1-MODELOS ALEATORIOS Y PROBABILIDADES Clases 1-2

MODELOS ALEATORIOS Y PROBABILIDADES
“Los científicos se esfuerzas por hacer posible lo
imposible, los políticos por hacer lo posible imposible”
Bertrand Russell
“Los estadísticos miden la relación entre lo posible y lo
imposible”
MOVE
Un Modelo Matemático es un patrón teórico ó experimental que permite
interpretar mediante métodos matemáticos fenómenos reales o problemas
técnicos para hacer inferencia y tomar decisiones.
Los modelos matemáticos son de dos clases:
a) Determinísticos: cuando se tiene plena certeza acerca del funcionamiento y
los resultados del problema.
b) Aleatorios o Estocásticos: cuando sólo se tiene certeza parcial acerca del
funcionamiento y se conocen los resultados probables del modelo.
Un modelo matemático debe ser simple e involucrar las variables que lo hacen
completo.
Las leyes de la dinámica clásica de partículas pueden considerarse un modelo
matemático determinístico.
El modelo de regresión lineal estadístico es en esencia un modelo matemático
aleatorio.
El modelo de la teoría de probabilidad que veremos mas adelante es justamente el
modelo general de los experimentos aleatorios.
Experimento aleatorio
Es aquel cuyo modelo matemático es de carácter estocástico.
Ejemplos
1)
Observar el lanzamiento de una moneda.
2)
Contar la caída de gotas de lluvia en 2 placas.
1
3)
Observar el lanzamiento de un dado hexagonal.
4)
Medir la duración en horas de una bombilla.
5)
Medir la duración de un equipo electrónico.
6)
Contar el número de vehículos que pasan por un cruce en lapsos de un
minuto
Contar el número de artículos defectuosos en lotes de 50 unidades.
7)
Características de un Experimento Aleatorio
a)
Que sea repetible en igualdad de condiciones.
b)
Que se pueda describir el conjunto de todos los resultados posibles aunque
no se pueda asegurar un resultado en particular.
Si se repite un número grande de veces debe aparecer cierta regularidad
c)
estadística.
Espacio Muestral S
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A los
ejemplos previos corresponden los siguientes espacios muestrales en notación de
conjuntos:
S1 
 cara, sello    c , s 
S2 
 g1, s1, s2 , g2 , g3 ...
S3 
 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111    1, 2, 3, 4, 5, 6 
S4 
t :

