Historia de las matemáticas egipcias

UNIVESIDAD DE PANAMÁ
CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE LOS SANTOS
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
GÉNESIS Y EVOLUCIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS I
LA MATEMÁTICA DEL ANTIGUO EGIPTO
PRESENTADO A CONSIDERACION DE LA PROFESORA:
VIEMBENIDA IGUALADA
POR:
DE LEON, JUBILIER 6 – 716 - 2165
DÍAZ, KAINA 7 – 710 - 411
I SEMESTRE 2019
Modulo N° 1. Proceso de formación de las representaciones Matemáticas
98%
Instrumento para evaluar el trabajo escrito.
Excelente
Bueno
Por mejorar
Puntaje
Trabajo escrito contempla:
55 pts.
Puntualidad 2 pts.
Hoja de presentación (2
pts)
Introducción (3 pts)
Citas en el contenido a
desarrollar (10 pts)
Contenido (35 pts)
(material bien redactado,
organizado, bien
estructurado y con
creatividad-cada
apartado debe tener
todas asignaciones del
primer módulo.
Conclusión (2pts)
Bibliografía (2)
Entrega a la fecha
asignada (2pts)
Hoja de
presentación sin
errores (2 pts)
Originalidad en la
introducción y su
redacción
coherente, clara y
sin errores (3 pts)
Tiene mas de 6
citas bibliográficas
(10 pts)
los temas
desarrollados
contempla los
pasos indicados y
bien redactado
con detalles a
nivel profundo
(35 pts)
Entrega dos o 4 días
No entrega (0 pts)
después. (1 pts)
Por lo menos tiene dos Tiene 3 0 más
errores (1.5 pts)
errores (0, 5 pts)
2
Un 90% a 81% tiene
Originalidad y su
redacción en su
mayoría es coherente
y clara (2, 5 pts)
Tiene por lo menos 4
citas bibliográficas. (6
pts)
los temas
desarrollados
contempla la mayoría
de los pasos indicados
con la mayor parte de
detalles, pero a nivel
básico (28 pts)
Un 80% o menos
81% es Originalidad
y su redacción es
poca coherente, y
clara (1, 5 pts)
Tiene por lo menos
2 citas bibliográficas
(3 pts)
los temas
desarrollados
contempla algunos
de los pasos
indicados pocos
detalles a nivel
superficial (15 pts)
3
Originalidad en la
conclusión y su
redacción
coherente, clara y
sin errores (2 pts)
Presenta la
bibliografía
utilizando
correctamente las
normas apa (2
pts)
Un 90% a 81% tiene
Originalidad y su
redacción en su
mayoría es coherente
y clara (1, 5 pts)
Presenta la bibliografía
utilizando en su
mayoría las normas
apa ( 1 pts)
Un 80% o menos
81% es Originalidad
y su redacción es
poca coherente, y
clara (0, 5 pts)
No presenta la
bibliografía (0,5
pts.)
2
2
10
33
2
2
Tabla de contenido
1
2
Las matemáticas del antiguo Egipto ............................................................................................................6
1.1
Orígenes y evolución de la numeración egipcia en la antigüedad....................................................7
1.2
Orígenes de las matemáticas egipcias ............................................................................................ 10
1.3
Unidades de medida ........................................................................................................................ 12
1.3.1
Unidades de longitud:.............................................................................................................. 12
1.3.2
Unidades de área ..................................................................................................................... 16
1.3.3
Unidades de volumen .............................................................................................................. 18
1.3.4
Unidades de masa.................................................................................................................... 19
1.3.5
Fracciones en el antiguo Egipto............................................................................................... 21
Papiro matemático de Rhind (RMP). ........................................................................................................ 25
2.1
Multiplicación y división:................................................................................................................. 26
2.2
Tabla de 𝟐𝒏 ...................................................................................................................................... 29
2.3
Tabla de división por 10................................................................................................................... 32
2.4
Problemas varios contenidos en el Papiro de Rhind ...................................................................... 33
3
Papiro matemático de Moscú .................................................................................................................. 42
4
Conclusión ................................................................................................................................................ 54
5
Anexos ...................................................................................................................................................... 55
6
Trabajos citados........................................................................................................................................ 59
3
INTRODUCCIÓN
La matemática proviene del griego mathema que significa “estudio de un tema”. Y está
definida como una ciencia formal que estudia a través del uso de propiedades la relación
que se establece entre los entes abstractos (números, símbolos, figuras geométricas). La
matemática en si surge con la necesidad del ser humano de contar y medir todo aquello que
le rodea, dichas necesidades utilizadas por las sociedades cazadoras-recolectoras eran
más que nada para adaptarse, proteger sus bienes, distinguir los ciclos de la naturaleza,
para la alimentación y sobre todo la conservación de la vida.
La matemática ha sido cambiadas, perfeccionadas y modernizadas a través del tiempo, con
el objetivo de ser utilizadas para facilitar las actividades humanas.
La matemática fue evolucionando de diferentes maneras en las diversas civilizaciones del
mundo, cada una con un aporte significativo, los más representativos vienen de
civilizaciones tales como la babilonia antigua, la India antigua, la china antigua y el antiguo
Egipto todas con distintas maneras de escribir e interpretar la matemática,
El antiguo Egipto fue una civilización que se origino a lo largo del cauce medio y bajo del río
Nilo, se dividió en tres periodos denominados imperio antiguo, imperio medio e imperio
nuevo.
El imperio antiguo es un periodo comprendido del año 2686 al 2181 a.C., e integrado por
las dinastías III, IV, V y VI; alguno de los aportes de este imperio fue la consolidación política,
cultural y religiosa, por otro lado, la divinización absoluta del faraón le concedía un poder
político fuertemente centralizado.
Algunos personajes sobresalientes en el imperio antiguo fueron: el faraón Zoser, Imhoptep
(arquitecto de la pirámide escalonada del Saqqara), sumo sacerdote de Ptha, así como
también Keops, Kefrén y Micerino a quienes se les atribuyen las grandes pirámides de
Guiza.
El imperio antiguo finaliza en el reinado del faraón Pepy II (el cual duró 94 años), en donde
se debilita el poder real, y se descentraliza el sistema político entrando entonces a lo que
denominamos el primer periodo intermedio.
4
El imperio medio inicia del 2050 al 1750 a. C., aproximadamente, con la unificación del bajo
Egipto Mentuhotep II, dando fin primer periodo intermedio de Egipto y comienzo al segundo
periodo intermedio en el cual vuelve a disgregarse el poder en Egipto.
El imperio medio se caracterizó en lo artístico y cultural por la representación humanizada
de la realeza, en lo religioso la veneración al dios Amón y en lo comercial, la creación dos
centros comerciales el de Creta y la ciudad de Biblos, los cuales se basaban en la venta de
cerámica y el abastecimiento de madera a Egipto, entre otras.
El imperio nuevo comienza con la reunificación del bajo Egipto 1550 a. C., transcurre entre
el segundo periodo intermedio y el tercer periodo intermedio; se destacaron
económicamente en la explotación minera, además del comercio a gran escala. Este imperio
termina hacia el 1070 a.C., con la denominada guerra de los impuros, en la que Esmendes
se proclama faraón del bajo Egipto, mientras que Herihor se convirtió en soberano
independiente en el sur únicamente en el cargo religioso y con esto de da comienzo a el
tercer periodo intermedio de Egipto.
Los egipcios nos dieron diferentes aportes significativos en diversas ramas de nuestra vida,
pero sin duda uno de los mas grandes aportes fueron sus conocimientos matemáticos.
La matemática en el antiguo Egipto ha sido descubierta a través de los años al encontrar
variedad de restos y papiros en las cuales se demuestra su conocimiento matemático. Entre
los papiros destacan el papiro de Rhind o de Ahmés y el papiro de Moscú.
En este trabajo ampliaremos los conocimientos históricos-matemáticos del antiguo Egipto,
así como también el lenguaje utilizado para representarlo, operaciones llevadas a cabo y
problemas que se encuentran representados en el papiro de Rhind o de Ahmés y el papiro
de Moscú.
5
1 Las matemáticas del antiguo Egipto
[…] En su corazón, Ptah concebía el mundo y su lengua convertía sus pensamientos
en palabras. Al sonido de su voz el universo cambiaba. Los ocho dioses amorfos del
Ogdoad, incluyendo las aguas primales, la oscuridad, el caos, y el poder invisible; se
reunieron. Ahí formaron entonces el montículo primal, el primer pedazo de la Tierra.
El acto drenó el poder del Ogdoad y el montículo se volvió su tumba, pero su sacrificio
creó el lugar de nacimiento del sol, padre del panteón egipcio. Este montículo era el
centro de la tierra, el cual los egipcios creían que residía justo en medio de su nación.
Los egipcios llamaron al centro del mundo La mansión de la fuerza vital de Ptah, a la
cual los antiguos griegos tradujeron como “Aigyptos”, el origen de nuestra palabra
“Egipto”.
La magia de las palabras de Ptah crearon el mundo, y las palabras en el antiguo
Egipto tenían poder. Esto era especialmente cierto para los jeroglíficos, a los cuales
los egipcios llamaban las palabras de los dioses. (Reimer, 2014, pág. 1)1
De acuerdo a (Imhausen, 2016), aunque cierta evidencia sugiere que en Egipto, al
igual que en otras civilizaciones antiguas, la creación de la numeración y la escritura está
ligada a la contabilidad, en Egipto está presente con más fuerza el contexto religioso y
funerario en forma de tumbas. Sin embargo esto se atribuye a que la evidencia que
permitiría estudiar los orígenes de la numeración y la escritura en Egipto proviene de
templos y tumbas. Es decir, la evidencia de lugares que fueran asentamientos de la
población en general es inexistente, ya sea porque dichos asentamientos quedaron
enterrados bajo civilizaciones más modernas, o porque los presuntos asentamientos del
antiguo Egipto se encontraban a orillas del Nilo, donde cualquier evidencia se deterioraría
después de varios milenios expuestos a inundaciones y humedad. En cambio, los templos
y tumbas se encuentran preservados en el desierto, por lo que la evidencia se conserva
mejor.
En base a las evidencias actuales se estima que la escritura fue inventada en Egipto
al final del cuarto milenio AC. A esto sirve de base evidencia encontrada en la presunta
tumba del Rey Escorpión I, donde se halló la evidencia más antigua de escritura egipcia.
Entre otras cosas, se hallaron recipientes de cerámica con grabados de un escorpión,
algunas de ellas con combinaciones de símbolos abstractos que se piensan fueron
representaciones numéricas.2 3 Sin embargo, se cree que la evidencia encontrada en la
tumba no es la escritura más antigua, sino que esta fue producto de la evolución a lo largo
de los años. Asumiendo que la interpretación de la evidencia encontrada en esta tumba es
correcta, parece ser que la escritura surgió por necesidades administrativas, donde la
invención de una notación numérica es casi una necesidad. Sin embargo, aunque los
jeroglíficos eran grabados de tal forma que perduran por milenios demostrando así la
importancia que tenían estos escritos para los egipcios antiguos, los escritos para labores
administrativas tenían que hacerse rápido, por lo que se dio origen a un segundo estilo de
escritura que usaba símbolos abreviados que podían ser ligados unos con otros y que eran
1
Ver anexo 1.
Ver anexo 2.
3
Ver anexo 3.
2
6
escritos con pincel y tinta sobre papiros u ostracas. El nombre que recibe este segundo
estilo es hierático.
1.1 Orígenes y evolución de la numeración egipcia en la antigüedad.
Según (Reimer, 2014), no hay
matemática escrita en jeroglíficos, aunque
los números fueron usados para la
ocasional fecha o cantidad. Como la
mayoría de los sistemas de numeración,
los antiguos egipcios usaron una línea
vertical para representar al 1. Esta práctica
tiene decenas de miles de años y parece
que comenzó cuando cazadores y
recolectores usaron ramas o huesos
marcados para registrar cantidades. Los
egipcios mantuvieron este estilo para Figura 1: sistema de numeración para los números
representar cantidades del 1 al 9. A del 1 al 9
diferencia de la cultura mesopotamia que
agrupaban sus “l” en patrones específicos, los egipcios no se preocupaban de la orientación
de estos símbolos, pudiendo estar en diferentes orientaciones sin que cambiara su
significado.
