Problemas Resueltos de Análisis Vectorial - Spiegel

Problemas resueltos
Capítulos 2, 3, 4, 5.
Texto:
ANALISIS VECTORIAL
Autor:
MURRAY R. SPIEGEL
Editorial:
Mc- Graw Hill
*Antes de iniciar una serie de problemas para resolver, es recomendable dar una breve
introduccion a los mismos.
Señalando el tema y por que de este, o las teorias que se consideran.
(Palabras repetidas hallar demostar).*
Problemas Capitulo 2
Ejercicios:
1.Demostrar que A ⋅ B = B ⋅ A
Solución:
A ⋅ B = AB cos θ = BA cos θ = B ⋅ A
Por consiguiente, el producto escalar goza de la propiedad conmutativa
2.Demostrar que A ⋅ B es igual a la proyección de A sobre B , siendo k el valor unitario en la
dirección y sentido de B
(FIGURA)
Como indica la figura de planos perpendiculares A B trazados por el origen y el extremo de A
cortan a aquel en los puntos
G y H , respctivamente, por lo tanto.
Por lo tanto , la proyección de A sobre B es igual GH = EF = A cos θ = A ⋅ b
3.-(Lleva figura)
Demostrar que A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C
Sea a el vector unitario en la dirección y sentido de A + proyección de C sobre A
B + C ⋅ a = B ⋅ a + C ⋅ a
Multiplicando por A.
B + C ⋅ Aa = B ⋅ Aa + C ⋅ Aa
y B + C ⋅ A = B ⋅ A + C ⋅ A
Teniendo en cuenta la propiedad del voltaje en magnitud escalar
A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C
Luego el producto escalar goza de la propiedad distributiva respecto de la suma
4.-Demostrar que A + B ⋅ C + D = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ D del problema 3,
A + B ⋅ C + D =
A ⋅ C + D + B ⋅ C + D = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ D
luego el producto escalar goza de las propiedades de algebra ordinaria.
5.Hallar los escalares siguientes:
 
 
a i ⋅ i = i i cos 0 ∘ = 111 = 1
 
 
b j ⋅ k = j k cos 90 ∘ = 110 = 0
 
 
c k ⋅ j = k j cos 90 ∘ = 110 = 0


   
dj ⋅ 2i − 3 j + kk = 2j ⋅ i − 3 i ⋅ i + j ⋅ k = 0 − 3 =
 
 
 
 
   
e 2 i − j ⋅ 3 i + k = 6 i ⋅ i + 2 i ⋅ k − 3 j ⋅ i − j ⋅ k = 6 + 0 − 0 − 0 = 6
6.-





Si A = A 1 i + A = j + AK y B = B ⋅ i + B ⋅ j + B ⋅ k, demostrar que
A ⋅ B = A1B1 + A2B2 + A3B3



  
A ⋅ B = A1 i + A2 j + A3 k ⋅ B1 i B2 j B3 k
 
 
 
= A 1 i B 1 i + A 2 j B 2 j + A3 kB 3 k


= i A 1 B 1  + j A 2 B 2  + kA 3 B 3 
= A 1 B 1 + A 2 B 2 + A3 B3
   
Ya que i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 y todos los demas productos escalares son nulos



7.-Siendo A = A i + A 2 j + A 3 k, demostrar que A = A ⋅ A = A 2 + A 22 + A 23
A ⋅ A = AA cos 0 ∘ = A 2 = luego A = A ⋅ A





Tambien, A ⋅ A = A 1 i + A 2 j + A 3 k × A 1 i + A 2 j + A 3 k
= A 1 A 1  + A 2 A 2  + A 3 A 3  = A 21 + A 22 + A 23
Del problema 6 tomamos B = A
Por lo tanto, A = A ⋅ A = A 21 + A 22 + A 23 es le modelo de A
8.





Hallar el angulo formado por los vectores A = 2 i + 2 j + 2 k y B = 6 i − 3 j + 2 k
A ⋅ B = AB cos θ, A = 2 2 + 2 2 + −1 2 = 3, B = 6 2 + −3 2 + 2 2 = 7
A ⋅ B = 26 + 2−3 + −12 = 12 − 6 − 2 = 4
4
Por lo tanto, cos θ A⋅B
= 37
= 214 = 0. 1905 de donde θ = 79 ∘ , aproximadamente
AB
9.Si A ⋅ B = 0, A y B son distintos de 0, demostrar que A es perpendicular a B
Si A ⋅ B = AB cos θ = 0, entonces cos θ = 0, 0 sin θ = 90 ∘ aproximadamente;
θ = 90 ∘ ; A ⋅ B = 0
10.

 


Hallar el valor de ade forma que A = 2 i + a j + k y B = 4 i − 2 j − 2 k sean perpendiculares.
Del problema 9, A y B son perpendiculares si A ⋅ B = 0
Por lo tanto, A ⋅ B = 24 + 0−2 + 1−2 = 8 − 2a − 2 = 0, de donde, a es igual a 3.
−2a = −8 + 2
a = −6
−2
a=3
11.


 


 
Demostrar que los vectores A = 3 i − 2 j + k, B = i − 3 j + 5 k, C = 2 i + j − 4 k forman un
triangulo rectángulo
(GRÁFICA)
Primero demostraremos que los vectores forman un triangulo, por lo que deducimos lo siguiente
d Por ejemplo uno de los vectores 3 es la resultante de los otros dos 1 y 2
b La resultante de los vectores 1 + 2 + 3 es el vector nulo. Como indican las figuras,
pueden ocurrir que dos vectores
tengan el extremo común o bien, que ninguno de los dos extremos coincidan, es trivial que
A = B + C y, por lo tanto,
los vectores forman un triangulo.
Como A ⋅ B = 31 + −2−3 + 15 = 14, A ⋅ C = 32 + −2−1 + 1−4 = 0,
y B ⋅ C = 12 + −31 + 5−4 = −21, se deduce que A y C son perpendiculares y que
...................................
12.


Hallar los angulos que forma el vector A = 3 i − 6 j + 2 k con los ejes coordenados
Sean x, β yϰ los angulos que forma A con los semiejes positivos x, y, z respectivamente.
.................................................................................
13.
 
Hallar la proyección del vector A = i − 2 j + ksegún la dirección de B = 4i − 4j + 7k
..................................................................................
14.Demostrar el teorema del coseno de un trinagulo cualquiera ...............................................
15.Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares..........................................
16.


Hallar el vector
unitario
perpendicular
al
plano
formado
por
A
=
2
i
−
6
j
−
3
ky

 
B = 4 i + 3 j − k.
Solución. Sea C = C 1 i + C 2 j + C 3 k un vector perpendicular al plano formado por A y B.
El vector C es perpendicular a A y a B. Luego
C ⋅ A = 2C 1 − 6C 2 − 3C 3 = 0, o sea 12C 1 − 6C 2 = 3C 3
C ⋅ B = 4C 1 + 3C 2 − C 3 = 0, o sea 24C 1 + 3C 2 = C 3
c
C
=
C 23
C3
1
2
 1 
i − 3 j +k
1
2
2
2
+ − 13
+1 2
=±
3
7

i −
2
7

j +
6
7

k
Multiplicar por +2 en 2
2C 1 − 6C 2 = 3C 3
8C 1 + 6C 2 = 2C 3
10C 1 = 5C 3
C1 =
C2 =
C = C3
1
2
1
C
2 3
− 13 C 3

i −
1
3
 
j +k
17.  
=
2
i − j − k al desplazar un sólido puntual a lo
Hallar el trabajo realizado por la
fuerza
de
F



largo de un vector r = 3 i + 2 j − 5 k.
Solución:
Trabajo realizado:(Módulo de la fuerza en la dirección y sentido del
moviemiento.)*(Desplazamiento)
= F cos θγ = F ⋅ γ

  


= 25 i − j − k ⋅ 3 i + 2 j − 5 k = 6 − 2 + 5 = 9
(IMAGEN)
18.


Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector A = 2 i + 3 j + 6 k y que pasa por el extremo
del vector



b
B = i + 5 j + 3k f ⋅ g ⋅ z
Sea γel vector de posición del puntoP, y Q el extremo de B como PQ = B − γ es perpendicular
a A, B − γ ⋅ A = 0, o sea,
γ ⋅ A = B ⋅ Aes la ecuación vectorial
del plano buscado.
En coordenadas
rectangulares,



 






x i + y j + zk ⋅ 2 i + 3 j + 6k = i + 5 j + 3k ⋅ 2 i + 3 j + 6k
2x + 3y + 6z = 2 + 15 + 18 = 35
2x + 3y + 6z = 35
19.Del problema 18 (anterior) hallar la distancia del origen al plano. La distancia del origen al plano
es igual a la proyeción de
B sobre A el vector unitario en la dirección y sentido de A es
8=
A
A
  
2 i +3 j +6 k
=
2
2 +3 2 +6 2
=
2
7

i +
3
7

j +
6
7

k.




Luego la proyección de B sobre A = B ⋅ a = i + 5 j + 3 k ⋅ 27 i +
= 27 + 157 + 187 = 357 = 5
3
7

j +
6
7

k
20. 
 
 
Siendo A un vector cualquiera, demostrar que A = A ⋅ i i + A ⋅ j j + A ⋅ k k

 


 
 

Como A = A 1 i + A 2 j + A 3 k, A ⋅ i = A 1 i ⋅j + A 2 j ⋅ i + A 3 k ⋅ i = A 1

⋅ k = A3
A ⋅ j = A2 ; A
 



 
A = A 1 i + A 2 j + A 3 k = A ⋅ i i + A ⋅ j j + A ⋅ k k.
21.Demostrar que A × B = −B × A
(GRAFICA)
El modulo de A × B = C es Ab sin θ y su dirección y sentido son tales que A, B y C forman un
triedro a derechas A
El modulo de B × A = D es BA sin θ y su direccion y sentido son tales que B, A y D forman un
triedor a izquierdas B
Por lo tanto D tiene el mismo sentido contrario, es decir C = −D, o sea , A × B = −B × A
El producto vectorial no goza de la propiedad conmutativa.
22.Siendo A × B = 0 y A y B no nulos demostrar que A es paralelo a B.
Solución:
Si A × B = AB sin θ u = 0, se tiene , sin θ = 0 y θ = 0 ∘ ó 180 ∘
23.Demostrar que |A × B| 2 + |A ⋅ B| 2 = |A| 2 |B| 2
|A × B| 2 + |A ⋅ B| 2 = |AB sin θu| 2 + |AB cos θ| 2 = A 2 B 2 sin 2 θ + A 2 B 2 cos 2 θ
= A 2 B 2 = |A| 2 |B| 2
24.Hallar los productos vectoriales siguientes:
 