 0, 1 

 01, 12 , 13 , 04 , 03 ... 
1000  t  3000 
S6  0,1,2,...   N
S5 
t :
t  0
S7  0,1,2,..., 50
Suceso o Evento
Es cualquier subconjunto de resultados de un espacio muestral S. Los siguientes
son eventos asociados a los espacios muestrales previos
A4 
t :
1000  t  1200   S4
B3 
 2, 4, 6 
 S3
D6  cruzan menos de tres vehículos en un minuto   0,1,2
2
E7  Al menos hubo 48 artículos no defectuoso s  0,1,2
Observe que el símbolo  tiene el mismo significado de inclusión de conjuntos, es
decir, B3 es subconjunto de S3 y entre sucesos significa que siempre que ocurre B3
necesariamente ocurre S3.
Álgebra de sucesos de probabilidad
Algunos conceptos de teoría de conjuntos extendidos a sucesos de probabilidad
se deben recordar
La unión de dos sucesos A y B en un espacio S se define como:
A  B = x: x  A
ó x  B, el símbolo  significa que el elemento x pertenece
al conjunto correspondiente e indica que el resultado puntual x ha ocurrido.
A  B significa que ocurre A, ocurre B u ocurren A y B.
La intersección de dos sucesos A y B en un espacio S se define como:
A  B = AB = x: x  A
y x  B,
A  B significa que ocurren A y B conjunta o simultáneamente.
Las operaciones de unión e intersección gozan de las propiedades de clausura,
idempotencia, conmutación, asociación y se vinculan mediante la propiedad
distributiva de la intersección respecto a la unión, es decir, A(BC)=AB  AC.
¿Es igual A (BC) a (A  B)∩(A  C)?
El complemento del suceso A en el espacio S se define como la diferencia entre
el conjunto S y el conjunto A:
S-A = AC = A’ = A = x: x  S
y
x  A
y significa que no ocurre A.
¿Qué propiedades cumple la diferencia de sucesos?
¿Que propiedades cumplen la unión, la intersección y el complemento cuando
interviene el conjunto vacío  ?
Leyes de Morgan
En honor de Augustus de Morgan 1806-1871 lógico inglés de origen indú.
Escribió: “La Lógica Formal o el Cálculo de Inferencias Necesarias y
Probables” en 1847.
3
Observe que un conjunto-suceso cualquiera se puede expresar como la unión de
dos conjuntos-sucesos que definimos como disjuntos o excluyentes. Esto es
que su intercepción u ocurrencia simultanea es vacía o imposible
A  A  B '  A  B
y
A  B'
 A  B  
o sea que
A  B '
y A  B son
excluyentes.
La anterior expresión evidencia las conocidas Leyes De Morgan:
A  B'
A ''
 A
y
 A'  B ' y A  B'  A'  B '
Diagramas de Venn y Carrol.
Debidos a John Venn, 1834-1923, filósofo británico, uno de los pioneros que
divulgó la lógica simbólica y a Lewis Carrol, 1832-1898, matemático y escritor
también británico quien publicara el libro Matemática Demente pero que fuera
mas reconocido por su obra Alicia en el País de las Maravillas.
Cuando consideramos dos sucesos cualquiera A y B en un espacio muestral S
hay dos formas usuales de representar todos los sucesos disjuntos posibles
relacionados mediante los conocidos y hasta aquí utilizados diagramas de Venn
que usan círculos y polígonos como conjuntos básicos.
De nuevo
4
El diagrama de Carrol correspondiente es en forma de tabla donde cada fila o
columna representa un conjunto o suceso y cada celda o cruce representa una
intercepción de conjuntos o sucesos simultáneos que resulta más práctico para la
ubicación de frecuencias para la posterior definición y cálculo de probabilidades
conjuntas, marginales y condicionales.
El diagrama de Carrol correspondiente al anterior diagrama de Venn es:
B
A
AB
A
B
La tabla que al anterior diagrama de Carrol le asigna valores de probabilidad en
cada celda –probabilidades conjuntas- y a las uniones por fila y columna
-probabilidades marginales-, se le denomina tabla de contingencia.
Ejercicio.
a. A partir del diagrama de Venn para tres sucesos A, B y C en S consrtuya la
tabla de Carrol correspondiente.
b. Localice sobre un diagrama de Venn todos los valores de probabilidad
asociados a la siguiente tabla de Carrol que ofrece información sobre la
hipertensión y el hábito de fumar.
No fumadores
Fumadores
Fumadores
moderados
empedernidos
Hipertensos
10
20
15
No hipertensos
30
15
10
c. Si se selecciona aleatoriamente uno de estos pacientes, encuentre la
probabilidad de que la persona sea
1 fumadora moderada, 2 no hipertensa, 3 no hipertensa ni fumadora, 4 hipertensa
y fumadora empedernida.
5
Frecuencia relativa
El concepto de frecuencia relativa se abstrae típicamente como un modelo
aleatorio y es la anticipación del modelo formal de probabilidad. Se debe a Pierre
Simon de Laplace, 1749 a 1827.
Supóngase que repetimos n veces un experimento aleatorio, sean A y B dos
eventos asociados al experimento y al espacio S. Sean n A y nB el número de
veces en que ocurren A y B o sea el número de elementos de los conjuntos
respectivamente.
Definimos la frecuencia relativa del evento A así
fA 
como
0  nA  n
entonces
nA
n
0
0  nA  n
;
nA
 1
n
0  fA  1
o sea
Ejemplo 1. Anotar el número de veces que una gota de lluvia cae en dos losas P y
Q respectivamente. Sea A 7 el suceso que indica la caída de las primeras 7 gotas
de lluvia así:
A7 
 P1 , P2 , P3 ,
Q 4 , Q 5 , P6 , Q 7