Para los egipcios, un símbolo
podía representar un sonido en
particular, o podía representar al
propio objeto que describía el
símbolo. Para distinguir entre los dos,
los egipcios agregaban la marca “l”
debajo del símbolo para indicar que
hablaban del objeto que representaba
Figura 2: Un pez y varios peces. (Reimer, 2014, pág. 3)
el símbolo, y agregaban la marca “lll”
para indicar que se referían a muchos
de estos objetos. Si debajo del símbolo no estaba ninguna de estas marcas, se asumía que
el símbolo debía ser interpretado solo como un sonido.
Para representar números mayores a 9, los antiguos egipcios se valieron de símbolos
representando cada uno a una potencia de 10, como se observa en la siguiente tabla:
7
Tabla 1: sistema de numeración del antiguo Egipto en base a potencias de 10
Símbolo jeroglífico
4 5
Número de Gardiner6
Valor absoluto
Z1
1
V20
10
V1
100
8
M12
1 000
D50
10 000
I8
100 000
C11
1 000 000
F35
D35
Parafraseando a (Imhausen, 2016); los egipcios acostumbraban escribir estos
jeroglíficos en orden descendente de la mayor a la menor potencia de 10, y con el paso del
tiempo, fueron abreviando la forma en que escribían sus números usando jeroglíficos (ver
figura 3). Se observa que el sistema de numeración del antiguo Egipto no tiene un carácter
para el 0, y es que dado que tenían símbolos para las distintas potencias de 10, no les era
4
(Imhausen, 2016, pág. 19)
(Wikipedia)
6
Ver anexo 4 para una breve información sobre la lista de Gardiner.
5
realmente necesario en la escritura. Para los casos en que necesitaran representar
cantidades nulas, usaban el jeroglífico (F35) que significa “bueno”, “perfecto”, y en otros
casos “falta de”; o también usaban el jeroglífico (D35) con significado “que no es”. Ambos
símbolos aparecen respectivamente en la tabla 1.
9
Figura 3: (a) Número 125 157 escrito en jeroglíficos. (b) (Imhausen, 2016, pág. 21) Número 925 157,
como fue descubierto en el Pergamino matemático de Lahun XLV.1 (UC 32161).
En la parte figura anterior, la parte (a) representa la rescritura del número 125 157
usando jeroglíficos. Obsérvese que tal como fue mencionado anteriormente, los símbolos
no necesariamente tenían que estar unos al lado de otros, sino que podían estar apilados
unos sobre otros. La parte (b) es el número 925 157 como aparece escrito en Lahun XLV.1.
Se observa la presencia de 9 líneas bajo el primero de los símbolos. Esto se hizo para
indicar que se multiplicaba el valor de dicho símbolo 9 veces. La evidencia muestra que este
tipo de escritura multiplicativa aparece del reino medio (1975 AC) en adelante.
Hasta el momento, la escritura hierática
solo ha sido mencionada, pero recuérdese que
esta era la escritura usada con mayor
frecuencia por los escribas, pues los
jeroglíficos eran muy tediosos (y sagrados)
para ser escritos con regularidad y velocidad.
La escritura hierática variaba de escriba a
escriba, y cambió mucho a lo largo de los años;
pero de forma general, puede apreciarse que
en la figura 4 para dibujar un 2, los escribas
simplemente no levantaban el pincel al dibujar
Figura 4 (Reimer, 2014, págs. 4,5): Transiciones
ambas líneas (similar a una u moderna) del jeroglífico a hierático. (a) Caso del dos. (b)
mientras que para dibujar un 7, dibujaban una Caso del 7.
raya horizontal representando cuatro líneas,
luego bajaban en diagonal y hacían dos zigzag que representaban 2 líneas más, finalmente
un último pincelazo hacia abajo para agregar la línea que faltaba, sumando así 7. (Reimer,
2014)
1.2 Orígenes de las matemáticas egipcias
Tal como se mencionó anteriormente, aun si la mayor parte de la evidencia (y la más
antigua) proviene de contextos religiosos y funerarios, esto no significa que solo en estos
ámbitos manejaron los egipcios la matemática. De acuerdo a (Clagett, 1999) los más
primitivos usos de la matemática residían en contar posesiones, productos, prisioneros y
más. Las medidas de longitud se desarrollaron a partir de partes del cuerpo, las medidas
usadas para granos y líquidos surgieron del uso de recipientes comunes, tales como tazas
y jarras para granos y cerveza, y silos y sacos para cantidades más grandes de granos. El
conteo de la repetición de fenómenos naturales como el día y la noche y otros fenómenos
naturales llevaron a la confección de medidas convencionales de tiempo como meses, días,
años y semanas.
Citando a (Clagett, 1999): “El refinamiento de las medidas lineales en censos y
construcción llevaron a la invención de reglas con escala7 […] para mediciones cortas y
cuerdas para medidas más largas que sirvieran a constructores y topógrafos.” (Clagett,
1999, págs. 1,2)
Clagget también considera que a menos un estímulo para el desarrollo de la
topografía (geometría práctica) entre los egipcios fue la de medir la tierra luego de las
inundaciones anuales del Nilo. Así, indica que esto parece ser corroborado por Heródoto 8,
en una narración de la actividad durante el reinado del faraón Sesotris en el Reino Medio:
Fue este rey, además, quien dividió la tierra en lotes y dio a todos un pedazo cuadrado
de igual tamaño, del producto del que calculó la tasa anual. Cualquier hombre cuyo
patrimonio fuera dañado por el crecimiento del rio, iría a declarar su pérdida ante el
rey, quien enviaría inspectores a que midieran la magnitud de la pérdida, para que el
[el hombre] pagara en un futuro una proporción justa del impuesto a que su propiedad
había sido avaluada. Tal vez esta fue la forma en que la geometría fue inventada y
llevada luego a Grecia… (Clagett, 1999, pág. 2)
Esto también es mencionado por (Singh, 1997/2011):
Viviendo en el sexto siglo AC, Pitágoras ganó sus habilidades matemáticas en sus
viajes a través del mundo antiguo. Algunos relatos nos hacen creer que viajó tan lejos
como India y Bretaña, pero lo que es más certero es que reunió muchas técnicas y
herramientas matemáticas de los egipcios y los babilonios. Ambas civilizaciones
antiguas habían ido más allá de los límites del simple conteo y eran capaces de
realizar cálculos complejos que les permitieron crear sistemas sofisticados de
contabilidad y construir edificios elaborados. […], la motivación detrás del
descubrimiento de algunas de las reglas básicas de geometría fue la de permitir la
7
Ver anexo 5.
Heródoto (484 AC – 425 AC) fue un antiguo historiador Griego nacido donde se encuentra la actual Bodrum, Turquía.
(Varios, Wikipedia, s.f.)
8
10
reconstrucción de los límites de terreno que fueron perdidos en la inundación anual
del Nilo… (Singh, 1997/2011, págs. 7,8)
En los anales reales de piedra9 en la sección dedicada al segundo monarca del
antiguo Egipto, se encuentra el primer registro de la práctica de medir, cada año, la mayor
altitud alcanzada por la inundación anual del Nilo; y en periodos posteriores, se encuentran
mediciones tan finas como “4 codos, 2 palmas, 2 2/3 dedos”. También en los anales hay
numerosas referencias de inspecciones del terreno para el dibujo de planta o “estiramiento
de la cuerda” como el primer pasó de la construcción de templos y mansiones (ver figura 5).
Otra evidencia también indica que las medidas terrestres eran tan reconocidas que se
usaban para la transferencia de tierras. (Clagett, 1999)
11
Figura 5: Obreros llevando una cuerda para medir. Pintura en estuco de la tumba de Djeserkaseneb en el
reino de Tutmosis IV (siglo 14 AC). (Clagett, 1999, pág. 437)
Según (Clagett, 1999), los ejemplos existentes del uso práctico de la matemática por
los antiguos egipcios no dicen mucho sobre la fecha de origen de los sus procedimientos
matemáticos, pero a menos indican la probabilidad que para ese período ya debía existir
una buena cantidad de reglas aritméticas y geométricas.
9
Ver anexo 5 para ampliar información sobre los anales.
1.3 Unidades de medida
El desarrollo de la metrología constituyó la fundación del control cuantitativo de los
recursos agrícolas, la cual permitió los progresos culturales del antiguo Egipto.
Nótese que mientras algunas unidades permanecieron igual y fueron usadas durante
la historia egipcia, otras se volvieron obsoletas o cambiaron. (Imhausen, 2016, pág.
41)
1.3.1 Unidades de longitud:
De acuerdo a (Imhausen, 2016), la unidad básica de medida era el codo, el cual se
derivaba de la longitud del antebrazo de una persona. Basándose en codos extraídos, la
literatura moderna indica que un codo mide en promedio 52.5 cm. Sin embargo la mayor
parte de la evidencia con la que se obtuvo este promedio viene del nuevo reino (1600 AC –
1100 AC) por lo que no se puede aseverar que existiera un codo con esta misma medida
en periodos anteriores. Imhausen también destaca que existían variaciones dependiendo
de la localidad.
El codo se dividía en palmas, las cuales se dividían en 4 dedos. El “codo pequeño”
correspondía al antebrazo y se dividía en 6 palmas (o 24 dedos), pero en arquitectura la
unidad de medida generalmente adoptada era el “codo real” correspondiente a 7 palmas (o
28 dedos). Los mejores resultados de interpretación de construcciones del antiguo Egipto
han sido alcanzados adoptando el codo para explicar el diseño de los edificios. De hecho,
parece que los egipcios de la antigüedad generalmente hacían sus planos en base a simples
números de codos, palmas y dedos. (Rossi, 2006)
El codo era usado para longitudes pequeñas, mientras que el khet, equivalente a 100
codos, se usaba para mediciones de terreno; y el ater (medición de río) equivalía a 20 000
codos y era la medida más grande usada para grandes terrenos o para propósitos de
itinerario. (Clagett, 1999)
Clagget también se refiere a una descripción hecha por Susan K. Doll, donde ella
habla de la existencia de un codo real perteneciente a Maya (anexo 5). En esta descripción
se observa la forma en que se encontraba subdividido el Codo de Maya 10, en orden
descendente: codo real (7 palmas), codo (también llamado codo corto o pequeño y
equivalente a 6 palmas), remen (5 palmas). Detengámonos aquí para realizar las siguientes
operaciones en cálculos modernos:
10
y en otros codos reales encontrados que datan del Nuevo Reino (1600 AC – 1100 AC). (Rossi, 2006, pág. 61)
12
Recordando que 1 codo real = 7 palmas.
Tómese un triámgulo rectángulo de lados:
a  7 palmas y b  7 palmas
a 2  b2
72  72
98


 4.9497 palmas
2
2
2
Figura 6: triángulo rectángulo
Se aprecia entonces que un remen es
aproximadamente igual a la longitud de la mitad de la diagonal de un cuadrado de lados de
1 codo. Para (Clagett, 1999), de este hecho empírico se han hecho alegatos exagerados de
que los egipcios tenían conocimiento del teorema de Pitágoras, el cual fue expresado como
parte de una estructura lógica con definiciones, postulados y axiomas nunca alcanzados o
especificados por los geómetras egipcios. Pero de hecho, la inclusión del remen junto con
otras unidades lineales fue una conveniencia que permitió la colocación de áreas cuadradas
y sus fracciones.
Se destaca también que en una de las descripciones de Susan Doll, ella mencionaba
un codo real donde cada número era presidido por uno de los dioses egipcios, notándose
así lo sagrado de los números (como fue mencionado anteriormente) y, según (Clagett,
1999), la conexión entre la religión y la ciencia para ellos.
Un ostracón11 (figura 7,
izquierda), presuntamente de
la tercera dinastía, muestra el
uso del sistema de codos.
Parafraseando a (Imhausen,
2016) el mismo probablemente
representa un techo arqueado,
indicando su altura a varios
puntos. Según las mediciones
anotadas en el grabado, el
Figura 7: Izquierda: ostracón (Cairo JE50036). Derecha: bosquejo
punto más alto de este arco geométrico.
media 3 codos, 3 palmas y 2
dedos (aproximadamente 183.8 cm); mientras que en su punto más bajo medía 1 codo, 3
palmas y 1 dedo (aprox. 76.9 cm). La (figura 7, derecha) muestra un bosquejo del ostracon,
y al intentar confeccionarlo se muestra una interrogante: ¿qué distancia hay entre cada
medida? El bosquejo de la figura fue hecho asumiendo que las mediciones eran
equidistantes y que además, dicha distancia era de un codo real entre cada medición. Con
estas asunciones, se observa lo similares que resultaron el dibujo plasmado en el ostraca y
el bosquejo, pero esto no elimina el hecho de que en el ostracon no se indicaba escala
alguna. Pero (Rossi, 2006, págs. 112,113) afirma “Si la forma del objeto a ser representado
era clara, un bosquejo al ojo podía reproducir las proporciones con un impresionante grado
de exactitud, sin ser necesariamente un dibujo calculado a escala y a conciencia”.