(a) i × j

(b)j × k

(c) k × i
 
(d) k × j
 
(e) i × i
=
=
=
=
=

k

i

j

−i
0
 
(f) j × j = 0


(g) i × k = − j 


(h) 2 j × 3 k = 6 i



(i) 3 i × −2 k = 6 j


 
(j) 2 j × i − 3 k = −5 k
25.Demostrar que A × B + C = A × B + A × C en el caso en que A es perpendicular a B y tambien
cuando lo sea en C.
(GRAFICA)
Como A es perpendicular a AB, A × B es un vector perpendicular al plano formado por A y B y
cuyo modulo es AB sin 90 ∘ = AB,
o sea, el modulo de AB. Esto equivale a multiplicar el vector B por A y girar el vector resultante
un angulo de 90 ∘ Hasta la
posicion que se indica en la figura.
A × C es el vector que se obtiene multiplicando C por A y al girar al vector resultante un angulo
de 90 ∘ hasta la posición indicada
en la figura.
De la misma A × B + C es resuleto el vector que se obtiene.
26.Demostrar que A × B + C = A ×B + A × C en el caso general en que A, B, y C no sean
coplanares ni paralelos.
Descomponiendo B en sus componentes, peprpendiculares a A, B 1 , y paralelo a A, B 11 , se tiene,
B = B 1 + B 11
Llamando θ al angulo formado por A y B, B 1 = B sin θ, por lo tanto, el modulo de A × B, es
AB sin θ, es decir, igual que el de
A × B. la dirección ysentido de A × B, son tambien las mismas de A × B.
Por consiguiente, A × B 1 = A × B.
Análogamente si se descompone en C en los vectores C 11 y C 1 paralelo y perpendicular,
respectivamente a A se obtiene,
A × C 1 = A × C.
Tambien, como B + C = B 1 + B 11 + C 1 + C 11 = B 1 + C 1  + B 11 + C 11  se deduce,
A × B 1 + C 1  = A × B + C
Ahora tambien, B, y C, son vectores perpendiculares a A y,
A × B 1 + C 1  = A × B 1 + A × C 1
A × B + C = A × B + A × C
Por lo tanto, que expresa que el producto vectorial goza de la propiedad distributiva respecto de
la suma. Multiplicando por −1, y
teniendo en cuenta , B + C × A = B × A + C × A






27.-Siendo A = A 1 i + A 2 j + A 3 k y B = B 1 i + B 2 j + B 3 k, demostrar que

i
A×B =

j

k
A1 A2 A3
B1 B2 B3






A × B = A1 i + A2 j + A3 k × B1 i + B2 j + B3 k












= A1 i B1 i + B2 j + B3 k + A2 j × B1 i + B2 j + B3 k + A3 k B1 i + B2 j + B3 k

 
 
 
 
 
 
= A 1 B 1 i × i + A 1 B 2 i × j + A 1 B 3 i × k + A 2 B 1 j × i + A 2 B 2 j × j + A 2 B 3 j × k + A 3 B 1 k ×




= A1B2 k + A1B3 j − A2B1 k + A2B3 i + A3B1 j − A3B2 i
  
i
j k



= A 2 B 3 − A 3 B 2  i + A 3 B 1 − A 1 B 3  j + A 1 B 2 − A 2 B 1  k = A 1 A 2 A 3
B1 B2 B3
28.

 


Dados A = 2 i − 3 j − k y B = i + 4 j − 2 k, hallar
aA × B, bB × A, cA + B × A − B, aA × B =
  
i j k




 




2 i − 3 j − k × i + 4 j − 2 k = 2 −3 −1 = i 6 + 4 − j −4 + 1 + k8 + 3 = 10 i +
1
bB × A =
4




 
i + 4 j − 2k × 2 i − 3 j − k
−2
=
 
i j

k
1
−2
4
2 −3 −1
cA + B ×A − B 

 
A + B = 3 i + j − 3 k, A − B = i − 7 j + k



= i −4 − 6 − j −1 + 4 + k−3
A + B × A − B =

 

 
3 i + j − 3k × i − 7 j + k
=
 
i j

k
3
1
−3
1 −7
1


= i 1 − 21 − j 3 + 3 +
29.

 
  


Si A = 3 i − j + 2 k, B = 2 i + j − k y C = i − 2 j + 2 k, hallar aA × B × C, bA × B × C
aA × B
A×B =
A × B × C =

 
  
3 i − j + 2k × 2 i + j − k
=






− i + 7 j + 5k × i − 2 j + 2k

k

i

j
3
−1 2
−2
1
=



= i 1 − 2 − j −3 − 4 + k3 + 2 =
1

i

j

k
−1
7
5
1
−2 2



= i 14 + 10 − j −2 − 5 + k2
bA × B × C
B×C =

  


2 i + j − k × i − 2 j + 2k
A × B × C =
=
 
i j

k
2
1
−1
1 −2
2


 

3 i − j + 2 k × −5 j − 5 k
=



= i 2 − 2 − j 4 + 1 + k−4 − 1 = −5
 
i j

k
3 −1
2



= i 5 + 10 − j −15 + k−15
0 −5 −5
30.Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B es |A × B|.
Area del Paralelogramo = h|B|
= |A|sin θ|B|
= |A × B|
El área del triangulo que tiene por lados A y B es igual a
(dibujo de paralelogramo)
1
2
|A × B|
31.Hallar el area del trinagulo cuyos vertices son los puntos P1, 3, 2, Q2, −1, 3, R1, 2, 3
 


 
PQ = 2 − 1 i + −1 − 3 j + 1 − 2k = i − 4 j − k


 
PR = −1 − 1 i + 2 − 3 j + 3 − 2 k = −2 i − j + k
Area del triangulo =
=
1
2
|PQ × PR| =
1
2

 
  
i − 4 j − k × −2 i − j + k

k

i

j
1
−4 −1
−2 −1
1
2
=
1
2

 
−5 i + j − 9 k =
1
2
−5 2 + 1 2 + −9 2 =
1
32.Determinar el vector
perpendicular
al plano formado por
 unitario



 
A = 2 i − 6 j − 3k y B = 4 i + 3 j − k
A × B Es un vector perpendicular al plano formado por A y B
 
i j
A×B =

k
2 −6 −3
4
3






= i 6 + 9 − j −2 + 12 + k6 + 24 = 15 i − 10 j + 30 k
−1
El vector unitario
en la dirección y sentido de A × B es


 10  30 

15 i −10 j +30 k
A×B
15
2
=
=
i
−
j
+
k
=
i −
7
35
35
35
|A×B|
2
2
2
15 +−10 +30
2
7

j +
6
7

k
33.Deducir el teorema de los senos en un triangulo plano
Sean a, b, y c los lados del triangulo ABC que se representa en la figura en estas condiciones
a + b + c = 0. Multiplicando por
ax, bx, cx, sucesivamente, se obitiene:
a×b = b×c = c×a
es decir, ab sin C = bc sin A = ca sin B
o bien,
sin A
a
=
sin B
b
=
(Dibujo)
sin C
c
34.Considerandoun tetraedro de caras F 1 , F 2 , F 3 , F 4 , y sean V 1 , V 2 , V 3 , V 4 , los vectores cuyos
1
2
107
modulos son respectivamente, las
áreas de F 1 , F 2 , F 3 , F 4 , cuyas direcciones son perpendiculares a dichas caras y de sentido hacia el
exterior de tetraedro.
Demostrar que: V 1 + V 2 + V 3 + V 4 = 0
El area de un triangulo de lados R y S es:
1
|R × S|
2
Los vectores asociados con c/u de las caras del tetraedro son:
V 1 = 12 A × B, V 2 = 12 B × C, V 3 = 12 C × A, V 4 = 12 C − A × B − A
Luego V 1 + V 2 + V 3 + V 4 =
1
2
1
2
A × B + B × C + C × A + C − A × B − A =
A × B + B × C + C × A + C × B − C × A − A × B + A × A =
35.Hallar el momento de una fuerza F respecto de un punto P. El modulo del momento M de una
fuerza F respecto de un punto P es
igual al modulo de la fuerza F, multiplicando por la distancia del punto P a la directriz de F. Por
lo tanto, llamando r al vector que
une P con el origen Q de F, resulta,
M = Fr sin θ = rF sin θ = |r × F|
El sentido de F corresponde al avance de un sacacorchos en P con el sentido de rotacion tal que
lleve a coincidir el primer vector
con el segundo, por el menor de los angulos que lo forman.
(Dibujo)
36.Un sólido rígido gira alrededor de un eje que pasa por D con una velocidad angular ω. Demostrar
que la velocidad lineal v de un
punto P del sólido cuyo vector de posición es r viene dada por v = ω × r, siendo ω un vector de
modulo ω y cuya dirección y
sentido son las del avance de un sacacorchos que gira en el sentido del movimiento.
Como el punto P describe una circunferencia de radio r sea θ, el modulo de la velocidad lineal r
es ωr sin θ = |ω × r| por
consiguiente, v es perpendicular a ω y a r de forma que r, ω, v, formen un triedro a derechas.
Luego viene el mismo modulo,
direccion y sentido que ω × r, es decir, v = ω × r. El vector ω se llama velocidad angular
instantanea.
(Dibujo)
37.Demostrar que el valor absoluto de A ⋅ B × C es igual al volumen de un paralelepípedo de
aristas A, B, y C.
Sea n el vector unitario perpendicular al paralelogramo I con la misma direccion y sentido que
B × C, y h la distancia del extremo
de A al paralelogramo I
Volumen del paralelepípedo = harea del paralelegramo I
= A − n|B × C|
= A ⋅ |B × C|n = A ⋅ B × C
Si A, B y C no forman un triedro a derechas, A ⋅ n < 0 y el volumen = |AB × C|
38.








A = A 1 i + A 2 j + A 3 k, B = B 1 i + B 2 j + B 3 k, C = C 1 i + C 2 j + C 3 k. Demostrar que:
A1 A2 A3
A⋅B×C =

i
B×C =

j

k
B1 B2 B3
B1 B2 B3
C1 C2 C3



= i B 2 C 3 − B 3 C 2  − j B 1 C 3 − B 3 C 1  + kB 1 C 2 − B 2 C 1 
C1 C2 C3






A ⋅ B × C = A 1 i + A 2 j + A 3 k ⋅ B 2 C 3 − B 3 C 2  i − B 1 C 3 − B 3 C 1  j + B 1 C 2 − B 2 C 1  k
A1 A2 A3
A 1 B 2 C 3 − B 3 C 2  + A 2 B 1 C 3 − B 3 C 1  + A 3 B 1 C 2 − B 2 C 1  =
B1 B2 B3
C1 C2 C3
39.