Sea B el suceso conformado por las gotas que impactan en la losa P
B 
P1 ,
P2 , P3 , P6 
fB 
nB
4

n
7
Sea C el suceso conformado por las gotas que impactan en la losa Q
C 
Q4 , Q5 , Q7 
fC 
nC
3

n
7
Conceptualmente estaríamos hablando de una lluvia de solo siete gotas que se
podría repetir siempre de la misma manera para que A 7 fuese siempre el mismo
espacio muestral y esto resulta absurdamente hipotético.
6
En realidad si las placas P y Q son de dimensiones iguales y gozan de la misma
probabilidad de ser humedecidas por la lluvia, el espacio S para n suficientemente
grande sería:
S 
 P1 ,
P2 , Q3 , Q4 , Q5 , Q6 , Q7    infinito numerable
así fB y fC sólo podrían determinarse para n suficientemente grande de forma que
lim
n 
n
nB
 lim C
n  n
n
Estos límites se estabilizan cuando las dos frecuencias relativas son iguales, es
decir,
fB  fC 
1
2
Estos valores de frecuencias estables los definiremos mas adelante como
probabilidad del suceso B igual a probabilidad del suceso C igual a 1 .
2
Propiedades de la frecuencia relativa
Sean A y B dos eventos en el espacio muestral S de un experimento aleatorio con
frecuencias relativas asociadas f A y fB , entonces:
1) 0  f A  1.
2) fS  1 cuando A  S es decir el suceso A ocurre siempre.
3)
f  0
cuando A   
  conjunto vacío, es decir el suceso A nunca
ocurre.
4)
Si A y B son mutuamente excluyentes, esto es A  B   entonces
f A  B  f A  fB .
Ejemplo 2. Lanzar un dado hexagonal y considerar el suceso A sale par y el
suceso B sale impar.
Tenemos A 
2, 4, 6 ,
B  1, 3, 5 , A  B   , es decir los sucesos son
excluyentes
7
nA
n
3
 fB  B 
n
n
6
6
 f A  fB 
6
A  B  S fA 
fA  B
En el caso de espacios maestrales finitos el valor de frecuencia relativa de un
suceso coincidirá con su valor de probabilidad según la definición siguiente.
Nociones Básicas de Probabilidad
Definición axiomática debida a Andrei Kolmogorov, 1903 a 1987, probabilista
ruso.
Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sean A i  S
para i  1, 2 ,.., n eventos.
A cada A i le asignaremos un número real P A i  , denominada probabilidad de
A i , que satisface las propiedades siguientes:
1) 0  P A i   1
2) P S  1
3) Si A1 excluye a A 2 entonces
P A1  A 2   P A1   P A 2 
4)
Si los A i son mutuamente excluyentes, es decir
A i  A j   para todo
i  j  1, 2 , .. , n entonces
 n

P   A i  
 i 1

n

i 1
P A i 
Observe que estas propiedades no dependen de cómo se calculen las
probabilidades P A i 
Consecuencias de la definición de probabilidad
Proposición 1. La probabilidad de un suceso imposible  es cero.
En efecto A    A
P A    P A 
como
A   
entonces P A   P   P A 
8
A excluye a 
esto es
P   0
Proposición 2.
Si A  S y A ó A ' es el evento
complementario de A entonces
P(A)=1-P( )
Veamos:
A
Como A excluye
=S
por lo tanto
P(A)+P( ) = 1
P(A  ) = P(S)
entonces
P(A) = 1- P( )
Proposición 3.
9
Sean
A  B = A  (B  )
tal que A y B 
son sucesos excluyentes.
También en
B = (A  B)  (B  )
A B y B  A son sucesos excluyentes.
Por lo tanto
P(A  B )=P(A)+P( B  )
P(B) = P(A  B)+P( B  )
y en consecuencia, restando,
P A B  P A   P B  P A B
Proposición 4.
P A B  C  P A   P B  P C
 P A B  P A  C  P B  C
 P A B  C
Ejercicio.
k