11
Ver anexo 7 para una definición del concepto.
13
Así entonces para (Rossi, 2006), a diferencia de los planos modernos en que se
puede calcular las dimensiones de un objeto midiéndolos en el plano, pues los planos están
a escala; la mayoría de los planos sobrevivientes del antiguo Egipto muestran otra realidad.
Estos planos consisten de dibujos más o menos elaborados donde las dimensiones
simplemente eran escritas al lado de las partes a las cuales se referían. Nos indica Rossi
entonces que solo en ciertos casos algunos elementos del plano parecen corresponder con
la medida asignada, es decir, parecen estar a escala; pero en la misma representación otras
partes no siguen esta regla.
Luego (Imhausen, 2016)
menciona que en el caso del
bosquejo de la (figura 7,
derecha) las mediciones fueron
asumidas a un codo de distancia
entre
cada
una y esto
posiblemente
fue
una
convención de los antiguos
egipcios y por tanto no hacía
falta anotarlo. A pesar de todas
las suposiciones sobre escalas,
se aprecia que los antiguos
egipcios eran capaces de dibujar
una línea curva de carácter
matemático midiendo diferentes
alturas en distintos puntos.
Otros usos que se le
dieron al sistema del codo han
sido
encontrados
en
representaciones de comercio y
de la administración de los
granos. La figura 8 muestra dos
dibujos de escenas plasmadas
en la tumba de Nianch-Chnum y
Chnumhotep. En el proceso de
la cosecha del grano, a veces se
muestra que se apila en un Figura 8: Escenas de la tumba de Nianch-Chnum y Chnumhotep
(Imhausen, 2016, págs. 45,46)
montículo como el de la escena
en la parte superior de dicha
figura. El texto que acompaña este grabado en la tumba es: “Apilando un montículo de 60
codos”. La parte inferior de la figura muestra una escena sobre la venta de un pedazo de
tela, medida en codos, y lleva el comentario: “1 + x codos de tela por el pago de 6 shat. Les
digo enserio – es una tela de netjeru12, trabajo realmente cuidadoso.” Toda la información
presentada muestra el amplio uso que se le daba al sistema del codo, y fue este el que dio
origen a un sistema para la medición de áreas. (Imhausen, 2016)
12
Netjeru, plural de Netjer, podría traducirse como “dioses” en egipcio antiguo (Kemetic Orthodoxy)
14
Tabla 2: Lista de unidades de longitud del antiguo Egipto13
14 15
Equivalencia
Valor en el sistema
métrico
Codo Real
7 palmas
52.5 cm
Codo
6 palmas
45 cm
Remen
5 palmas
37.5 cm
Djeser
4 palmas
30 cm
Ancho de la mano
(grande)
32 palmas
25 cm
Ancho de la mano
(pequeño)
3 palmas
22.5 cm
Nombre
Símbolo
1
1
Palma
7
Dedo
28
codo real
1
codo
6
1
codo real
1
palma
4
7.5 cm
1.875 cm
Khet (vara) o cuerda
de vara
100 codos
52.5 m
Medida del río
20 000 codos
10.5 km
Pie16
13
9 cm
(Rossi, 2006, pág. 61)
(Wikipedia) Ancient Egyptian units of measurement
15
Hay discrepancia en la información contenidas entre las fuentes citadas, sin embargo, a excepción de los símbolos, la
información aquí presentada fue obtenida en (Rossi, 2006, pág. 61)
16
Según (Rossi, 2006, pág. 61), es una medida dudosa pues solo aparece 2 veces en la quinta dinastía (aprox. 2500 AC
– 2450 AC).
14
15
1.3.2 Unidades de área
Las unidades de área están estrechamente relacionadas con aquellas de longitud;
siendo el codo la unidad básica de área durante el viejo reino. El codo entonces consistía
del área de 1 codo x 1 codo. Para ver un sumario de las unidades usadas en este período
vea la tabla 3.
Tabla 3: Unidades de área del antiguo Egipto durante el viejo reino
Nombre
Codo
Símbolo
Equivalencia en
codos
17 18
Relación
en
unidades
de tierra
1x1
Equivalencia en
el sistema
métrico (𝑚2 )
16
0.275625
Sa
(octavo)
1
8
3.4456
Unidad de
contabilidad
(cuarto)
1
4
6.8913
Hombro
(medio)
1
2
13.783
Ta
(unidad de
tierra)
10 x 10
27.565
Kha
(mil)
10 x 100
275.65
Setat
(Aroura19)
100 x 100
2 756.5
Evidencia del uso de estas unidades en el viejo reino aparecen en la tumba de Metjen,
el cual era un monarca de un nome20 en el antiguo Egipto. Su tumba en Saqqara está
decorada con títulos alcanzados y documentos oficiales, sus posesiones y sus ganancias.
El cuarto decreto de su tumba lee [adiciones en corchetes]:
Decreto IV
(Al) supervisor de comisiones del cuarto/quinto y tercer nome del bajo Egipto:
17
(Imhausen, 2016, pág. 47)
(Wikipedia), Ancient Egyptian Units of Measurement
19
Aroura es el término griego para referirse al setat (Clagett, 1999, pág. 12)
20
La palabra nome es el término griego para cada una de las 42 provincias del antiguo Egipto. El término egipcio era
“sepat” (Hill, 2010)
18
12 ‘fundaciones de Metjen’ [el equivalente moderno de una fundación sería la
bendición de la obra al inicio de su construcción] han sido fundadas para él en el
cuarto/quito, sexto y segundo nomes del bajo Egipto (junto con) sus productos para
él en el comedor. Estos han sido comprados por 20 arouras de tierra de varios
colonialistas reales, (junto con) 100 porciones de ofrecimientos funerarios que viene
a diario de la capilla de las almas de la Real Madre Nymaathap (y con) una propiedad
amurallada de 200 codos de largo y 200 codos de ancho, proporcionada con finos
árboles, una gran piscina hecho en esta; y fue plantado con árboles de higo y vides.
Está escrito en un documento real, y sus nombres están (escritos igualmente) en
(este) documento real. Los árboles y las vides fueron plantados en gran número, y el
vino de ese lugar fue producido en gran cantidad. Un jardín fue hecho para él en tierra
de 1 kha y 2 ta [unidades de tierra] dentro de la propiedad, el cual fue plantado con
árboles. (…) (Imhausen, 2016, pág. 47)
Esto entonces documenta la existencia de las unidades de área, y por tanto la
práctica de la medición de tierras, en el viejo reino. Según (Imhausen, 2016), de esto se
puede pensar que en este período ya tenían la habilidad de calcular áreas de rectángulos y
otras figuras geométricas. Se destaca entonces que hay diferencias entre las unidades del
viejo reino las usadas en el medio y nuevo reinos. En el viejo reino las unidades pasaron a
ser las siguientes (pase a la siguiente página):
Tabla 4: Unidades de área posteriores al medio reino en el antiguo Egipto
Nombre
Símbolo
Equivalencia en
codos
21 22 23
Relación en
setat
Equivalencia en
el sistema
métrico 𝑚2
Mehta
1 x 100
27.565
Setat
100 x 100
(Conformada a
ahora por 100
Mehta)
2 756.5
En este período, las unidades para octavo, cuarto, medio y mil pasaron a referirse al
setat en lugar de a la unidad de tierra
1
8
Sa
Continúa en la siguiente página.
21
(Imhausen, 2016, pág. 46)
(Rossi, 2006, pág. 61)
23
(Wikipedia)Ancient egyptian units of measurement
22
345
17
Heseb
1
4
689
Remen
1
2
1 378
10
27 565
Kha ta
(Mil)
1000 x 100
1.3.3 Unidades de volumen
18
Comentando a (Imhausen, 2016), la evidencia disponible del uso de medidas
volumétricas en el viejo reino se refiere a cantidades de grano, pues no existe evidencia de
grandes construcciones durante el viejo reino.
Según (Clagett, 1999) entonces, quien no se refiere en particular al viejo reino, existían 2
sistemas que a menudo se mezclaban en problemas concernientes a las medidas del
espacio para granos o líquidos, siendo estos sistemas el codo cúbico y el hekat. Evidencia
de estos sistemas aparecen en el Papiro Matemático de Rhind. Permítaseme ahora la
inclusión de comentarios por un editor que trabajó en el Papiro matemático de Rhind:
La unidad de volumen o capacidad, usada especialmente en la medición del grano,
era el hekat, que puede ser determinado como 292.24 pulgadas cúbicas [4.8 l] (…).
Esto se dividía en 320 partes llamadas ro pero los egipcios también usaban como
1
fracciones de hekat aquellas cuyos denominadores fueran potencias de 2 hasta ,
1
64
64
de hekat siendo 5 ro. Esta serie de fracciones era peculiarmente adaptada a la
multiplicación, doblando o partiendo a la mitad. Se escribían en una notación especial
y han sido llamadas las fracciones del ojo de Horus.
[…] Cuando la cantidad era mayor o igual a 100 hekat, el símbolo era escrito con el
número de cientos antes de él, y los símbolos para cualquier número inferior de
1
1
hekats después de esto. También 50 o 25 hekats eran escritos como 2 o 4. Los
números enteros de hekats eran seguidos por Fracciones del Ojo de Horus y por ro
y fracciones de ro. […] (Clagett, 1999, págs. 14,15)
Se destaca que las unidades variaron a medida del paso del tiempo. Un resumen de
las unidades se expone en la tabla 5.
Tabla 5: Unidades de volumen en el antiguo Egipto24
25 26
Equivalencia en
Hekats
Equivalencia en el
sistema métrico (l)
Ro
1
320
0.015
Dja
1
15
0.33
Hinu
1
10
0.48
Hekat
1
4.8
Doble hekat
2
9.6
Cuádruple Hekat
4
19.2
Khar
(saco)
10 (viejo y medio
reino)
20 (Papiro de
Rhind27)
16 (20va dinastía en
adelante28)
48 (viejo y medio
reino)
96 (Papiro de
Rhind)
76.8 (20va dinastía
en adelante)
Deny
(codo cúbico)
30
144.7
Nombre
Símbolo
1.3.4 Unidades de masa
El peso fue mayormente usado para medir la cantidad de piedras preciosas y
metales. La unidad básica de masa es el deben. Durante el viejo reino, este pesaba
aproximadamente 13.6 gramos. El deben prácticamente no se menciona en los textos, pero
hay miles de ejemplares de las pesas que usaban para medir estas cantidades. Las pesas
a menudo estaban hechas de materiales preciosos como serpentina, alabastro y piedras
semipreciosas. Las más datan de períodos antes de la existencia de las dinastías, indicando
que el origen de un sistema metrológico que antecede al viejo reino. El hecho de que se
usasen materiales preciosos para la confección de las pesas, que además se escribiera el
24
(Rossi, 2006, pág. 61).
(Imhausen, 2016, pág. 49).
26
(Wikipedia) Ancient Egyptian Units of Measurement.
27
Tomando en cuenta el origen del Papiro de Rhind, se deduce la fecha aproximada de 1844 AC – 1797 AC).
28
La 20va dinastía duró de 1189 AC a 1077 AC.
25
19
nombre del actual rey sobre ellas, muestra la importancia que tenía esta medida; mientras
que otras medidas como longitud o área se basaban en la comparación de un objeto con
otro, el proceso de pesar algo es más difícil de controlar pues depende no solo de la pesa
sino de la balanza. Ambas podían ser manipuladas, por lo que se presume que la escritura
de un nombre real (supuestamente el del rey que reinara en ese momento) indicaba que el
“peso de la autoridad” estaba vinculado al pesaje.
20
Figura 9: Izquierda: pesa de 6 deben (UC 34793). Derecha: Pesa inscrita con
un nombre de la realeza. (Imhausen, 2016, pág. 50)
Tabla 6: unidades de masa (peso) en el antiguo Egipto.