  
 
Hallar 2 i − 3 j ⋅
i + j − k × 3i − k
  
i j k






1 1 −1 = i −1 − j −1 + 3 + k−3 = − i − 2 j − 3 k
3 0 −1





2 i − 3 j ⋅ − i − 2 j − 3k
= −2 + 6 = 4
=
40.Demostrar que A ⋅ B × C = C ⋅ A × B = A × B ⋅ C
En el producto A ⋅ B × C se puede suprimir el parentesis y escribir A ⋅ B × C, ya que en este
caso no existe ambigüedad y las
unicas interpretaciones posibles son de A ⋅ B × C y A ⋅ B × C, pero esta ultima carece de
sentido ya que no esta definido el
producto vectorial C.
La igualdad A ⋅ B × C = A × B ⋅ C se puede expresar diciendo que los productos escalar y
vectorial son permutables.
41.A1 A2 A3
Demostrar que A ⋅ B × C =
B1 B2 B3
C1 C2 C3
Teniendo en cuenta que un determinante si se permuan entre si dos lineas
A1 A2 A3
B1 B2 A3
B1 B2 B3
B 1 B 2 B 3 = − A 1 A 2 B 3 = C 1 C 2 C 3 = B ⋅ C × A
C1 C2 C3
C1 C2 C3
A1 A2 A3
A1 A2 A3
C1 C2 C3
C1 C2 C3
B1 B2 B3
= − B1 B2 B3
C1 C2 C3
A1 A2 A3
=
A1 A2 A3
= C ⋅ A × B
B1 B2 B3
42.Demostrar que AA × C = A × A ⋅ C = 0
43.Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que los vectores A, B, y C sean
coplanarios es que A ⋅ B × C = 0
A ⋅ B × C = A ⋅ B × C
Si A, B, y C son coplanarios, en el volumen del paralelepipedoformado por los vectores A, B y C,
el cero, y por lo tanto los
vectores son coplanarios.
44.








Sean r 1 = x 1 i + y 1 j + z 1 k, r 2 = x 2 i + y 2 j + z 2 k, r 3 = x 3 i + y 3 j + z 3 k, los vectores de
posición de los puntos
P 1 x 1 , y 1 , z 1 , P 2 x 2 , y 2 , z 2 , P 3 x 3 , y 3 , z 3  hallar la ecuación del plano que pasa por P 1 , P 2 y P 3 .
Supongamos que P 1 , P 2 y P 3 no estan alineados, es decir, que determinaron un plano.
  
Sea r = x i + y j + z k el vector de posición de un punto génerico del plano. Considerando los
vectores P 1 P 2 = r 2 − r 1 ,
P 1 P 3 = r 3 − r 1 y P 1 P = r − r 1 . que son complementarios.
En coordenadas rectangulares, 






x − x 1  i + y − y 1  j + z − z 1  k − x 2 − x 1  i + y 2 − y 1  j + z 2 − z 1  k × x 3 − x 1  i + y
x − x1
o bien,
y − y1
z − z1
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
=0
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
45.Hallar la ecuación del plano formado por los puntos P 1 2, −1, 1, P 2 3, 2, −1, P 3 −1, 3, 2.
Px, y, z son respectivamente.
Los vectores deposición de P 1 , P 2, P 3 y de un punto cualquiera

 




  
r 1 = 2 i − j + k, r 2 = 3 i + 2 j − k, r 3 = − i + 3 j + 2 k y r = x i + y j + z k.
Los vectores PP 1 = r − r 1 , P 2 P 1 = r 2 − r 1 , P 3 P 1 = r 3 − r 1 , están situados en el plano pedido,
luego
r − r 1  ⋅ r 2 − r 1  × r 3 − r 1  = 0







 
es decir, x − 2 i + y + 1 j + z − 1 k ⋅ i + 3 j − 2 k × −3 i + 4 j + k






x − 2 i + y + 1 j + z − 1 k ⋅ 11 i + 3 j + 13 k = 0
11x − 2 + 5y + 1 + 13z − 1 = 0 o bien, 11x + 5y + 13z = 30.
=0
46.Sean, a, b, y c los vectores de posición de los puntos P, Q y R no alineados. Demostrar que
a × b + b × c + c × a es un vector
perpendicular al plano formado por P, Q y R.
Llamemos r al vector de posición de un punto genérico del plano formado por P, Q y R.
Los vectores r − a, b − a, y c − a son coplanarios.
Luego a × b + b × c + c × a es perpendicular a r − a y también al plano formado por P, Q y R.
47.Demotrar que aA × B × C = BA ⋅ C − CA ⋅ B.
bA × B × C = BA ⋅ C − AB ⋅ C.









a Sean A = A 1 i + A 2 j + A 3 k, B = B 1 i + B 2 j + B 3 k, C = C 1 i + C 2 j + C 3 k
  
i
j
k



Se tiene A × B × C = A 1 i + A 2 j + A 3 k × B 1 B 2 B 3
=
C1 C2 C3





A 1 i + A 2 j + A 3 k × B 2 C 3 − B 3 C 2  i + B 3 C 1 − B 1 C 3  j + B 1 C 2 − B 2
=

i

j

k
A1
A2
A3
B2C3 − B3C2 B3C1 − B1C3 B1C2 − B2C1


= i A 2 B 1 C 2 − A 2 B 2 C 1 − A 3 B 3 C 1 + A 3 B 1 C3  + A 3 B 2 C 3 − A 3 B 3 C 2 − A 1 B 1 C 2 + A 1 B 2 C 1  j
+A 1 B 3 C 1 − A 1 B 1 C 3 − A 2 B 2 C 3 + A 2 B 3 C 2  k
Tambien, BA ⋅ C − CA ⋅ B





= B 1 i + B 2 j + B 3 k A 1 C 1 + A 2 C 2 + A 3 C 3  − C 1 i + C 2 j + C 3 k A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 


= A 2 B 1 C 2 + A 3 B 1 C 3 − A 2 C 1 B 2 − A 3 B 1 C 3  i + B 2 A 1 C 1 + B 2 A 3 C 3 − C 2 A 1 B 1 − C 2 A 3 B 3  j + B 3
bA × B × C = −C × A × B = −AC ⋅ B − BC ⋅ A = BA ⋅ C − AB ⋅ C habiendo
sustituido
A, B y C de a por C, A y B respectivamente.
48.Demostrar que:
A × B ⋅ C × D = A ⋅ CB ⋅ D − A ⋅ DB ⋅ C.
X ⋅ C × D = X × C ⋅ D Sea X = A × B luego
A × B ⋅ C × D = A × B × C − D = BA ⋅ C − AB ⋅ C ⋅ D
= A ⋅ CB ⋅ D − A ⋅ DB ⋅ C
49.Demostrar que A × B × C + B × C × A + C × A × B = 0
A × B × C = BA ⋅ C − CA ⋅ B
B × C × A = CB ⋅ A − AB ⋅ C
C × A × B = AC ⋅ B − BC ⋅ A
50.Demostrar que:
A × B × C × D = BA ⋅ C × D − AB ⋅ C × D = CA ⋅ B × D − DA ⋅ B × C
X × C × D = CX ⋅ D − DX ⋅ C. Sea X = A × B, entonces,
A × B × C × D = CA × B ⋅ D − DA × B ⋅ C
= CA × B ⋅ D − DA × B ⋅ C
A × B × Y = BA ⋅ Y − AB ⋅ Y. Sea Y = C × D, entonces,
A × B × C × D = BA ⋅ C × D − AB ⋅ C × D
51.- El problema no esta en el cuaderno de apuntes original
52.Demostrar que: A × B ⋅ B × C × C × A = A ⋅ B × C 2
X × C × A = CX ⋅ A − AX ⋅ C. Sean X = B × C; entonces
B × C × C × A = CB × C ⋅ A − AB × C ⋅ C
= CA ⋅ B × C − AB × C ⋅ C = CA × B ⋅ C
Por lo tanto A × B ⋅ B × C × C × A = A × B ⋅ CA ⋅ B × C
= A × B ⋅ CA ⋅ B × C = A ⋅ B × C 2
53.Dados los vectores a 1 =
⋅ b1 =
b×c
a⋅b×c
c×a
a⋅b×c
y c1 =
a×b
a⋅b×c
, demostrar que si a ⋅ b × c ≠ 0
a a 1 ⋅ a = b 1 ⋅ b = c 1 ⋅ c = 1,
b a 1 ⋅ b = a 1 ⋅ c =, b 1 ⋅ a = b 1 ⋅ c = 0, c 1 ⋅ a = c 1 ⋅ b = 0
c si a ⋅ b × c = v, entonces a 1 ⋅ b 1 × c 1 = 1v .
da 1 , b 1 y c 1 no son coplanarios si a, b y c no lo son
a a 1 ⋅ a = a ⋅ a 1 = a ⋅
b1 ⋅ b = b ⋅ b1 = b ⋅
c1 ⋅ b = c ⋅ c1 = c ⋅
a×b
a⋅b×c
b a 1 ⋅ b = b ⋅ a 1 = b ⋅
c a 1 =
b×c
v
, b1 =
Luego a 1 ⋅ b 1 × c 1 =
c×a
v
=
=
b×c
a⋅b×c
c×a
a⋅b×c
=
b×c
a⋅b×c
, c1 =
a⋅b×c
a⋅b×c
b⋅c×a
a⋅b×c
=
c⋅a×b
a⋅b×c
=
=1
= a⋅b×c
=1
a⋅b×c
b⋅b×c
a⋅b×c
a⋅b×c
a⋅b×c
=
b⋅b×c
a⋅b×c
=1
=0
a×b
v
b×c⋅c×a×a×b
v3
=
a×b⋅b×c×c×a
v3
=
a⋅b×c
v3
=
v2
v3
=
1
v
Por lo tanto a 1 ⋅ b 1 × c 1 ≠ 0
54.Demostrar que todo el vector r se puede expresar en función de los vectoresreciprocos del
problema 53 en la forma:
r = r ⋅ a 1 a + r ⋅ b 1 b + r ⋅ c 1 c
BA ⋅ C × D − AB ⋅ C × D = CA ⋅ B × D − DA ⋅ B × C
entonces,
AB⋅C×D
D = A⋅B×C −
BA⋅C×D
A⋅B×C
+
CA⋅B×D
A⋅B×C
Sea A = a, B = b, C = c y D = r, en estas condiciones
r⋅b×c
r⋅c×a
r⋅a×b
b×c
c×a
r = a⋅b×c
a + a⋅b×c
b + a⋅b×c
c = r ⋅ a⋅b×c
a + r ⋅ a⋅b×c
b+r⋅
55.-
a×b
a⋅b×c
c = r ⋅ a 1 a + r ⋅ b 1 b
Hallar: a K ⋅



 


 

 
i + j , b i − 2 k ⋅ j + 3 k , c 2 i − j + 3 k ⋅ 3 i + 2 j − k
  
 
a) k i + j = k i + k j prop. dist.
     
como: i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅ i = 0



ki + kj = 0




b) i − 2 k ⋅ j + 3 k




= i j + 3 k i − 2 k j − 6 k = −6

 

 
c) 2 i − j + 3 k ⋅ 3 i + 2 j − k



= 6 i − 2 j + 3k = 1
56.