P   A i  
 i 1 
k

i 1
P A i  

i j 2



P Ai  A j


P Ai  A j  Ar

i jr 3
1k 1 P A1  A 2  ...  A k 
10
Proposición 5.
Si A  B  S , entonces
0  P A   P B  1
B = A  (B  ) que son excluyentes
P(B) = P(A)+P(B  )
como P(B  )  0 entonces
P B  P A 
Probabilidad condicional e independencia
Ejemplo 3. Consideremos el experimento aleatorio de elegir al azar artículos de
un lote de 100 artículos donde se sabe que hay 20 defectuosos y 80 no
defectuosos.
Sean
A  el primer artículo elegido es defectuoso 
B
a)
 el segundo artículo
elegido es defectuoso 
Si la selección se hace con restitución P A   P B  
20
, observe que si
100
n es grande y no hay restitución, de todas maneras como n   entonces
P A   lim
n 
0.2 n
0.2 n  1
 lim
 P B .
n 
n
n
O sea de nuevo
11
Si la selección se hace sin restitución P A  
b)
20
pero para calcular P B
100
es necesario saber si ocurrió A o A , con n fijo finito.
Esta pregunta induce la siguiente definición:
Probabilidad Condicional
Sean A y B dos sucesos en S.
Indicaremos con P B A  la probabilidad
condicional del suceso B, dado que A ha ocurrido, así:
P B A  
P A  B
,
P A 
0  P A   1
así
P B A  
19
99
y
 
P B A 
20
99
Observe que el nS se reduce a 99 y el nB  19 si ocurre A o nB  20 si ocurre
Además P A  B  P B A  P A  .
A.
O sea P A  B  
A
19
20

99 100
P A  B se le interpreta como la probabilidad de que los sucesos A y B
ocurran conjuntamente.
Ejemplo 4. “Se lanzan dos dados hexagonales normales y se anotan los pares x,
y”. Describa el espacio S y calcule P A  , P B , P A B , P A B y
A 
x, y:
x  y  10
B 
x, y :
Veamos
12
x  y
P B A  .Si
nS  6 2  36 .
P A  
nA  3,
3
;
36
nB  15 ,
P A B 
n
P A  B
1
 A B 
P B
nB
15
P B A  
n
P A  B
1
 A B 
P A 
nA
3
P B 
15
36
n A B  1
P A  B  
1
36
P A  B  P B A  P A   P A B P B

1
3
1
15
1




3
36
15
36
36
Propiedades de la probabilidad condicional
 A   1.
P S   1.
A
1) 0  P B
2)
3) PB1  B2 A   P B1 A   P B2 A  si B1  B2   .
Proposición 6 ó Teorema de la multiplicación de probabilidades
P A1  A 2  A 3   P A1  P A 2 A1  P A 3 A1  A 2 
Para cuatro sucesos omitiendo el símbolo  tenemos:
P A1 A 2 A 3 A 4   P A1  P A 2 A1  P A 3 A1 A 2  P A 4 A1 A 2 A 3 
Observe que si A i es el suceso : seleccionar el i-ésimo artículo defectuoso en el
ejemplo 100:20:80 entonces P(A1A 2 A 3 A 4 ) 
20 19 18 17
  