Nombre
Símbolo
1
12
Kedet
(kite)
1
10
(Rossi, 2006, pág. 61)
(Wikipedia), Ancient Egyptian Unis of Measurement
31
(Imhausen, 2016, pág. 49)
30
Equivalencia en
debens
Schemati
Deben
29
29 30 31
1
Equivalencia en el
sistema métrico (g)
13.6 (viejo y medio
reinos)
27.3 (de cobre)
91 (nuevo reino)
1.3.5 Fracciones en el antiguo Egipto
Las fracciones del antiguo Egipto son de las partes más características de la
matemática egipcia. Las mismas fueron tratadas como algo que distinguía las matemáticas
egipcias a las de cualquier civilización, pero a la vez, fueron vistas como torpes, al punto en
que se les culpa del nivel inferior de las matemáticas egipcias en comparación con otras
sociedades. Sin embargo, para (Imhausen, 2016), si uno sigue el desarrollo del concepto
de fracción en el antiguo Egipto y se le intenta entender sin compararlo con el sistema
moderno, se puede ver que las fracciones egipcias no son un fallo que truncaron el
desarrollo de las matemáticas, sino como la evolución de un sistema matemático en un
campo nuevo.
2
Las fracciones egipcias, salvo
3
y
3
4
, eran todas
fracciones con numerador 1, por decirlo en términos modernos.
Y es que los egipcios no usaban un concepto de “numerador”,
y así sus fracciones difieren enormemente de las actuales.
2
3
Para representar las fracciones 3 y 4 se usaban símbolos
especiales que significaban “dos de tres partes” y “tres de
cuatro partes” respectivamente. En jeroglíficos, las fracciones
con… “numerador” 1 se escribían usando el símbolo que
1
significa “parte”
para representar lo que en la actualidad Figura 10: 4 escrito en
sería el numerador 1 y debajo del símbolo se coloca en jeroglíficos (Reimer, 2014, pág.
14)
números la cantidad de partes de las que se habla, algo similar
a un denominador en una fracción moderna. La misma práctica
se usaba en escritura hierática, con la diferencia de que el símbolo
era reemplazado
por un punto en la parte superior de los números. Sin embargo esta práctica solo aplicaba
a partir de los “denominadores” 3 en escritura jeroglífica y 5 en escritura hierática. Las otras
fracciones con denominadores más pequeños que estos tenían símbolos especiales con
una escritura diferente. (Clagett, 1999)
Parafraseando a (Ifrah, 2000), tal como se dijo en el párrafo anterior, los números
que indicaban la cantidad de partes a representar, en términos modernos el denominador
de una fracción, se colocaban debajo del símbolo que significa “partes” (ro), sin embargo,
como se ve en la (figura 11, derecha) esto cambia si el número a escribir ocupaba
demasiado espacio como para escribirlo debajo.
Figura 11: A la izquierda se ve la fracción
jeroglíficos, la fracción
1
2020
1
20
escrita en jeroglíficos. A la derecha, también en
21
Ahora para entender por qué se considera como algo extraño el sistema de fracciones
del antiguo Egipto, veamos la siguiente cita que, francamente, nos ha hecho reír:
No podemos comprender, que humanos, cuando dividieron 5 entre 7 y de esta forma
11111
obtuvieron 7 7 7 7 7 , como los antiguos egipcios, no procedieron a sumar estos 5
5
elementos similares para encontrar la mucho más simple expresión 7,… No podemos
2 1
entender, como alguien puede saber que lo que expresa por 3 15 forma 11 partes, que
pueden ser completadas a un entero por 4 partes, pero no le llama
11
. (Imhausen,
15
2016)32
22
Tabla 7: Notaciones de las fracciones con símbolos especiales
Valor
33 34
Hierático
Jeroglífico
1
4
1
2
2
3
3
4
Otto Neugebauer diseñó un sistema que imita la representación fraccionaria del
antiguo Egipto. En este, las fracciones (según los antiguos egipcios, los inversos de los
enteros) se representan colocando una barra sobre el número que haría las partes del
1
̅̅ sería 1 . Una excepción
denominador de una fracción con numerador 1. Así, 3̅ sería 3 y ̅̅
20
20
2
a esta representación es 3̿ el cual viene a representar 3. 35
32
Traducción al inglés de Imhausen de Sethe, Zahlen und Zahlworte, p 60. Traducción al español para esta obra.
(Imhausen, 2016, pág. 53)
34
(Ifrah, 2000, pág. 169)
3
35
Para esta obra no se ha encontrado una fuente que lo confirme, pero se especula que 4̿ representa a .
33
4
1.3.5.1
Fracciones del Ojo de Horus
A pesar de que esta sección está en mitad del documento, fue escrita al culminar lo
demás, incluso después de hacer un borrador de la conclusión final. El motivo es el
carácter… incierto de esta sección
̅̅̅ y ̅̅
̅̅ de un hekat son
Según (Robins & Shute, 1987, pág. 14) las partes 2̅, ̅4, ̅8, ̅̅̅̅̅
16, ̅32
64
conocidas como fracciones del Ojo de Horus porque eran escritas con símbolos distintivos
que se asemejan a las partes del Ojo de Horus.
23
Figura 12: En la parte superior se observa un diagrama del ojo de Horus con los respectivos valores que
se le asignan. Abajo, los símbolos que componen el ojo de Horus y de forma intercalada su representación
hierática. (Robins & Shute, 1987, pág. 14)
El concepto de Fracciones del Ojo de Horus está presente en numerosos libros y se
dio por hecho durante décadas. Sin embargo, estudios realizados en evidencia publicada
recientemente y basándose en la historia de dicha interpretación (la cual es similar al juego
en que una cadena de personas se pasan un secreto) indican que en realidad, tal concepto
no formaba parte del sistema de submúltiplos de un hekat, de hecho, podría decirse que es
tan parte de este sistema como la frase “todos los senadores toman Coca-Cola” es parte de
la trigonometría. Es decir, la evidencia moderna indica que, a lo mucho, las fracciones del
Ojo de Horus fueron usadas por algunos escribas en el nuevo reino de forma similar a la
frase mencionada, y niega entonces la idea presente en los libros durante décadas de que
las Fracciones del Ojo de Horus forman parte intrínseca del sistema del hekat y que además
su uso data desde los orígenes del sistema de medidas de los egipcios.
Para informarse más al respecto, se recomienda la lectura de Under One Sky (Steele
& Imhausen, 2003, págs. 298 - 323), libro que es una recopilación de artículos científicos.
La sección en particular concerniente a las fracciones del Ojo de Horus, fue escrita por Jim
Ritter. El artículo también está disponible en la página Research Gate (Ritter, 2003).
24
2 Papiro matemático de Rhind (RMP)36.
El papiro de Rhind es el documento más completo en existencia. Consta de 86
“problemas” y varias tablas y posee numeraciones que hasta el momento llegan al número
87. Fue encontrado en la cuenca oeste del Nilo en Tebas, en un pequeño edificio. Fue
comprado por Alexander Henry Rhind en 1858. Tras la muerte de Rhind, el pergamino fue
vendido al Museo Británico en 2 pedazos con un vacío de 18 cm de largo entre ellos, en el
año 1865. En 1922 se descubrieron nuevos fragmentos pertenecientes al bache entre los
pedazos ya descubiertos. Estos fragmentos fueron adquiridos por Edwin Smith y finalmente
fueron a dar al Museo de Brooklyn, donde permanecen hoy día.
Las dos piezas que se encuentran en el Museo Británico son catalogadas como EA
10057 y EA 10058 y tienen las dimensiones de:
EA 10057: 295.5 cm de largo por 32 cm de ancho
EA 10058: 199.5 cm de largo por 32 cm de ancho
Figura 14: Fotografía del pedazo frontal
izquierdo de EA 10057 (The British Museum,
s.f.)
Figura 13: Fotografía de los fragmentos en
exhibición en el Museo De Brooklyn (Brooklyn
Museum, s.f.)
El papiro de Rhind no es de los más antiguos en cuanto a evidencia del antiguo
Egipto se refiere, pues su escriba, Ahmose, data la fecha de escritura como “año del reino
33, mes 4 de [la estación] Akhet, [bajo su majestad] el Rey del [Alto] y Bajo Egipto
Awserre” (Clagett, 1999, pág. 113) es decir, en el reinado del Rey Apophis durante 1585 –
1542 AC. Sin embargo, Ahmose también aclara: “de una antigua copia hecha en el tiempo
del Rey del Alto [y bajo] Egipto [Nym]atre”, es decir, Amenemhet III, quien reinó de 1844 a
1797 AC. Aunque el texto original nunca ha sido recuperado, el hecho de que el papiro de
Rhind sea una copia de un documento anterior, lo coloca como parte de las evidencias
más antiguas en el contexto matemático.
36
Por sus siglas en ingles de Rhind Mathematical Papyrus
25
El papiro contiene el título37
Cálculo preciso [esto es, reglas para el cálculo] para informarse de las cosas, y el
conocimiento de todas las cosas, misterios… todos los secretos. Este libro fue
copiado en el año del reino 33, mes 4 de Akhet, [bajo su majestad] el Rey del [Alto
y] Bajo Egipto, Awserre, dado vida, de una antigua copia hecha en el tiempo del
Rey del Alto [y Bajo] Egipto, [Nym]atre. El escriba Ahmés escribe esta copia.
2.1 Multiplicación y división:
Según (Robins & Shute, 1987), los egipcios multiplicaban los números enteros en
pasos, siendo la estrategia básica duplicar y sumar sucesivamente. Esto evitaba tener que
memorizar tablas de multiplicar. El proceso de duplicación del número se hacía
escogiendo “multiplicadores” de la progresión 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.; mientras que para
multiplicar números grandes, a veces usaban los multiplicadores múltiplos de 10 en
combinación con los de la progresión descrita para hacer el proceso más corto. Por
ejemplo:
47 por 33
/1
47
/2
o
/1
47
94
/10
470
/4
188
/20
940
/8
376
/2
94
/16
752
/32
1504
33
1551
33
1551
Obsérvese que en ambos casos, la columna de la izquierda representaba los
“multiplicadores” que se usaban, mientras que la columna derecha representa el resultado
luego de multiplicar el número original por cada multiplicador. La suma de los elementos
de la columna izquierda debe ser igual al multiplicador deseado (en este caso 33) mientras
que el resultado de la adición de los elementos de la columna derecha es el resultado de
la operación.
Procedimientos similares aplicaban para la multiplicación de fracciones, de forma
̅̅̅̅̅̅̅38. La multiplicación de una fracción por un entero y de un entero por
̅̅̅̅ = 1551
̅̅̅̅ x 33
que 47
una fracción, son otra historia. Se desea aclarar que según (Robins & Shute, 1987, pág.
16), los dos procesos que se acaban de mencionar eran distintos para los egipcios.
37
Traducción del inglés.
Recordar que, como fue mencionado anteriormente, la barra sobre un número entero es una notación que indica
que se trata del inverso del número, tal como si fuera una fracción con numerador 1.
38
26
El método preferido para la resolución de este tipo de multiplicaciones consistía en
tratar la multiplicación tal como una división. Los egipcios indicaban que se hiciera este
proceso diciendo: “trate x de forma que se obtenga y”. Véase el siguiente ejemplo:
Trate 33 de forma que se obtenga 47 [es decir, 47 ÷ 33]
/1
33
/3̅
11
̅̅̅̅
/11
3
̅̅
1 + 3̅ + ̅̅
11
47
27
Así, podríamos interpretar que:
̅̅̅̅ × 47 = 1 + 3̅ + 11
̅̅̅̅
47 ÷ 33 = 33
En la operación anterior, se facilitó la escogencia de los multiplicadores debido a
que el “divisor” (33) podía descomponerse en factores. Ahora trátese la operación 33 ÷ 47.
La operación se hace más complicada cuando el “divisor” (en este caso, 47) es un número
primo. Un egipcio pudo haber intentado con 3̿ o con 2̅, y en ambos casos, se facilita la
operación al partir 47 𝑒𝑛 45 + 2.