Si A = i + 3 j − 2 k y B = 4 i − 2 j + 4 k, hallar:
aA ⋅ B, b|A|, c|B|, d 3A + 2B , e2A + B  ⋅ A − 2B 
a)A ⋅ B =






i + 3 j − 2k ⋅ 4 i − 2 j + 4k
b)|A| =
12 + 32 − 22 =
14
c)|B| =
42 − 22 + 42 =
36 = 6
= 4 − 6 − 8 = −10






d)|3A + 2B| = 3 i + 3 j − 2 k + 2 4 i − 2 j + 4 k
sumamos



11 i + 5 j + 2 k = 11 2 + 5 2 + 2 2 = 150
=






3 i + 9 j − 6k + 8 i − 4 j + 8k
=
e)2A + B  ⋅ A − 2B 
57.




 


Hallar el ángulo
formado por aA = 3 i + 2 j − 6 k y B = 4 i − 3 j + k, bC = 4 i − 2 j + 4 k y



D = 3 i − 6 j − 2 k.



a) A = 3 i + 2 j − 6 k = |A||B| cos θ |A| = 3 2 + 2 2 − 6 2 = 49

 
B = 4i − 3j + k
|B| = 4 2 + 3 2 − 1 2 = 26
A⋅B =




 
3 i + 2 j − 6k ⋅ 4 i − 3 j + k



= 12 i − 6 j − 6 k = 0 ∴ cos θ =
*lo que significa que el ángulo formado es de 90 ∘
b)|C||D| cos θ, C = 4 2 − 2 2 + 4 2 = 36 = 6
|D| = 3 2 − 6 2 − 2 2 = 49 = 7
A⋅B
A B
=
0
49
26









C ⋅ D = 4 i − 2 j + 4 k ⋅ 3 i − 6 j − 2 k = 12 i + 12 j − 8 k = 16
16
∴ cos θ = CC⋅DD = 67
= 16
= 218 = 67 ∘ 36 ′
42
58.

 


¿Para que valores son A = a i − 2 j + k y B = 2a i + a j − 4 k perpendicular?
59.

 


Hallar el valor de a de forma que A = 2 i + a j + k y B = 4 i − 2 j − 2 k sean perpendiculares
si A ⋅ B = 0 ∴ A ⋅ B = 24 + a−2 + 1−2 = 8 − 2a − 2 = 0 donde a = 3
60.


Hallar los ángulos que forma el vector A = 3 i − 6 j + 2 k con los ejes coordenados.
Sean α, β, γ los ángulos que forman A con los semiejes positivos x, y, z, respectivamente.

A ⋅ i = A1 cos α = 3 2 + −6 2 + 2 2 cos α = 7 cos α
 
 


 
 

A ⋅ i = 3 i − 6 j + 2 k ⋅ i = 3 i ⋅ i − 6 j ⋅ i + 2 k ⋅ i = 3 ∴ cos α = 37 = 0. 4286 = 64. 6 ∘
Así mismo cos β = − 67 , β = 149 ∘
cos γ = 27 , γ = 73. 4 ∘
donde α, β, γ son cosenos directores
61.Demostrar el teorema del coseno de un triangulo cualquiera
(Dibujo)
B + C = A,  C = A − B
C ⋅ C = A − B  ⋅ A ⋅ B  = A ⋅ A + B ⋅ B − 2A ⋅ B
Ley de los cosenos C 2 = A 2 + B 2 − 2AB cos θ
62.Demostrar que las diaginales de un rombo son perpendiculares
(Dibujo)
OQ = O P + P Q = A B
O R + R P = O P, o bien, B + R P = A, donde, R P = A − B
luego OQ ⋅ R P = A + B  ⋅ A − B  = A 2 − B 2 = 0, ya que A = B ∴ OQ es perpendicular a
RP
63.


Hallar el valor
unitario
perpendicular
al
plano
formado
por
A
=
2
i
−
6
j
−
3
ky

 
B = 4i + 3j − k



Sea C = C 1 i + C 2 j + C 3 k un vector perpendicular al plano formado por A y B. El vector C es
perpendicular a A y a B, luego,
C ⋅ A = 2C 1 − 6C 2 − 3C 3 = 0, o sea, 1 2C 1 − 6C 2 = 3C 3
C ⋅ B = 4C 1 − 3C 2 − C 3 = 0, o sea, 2 4C 1 − 3C 2 = C 3
Si resolvemos el sistema formado por 1 y 2; C 1 =

 
C = 12 i − 13 j + k ∴ el vector unitario de C es:
C
|C|
C3=
=
C 23
1
2
2
1
2
 1 
i − 3 j +k
+ − 13
2
=
+1 2
3
7

i −
2
7

j +
6
7
1
2
C 3 , C 2 = − 13 C 3 ,

k
78.Efectuar los productos indicados:



a)2 j × 3 i − 4 k
Resolviendo:
  
i j k
a= 0 2 0





= i −8 − 0 − j 0 + k−6 = −8 i − 6 k
3 0 −4


b) i + 2 j
Solución:
 
i j
b= 1 2

×k

k
0



 
= i 2 − 0 − j 4 − 0 + k0 − 0 = 2 i − j
0 0 1




c) 2 i − 4 k × i + 2 j
Resolviendo:
  
i j k






c = 2 0 −4 = i 0 − 8 − j 0 + 4 + k4 − 0 = −8 i − 4 j + 4 k
1 2
0

 
 
d) 4 i + j − 2 k × 3 i + k
Solucionando:
  
i j k






d = 4 1 −2 = i 1 − j 4 + 6 + k0 − 3 = i − 10 j − 3 k
3 0
1

  


e) 2 i + j − k × 3 i − 2 j + 4 k
Resolviendo:
  
i j k






e = 2 1 −1 = i 4 − 2 − j 8 + 3 + k−4 − 3 = 2 i − 11 j − 7 k
3 −2
4
79.
 

 
Si A = 3 i − j − 2 k y B = 2 i + 3 j + k, hallar:
a)|A × B|
Resolviendo:
  
i j k






A × B = 3 −1 −2 = i −1 + 6 − j 3 + 4 + k9 + 2 = 5 i − 7 j + 11 k
2
|A × B| =
3
1
5 2 + 7 2 + 11 2 =
195
b)A + 2B × 2A − B
Solución:


 




A + 2B = 3 i − j − 2 k + 4 i + 6 j + 2 k = 7 i + 5 j = C





 


2A − B = 6 i − 2 j − 4 k − 2 i + 3 j + k = 4 i − 5 j − 5 k = D
  
i j k






C×D = 7 5 0
= i 25 − j −35 + k−35 − 20 = −25 i + 35 j − 55 k
4 −5 −5
c)|A + B × A − B|
Respuesta:


 

 


A + B = 3 i − j − 2k + 2 i + 3 j + k = 5 i + 2 j − 2k = C


 

 


A − B = 3 i − j − 2k − 2 i + 3 j + k = i − 4 j − 3k = D
  
i j k






C × D = 5 2 −2 = i −6 − 8 − j −15 + 2 + k−20 − 0 = 14 i + 13 j − 22 k
1 −4 −3
|C × D| =
14 2 + 13 2 + −22 2 =
849
80.


  



Si A = i − 2 j − 3 k, B = 2 i + j − k y C = i + 3 j − 2 k, hallar:
a)|A × B × C|
Solución:

k
 
i j
A×B =
1 −2 −3
2
−1
1
A × B × C =
|A × B × C| =






= i 2 + 3 − j −1 + 6 + k1 + 4 = 5 i − 5 j + 5 k
 
i j

k
5 −5
5
1
−2
3






= i +10 − 15 − j −10 − 15 − k15 + 5 = −5 i + 15 j + 20 k
5 2 + 15 2 + 20 2 =
b)|A × B × C|
Solución:
  
i j k
B × C = 2 1 −1
650 = 5 26






= i −2 + 3 − j −4 + 1 + k6 − 1 = i + 3 j + 5 k
1 3 −2
 
i j
A × B × C =
1 −2 −3
1
|A × B × C| =

k
3






= i −10 + 9 − j 5 + 3 + k3 + 2 = − i − 8 j + 5 k
5
−1 2 + −8 2 + 5 2 =
90 = 3 10
c)A ⋅ B × C
Solución:
considerando el producto B × C del inciso b tenemos;



B × C = i + 3 j + 5k
Entonces
A ⋅ B × C =






i − 2 j − 3k ⋅ i + 3 j + 5k
= 1 − 6 − 15 = −20
d)A × B ⋅ C
Solución:
Tomando el productoA × B del inciso a, tenomos que:


A × B = 5 i − 5 j + 5k
entonces;
A × B ⋅ C =






5 i − 5 j + 5k ⋅ i + 3 j − 2k
= 5 − 15 − 10 = −20
e)A × B × B × C
Resolviendo:
Considerando del inciso
 a y b, entonces:


A × B = 5 i − 5 j + 5k = E


B × C = i + 3 j − 2k = F
Luego, entonces:
 
i j
E×F =

k
5 −5 5
1
3






= i −25 − 15 − j 25 − 5 + k15 + 5 = −40 i − 20 j + 20 k
5
f)A × BB ⋅ C
Solución:
De acuerdo al inciso a el producto A × B es:


A × B = 5i − 5j + 
5k = E

 


B ⋅ C = 2 i + j − k ⋅ i + 3 j − 2 k = 2 + 3 + 2 = 7 = F



EF = 35 i − 35 j + 35 k
82.

 
 
Hallar el area del paralelogramo cuyas diagonales son A = 3 i + j − 2 k y B = 3 i + j − 2 k.
Solución:
A×B =
 
i j

k
3
1
−2
1 −3
4






= i 4 − 6 − j 12 + 2 + k−9 − 1 = −2 i − 14 j − 10 k
|A × B| =
2 2 + −14 2 + −10 2 =
300 = 5 3
83.Hallar el área del triangulo cuyos vértices
−1,21, −1, −3 y 4, −3, −1
 son 3,



PQ = 1 − 3 i + −1 + 1 j + −3 − 2
k
=
−2
i
−
6k
 
 


PR = 4 − 3 i + −3 − 1 j + 1 − 2 k = i − 4 j − k
Area del triangulo =
A=
1
2

i

j

k
−2
0
−6
1
−4
1
1
2
|PQ × PR|
=
1
2



i 0 − 24 − j 2 − 6 + k8 − 0 =
1
2



−24 i − 8 j + 8 k =
1
2
84.Si A = 2i + j − 3k y B = i − 2j + k, hallar un vector de modulo 5 ⊥ a los vectores A y B.
92. 

