por lo tanto el sistema
tiene solución única. Basta convencerse entonces que y = (2, −3, 5) es tal que
AT y = 2f1 − 3f2 + 5f3 , lo que es claro pues AT y es una combinación lineal de las columnas
de AT , es decir, las filas de A.
3. ⇐)
Supongamos X = λI, entonces AX = λAI = λIA = XA.
⇒)
Sea X = (ai,j ) y supongamos AX = XA para toda matriz A de n × n.
En particular,
consideremos
la igualdad anterior para


1 0 ··· 0
 0 0 ··· 0 


A= . . .
.
. . ... 
 .. ..

0 0 ··· 0
Se tiene



a1,1 0 · · · 0
a1,1 a1,2 · · · a1,n
 a2,1 0 · · · 0 
 0
0 ···
0 




XA =  .
.. . .
.. , AX =  ..
..
.. 
..
 ..


. .
.
.
.
.
. 
an,1 0 · · · 0
0
0 ···
0
Luego de la igualdad AX = XA se concluye que a1,j = aj,1 = 0 para todo j 6= 1.
De forma análoga, considerando la matriz Bk = (bi,j ) tal que bk,k = 1 y los demás elementos
de la matriz valen 0, se verifica que todo elemento fuera de la diagonal de X es 0.
Ahora, consideremos la matriz
2

0 1 0
 0 0 0

C= . . .
 .. .. ..
0 0 0
Se cumple
 que
0 a2,2
 0 0

CX =  .
..
 ..
.
···
···
..
.
0
0
..
.
···
0



.




0 ··· 0
0 a1,1 0 · · · 0
 0 0 0 ··· 0 
0 ··· 0 



.. . .
.. , XC =  ..
..
.. . .
.. 


. .
. . 
.
.
.
.
0 0 0 ··· 0
0 0 0 ··· 0
De donde, como CX = XC se concluye que a1,1 = a2,2 .
Análogamente, tomando la matriz Dk = (di,j ) tal que d1,k = 1 y los demás elementos son
nulos se concluye que a1,1 = ak,k para todo 1 ≤ k ≤ n.
Ası́, se tiene que X = a1,1 I, y entonces λ = a1,1 .
3