Trate 47 de forma que se obtenga 33 [33 ÷ 47]
1
/3̿
45 + 2 = 47
30 + (1 + 3̅) = 31 + 3̅
̅̅̅̅
/47
=1
̅̅̅̅
/94
= 2̅
̅̅̅̅̅
/282
= 6̅
̅̅̅ + ̅̅̅̅̅
̅̅̅ + ̅94
3̿ + ̅47
282
31 + 1 + 2̅ + 3̅ + 6̅ = 33
donde:
̅̅̅ + ̅̅̅̅̅
̅̅̅ × 33 = 3̿ + ̅̅
̅̅ + ̅94
33 ÷ 47 = ̅47
47
282
Los multiplicadores de la columna izquierda fueron escogidos tomando en cuenta el
resultado de la columna derecha de la fila en rojo, 31 + 3̅. Observe que
33 − (31 + 3̅) = 1 + 3̿, osea que para el siguiente multiplicador se quiere uno que acerque
̅̅̅ el cual acerca el resultado a
más este resultado al deseado, 33. Por ello se escoge ̅47
33 − (32 + 3̅) = 3̿ y así sucesivamente hasta llegar a 33.
Trate 13 de forma que se obtenga 100 [100 ÷ 13]
/1
13
/2
26
/4
52
/3̿
8 + 3̿39
̅̅̅̅
/39
3̅
̅̅̅̅
7 + 3̿ + 39
100
28
Es posible que el lector tenga una duda en mente, algo similar a “¿uh… y la adición
y sustracción?”. Para contestar esta duda, usamos la siguiente cita:
[…] Esta es tal vez el tema más difícil para mí sobre el cual escribir. Puedo explicar
fácilmente como [los antiguos egipcios] calculaban el volumen de una pirámide sin
terminar, multiplicaban números mixtos, y crearon identidades fraccionarias, pero no
puedo estar seguro de como sumaban 15 y 12. Ambos de los antiguos pergaminos
matemáticos que han sido encontrados tratan a la adición como algo muy simple
para detallar. Así el proceso para obtener la solución no se muestra. Sólo se da el
resultado. Sin registros escritos, poco podemos hacer excepto suponer. (Reimer,
2014, pág. 5)
Por ello, en los análisis de documentos antiguos, aun si es inconscientemente,
parece usarse el conocimiento moderno para realizar estas operaciones. Sin embargo,
aun si no se encontró información contundente respecto a estas operaciones, como fue
presentada para la multiplicación división, sería irresponsable dejar al lector sin lo
siguiente: “[…] Sin embargo, la adición y substracción dependieron de cambiar a potencias
de 10 superiores o inferiores cuando las operaciones simples lo requerían.” (Clagett, 1999,
pág. 20). Lastimosamente, ni en esta fuente ni en otras consultadas aparece más
información sobre el tema.
A continuación, se procederá a presentar algunos problemas de interés contenidos
en el Papiro matemático de Rhind40.
̅̅̅
En (Robins & Shute, 1987, pág. 18), después de este paso, aparece ̅13
1, sin embargo, se decidió eliminar este
paso en este documento pues no aparecía en los resultados totales de la columna izquierda y además habría hecho
que el resultado de la columna derecha fuese 101.
39
40
2.2 Tabla de
𝟐
𝒏
El papiro de Rhind contiene en su inicio una tabla conocida actualmente como la
2
tabla de 𝑛 en la que se divide 2 entre los números impares del 3 al 101. En los cálculos de
cada “división” pueden darse, por ejemplo, alguno de los siguientes casos:
a) cuando el primer multiplicador a usar es 3̿
b) cuando simplemente se parte a la mitad
̅̅̅ o 7̅
c) junto con 1 o 2, cuando también se usa ̅10
29
Véase por ejemplo la resolución si es del tipo a:
Trate 17 de forma que se obtenga 2 [2 ÷ 17]
Multiplicador
Producto
1
17
3̿
1
11 3̅ [es decir 113]
3̅
2
5 3̿ [es decir 5 3]
6̅
2 2̅ 3̅
̅̅̅̅
12
1 4̅ 6̅
Note que 1 4̅ 6̅ es finalmente más pequeño que 2, que era lo deseado. Esto fue
obtenido multiplicando 17 por mitades sucesivas del multiplicador anterior. Sin embargo,
hace falta una parte para completar el 2. El procedimiento que serviría para encontrar la
parte restante es presentado en los problemas 21 – 23 del RMP, pero por mejora de
comprensión, será usado aquí.
[Se aclara que la operación a continuación no está presente en el RMP, sino que se
realiza por los autores de este documento utilizando procedimientos que sí están en
el RMP]
Complete 4̅ 6̅ a 1
Aplicado a 6, 4̅ es 1 2̅ y aplicado a 6, 6̅ es 1.
El total es 2 2̅ y el restante es 3 2̅
Multiplique 6 para obtener 3 2̅
Multiplicador
Producto
1
6
3̅
2
4̅
1 2̅
Total:
3 2̅
Por tanto, 3̅ 4̅ es lo que debe ser agregado a 1 4̅ 6̅ para completar 2. Luego,
̅̅̅̅ de 17 era 1 4̅ 6̅ y se le
volviendo al problema original [2 ÷ 17], se había obtenido que 12
llama entonces resto a 3̅ 4̅. Para encontrar los multiplicadores que al operarlos con 17 dan
como resultado 3̅ y 4̅ se hace lo siguiente:
Multiplicador
Producto
1
17
2
34
3
51
4
68
̅̅̅ y afirma que al multiplicarlo
Luego, el autor toma el recíproco de 51, es decir, ̅51
̅̅ × 17 = 4̅.
con 17 obtendrá el recíproco de 3, 3̅. La misma lógica usa para afirmar que ̅̅
68
Finalmente, la división ha sido completada y la respuesta es:
̅̅̅ ̅68
̅̅̅ ̅51
̅̅̅
2 ÷ 17 = ̅12
30
Ahora véase uno del tipo b:
Trate 13 de forma que se obtenga 2 [2 ÷ 13]
Multiplicador
Producto
1
13
2̅
6 2̅
4̅
3 4̅
8̅
1 2̅ 8̅
Se obtiene finalmente que 13 × 8̅ = 1 ̅2 ̅8 donde este resultado es menor que 2. Para
encontrar lo faltante para llegar a 2, es decir, el resto, el autor debe haber usado
procedimientos como los que aparecen en los problemas RMP 21 – 23 (y presentados en
el problema del tipo a). El autor entonces indica que los restos son 4̅ y 8̅. Luego:
Multiplicador
Producto
1
13
2
26
3
39
4
52
5
65
6
78
7
91
8
104
Luego se toman los recíprocos de 52 y 104 y se afirma que
̅̅ = 4̅
13 × ̅̅
52
Y
13 × ̅̅̅̅̅
104 = 8̅
O sea que:
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
2 ÷ 13 = 8̅ 52
104
31
Tipo c:
Trate 25 de forma que se obtenga 2 [2 ÷ 25]
Como pasos obviados en el papiro, el autor probablemente hizo esto:
Multiplicador
Producto
1
25
̅̅
̅̅
10
2 2̅
̅̅̅̅ de 25,
̅̅̅̅ = 2 2̅, se obtuvo 3̿ de este producto, es decir 15
Luego, teniendo que 25 × 10
̅̅̅ = 1 3̿. Obviamente a este resultado le hace
para obtener 2 2̅ × 3̿ = 1 3̿. O sea que 25 × ̅15
falta 3̅ para completar el 2, luego:
Multiplicador
Producto
1
25
2
50
3
75
̅̅̅ = 3̅
De esta operación se deduce que 25 × ̅75
Luego:
̅̅̅̅ 75
̅̅̅̅
2 ÷ 25 = 15
2.3 Tabla de división por 10
[1 dividido entre 10 produce]
̅10
̅̅̅
[2 dividido entre 10 produce]
5̅
[3 dividido entre 10 produce]
̅̅̅̅
5̅ 10
[4 dividido entre 10 produce]
̅̅
3̅ ̅̅
15
[5 dividido entre 10 produce]
2̅
[6 dividido entre 10 produce]
̅̅̅
2̅ ̅10
[7 dividido entre 10 produce]
̅̅̅
3̿ ̅30
[8 dividido entre 10 produce]
̅̅̅̅ 30
̅̅̅̅
3̿ 10
[9 dividido entre 10 produce]
̅̅̅̅
3̿ 5̅ 30
32
2.4 Problemas varios contenidos en el Papiro de Rhind
Problemas 1 – 6: división de panes entre 10 hombres
[Problema 1]
̅̅̅ veces 10 [para
Dividir 1 pan entre 10 hombres. Hacer la multiplicación de ̅10
obtener 1 pan]. El procedimiento es como sigue:
Multiplicador
Producto
1
̅̅̅̅
10
2
5̅
4
̅̅̅
3̅ ̅15
8
̅̅̅ ̅30
̅̅̅
3̿ ̅10
̅̅̅̅ veces 8. Para completar 10
̅̅̅̅ veces 10 hacen
Se tiene entonces el resultado de 10
̅̅̅̅ veces 2. Sumando ambos
falta 2 (8 + 2 = 10). Pero ya se tiene el resultado de 10
resultados se obtiene 1. El autor entonces concluye:
Total: 1 pan, que es lo mismo [es decir, el total correcto para 10 hombres después
1
que cada uno recibe 10 de este].
[Problema 4]
̅̅ veces 10; el
Dividir 7 panes entre 10 hombres. Hacer la multiplicación de 3̿ ̅̅
30
resultado es 7.
El procedimiento es el que sigue:
Multiplicador
Producto
1
̅̅̅̅
3̿ 30
2
̅̅̅
1 3̅ ̅15
4
̅̅̅ ̅̅
̅̅
2 3̿ ̅10
30
8
̅̅̅
5 2̅ ̅10
̅̅ veces 8 y el de ̅10
̅̅̅ veces 2, se obtendrá 7. Concluye
Sumando el resultado de ̅̅
10
entonces en:
Total: 7 panes, el cual es [el total correcto para 10 hombres luego de que cada uno
̅̅ de este.
recibe 3̿ ̅̅
30
33
Problemas 7 – 20: multiplicación de ciertas expresiones fraccionarias
[Problema 7]
̅̅̅ por 1 2̅ 4̅
[Multiplicar 4̅ ̅28
Ejemplo de compleción:
Multiplicador
Producto
1
̅̅̅̅ [Como partes de 28, estas son] 7 [y] 1
4̅ 28
2̅
̅̅̅̅ [Como partes de 28 estas son] 3 2̅ [y] 2̅
8̅ 56
4̅
̅16
̅̅̅ ̅̅̅̅̅
112 [Como partes de 28 estas son] 1 2̅ 4̅ [y] 4̅
Total: 2̅ [Pues como partes de 28 esto es 14, que es la suma de los 3 productos
basándose en las partes de 28]
[Problema 19]
̅̅ por 1 3̿ 3̅]
[Multiplicar ̅̅
12
Multiplicador
Producto
1
̅12
̅̅̅ [como parte de 18 esto es] 1 2̅
3̿
̅18
̅̅̅ [como parte de 18 esto es] 1
3̅
̅̅̅̅ [como parte de 18 esto es] 2̅
36
Total: 6̅ [pues la suma de los tres productos como partes de 18 es 3]
[Problemas 21 – 23: problemas de compleción]
[Problema 22]
̅̅̅ a 1
Completar 3̿ ̅30
̅̅̅̅ es 1. Entonces equivale a] 21
[Aplicado a 30, 3̿ es 20 mientras que aplicado a 30, 30
El total del exceso de este [es decir, lo que le falta a 21 para llegar a 30] es 9
Multiplicar 30 de forma que se obtenga 9
34
Multiplicador
Producto
1
30
̅̅̅̅
10
3
5̅
6
Total: 9 [se obtuvo sumando los productos de las 2 últimas filas]
̅̅̅̅ debe ser agregado a este [para hacer la compleción]
Por tanto, 5̅ 10
̅̅̅ ̅30
̅̅̅ para completar 1.
Por tanto la adición completa es de 3̿ 5̅ ̅10
[Aplicándolas a 30, estas fracciones son iguales a] 20, 6, 3, y 1 [sumando entonces
30]
[Problemas 24 – 29: problemas de cantidad]
[Problema 25]
Una cantidad con 2̅ de esta agregada a esta hace 16.
[¿Cuál es la cantidad que al agregarle su mitad suma 16?]
[Asúmase 2]
Multiplicador
Producto
1
2
2̅
1
Total
3
[Cuantas veces deba 3 ser multiplicado para dar 16, la misma cantidad de veces 2
debe ser multiplicado para dar el número requerido]
35
Multiplicador
Producto
1
3
2
6
4
12
[5]
[15]
3̿
2
3̅
1
36
Total: 5 3̅ [posiblemente obtenido sumando las filas en verde]
[Multiplicar 5 3̅ veces 2]
Multiplicador
Producto
1
5 3̅
2
10 3̿
Hágase como sigue: la cantidad [es] 10 3̿, [y su] 2̅ [mitad] es 5 3̅.