   


Hallar la constante a de forma que los vectores 2 i − j + k, i + 2 j − 3 k y 3 i + 4 j + 5 k sean
coplanares.
93.Siendo A = x 1 a + y 1 b + z 1 c, B = x 2 a + y 2 b + z 2 c y C = x 3 a + y 3 b + z 3 C dan que:
x1 y1 z1
A ⋅ B × C = x 2 y 2 z 2 a ⋅ b × c
x3 y3 z3
94.Demostrar que la A ⋅ B × C = A × B ⋅ C
95.
 
Los vectoresde posoción, con respecto al origen de los puntos P, Q, R, son r 1 = 3 i − 2 j − k,


r2 = i + 3 j + 4k y 
 
r 3 = 2 i + j − 2 k, respectivamente, hallar la distancia de P al plano OQR.
96.Hallar la distancia desde el punto 6, −4, 9 a la recta que pasa por 2, 1, 2 y 3, −1, 9
97.Dados los puntos P2, 1, 3, Q1, 2, 1, R−1, −2, −2 y S1, −9, 0. Hallarla mínima distancia
−24 2 + 8 2 + 8
entre las rectas PQ y RS.
98.Demostrar que las alturas de un triangulo se cortan en un punto.
99.Demostrar que las mediatrices de un triangulo se se cortan en un punto.
100.Demostrar que A × B ⋅ C × D + B × C ⋅ A × D + C × A ⋅ B × D = 0
101.Sea PQR un triangulo esférico cuyos lados p, q, r son arcos de circulo maximo. Deducir el
teorema
del coseno de los triangulos esféricos
cos p = cos q cos r − sin q sin r cos p
Ind.- Interpetar los dos miembros de la identidad
A × B ⋅ A × C = B ⋅ CA ⋅ A − A ⋅ CB ⋅ A
102.Hallar un sistema de vectores reciproca al formado por
2i + 3j − k, i − j − 2k, −i + 2j + 2k
103.Si a =
b×c
a⋅b×c
, b1 =
c×a
a⋅b×c
, y c1
a×b
a⋅b×c
, denque a =
b 1 ×c 1
a 1 ⋅b 1 ×c 1
,b=
c 1 ×a 1
a 1 ⋅b 1 ×c 1
,c=
a 1 ×b 1
a 1 ⋅b 1 ×c 1
104.Siendo a, b, c y a 1 , b 1 , c 1 tales que a 1 ⋅ a = b 1 ⋅ b = c 1 ⋅ c = 1
a1 ⋅ b = a1 ⋅ c = b1 ⋅ a = b1 ⋅ c = c1 ⋅ a = c1 ⋅ b = 0
demostrar que a 1 =
b×c
a⋅b×c
105.Demostrar que que el unico sistema de vector que es reciproco de su
106.Demostrar que soo existe un sistema de vectores reciprocos de un lado de vectores no
coplanarios ni paralelos a, b, c.
Problemas Capítulo 3
Diferenciacion vectorial
Problemas Resueltos
1.


Siendo Ru = xu i + yu j + zu k y x, y 2 funciones derivables de un escalar u, demostrar
que:

i +
dR
du
=
dx
du
dR
du
=
lim
Δu→0
=
lim
Δu→0
dv
du
=

j +
dz
du

k
Ru+Δu−Ru
Δu
xu+Δu−xu
Δu

i +
=
lim
Δu→0
yu+Δu−yu
Δu





xu+Δu i +yu+Δu j +zu+Δuk − xu i +yu j +zu k
=
Δu

j +

k =
zu+Δu−zu
Δu
dx
du

i +
2.
 
2
, b ddt R2 , c
Siendo R = sin t i + cos t j + t k hallar a dR
dt
=
a dR
dt
d
dt
2
b ddt R2 =
c
dR
dt
d
d2 R
dt 2

sin t i +
d
dt
=
=
dR
dt
d
dt
=

cos t j +
d
dt

cos t i −
d
dt
dy
du

j +
dR
dt
dz
du
, d
=

k
d2 R
dt 2
,

 
t k = cos t i − sin t j + k
d
dt

sin t j +
cos t 2 + 1 − sin + 1 2 + 1 2 =
d
dt



1 k = − sin t i − cos t j
2
−sin t 2 + − cos t 2 = 1
3.Una particula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramétricas son
x = e −t , y = 2 cos 3t, z = 2 sin 3t
siendo t = el tiempo.
(a)Hallar su velocidad y su aceleracion en función del tiempo (ley de velocidades y
aceleraciones)
(b)Hallar el modulo de la velocidad y de la aceleracion en el instatnte t = 0.


 


(a) El vector de posición r de la partícula es r = x i − y j + 2 k = e −t j − 6 sin 3 + j + 6 cos 3 + k
La velocidad es y =
y la aceleración a =
dr
dt



= −e −t j − 6 sin 3 + j + 6 cos 3 + k
d2r
dt 2



= e −t i − 18 cos 3t j − 18 sin 3t k
(b)En el instante r = 0,
dr
dt


= − i + 6k y


= i − 18 j . Por lo tanto :
d2r
dt 2
Módulo de la velocidad en t = 0, −1 2 + 6 2 =
Módulo de la aceleración en t = 0, 1 + −18
2
3
37
=
325
4.Una Partícula se mueve a lo largo de una curva x = 2t 2 , y = t 2 − 4t, z = 3t − 5 siendo el t el
tiempo. Hallar los componentes de la
velocidad y de la aceleración en el instante t = 1 y en la dirección i − 3j + 2k.
Velocidad =
at t = 1
dr
dt
=
d
2i


2t 2 i + t 2 − 4f j + 3t − 5 k



El vector unitario en la dirección i − 3 j + 2 k es






= 4t i + 2t − 4 j + 3 k = 4 i − 2 j + 3 k
  
i −3 j +2 k
V1 2 +−3 2 +2 2
=
  
i −3 j +2 k
14
Luego la componente de la velocidad en la dirección dada es
  
  
4 i −2 j +3 k ⋅ i −3 j +2 k
=
61+−2−3+32
14
Aceleración =
=
16
14
14
d2 r
dt 2
=
d
at
 dr
at  =
d
at
=
8 14
7



at i + 2t − 4 j + 3 k



= 4 i + 2 j + 0k
La componente de la aceleración dada es:
  
  
4 i +2 j +0 k ⋅ i −2 j +2 k
14
=
41+2|−3|02
=
14
−2
14
=
− 14
7
5.Las ecuaciones paramétricas de una curva C son x = xs, y = ys, z = 2ssiendo s la logitud
del arco C medida desde el punto
fijo de ella. Llamando r al vector de posisción de un punto genérico de C. Demostrar que dr
es
ds
un vector unitario tangente a C.
 
d
El vector dr
=
x
i + x j + 2k
ds
ds
x = x3, y = y5, z = z5.
dx
ds

i +
dy
ds

j +
d2
d3
k es tangente a la curva
Para demostrar que su modulo, es la unidad, tenemos:
=
dr
ds
dx
ds
2
2
dy
ds
+
+
2
dz
ds
dx 2 +dy 2 +dz 2
=
ds 2
=1
ya que as 5 + dx 2 + dy 2 + dz 2 según se estudia
6.(a) Hallar el vector tangente unitario en un punto cualquiera de la curva
x = r + 1, y = 4f − 3, z = 2f 2 − 6t
(b) Hallar el vector tangente en el punto correspondiente al instante t = 2
(a) El vector tangente a la curva en uno de sus puntos es:
dr
d2
=
d
d2



2 2 + 1 i + 4z − 3 j + 2t 2 − 6t k
El módulo del vector es

 
2+ i +4 j +4t−6 k
=
dr
dz



= 2 i + 4 j + 4f − 6 k
=

 
2f i +4 j +4+−6 k
Luego el vector tangente unitario pedido es T =
Obsérvese que, como
=
dr
dz
dr
ds
2t 2 +4 2 +4+6 2
ds
dt
⋅T =
dr/dt
ds/dz
=
2t 2 +4 2 +4+−6 2
dr
dz
  
4 i +2 j +2 k
(b) En f = 2, el vector tangente unitario es T =
4
=
2
3
2 +4 2 +2 2

i +
2
3

j +
1
3

k
7.Siendo A y B funciones derivables de un escalar u demostrar:
(a)
d
du
d
du
A ⋅ B  = A ⋅
(a)
A ⋅ B  =
lim
Δu→0
=
dB
du
+
dA
du
⋅ B, (b) dud A × B  = A ×
A≠ΔA+13+ΔB−A⋅B
Δu
=
lim
Δu→0
Otro método
d
d
u A ⋅ B = du A 1 B 1 − A 2 B 2 − A 3 B 3  =
= A ⋅ dB
+ dA
⋅B
du
du
=
A1
A⋅ΔB+ΔA⋅ΔB
Δu
db
du
+ A2
dB 2
du
dB
du
+
dA
du
= lim A ⋅
+ A3
dB 3
du
×B
AB
Δu
+
+
ΔA
Δu
dA 1
du
B+
ΔA
Δu
B1 +
dA 2
du
AB = A
B2 +
dB
du
dA 3
du
B

i
(b) dud A × B =
d
du

k

j
A1 A2 A3
B1 B2 B3



i
j
k

i

j

k
A1
A2
A3
dA 1
du
dA 2
du
dA 3
du
dB 1
du
dB 2
du
dB 3
du
B1
B2
B3
= A×
+
dB
du
dA
du
×B
8.
 


Dado A = 5t 2 i + t j − t 3 k y B = sin t i − cos t j .
Hallar: (a) dtd A ⋅ B, (b) dtd A × B , (c) dtd A ⋅ A
(a) dtd A ⋅ B = A ⋅ dB
+ dA
⋅B =
dt


dt

 


2
3
5t i + tj − t k ⋅ cos t i + sin t j + 10t i + j − 3t k ⋅ sin t i − cos t j


= 5t 2 cos t + t sin i + 10t sin t − cos t = 5t 2 − 1 cos t + 11t sin t
(b) dtd A × B  = A ×
db
dt
+
dA
dt
×B =

i

j

k
6t 2
2
−r 3
+

i

j

k
10t
t
−3r 2
cos t sin t 0
sin t cos t 0




= t 2 sin t i − r 2 cos t j + 6t 2 sin t − t cos tk + −3r 2 cos t i − 3t 2 sin t j + 10t cos t − sin tk



6t sin t − 3t 2 cos t i − t 2 cos t − 3t 2 sin t j + 5t 2 sin t − sin t = 11 + cos t k

 
 
(c) dzd A ⋅ A = A ⋅ dA
− dA
⋅ A = 2A ⋅ dA
= 2 5t 2 i − t j − t 3 k + 10t i + j − 3t 2 k =
dt
dt
dt
100t 3 + 20 + 6t 3
9.Siendo A de módulo conbstante, demostrar que A y da
son perpendiculares, siempre que
dt
dA
≠0
dt
Como A es de módulo constante, A ⋅ A =constante.
Luego, dtd A ⋅ A = A ⋅ dA
+ dA
⋅ A = 2A ⋅ dA
=0
dt
dt
dt
Así pués, A ⋅
dA
dt
= 0 y A es perpendicular a
dA
dt
simpre que
10.dc
Demostrar que dud A ⋅ B × C = A ⋅ B × du
×c+
derivables
de un escalar a
d
A ⋅ B × C = A ⋅ dud B × C + dA
⋅ B ×C
du
du
dc
= A ⋅ B × du
+ dB
× C + dA
⋅ B ×C
du
du
dC
dB
dA
= A ⋅ B × du + A ⋅ du × C + du ⋅ B × C
dA
du
dA
dt
≠0
⋅ B × C, siendo A, B, C, funciones
=
11.Hallar
d
dt
V⋅
d
dt
V−
dv
dt
×
dv
du
d2v
dt 2
×
d2v
dt 2
= v⋅
du
dt
×
d3y
dt 3
+
vd 2 v
dt 2
+
dv
dt
⋅
×
dv
dt
d2y
dt 2
= v⋅
×
du
dt
d3v
dt 3
= 0 + 0 = v dv
×
dt
d3y
dt 3
12.