[Estas cantidades cumplen pues el} total [es] 16 [al sumarlas, como se había
pedido]
[Problemas 30 – 34: división por expresiones fraccionarias]
[Problema 30]
̅̅̅ hará 10?”, déjele oír [lo
Si el escriba le dice “¿cuál es la cantidad de la que 3̿ y ̅10
siguiente]:
̅̅̅ [por multiplicadores] para encontrar 10 [o sea, para obtener 10]
Multiplique 3̿ ̅10
Multiplicador
Producto
1
̅̅̅
3̿ ̅10
2
1 3̅ 5̅
4
̅̅̅
3 ̅15
8
̅̅̅ ̅30
̅̅̅
6 ̅10
[Sumando los multiplicadores y productos de las filas verdes se obtiene]
̅̅̅̅ [para obtener 10 en la suma de los productos]
Total: 13 [y falta] 30
̅̅̅ de 3̿ ̅10
̅̅̅ se hace lo siguiente:
[Para encontrar cual es el ̅30
Multiplicador
Producto
1
̅̅̅
3̿ ̅10
15
11 2̅
30
23
37
̅̅̅ × ̅23
̅̅̅ = ̅̅
̅̅]
Luego tomando los recíprocos de la columna verde, se deduce que 3̿ ̅10
30
[…]
̅̅̅̅
El total es la cantidad [deseada] establecida; [es] 13 23
Multiplicador
Producto
1
̅̅̅̅
13 23
3̿
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
8 3̿ 46
138
̅̅
̅̅
10
̅̅̅ ̅̅̅̅̅
1 5̅ ̅10
230
Total: 10 [Sumando los productos en verde]
[Problemas 41 – 46: problemas de volumen]
[Problema 41]
Ejemplo de hacer [es decir, calcular el volumen de] un granero redondo [cilíndrico] de
[diámetro] 9 [codos] y altura 10[codos].
Tome 9̅ de 9, o sea 1; el resto será 8.
Multiplique 8 veces 8, da 64.
Multiplique 64 veces 10, resulta 640 codos [cúbicos]. [1 codo cúbico (deny) = 30
hekat]
Agregue 2̅ de este [640] a este [640]. Resulta 960: el cálculo de [el contenido de este]
en khar [1 khar = 20 hekat].
̅̅̅ de 960, o sea 48. Esto es lo que cabe en [cientos] de cuádruples hekats,
Tome ̅20
[es decir,] en granos, 4800 cuádruples hekats41
[Fin del problema 41 en el papiro]
De acuerdo con (Robins & Shute, 1987) los egipcios sabían que para obtener el área
de un cilindro, debían multiplicar el área de su base por su altura. Deducen entonces que
los egipcios tenían que ser capaces de determinar el área de un círculo y de hecho, los
egipcios poseían el mejor método para hacerlo en el período pre helenístico. Las
1
instrucciones eran simples, sustraiga 9 del diámetro y eleve al cuadrado el resultado para
obtener el área.
En el problema anterior, por ejemplo, el volumen del cilindro resulta 4800 cuádruples
hekats (resultado corroborado en (Robins & Shute, 1987)). Si se usan el método moderno
para el volumen de un cilindro, se tiene:
𝑉=
𝜋𝑑2
𝜋(81)
405
(10) =
ℎ=
𝜋 ≈ 636.17 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜𝑠
4
4
2
O sea que la diferencia entre el método del antiguo Egipto y el moderno es de apenas
4 codos cúbicos (en este caso), lo cual hace que el estimado egipcio tenga solo un 0.6% de
exceso al resultado real.
En el caso del área de la base, usando el método moderno se obtiene un resultado
aproximado de 63.61 setat, mientras que usando el método egipcio se obtienen 64 codos,
de nuevo, un margen de exceso del 0.6%.
Basándose en el resultado usando el método egipcio, obténgase el valor de 𝜋:
𝜋𝑑 2 ℎ
𝑉=
4
𝜋=4
𝑉
640
=4
≈ 3.1604
2
𝑑 ℎ
(81)(10)
Se observa entonces que, posiblemente sin saber, los egipcios en ese entonces
estaban increíblemente cerca al valor de 𝜋 de aproximadamente 3.1416. Lamentablemente,
esta aproximación cayó en desuso. En un papiro que data del siglo 3 A.C. aparece una regla
usada para calcular el diámetro de un círculo a partir de su área. Esta fórmula dice que el
1
diámetro es igual a la raíz cuadrada de veces el área. Usando esta fórmula como base, se
3
obtiene entonces un valor de 𝜋 de 3, similar al usado por los babilonios. (Robins & Shute,
1987)
41
La fuente usada para esta parte, (Clagett, 1999, pág. 156) dice 4800 hekats. Sin embargo fue reemplazado para esta
obra pues contradice los datos anteriores y los cálculos que pueden ser fácilmente comprobados.
38
[Problema 44]
Ejemplo del cálculo [del volumen de] un granero rectangular, su largo siendo 10, su
anchura 10, y su altura 10. ¿Cuál es la cantidad de grano que cabe en este?
Multiplique 10 veces 10; esto hace 100.
Multiplique n100 veces, esto hace 1000.
Tome 2̅ de 100, o sea 500, [agréguelo a 1000;] esto hace 1500, sus contenidos [del
granero] en khar.
̅̅̅ de 1500, esto hace 75, su contenido en cuádruple hekats42, o sea, 7500
Tome ̅20
hekats de grano.43
[…]
[Problemas 48 – 54: problemas de área]
[Problema 51]
Ejemplo de producir [o sea calcular] [el área de] un triángulo de tierra.
Si se le dice: “¿cuál es el área de un triángulo de 10 khet en la ‘mryt’
este y 4 khet en su base?” El procedimiento es como sigue:
44
[(altura)] de
Multiplicador
Producto
1
400 [codos, o sea 4 khet]
2̅
200 [codos, o sea 2 khet]
Multiplicador
Producto
1
1000
2
2000
[Luego]
42
Usando cálculos modernos y basándose en el problema anterior, debería ser cientos de cuádruples hekats.
Por el mismo motivo, debería ser 7500 cuádruples hekats.
44
La interpretación aceptada actualmente para esto es que se refieren a la altura. Otra posibilidad, menos aceptada, es
que se refieran al lado.
43
39
[Aunque cabe pensar, y es cierto, que el multiplicador
final debió ser 200 en lugar de 2, (Clagett, 1999, pág. 197) en
su nota 69, nos indica que el escriba posiblemente vio que el
rectángulo equivalente estaba conformado por 1000 pares de
franjas de codo (ta en este documento)]
El área es 20 setat. [20 setat equivale a 200000 codos
cuadrados]
[Note que el producto final de la tabla anterior, 2000, por
lo que se indicó en la observación arriba, debe hacerse 2000 ×
100 = 200000 (recordando que 1 ta equivale a 100 codos de
área)]
40
Tome 2̅ de 4, o sea 2, para obtener [un lado de] su
rectángulo [equivalente] Multiplique 10 [el otro lado del
rectángulo] veces 2. Esta es el área.
Figura 15: Ilustración del
problema 51
[Pues:
100 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 100 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠
1 𝑠𝑒𝑡𝑎𝑡𝑠
20 𝑘ℎ𝑒𝑡 2 (
)(
)(
) = 20 𝑠𝑒𝑡𝑎𝑡𝑠
1 𝑘ℎ𝑒𝑡
1 𝑘ℎ𝑒𝑡
10000 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 2
]
[Problema 52]
Ejemplo de un triángulo truncado
[trapezoide]. Se le dice “¿cuál es el área de un
triángulo truncado de tierra de 20 khet de [altura], 6
en su base, y 4 en su línea de corte?”
Agregue la base a la línea de corte, esto
hace 10.
Tome 2̅ de 10, o sea 5, para obtener [un
lado de] su rectángulo [equivalente].
Figura 16: Ilustración del problema 52
(Robins & Shute, 1987, pág. 47)
Multiplique 20 [el otro lado de su rectángulo] veces 5, esto hace 10 [en decenas de
setat].
Esta es el área. [10 decenas de setat son 100 setat, o sea 1 000 000 de codos de
área]
[…]
[Problemas 56 – 60: pirámides, relación de las longitudes de 2 lados de un triángulo]
[Problema 56]45
Ejemplo del cálculo de una pirámide cuyo lado de la base es 360 [codos] y cuya
altitud es 250 [codos]. Porque yo sé [Porque quiera calcular] su seqed [pendiente]
Tome 2̅ de 360 y el resultado es 180.
Multiplique| 250 de forma que encuentre 180
[
41
Multiplicador
1Producto
1
250
2̅
125
5̅
50
̅̅
̅̅
50
5
Sumando los productos de la columna verde se obtiene 180, por tanto, lo que debe
̅̅̅̅.
multiplicarse por 250 para obtener 180 es 2̅ 5̅ 50
]
̅̅ de un codo.
Esto hace 2̅ 5̅ ̅̅
50
Un codo es 7 palmas. Multiplique 7 como sigue:
Multiplicador
Producto
1
7
2̅
3 2̅
5̅
̅̅̅
1 3̅ ̅15
̅̅
̅̅
50
̅̅
̅10
̅̅̅ ̅̅
25
[Sumando los productos de las filas en verde]
̅̅̅̅ palmas.
El seqed [la pendiente] es 5 25
45
La figura que acompaña a este problema en el papiro es la que aparece en la esquina superior izquierda de la figura
12.
3 Papiro matemático de Moscú
El papiro de Moscú proviene de una tumba no muy lejana a donde fue encontrado
el papiro de Rhind. Es el segundo documento más grande en existencia concerniente a la
matemática del antiguo Egipto, después del papiro de Rhind. Fue comprado entre 1892 y
1894 por W. Golenischedd, y luego fue adquirido en 1912 por el Museo Pushkin de Moscú,
donde se encuentra en la actualidad.
El papiro tiene 5.44 m de largo, pero sólo 8 cm de alto. Consiste de un pedazo de
gran tamaño y 9 pequeños fragmentos y fue presuntamente escrito durante la dinastía
1346 y fue dependiente de algunos trabajos realizados en la dinastía 12. Por tanto, se
presume que no hay mucha diferencia entre las épocas en que fue escrito el Papiro de
Moscú y en la que fue escrito el texto original del que proviene el Papiro de Rhind. En el
papiro aparecen 25 problemas escritos en 38 columnas.
Figura 17: Fotografía parcial del Papiro de Moscú, alojado en el Museo Pushkin bajo la etiqueta E4676.
(carlesdorce, 2012)
Basándose en la falta de orden en los tipos de problemas presente en el Papiro de
Moscú en comparación con el Papiro de Rhind donde los problemas están agrupados por
46
1803 – 1649 A.C. (Wikipedia, s.f.)
42
tipos, se concluye que el autor del Papiro de Moscú es un estudiante cuyo entrenamiento
había progresado lo suficiente como para que su maestro le colocara problemas de
diferentes tipos para medir su habilidad. Por este mismo motivo, los problemas que
aparecen en el Papiro de Moscú no están presentados de forma didáctica, sino que
muchos se enfocan en mostrar directamente el resultado. (Clagett, 1999)
Los problemas del papiro de Moscú, como fue mencionado anteriormente, están
escritos en 38 columnas, y a su vez cada columna se le divide en líneas (ni las columnas
ni las líneas están numeradas en el Papiro). Para propósitos de esta obra, el número de
columna en el Papiro será omitido. El número de línea será indicado colocando un x) antes
de cada línea.
43
[Problema 7]
1) Ejemplo de calcular un triángulo.
2) Si alguien le dice: “[Hay] un triángulo de área de 20 setat y ‘bank’ [o sea, la razón
de su altura a su base] de 2 2̅”.
3) Doble el área. El resultado es 40. Tómelo [el resultado] 2 2̅ veces.
4) El resultado es 100. Tome la raíz cuadrada; el resultado es 10. Llame 1 de 2 ̅2
[esto es, obtener los multiplicadores necesarios para llevar 2 2̅ a 1]
[
Multiplicador
Producto
1
2 2̅
3̅
2̅ 3̅
5̅
2̅
̅̅̅̅
10
4̅
̅̅̅̅
15
6̅
Sumando los productos de las filas en verde, se obtiene 1. Por tanto los
̅̅̅.
multiplicadores que se necesitan son 3̅ ̅15
]
̅̅̅̅. Aplique esto a 10. El resultado es 4.
5) El resultado es 3̅ 15
6) [Luego el triángulo tiene] 10 [khet] en su longitud [esto es, su altura] y 4 [khet] en
su base.
[Fin del problema 7]
Se debe admitir que para el presente documento, el problema anterior es un enigma,
pues aunque se comprende el multiplicar el área dada por 2, como se haría al despejar la
1
fórmula moderna del área de un triángulo 𝐴 = 2 𝑏ℎ, no se decifra el origen del método
posterior a este paso, solo se ve que funciona pues resulta lo mismo que si se usara un
enfoque moderno al mismo problema. Entonces se ve que aunque usando otras reglas, y
probablemente sin lo sistemático de la actualidad, los egipcios antiguos trabajaron la
geometría (por las figuras y conceptos geométricos que usan) y podría pensarse que
también el álgebra, por su trabajo con cantidades desconocidas.
[Problema 9]
1) Cálculo de [16] hekat de grano del Egipto Superior para pan y cerveza.
2) Si alguien le dice: “[tienes] 16 hekat de grano del Egipto Superior; calcula la
cantidad para 100 panes de pefsu47 20,
3) dejando el resto para cerveza de 2 pefsu,
4) de 4 pefsu,
5) y de 6 pefsu
6) [como] cerveza de 2̅ 4̅ malta-dátil.
[Columna siguiente del papiro]
1) [Primero] calcule la cantidad requerida de grano para 100 panes de pefsu 20.
2) Es 5 hekats de granos del Egipto Superior. Calcule lo restante
3) de los 16 hekats de granos del Egipto Superior. EL resultado es 11 Hekats de
granos del Egipto Superior.
4) Le dices: “los 11 hekats de granos del Egipto superior es los que se convierte en
[Columna siguiente]
1) cerveza de pefsu 2,
2) de pefsu 4,
3) de pefsu 6,
4) como cerveza de 2̅ 4̅ malta
5) dátil.”
47
Ver anexo 8 para una breve explicación sobre el pefsu.
44
[Columna siguiente]
1) [Primero] calcule la cantidad de grano requerida [para 1 jarra de la cerveza de]
pefsu 2. El resultado es 2̅.
2) Calcule la cantidad de grano requerida para [1 jarra da la cerveza de] pefsu 4. El
resultado es 4̅.
3) Calcule la cantidad de grano requerida para [1 jarra de la cerveza de] pefsu 6. El
resultado es 6̅.
4) Súmelas [las cantidades encontradas]. El resultado es 3̿ 4̅.
5) Tome 3̅ 4̅ dos veces, porque se le dijo,
[Columna siguiente]
1) [que era como] cerveza de 2̅ 4̅ malta
2) dátil.
3) El resultado es 1 3̿ 6̅.
4) Calcule con 1 3̿ 6̅.
5) para encontrar 11 [es decir, multiplicar 1 ̿3 6̅ de forma que se obtenga 11]
[Columna siguiente]
1) que resultaron como el restante de aquellos 16 hekats de grano del Egipto
Superior después de que los 5 hekats de granos del Egipto Superior [fueron usadas para
los panes]
2) El resultado es 6. Dígale [a la persona que le preguntó]: “¡Mirad! esto es lo que
puede ser comprado [en realidad, debería decir: lo que puede ser producido] de cada
[cerveza de distintos] pefsu, [siendo,]
3) 6 jarras de cerveza de cada pefsu.
4) Lo sabes. Sabes lo que es.
5) Procediendo de la forma que ha sido desarrollada, lo encontrará [siendo
correcto].”
[Fin del problema 9]
Según este problema, podemos apreciar entonces que los antiguos Egipcios sabían
trabajar con problemas concernientes a cantidades desconocidas, y que a diferencia del
problema 7, este problema no está mezclado con otra disciplina sino que es estrictamente
algebraico. Esto podría interpretarse como los egipcios utilizando álgebra para solucionar
problemas diarios.
45
[Problema 10 (Struve, 1930)]48
1) Ejemplo del cálculo de una canasta [de forma hemisférica]
2) Si alguien le dice: “una canasta con su boca
3) de 4 2̅ [es decir, un diámetro de este tamaño] en buenas condiciones, oh
4) hazme saber su área [de superficie].”
5) [Primero] calcule 9̅ de 9, pues la canasta es
6) 2̅ de una “cáscara de huevo”. El resultado es 1. [Por “cáscara de huevo” se
interpreta una forma esférica, es decir, que la canasta se interpreta como media esfera]
[Columna siguiente]
1) Calcule el resultado como 8.
2) Calcule 9̅ de 8.
̅̅. Cal3) El resultado es 3̿ 6̅ ̅̅
18
4) cule el resto de estos 8 después de
̅̅̅̅. El resultado es 7 9̅.
5) tomar aquellos 3̿ 6̅ 18
[Columna siguiente]
1) Calcule con 7 9̅ cuatro veces y media.
2) El resultado es 32. Mirad, esta es el área [de superficie]
3) Encontrará que esto es correcto.
[Fin del problema 10 (Struve, 1930)]
El problema anterior está presentado en base a una traducción al alemán de (Struve,
1930) del Papiro de Moscú que posteriormente fue traducida al inglés por (Clagett, 1999) y
finalmente al español para esta obra. Dicho esto, se muestra lo siguiente:
[…], si Struve está en lo cierto en su punto de vista donde el autor [del papiro] está
mostrando como calcular el área de superficie de un hemisferio, esto es un paso
remarcable en el desarrollo de la geometría, un paso normalmente atribuido a los
griegos (especialmente a Arquímedes). Esto significaría que como los griegos, los
egipcios comenzaron a ver la importancia de calcular las superficies curvas de los
sólidos como la esfera en términos de superficies rectangulares o rectiplanares.
48
Según (Imhausen, 2016, pág. 69) uno de los problemas más famosos e importantes (y agregamos: el más polémico)
del Papiro de Moscú.
46
Hay, sin embargo, importantes dudas filológicas49 hechas ver por Peet en
su
artículo “Un Problema en Geometría Egipcia” […] (Clagett, 1999, págs. 231,232)
(Peet, 1931, págs. 101 - 103) habla sobre la traducción de de Struve en las línas 2 y
3 de la primera columna del problema. Concluye que parte de la traducción del texto
hierático en el papiro en dichas líneas hecha por Struve es incorrecta, principalmente la
interpretación “una canasta con su boca”. Luego afirma Peet que la mayor debilidad de la
interpretación de Struve es un carácter hierático que aparece antes del 4 en la línea 3 de
la primera columna. Dicho carácter, dice Peet, “nunca es usado en papiros matemáticos
para introducir una dimensión cuando se habla de una sola, sin embargo, es usado para
introducir la segunda de dos dimensiones, similar al ‘por’ usado cuando se dice 6 pies por
3.” De esta forma afirma que 4 2̅ en la línea 3 es en realidad una segunda dimensión
siendo introducida. Sin embargo, Peet admite que esto deja la duda de: ¿dónde está la
primera dimensión? Peet contesta esto diciendo que la primera dimensión debe estar
contenida en el 9 que aparece repentinamente sin explicación alguna en la línea 5 de la
primera columna, el cual, según Peet, también desconcertó a Struve. Justifica Peet
entonces que la razón por la cual la primera dimensión no fue escrita apropiadamente en
su lugar correspondiente [en la línea 3 o antes] es porque estaba presente en el arquetipo
pero el escriba [quién escribió el papiro] la omitió. Ahora que Peet afirma que en el
problema se mencionaban realmente 2 dimensiones, afirma que la interpretación de
Struve es muy sospechosa pues para calcular el área superficial de una esfera sólo hace
falta una dimensión, su diámetro o su radio.
Luego Peet refuta interpretación “cáscara de huevo” en la línea 6 de la primera
columna, la cual confirmaba que la figura tratada por el problema en cuestión se trataba de
una esfera. Dicho esto, veamos la interpretación del mismo problema 10 del Papiro de
Moscú, ahora por Peet:
[Problema 10 (Peet, 1931, pág. 105)]50
1) Ejemplo de calcular un semicilindro.
2) Si alguien le dice, un semicilindro [de 4 2̅] en diámetro
3) por 4 2̅ de alto; ruego
4) me deje saber su área. Debe
5) tomar un noveno de 9, pues un semicilindro
6) es la mitad de un [cilindro]; resulta 1.
7) Tome el resto, o sea 8.
8) Debe tomar un noveno de 8;
̅̅̅. Usted debe tomar
9) resulta 3̿ 6̅ ̅18
49
50
La filología es el estudio del lenguaje oral y escrito de fuentes históricas.
Peet no hace distinción de las columnas, sino que enumera las líneas en una sola secuencia.
47
10) el resto del 8 tras [sustraerle]
̅̅̅, resulta 7 9̅.
11) los 3̿ 6̅ ̅18
12) Debe tomar 7 9̅ 4 2̅ veces;
13) resulta 32. Vea, esta es el área.
14) Encontrará que es correcto.
[Fin del problema 10 (Peet, 1931, pág. 105)]
De esta interpretación de Peet, se muestra lo siguiente:
48
La traducción de Peet puede ser parafraseada como:
‘El envase es un recipiente o canasta de forma cilíndrica, partida a la mitad, de
1
1
8
8
diámetro 4 2 y altura 4 2. […] Ahora encuentre 9 de 2𝑑 (líneas 5, 6, 7). De nuevo, 9 de
esto es =
8
9
8
× 9 × 2𝑑 (líneas 8, 9, 10, y 11). Multiplique esto por h, =
(líneas 12, 13).
128
81
𝑑 × ℎ = 𝑎𝑟𝑒𝑎
Dado que esto puede ser escrito como:
𝐴=
Y ya que
256
81
1 256
×
𝑑ℎ,
2 61
es de hecho la contraparte egipcia de nuestro moderno 𝜋 tenemos para
el área de una superficie curva de un semicilindro:
1
𝐴 = 𝜋𝑑ℎ.
2
Entonces si la segunda interpretación de
es
correcta,
debemos
llegar
inevitablemente a la conclusión que el
problema 10 de PMM establece que los
antiguos egipcios sabían que la circunferencia
1
de un semicírculo era 2 𝜋𝑑, y por tanto que
la
Peet51
circunferencia de un círculo era 𝐶 = 𝜋𝑑. Esto
representaría una considerable sofisticación
matemática para aquella época y, de ser cierta [la
interpretación del problema], antecede al griego
Dinóstrato por más de 1400 años. (Gillings, 1982,
págs. 197, 198)
Figura 18: interpretación de (Peet, 1931)
51
(Gillings, 1982, pág. 196) cuenta como la primera opción que da Peet para la interpretación de este problema es la
del área de un semicírculo. Esta interpretación es desestimada hasta por el propio Peet, quien la tacha de improbable
dado que ese procedimiento, basándose en el Papiro de Rhind, ya se conocía y de una forma más sencilla que la
presentada en este problema.
Clagget expresa su desacuerdo con las interpretaciones de Peet, pues considera que
el texto hierático de la línea 6 de la primera columna indiscutiblemente significa “cáscara de
huevo” lo cual indica que se refieren a una forma hemisférica, y menciona que el texto en
cuestión está muy fragmentado para sustentar las dudas de Peet. (Clagett, 1999)
(Gillings, 1982, págs. 198, 201) desestima las aseveraciones de Peet, y acepta la
interpretación de Struve. Luego, tras analizar los detalles aritméticos del problema,
parafrasea la interpretación de Struve y además la generaliza llamando 𝑑 al diámetro y 𝑟 al
radio:
1
49
5) Doble 4 2. Doble el diámetro = 2𝑑
8
8
8
9
9
9
6,7) Encuentre de esto. × 2𝑑 = 2 × × 𝑑
8
8
8
8, 9, 10, 11) Encuentre 9 de esto. 9 × 2𝑑 = 2 × 9 × 𝑑 [No es un error de copiado.]
64
64
13) Multiplique por 𝑑. 2 × 81 × 𝑑 2 = 2 × 81 × (2𝑟)2 , o
𝐴 = 2×
𝐴 = 2𝜋𝑟 2
256 2
𝑟
81
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜋 =
256
81
Ciertamente esta es la fórmula
moderna para calcular la superficie
curva de un hemisferio.