Una partícula se mueve de forma que su vector de posición viene dado por F = cos ωt i + sin ωt j
siendo ωuna constante. Demostrar que a la velocidad v de la paritcula es perpendicular a r, |b|
la
aceleracion a esta dirigida hacia el origen y su módulo es proporcional a su distancia al mismo
cr × v = vector constante.


=
−ω
sin
ωt
i
+
ω
cos
ωt
j
av = dr
dt




Se tiene r ⋅ v cos ωt i + sin ωt j − −ω sin ωt i + ω cos t j
cos ωt − ωsin ωt + sin ωtω cos ωt = 0
Luego r y v son perpendiculares.
2
b ddt 2r = dv
 dt

ω 2 cos ωt i − ω 2 sin ωt j


ω cos ωt i + sin ωt j = −ω 2 r
El módulo es proporcional a |r| que es la distancia al origen
c




r × v = cos ωt i + sin ωt j × −ω sin ωt i + ω cos t j
=

k
cos ωt
sin ωt
0
=
−ω sin ωt ω cos ωt 0

ωcos ωt + sin ωf k = ωk Vector constante.
13.Demostrar:
2
2
A × ddt B2 − ddt A2 × B = dtd A × dB
− dA
×B
dt
dt
d
dB
dA
d
dB
A × dt − dt × B = dt A × dt − dtd dA
×B =
dt
dt
2
d2B
dA
dB
dA
dB
d2A
A × dt 2 + dt × dt − dt × dt − dt 2 × B = A = ddt B2 −
14.Demostrar que A ⋅ dA
= AdA
 dt

dt
Sea A = A 1 i + A 2 j + A 3 k luego A =
=

j
2
2
dA
dt

i
1
2
A 21 + A 22 + A 23 
− 12
d2A
dt
×B
A 21 + A 22 + A 23
2A dA
+ 2A 2
dr
dA 2
dt
+ 2A 3
dA 3
dt
=
A
dA 1
dt
+A 2
dA 2
dt
+A 3
A 21 +A 22 +A 23
1
2
dA 3
dt
=
A⋅ dA
dt
A1
es decir,
A dA
= A dA
dt
dt
Si Aes un vector constante A ⋅
dA
dt
=0
15.

Si A = 2x 2 y − x 4  i + e xy − y sin x j + x 2 cos yk, Hallar:
∂A
∂x
⋅
∂A
∂y
⋅
∂2A
∂x 2
⋅
∂2A
∂y 2
⋅
∂2A
∂x∂y
⋅
∂2A
∂y∂x


= ∂x∂ 2x 2 y − x 4  i + ∂x∂ e xy − y sin x j +



4xy − 4x 3  i + yexy − y cos x j + 2x cos y k
∂
∂x

x 2 cos y k =


2x 2 y − x 4  i − ∂y∂ e xy − y sin x j +


2x i + xe xy − sin x j − x 2 sin y k
∂
∂y

x 2 cos y k =
∂A
∂x
∂A
= ∂y∂
∂y

2


= ∂x∂ 4xy − 4x 3  i + ∂x∂ ye xy − y cos x j +



4y − 12x 2  i + y 2 e xy + y sin x j − 2 cos y k
∂2A
∂x 2
∂
∂x

2x cos y k =


xe xy − sin x j − ∂y∂ x 2 sin y k =



0 + x e j − x cos y k = x 2 e xy j − x 2 cos y k




∂2A
= ∂y∂ ∂x∂ = ∂y∂ 2x 2  i + ∂x∂ xe xy − sin x j − ∂x∂ j + x 2 sin y k =
∂x∂y



4x i + xye xy − cos x j − 2x sin y k
∂2A
∂y 2

∂
2x 2  i
∂y

2 xy
2
=
+
∂
∂y

2
4xy − 4x 3  + ∂y∂ ye xy − y cos x j +



4x i + xye xy + e xy − cos x j − 2x sin y k
∂2A
∂y∂x
=
∂
∂y
∂
∂x
=
∂
∂y
16.


Si φx, y, z = xy 2 z y A = xz i − xy 2 j + yz 2 k. Hallar



φA = xy 2 z xz i − xy 2 j + yz 2 k
∂2
∂x∂x
φA  =
∂3
∂x 2 ∂z
φA =
=

x2y2z2 k
∂
∂x



x 2 y 2 z 2 i − x 2 y 4 z j + 3xy 3 z 2 k
∂
∂x



4xy 2 z i − 2xy 4 j + 3y 3 z 2 k
∂3
∂x 2 ∂ 2
∂
∂y

2 cos y k =
φA en el punto 2, −1, 1.



= 2x 2 y 2 z i − x 2 y 4 j + 3xy 3 z 2 k




= 4xy 2 z i − 2xy 2 z i − 2xy 4 j + 3y 3 z 2 k


= 4y 2 z i − 2y 4 j




Para x = 2, y = −1, z = 1 se obtiene 4−1 2 1 i − 2−1 4 j = 4 i − 2 j
17.-
Dado el vector F función de las variables escalares x, y, z f y x, y y z, a su vez, funciones de t ,
demostrar que
∂Fdy
dF
= ∂F
+ ∂Fdx
+ ∂ydt + ∂Fdz
dt
∂t
∂xdt
∂zdt



Supongamos que F = F 1 x, y, z, t i + F 2 x, y, z, t j + F 3 x, y, z, t k.
Entonces.




1
1
1
dF = dF 1 i + dF 2 j + dF 3 k = ∂F∂t1 dt + ∂F
dx + ∂F
dy + ∂F
i +
∂x
∂y
∂z


∂F 2
∂F 2
∂F 2
∂F 2
∂F 2
∂F 3
∂F 3
3
3
dt + ∂x dx + ∂y dy + ∂t dt + ∂z dz j + ∂t dt + ∂x dx + ∂F
dy + ∂F∂t3 dt + ∂F
dz k =
∂t
∂y
∂z


 ∂F 2  ∂F 3 
 ∂F 2  ∂F 3 

∂F 1 
1
1
1
i + ∂F∂t2 j + ∂F∂t3 k dt + ∂F
i + ∂x j + ∂x k dx + ∂F
i + ∂y j + ∂y k dy + ∂F
i +
∂t
∂x
∂y
∂z
dy
∂F
∂F
∂F
Luego, dF
= ∂x + ∂x dx
+ dF
+ ∂z dz
dt
∂t
dy ∂t
dt
Geometria diferencial.
18.= KN, b dB
= −γN ⋅ c dN
= TB − KT.
Demostrar las fórmulas de Frenet Serret a dF
ds
ds
ds
aComo T ⋅ T = 1 se deduce que T ⋅
dF
ds
= 0 es decir
dT
ds
es perpendicular a T
Sea N el vector unitario en la dirección y sentido de dF
; entonces,
ds
normal
principal, k es la cobertura y e = 1k es el radio de la corvatura.
bSea B = T × N, entonces
dB
dS
Luego T ⋅
= 0, es decir, T es perpendicular a
dB
dS
= T⋅T×
dN
dS
= T×
dN
dS
+
De B ⋅ B = 1 se deduce que B dB
, es decir,
dS
formado por T y N.
dB
dS
dT
dS
dB
dS
N = T×
dN
dS
dT
ds
= KN. El vector N es la
+ KN × N = T dN
dS
dB
dS
es perpendicular a B, y esta situado en el plano
Como dB
pertenece al plano de T y N y es perpendicular a T 1 es paralelo a N 1 luego
dS
= −TN
El vector B es la normal r es la torsión y a =
1
r
es el radio.
c Como T N y B forman un triedro a la derecha, tambien lo forman N, B y T, es decir
N = B × T.
Luego
dN
dr
= B ddST ×
dB
dS
× T = B × RN − rN × T = −R T + rB = rB + R T
19.Representar la curva x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 4t y hallar aelvector tangente unitario T , b
la normal
principal N, la curvatura K y el radio de la curvatura ϱ c la binomial B, la torsión t y el radio de
torsion σ.
Esta curva se llama hélice circular y se represneta en la figura , como t = 4z , las ecuaciones de la
curva en
función de este último parametro son x = 3 cos 4z , y = 3 sin 4z perteneciendo a superficie
lateral del
cilindro x 2 + y 2 = 9
a El vector de posición de un punto genérico de la curva es:



r = 3 cos t i + 3 sin t j + 4t k
ds
dt
=



= −3 sin t i + 3 cos t j + 4 k
dr
dt
Luego,
=
dr
ds
⋅
dt
dt
dr
ds
b ddtT =

− 35 sin t i +
dT
ds
=
Como
d T /dt
ds/dt
dT
ds
Luego k =
De
dT
dS
−3 sin t 2 + 3 cos t 2 + 4 2 = 5

= − 35 sin t i +
dr/dt
ds/dt
Así pués, f =
d
dt
=
=
dr
ds
3
5

= − 253 cos t i −
= kM
dT
ds
dT
ds
=

cos t j +
o
4
5

cos t i +
− 35 sin t
4
5
2
− 253 cos t
− cos t
=
4
5

k

= − 35 sin t j

= |k||M| = k cos k ≥ 0
1
k

i
dB
dt
k

cos t j +

sin t j
3
25
= KN se obtiene N =
cB = T × N =
4
5
3
5
3
5
⋅
+ − 253 sin t
dT
ds

k
cos t
4
5

sin t j − sin tj dB
=
dS
=
3
25
tP =
1
k
=
25
3


= − cos t i − sin t j

j
− sin t
2
=
4
5

sin t i −
4
5

cos t j +
3
5

k
0
dB/dt
ds/dt
=
4
25

cos t i +
4
25



sin t j − TN = −T − cos i − sin t j
bien T =
4
25
yσ =
1
r
=
25
4
20.Demostrar que el radio de la curvatura de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = xs,
y = ys,
2
d2x
ds 2
z = z2 viene dado por p =
+
d 2y
ds 2
2
=
d2x
ds 2
− 1e
2
d2z
ds 2
+