Si
esta
interpretación del problema 10 del
Papiro de Moscú es correcta,
entonces el escriba que derivó la
fórmula antecedió a Arquímedes por
¡1500 años! (Gillings, 1982, pág.
200)
Nuevamente según (Gillings, 1982),
sea cierta la interpretación del
semicilindro o del hemisferio, no
significa que los egipcios tuvieran
alguna demostración de la obtención de
las áreas de dichas figuras, como la
Figura 19: Diagrama del hemisferio para la interpretación
que se tiene en la actualidad desde el
de (Struve, 1930)
tiempo de los antiguos griegos.
Entonces es posible que, en el caso del cilindro (el cual Gillings favorece) los egipcios hayan
llegado por suerte a una aproximación o que el método haya surgido por la repetición de
una acción. Elabora sobre esto diciendo que las personas que se encargaban de tejer las
canastas, con tantas repeticiones de la misma tarea pudieron haberse percatado de que el
material necesario para tejer la tapadera de la canasta era la mitad que aquella usada para
tejer la canasta en sí. [Esto aplica sólo a las que tuvieran forma hemisférica]. Así entonces,
ya que los egipcios calculaban habitualmente el parea de un circulo, pudo haberse vuelto
igual de habitual que el área de una superficie hemisférica es el doble de la de su tapadera
circular.
[Problema 11]
1) Ejemplo del cálculo del trabajo de un hombre en tucos.
2) Si alguien le dice: “el trabajo de un hombre en tucos;
3) la cantidad de su trabajo es 100 tucos
4) de 5 anchos de mano transversales; pero los ha traído en tucos
5) de 4 anchos de mano transversales”. Usted debe elevar al cuadrado estos 5
anchos de mano. El resultado es
6) 25. Debe elevar al cuadrado los 4 anchos de mano. El resultado es 16.
[Columna siguiente]
1) Calcule con esto 16 para obtener 25.
̅̅ veces. Debe tomar entonces este número 100 veces.
2) El resultado es 1 2̅ ̅̅
16
3) El resultado es 156 4̅ [corrección según Clagget: en el Papiro aparece en su lugar
̅̅̅̅.] Entonces le dice: “mirad,
2̅ 16
4) este es el número de tucos que ha traido de 4 anchos de mano transversales.
5) Encontrará que esto es correcto.
[Problema 14]
1) Ejemplo del cálculo de una pirámide truncada [cuadrada]
2) Si alguien le dice: “una pirámide de 6 para la altura
3) por 4 en la base [es decir, el lado del cuadrado inferior de la pirámide] por 2 en la
cumbre [es decir, el lado del cuadrado superior]
4) Debe elevar al cuadrado este 4, el resultado es 16.
5) Debe doblar este cuatro [multiplicar por 2]; el resultado es 8.
6) Debe elevar al cuadrado este 2; el resultado es 4.
[Columna siguiente]
1) Debe sumar el 16
2) y el 8 y el 4;
50
3) el resultado es 28. Debe tomar
4) 3̅ de 6; el resultado es 2. Debe tomar 28 2 veces, el resultado es 56.
5) Mirad, [el volumen] es 56. Encontrará [que esto está] correcto.
[Fin del problema 14]
51
Figura 20: (izquierda) ilustración del escriba del problema 14 en el Papiro de Moscú; (derecha) pirámide
truncada con símbolos reemplazando valores particulares. (Gillings, 1982, pág. 188)
(Gillings, 1982, págs. 187, 193) analiza el problema:
Parafraseando el problema de forma moderna se obtendría:
𝑉 =4×4+2×4+2×2
1
= (16 + 8 + 4) × × 6
3
= 28 × 2
= 56 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜𝑠
Ahora se reemplazan los valores particulares del problema, y se asigna: a para la
base, b para la base superior, y h para la altura de la pirámide.
𝑉 = (𝑎 × 𝑎 + 𝑏 × 𝑎 + 𝑏 × 𝑏) ×
𝑉=
1
×ℎ
3
ℎ 2
(𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
3
Observe entonces que esta es la fórmula actual para el volumen de un tronco.
Según (Gillings, 1982) es generalmente aceptado aún sin evidencia, que los egipcios
conocían la fórmula correcta para el cálculo del volumen de una pirámide cuadrangular: 𝑉 =
1 2
𝑎 ℎ, y esto no es improbable dado lo prolíficos que fueron en la construcción de las
3
mismas. Una formula acertada o alguna fórmula equivalente hubiese sido necesaria para el
cálculo de materiales requeridos para completar la construcción. Sin embargo, aunque se
acepte que los egipcios conocían la fórmula del volumen de una pirámide, se desconoce
cómo pudieron llegar a la fórmula del cálculo de un tronco, y más aún, con una forma precisa
y lejos de ser obvia; y es que la fórmula egipcia, al ser la misma que la actual, significa que
la fórmula actual no ha sido mejorada en 4000 años.
Existen numerosas hipótesis de cómo pudieron llegar los egipcios a estas fórmulas.
En el caso del volumen de una pirámide, una de ellas es que, teniendo en cuenta que los
egipcios sabían calcular el volumen de un sólido rectangular como 𝑎 × 𝑏 × ℎ52, pudieron
simplemente construir de madera o arcilla una pirámide y un rectángulo huecos, ambos de
1
la misma base, llenarlas de arena o agua y observar que la pirámide almacenaba 3 de lo
que almacenaba el rectángulo. Otra hipótesis, no tan simple, consiste en la construcción de
una pirámide de arcilla, luego cortarla en pedazos y reformar las partes de forma que se
construya un sólido rectangular
Figura 21: Si se construye una pirámide cuadrada cuya altura sea exactamente la mitad de un lado de la
base, se parte en cuatro pirámides oblicuas pasando 2 planos por el vértice y los puntos medios de lados
opuestos de la base, y finalmente se ordenan los pedazos para formar un cubo, se concluirá que la
4
3
pirámide es partes del cubo, o bien que el cubo es de la pirámide. Entonces resulta que el volumen de
3
1
la pirámide es 𝑉 = 𝑎2 ℎ (Gillings, 1982, pág. 190)
3
52
4
52
Referente al volumen de una pirámide truncada, existen también numerosas
hipótesis de cómo pudieron los antiguos egipcios deducir tales fórmulas, sin embargo, a
falta de evidencia, posiblemente nunca se sabrá con certeza como pudieron lograrlo, sino
que solo podrá aceptarse que las conocían.53
53
53
Para leer más información se recomienda la lectura del capítulo 17 de (Gillings, 1982).
4 Conclusión
En base a toda la información proporcionada, se aprende entonces que la
matemática egipcia tiene sus orígenes no solo en las necesidades de la vida diaria, sino
que es también originada por contextos funerarios, principalmente tratándose de la
realeza.
Sin embargo, en las pocas evidencias existentes que muestran las matemáticas
más allá de algunas cantidades, se puede apreciar la importancia que tenían los cálculos
para los egipcios, y es la opinión personal de esta obra que todos los avances que hacen
famosos a aquella sociedad hoy en día, tiene una base matemática. Desde los cultivos
que le dieron tanta prosperidad a un reino que duro más de 3000 años hasta las pirámides
que tras varios milenios siguen en pie, fueron calculadas, a veces con asombrosa
precisión.
Aunque fuentes indican que las matemáticas egipcias son deficientes en
comparación con otras sociedades, el sabor de boca que esta investigación deja es que
las matemáticas egipcias en sorprendentemente avanzadas, y resulta gracioso ver que
muchos de sus problemas presentes en los papiros matemáticos, son tan similares a los
que enfrentan los estudiantes en la actualidad. Aunque el sistema egipcio presenta
deficiencias, principalmente en las fracciones, gracias a las interpretaciones modernas se
puede ver que los egipcios supieron desarrollar un nivel matemático que podría
compararse con un nivel de pre media e incluso media en nuestro país, saltándose los
inconvenientes de su propio sistema usando métodos ingeniosos.
Es la opinión de esta obra que los egipcios eran ingenieros por excelencia, pues no
se concentraban en cuestiones como definiciones o teoremas lógicos, sino que descubrían
métodos, los probaban para diferentes valores y si funcionaba en la práctica, eso era
suficiente. Y honestamente, no hay nada malo en eso.
En el ámbito de la investigación, se aprende entonces lo crucial de la evidencia real
que permita afirmar algo como un hecho, sin ella solo se puede especular y teorizar; pero
hay cosas que se perdieron para siempre. Se aprende también sobre el problema
existente con precipitarse a dar cosas por hecho sin la evidencia suficiente, como sucedió
con las fracciones del Ojo de Horus, y así nos convencemos de la importancia de las citas,
pues sin ellas, no se puede corroborar la validez de un trabajo.
54
5 Anexos
55
Anexo 1: Ptah en la tumba de Amenherjepeshef, Valle de Las Reinas, al oeste de Tebas
(Sutherland, 2018)
56
Anexo 2: Potería inscrita de la tumba U-j. (Hechenberger, 2017)
Anexo 3: símbolos que aparecen en ambas, las etiquetas y en
potería; en la tumba U-j (Hechenberger, 2017)
Anexo 4: Número de Gardiner
Según (Wikipedia), estos números se refieren a una compilación de símbolos
jeroglíficos comunes con algunos de sus significados, realizada por Sir Alan Gardiner y dicha
compilación es referencia para el estudio del antiguo Egipto. Cabe destacar que Sir Gardiner
no mencionaba múltiples significados del mismo símbolo, sino que le asignaba un único
significado aunque se supiese que el símbolo tenía otros significados.
En su lista, Sir Gardiner separó los símbolos en categorías, por ejemplo, E para
mamíferos, G para aves, K para peces, etc.
Anexo 5: Codo de Maya, 18va dinastía. Museo de Louvre, N° 1538. (Monnier, Petit, &
Tardy, 2016)
Anexo 6: Anales reales de
piedra
Los anales reales de
piedra son 7 fragmentos que
pertenecían a una estela.
Esta estela contenía una lista
de los reyes desde aprox.
3150 AC hasta aprox. 2283
AC. Este período abarca
desde la primera dinastía
hasta la quinta, y la estela en
sí se presume que fue escrita
durante la quinta dinastía.
Además de ser una lista,
Ilustración 1: Fotografías de ambos fragmentos de la Piedra de
registraba eventos
Palermo (theoldstone, s.f.)
significativos durante cada
año de reinado. De los 7 fragmentos, el más famoso es conocido como la Piedra de
Palermo, la cual a su vez consta de 2 fragmentos y se encuentra en exhibición en un
museo de la ciudad de Palermo, Italia. A veces se acostumbra llamar Piedras de Palermo
a los 7 fragmentos. (Varios, Wikipedia)
57
Anexo 7: Ostracon
De acuerdo a (Varios, Wikipedia), un ostracon es un
pedazo de potería, generalmente arrancada de un jarrón u
otro recipiente de cerámica. Los Egipcios solían usarlos
para hacer anotaciones de toda clase de propósitos, desde
prácticas de dibujos, hasta narraciones, historias e incluso
planos.
En la ilustración 2, se muestra un texto escrito sobre un
ostracón de piedra caliza.
El texto fue escrito como un ejercicio por un estudiante de
antiguo Egipto en escritura hierática. Copió 4 cartas al
Chaty Jay. Una carta de un supervisor trabajando en la
tumba real pide varios pigmentos y “trapos viejos para las
lámparas” (Wafulz, 2006)
Ilustración 2: Fotografía de
escritura hierática sobre tabla de
piedra caliza. Tomada en el Museo
Real de Ontario (Wafulz, 2006)
Anexo 8: Pefsu
De acuerdo a (Clagett, 1999, pág. 60) pefsu es el término convencional para la
pureza del pan o la cerveza hecha con 1 hekat de grano. Una expresión matemática
general sería:
𝑃𝑒𝑓𝑠𝑢 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛𝑒𝑠 𝑜 𝑗𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑧𝑎
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑒𝑘𝑎𝑡𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑜
De la fórmula se deduce entonces que entre más alto el número de pefsu, más débil
(¿diluida?) la cerveza o el pan (pues significa que la cantidad de grano usada es poca con
respecto a la cantidad de panes o cerveza).
Dada la cantidad de veces que aparecen problemas concernientes al pefsu en los
documentos antiguos, 10 veces en el papiro de Rhind y 10 veces en el papiro de Moscú,
se puede asumir que esta medida era extremadamente importante en la sociedad egipcia,
y no es para menos, considerando la importancia que tendría la pureza del pan o de la
cerveza para una economía basada en el trueque.
58
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