El vector de posición de un punto genérico de la curva es r = xs i + ys j + zs k.
Luego T =
Pero
=
dr
ds
dx
ds

i +
dy
ds

j +
dz
ds
= KN, con lo que K =
dT
ds
ya que p =

ky
dT
ds
2
d 2x
ds 2
=
dT
ds

i +
d2r
ds 2
d3r
ds 3
×
=
T ⋅ KN × KTB  − K 2 T +
= T ⋅ K 2 TN × B − K 3 N × T + K dK
N×N
dS
22.Dada la curva x = t, y = t 2 , z =
2 3
t , hallar
3


aEl vector de posición es r = t i + t 2 j +
ds
dt
=
T=
dt
dr
dr
ds
=

j +
d2y
ds 2
+
2
d2z
ds 2
+

k
d2z
ds 2
2
quedanod demostrado
1
k
21.2
3
Demostrar que ddsr ⋅ dds 2r × dds 3r = PT2 ⋅ dr
= T⋅
ds
dk
dK
2
KrB − KT + ds N × KTR − K T + ds N
dr =
d2y
ds 2
dr
dt
=
dr
ds
⋅
=
d r /dr
ds/dt
=
  2
i +2t j +2t k
1+2t 2
dr
dt
=


 
1+2t 2 +4t k − i +2t j +2t 2 k
Entonces
1+2t 2
dT
ds
=
b De a. N =
2
dT/dt
ds/dt
1 dt
k ds
dT
ds
= KN ⋅
=
2
−4 2 + 2−4t 2
+4t 2
3


−2t i + −2t 2 j +2tk
1+2t 2
d3r
ds 3
= K dN
+
ds
N
= TK 2 rT × K 3 B = K 2 T =
T
P3
ala curvatura xb la torsión T

2 3
t k.
3
Por lo tanto,

 
−4t i + 2−4t 2 j +4t k
1+2t 2
=
dK
dS
=
2
1 2 + 2t 2 + 2t 2  = 1 + 2t 2
1+2t 2
=
d2r
ds 2
2
=
2
1+2t 2
2
dr
dt



= i + 2t j + 2t 2 k
dK
ds
N=
Por lo tanto B = T × N =
De aquí que
dB
dt
=
2
1+2t 2

j

k
1
1+2t 2
2
1+2t 2
2t 2
1+2t 2
−2r
1+2t 2
1−2t 2
1+2t 2
2t
1+2t 2


4t i +4t−2 j −4rk
1+2t 2
Tambien −TN = −T
T=

i
2
= 4 dB
=
ds


−2t i + 1−2t 2 j +2tk
1+2t 2
dB/dt
ds/dt
. Como
=
=
dB
ds
  
2t 2 i −2t j + k
1+2t 2


4t i + 4t 2 −2 j −4tk
1+2t 2
2
= −TN se obtiene
así ∗ K = T
2
23.Halla las ecuaciones, vectorial y cartesiana de la a tangente b normal principal y c
binomial a la curva
del problema 22 en el punto correspondiente a t = 1.
Sean T 0 , N 0 y B 0 los vectores, tangente, normal principal, y binomial en el punto dado.
T0 =
  
i +2 j +2 k
3
N0 =
  
−2 i − j +2 k
3
B0 =
 
2 i −2 j +k
3
Si A es un vector dado y r 0 y r son, respectivamente, los vectores de posición del origen y de un
punto
genérico de A, el vector r − r 0 es paralelo a A y la ecuación de A es r − r 0  × A = 0
Por lo tanto: La ecuación de la tangente es
La ecuación de la normal principal es
La ecuación de la normal es
r − r 0  × T 0 = 0
r − r 0  × N 0 = 0
r − r 0  × B 0 = 0
24.Hallar las ecuaciones, vectorial y cartesiana, del plano a oscualdor b normal y c
rectificante de la curva,
de los problemas 22 y 23 en el punto correspondiente a t = 1
a El plano osculador es que contienen a la tangente y a la normal principal. Si r es el vector de
posición de
un punto genérico del plano y r 0 el vector de posición del punto corresponidente a t = 1,
entonces r − r 0 es
perpendicular a la binomial B 0 en dicho punto, es decir r − r 0  ⋅ B 0 = 0
b El plano normal es perpendicular a la binomial B 0 en dicho punto. Luego la ecuación pedida
es
r − r 0  ⋅ T 0 = 0
c El plano rectificante es perpendicular a la normal en el punto dado. La ecuación pedida es
r − r 0  ⋅ N 0 .
Las ecuaciones de a, b y c en coordenadas rectangulares son, respectivamente.
2x − 1 − 2y − 1 + 1 2 − 23 = 0
1x − 1 − 2y − 1 + 2 2 − 23 = 0
−2x − 1 − 1y − 1 + 2 2 − 23 = 0
25.a Demostrar que la ecuación r = u, v es la correspondiente a una superficie.
b Dmostrar que
ar
au
representa un vector normal a la superficie.
c Hallar un vector unitario normal a la siguiente superficie siendo a = 0.



r = a cos u sin v i + a sin u sin u j + a cos cos u k
a Si consideramos que u toma un valor fijo u 0 entonces r = ru 0, y representa una curva que la
representamos por u = y 0 .
Analogamente, u = u 1 define otra curva r = ru 0 − y Al variar u 1 r = ru 1 v representa una
curva que se mueve en el espacio
generando una superficie como se indica en la figura .
Las curvas u = u o u = u i . . . . . . , pertenecen a esta superficie asícomo las curvas u = u 0 y
v = v 0 , por ejemplo se cortan en el
punto u 0 , v 0 dela superficie. el par de números u, v
b Consideremos un punto P de la superficie s cuyas coordenadas son v 0 ⋅ v 0  como se indica
ar
en el
en la figura. El vector au
ar
punto P se obtiene derivando r respecto de u manteniendo v = constante v 0 este vector au
en el
punto P es tangente a la curva
v = v 0 en dicho punto.
∂r
Analogamente ∂v
en P es un vector tangente a la curva u = constante = u 0 . Como ambos
∂r
vectores, ∂v , son tangentes en el punto
P a dos curvas de la superficie, se deduce que tambien son tangentes a la superficie en dicho
punto.
Luego,
∂r
∂u
×
∂r
∂v
es un vector normal a S en D
c
∂r
∂u


= − sin u sin v i + a cos u sin v j
∂r
∂v



= a cos u cos v i + a sin u cos u j − a sin y k
Entonces
∂r
∂u
×
∂r
∂v
=

i

k

j
−a sin u sin v a cos u sin v



= a 2 cos u sin 2 v j − a 3 sin u sin 2 v j − a 2 sin v cos v k
0
a cos u cos v a sin u cos v − sin v
Representan un vector normal a la superficie en un punto cualquiera u, v
El vector unitario se obtiene dividiendo
ar
au
×
ar
av
a 4 cos 2 sin 4 v + a 4 sin 4 u sin 4 v + a 4 sin 2 v cos 3 v =
ar
por su modulo | au
×
ar
av
| dada por
a 4 cos 2 u + sin 2 u sin 6 y + a 4 sin 2 y cos 2 y =
a 4 sin 5 ysin 2 y + cos 2 y = a 2 sin v si sin v > 0 y −a 2 sin v si sin v < 0



Luego son los vectores normales unitarios, dados por 1 cos u sin v i + sin u sin v j + cos v k
= ±n
La superficie en cuestión está definida por las ecuaciones x = a cos u sin v e y = a sin u sin v,
z = a cos v, de las cuales se obtiene x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que es la ecuación de una esfera de radio a.
Como r = a, se deduce que:



n = cos u sin u i + sin u sin v j + cos v k
es el vector unitario, normal exterior a la esfera en el punto u, v
26.Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie z = x 2 + y 2 en el punto 1, −1, 2.
Sean x = u, y = v, z = u 3 + v 3 las ecuaciones parametricas de la superficie el vector de posición
de un punto cualquiera de ella
es:

 
r = u i + v j + u 3 + v 3  k
Entonces
v = −1
∂r
∂u
 

= i + 2u k = i + 2k,
∂r
∂v
 


= j + 2v k = j − 2 k en el punto1, −1, 2 siendo u = 1 y
La normal n a lasuperficie en este punto es 




∂r
n
× ∂v
= i + 2 k × j − 2k = −2 j + 2 j + k
∂r
∂u

 
El vector de posición del punto 1 − 1, 2 es R 0 = i + j + 2 k
El vector de posición de un punto genérico del plano es:

 
R = x i + x j + 2k
Como indica la figura, R − R 0 es perpendicular a n , luego la ecuación del plano pedido es
R − |R 0 | a = 0 o bien


 
 

 
1 × i + y j + 2k − i − j + 2k
⋅ −2 j + 2 j + k = 0 es decir,
−2x − 1 + 2y + 1 + z − 2 = 0, o sea, 2x − 2y − z = 2
27.Demostrar que la aceleración de ∂ de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el
espacio, con una velocidad v viene
dada por:
∂ =
dv
dz
T+
V2
P
N
Siendo T el vector tangente unitario a la curva, N la normal principal y e el radio de curvatura
Velocidad v = módulo de v multiplicado por el vector unitario tangente T o bien v = v T
Derivando
a = dv
= dtd v r  = dv
T + v ddtT así ddsr ds
= KN ds
= K × N vN
p
dt
dz
dt
dz
Por lo tanto → a =
du
dr
r+v
vN
p
=
dv
dt
T =
v2
p
N
28.Sea r el vector de posición respecto de un punto 0, de una partícula de masa m y F la fuerza
exterior que actua sobre la misma; el momento de F respecto de O viene dado por M = r × F.
Demostar que M = dH
siendo H = r × mv y la velocidad de la partícula.
dt,
d
M = r × F = r × dt mv
Pero dtd r × mv = r × dtd mv + dr
× mv
dt
= r × dtd mv + v × mv = r × dtd mv + 0
M = dtd r × mv = dR
dt
es decir, En el caso general de uns sistema de particulas de marcas m 1 , m 2 . . . . . . . . . . , m n y
vectores de posición r 1 , r 2 . . . . . . , r n sometido al sistema de fuerzas exteriores F 1 , F 2,,, el momento
cinético resultante es H =
∑n
A=1
mk r a × V A .
∑ An r a × F A y se verifica que N =
El par resultante es M
dH
dt
29.


Consideremos un vector A = A 1 j + A 2 j + A 3 j referida a un sistema de coordenadas xy 2 de
origen 0. Su derivada respecto al segundo que se mantiene fijo en el espacio
y dA
a S = dA
df
df
f
m
Son las derivadas de A respecto de los sistemas fijo y movil, espectativamente, demostrar que
existe un vector ω tal que
dA
dz
dA
dt
y
f
= +ω × A
b Representando por D i y D m los operadores derivada en los sistemas fijo y móvil,
respectivamente, demostrar la equivalencia
D f = D n × ωx

a En la operación del primer sistema respecto del segundo, los vectores i , j , k varian con el
tiempo.
Por lo tanto, la derivada A es:
1
2
dA
df
=
dA
dt
dA
dt
=
f

i +
dA
dt
dA 2
dt

j +
+ A1
dA 3
dt

di
t
+ A2

Como i es un vector unitario,
 
plano formado por j × k
Luego 3

di
dt

k + A1

di
dt

dj
dt

di
dt
+ A3
+ A2

dj
dt
+ A3

dk
dt
, es decir,

dk
dt

es perpendicular a i y en consecuencia, esta situado en el


= a1 j + a3 k
4

dj
dt


= a3 k + a4 i
5

dk
dt


= a3 i + a4 j
 

Derivando i ⋅ j = 0 se obtiene i ⋅
a 4 = −a 1

dj
dt
+

di
df

 dj
⋅ j = 0 Pero i dt = a 1 y

di
a2

⋅ j = a 3 luego
 
Analogamente
de
i ⋅ k = 0.


 dk


di
i ⋅ df + df ⋅ k = 0 y a 3 = −a 2 ; de i k = 0, j ⋅

dk
dt
+

di
df

k = 0 y a 6 = −a 3

 


 


dj
Por lo tanto: at = a 1 j + a 3 k, ddti = a 3 k − a 3 i , ddtk = −a 3 i − a 3 j ; A 1



a 1 A 2 − a 2 A 3  i + a 1 A 1 − a 3 A 3  j + a 2 A 1 + a 3 A 2  k

di
dt
+ A2

dj
dt
+ A3

dk
dt
=
que se puede poner en la forma:

i

j

k
a3 a2 a1
A1 A2 A3
Haciendo a 3 = ω 1 , −a 2 = ω 2 , a 1 = ω 3 el determinante se reduce a:

i

j

k
ω1 ω2 ω3
= ω×A
A1 A2 A3



Siendo ω = ω 1 i + ω 2 j + ω 3 k. La magnitud ω es el vector velocidad angular del sistema móvil
respecto del fijo
b Por definición
DfA =
dA
dt
∣ f = derivada en el sistema fijo
Df A =
dA
dt
∣= derivada en el sistema movil
D π A × ω × A = D π × ω x A
Df = Dπ + ωx
30.En el problema 29. Hallar a la velocidad y b la aceleración respecto de 2 sistemas de
referencia.
a Sea A el vector de posición r de la partícula. Aplicando la notación operacional se obtiene
1
Dfr = Vj ∣ s = velocidad de la partícula, con respecto del sistema de flujo
Dm = Vp ∣ m = velocidad de la partícula respecto del sistema móvil.
ω × r = Vm ∣ f = velocidad del sistema móvil respecto del fijo.
Entonces r se puede poner en la forma
2
Vp ∣ f = vp ∣ m + Vm ∣ f
o bien
3
Vp ∣ f = vp ∣ m + vm ∣ f
Se deduce:
Vp ∣ m = Vp ∣ f − ω × r , o bien, Vp ∣ f + ω × r
b La aceleración de la partícula del sistema fijo es D 2 f r = DfDfr Aplicando Df = a los dos
miembros de 1 y tenenindo en
cuenta la equivalencia demostrada en el problema anterior resulta.
DfDfr = DfDm r + ω × r 
= Dm + ωxDm r + ω × r
= DmDm r + ω × r + ωxDm r + ω × r
= D 3 m r + Dmω × r  + ωxDm r + ωxω × r
2
Df r = D 3 m r + 2ω × Dm i − Dmωλr + ωω × r
Sean Ap ∣ f = D 2 f r = aceleración de la partícula respecot del sistema fijo
∂p ∣ m = D 2 m r = aceleración de la partícula respecto del sistema móvil
Entónces Am ∣ f = 2ω × Dm 5 − Dmω × r + ω × ω × r  = aceleración del sistema móvil
respecto del fijo con lo que
∂p 1 f = ∂p/m + ∂m/f.
∂mf = 2ω × Dm i + ω × ω ⋅ r  = 2ω × xm + ω × ω × r 

4 MD 2 mr = F − 2Mω × Dm r  − M/ω × ω × r  j
PROBLEMAS PROPUESTOS
31.


2
Siendo R = e −t ℓ + lnt 2 + 1 j − tant k, Hallar a) dR
, b) d 2R3 , c)
dt
dt
dR
dt
, d)
d2 R
dt 2
para t = 0
a) Derivando tenemos



dR
1
−t
2
ℓ
+
=
−e
j
−
sec
k
2t
t
2
dt
t +1
dR
dt

= −e −t ℓ +
2t
t 2 +1


j − sec 2 t k
Evaluando para t = 0 tenemos.
dR
dt

= −e −0 ℓ +


 
j − sec 2 0 k = − ℓ − k
20
0 2 +1
32.b) Del a) sabemos que:



dR
= −e −t ℓ + t 22t+1 j − sec 2 t k
dt
Derivando nuevamente:
d2 R
dt

= − −e −t ℓ +
d2 R
dt

= e −t ℓ +
d2 R
at

= e −t ℓ +
t 2 +1 2−2t2t
t 2 +1
2t 2 +2−4t 2
2
t 2 +1
−2 t 2 −2
t 2 +1
2
2


j − 2 sect sect tant k


j − 2 sec 2 t tant k


j − 2 sec 2 t tant k
Evaluando para t = 0 :
d2 R
dt 2
d2 R
dt 2
d2 R
dt 2

= i +

= ℓ+
−2 a 2 −1
a 2 +1
2
i
2

j − 2 sec 2 0 tan0

j


= ℓ + 2j
c) Del a) sabemos que:
dR
dt

= −e −t ℓ +
por lo que
2t
t 2 +1


j − sec 2 t k
dR
dt
=
e −t i 2 +
dR
dt
=
e 2t +
2
2t
t 2 +1
4t 2
t 2 +1
+ sec 4 t
+ sec 4 t
2
Evaluando para t = 0 :
40 2
dR
dt
=
i+
dR
dt
=
i+1 − 2
t 2 +1
+ sec 4 0
2
d) Del b) sabemos que:
dR
dt 2

= e −t 2 −
2 t 2 −1
2
t 2 +1


j − 2 sec 2 t tant k
por lo que:
=
e  +
d2 R
dt 2
=
e −2t +
2
2 t 2 −1
−t 2
d2 R
dt 2
2
t 2 −1
2
4 t 2 +1
2
t 2 +1
+ −2 sec 2 t tan 2
+ 4 sec 4 t tan 2 t
Evaluando para t = 0
2
4 0 2 −1
d2 R
dt 2
=
e0 +
d2 R
dt 2
d2 R
dt 2
=
1+
41
1
+0
=
1+4 =
5
t 2 +1
4
+ 4 sec 4 0 tan 2 0
32.Hallar la ley de velocidades y de aceleraciones de una partícula que se mueve a lo largo de la
curva x = 2 sin3t, y = 2 cos3t z = 8t. Idem, de los módulos de la velocidad y aceleración.
De los datos proporcionados se puede deducir que el vector de posición Rt está dado por.



Rt = 2 sin3t i + 2 cos3t j + 8t k
Como sabemos que Vt =
dRt
dt
tenemos que derivar Rt.
dRt
dt



= Vt = 2 cos3t3 i + 2 − sin3t3 j + 8 k



Vt = 6 cos3i i − 6 sin3t j + 8 k
d v t
También sabemos que 3t = dt ; por lo que derivamos


d v t
Vt = dt = dt = 6− sin3t3 i − 6 cos3t3 j


a t = −18 sin3t i − 18 cos3t j
De la velocidad:



|Tt| = 6 cos3t i − 6 sin3t j + 8 k
|Vt| =
36 cos3t + 36 sin3t + 64
Evaluando en t = 0
|Tt| =
36 cos0 + 36 sin0 + 64 =
36 + 64 =
100
|Vt| = 10
De la aceleración sabemos


a t = −18 sin3t i − 18 cos3t j
por lo que:
| a t| =
18 2 sin 2 3t + 18 2 cos 2 3t
Evaluación para t = 0
| a t| =
18 2 sin 2 0 + 18 2 cos 2 0
| a t| =
0 + 18 2 =
18 2 = 18
33.Hallar unitario tangente en un punto de la curva x = a cos ωt, y = a sin ωt, z = bt siendo a, b, ω
constantes. Deducimos que el
vector es:



Rt = a cos ωt i + a sin ωt j + bt k
Para hallar el vector Tangente a este; derivamos.
dRt
dt



= a− sin ωtω i + a cos ωtω j + b k
dRt
dt



= −aω sin ωt i + aω cos ωt j + b k
Para hacerlo unitario, tenemos q ue hallar también su módulo.
dRt
dt
=
aω sin ωt 2 + aω cos ωt 2 + b 2 =
a 2 ω 2 sin ωt + cos 2 ωt + b 2 =
a2ω2 + b2
Por lo que el vector unitario pedido es:
=


aω sin ωt i +aω cos ωt j +bk
a 2 ω 2 +b 2
34.

  
Siendo A = t 2 8 − t j + 2t + 1 k y B = 2t − 3 i + j + t k
Hallar:
a) dtd A ⋅ B , b) dtd A × B , c) dtd A + B , d) dtd A ×
dB
dt
para t = 1
a)Derivando según la fórmula:
A ⋅ B  = A ⋅
d
dt
A ⋅ B  = 2t 2 − 2t − 1 + 4t 2 − 6t − 1 − 2t = 6t 2 − 10t − 2
dB
dt
+
dA
dt
⋅B =

 
 
  
t 2 i − t j + 2t + 1 k ⋅ 2 i − k + 2t − 3 i + j − t k ⋅
d
dt
Evaluando en t = 1;
d
dt
A ⋅ B  = 61 2 − 101 − 2 = −12 + 6 = −6
b)Derivando según la fórmula:
d
dt
A × B  = A ×
dB
dt
+
dA
dt


 
 
 
× B = t 2 i − t j t2t + 1 k × 2 i − k + 2t i − j + 2 k × 2t −

 
 
t 2 i − t j + 2t + 1 k × 2 i − k
=

 
  
2t i − t j + 2 k × 2t − 3 i + j − t k



t − 2 i + 2t 2 + 4t − 6 j + 4t + −3 k
A × B 



= t − 0 i − −t 2 − 4t − 2 j + 0 + 2t k
t 2 −t 2t + 1
2
d
dt

k
 
i j
=
0
1

k

i

j
2t
−1 2
2t − 3
1
−t


= t − 2 i − −2t 2 + 2t + 6 j + 2t