100 99 98 97
Sucesos independientes
Consideremos dos eventos A y B no vacios en S. las siguientes proposiciones
son equivalentes
13
A es independiente de B sii P A B  P A  P B .
sii P A / B  P A 
sii P B/A   P B
Ejemplo 5. Las probabilidades conjuntas y marginales se suelen representar en
una tabla de doble entrada denominada tabla de contingencia, así:
Supóngase que una oficina tiene 100 máquinas algunas son eléctricas (E)
mientras otras son manuales. Además algunas son nuevas (N) y otras usadas
(U). Las probabilidades marginales son P(N)=
7
3
6
4
, P(U)= , P(E)= , P(M)=
10
10
10
10
y las probabilidades conjuntas son por ejemplo P(UM)=
1
3
o P(NM)= .
10
10
La tabla siguiente resume el número de máquinas de cada categoría y a su vez
resume dichas probabilidades
E
M
N
40
30
70
U
20
10
30
60
40
100
Una persona entra en la oficina, escoge una máquina al azar y descubre que es
nueva. Cuál es la probabilidad de que sea eléctrica?
P E N 
P E  N
40 / 100
4


P N
70 / 100
7
Ejercicio. Similarmente complete las probabilidades conjuntas en cada tabla con
las mismas probabilidades marginales en todos los casos para que:
E
a)
Todas las máquinas eléctricas sean nuevas
N
70
U
30
60
14
M
40
100
E
b)
c)
Todas las máquinas manuales sean nuevas
M
N
70
U
30
60
40
E
M
100
Los sucesos N y U sean independientes de los
N
70
sucesos E y M
U
30
60
40
100
Calcule P N E , P N M y P N U en los tres casos.
Ejercicio. En la Universidad el 20% de los estudiantes tiene problemas visuales
(V), el 10% problemas auditivos (A) y el 5% tienen conjuntamente problemas
auditivos y visuales.
En una tabla de contingencia:
a) Completar las probabilidades conjuntas y marginales.
b) Calcule P A V  , P V A  y P A V'
c) Son los dos problemas A y V eventos independientes?
V'
V
A
5
10
20
100
A’
15
Partición del espacio muestral S
Decimos que los sucesos B1 , B2 , ...., Bk , representan una partición de S si
a) B i  B j   para i  j ,
k
c) P Bi   0 , para todo i.
b)  B i  S
i1
Esto significa que S es cubierto por todas las partes Bi que son mutuamente
excluyentes, es decir que el experimento aleatorio asociado a S ocurre cuando
sucede alguno de los Bi .
Proposición 7 ó Teorema de la probabilidad total
Sea A un suceso y B1 , B2 , ..., B k una partición de S. Entonces
P A  
 P A B j  P B j 
k
j 1
En efecto
A  A B1  A B2    A Bk
omitimos el símbolo  así
P A  
 P A B j 
k
j 1
entonces
P A  
;



P A Bj  P A Bj
 P B j 
 P A B j  P B j 
k
k 1
Proposición 8 o Teorema de Bayes. Debida a Thomas Bayes, 1702 a 1761,
matemático inglés que estableció el primer método de inferencia estadística.
Defendió el cálculo infinitesimal de Newton.
16
Probabilidad de las causas
En el planteamiento del teorema de la probabilidad total, cómo medir la
probabilidad de que un Bi sea la causa de A?.
fácil
P Bi A  
P A Bi 

P A 
P A Bi  P Bi 
 P A B j  P B j 
k
j 1
Proposición 9.
Independencia de sucesos complementarios
Si A y B son sucesos independientes en un espacio muestral S entonces A ' y B '
también lo son.
Ejercicio. Demostrar la proposición 9.
17
Genética y Probabilidad
La probabilidad ha jugado un papel importante como instrumento predictor de
defectos genéticos ayudando así a atacar problemas sentidos de la salud
principalmente de los infantes. Así la probabilidad ha contribuido a diagnosticar en
estado prenatal determinadas anormalidades genéticas.
Los progresos en bioquímica, citogenética y genética molecular más la
identificación genoménica permiten hoy en día usar las probabilidades en todo tipo
de individuos y parejas en embarazo de alto riesgo.
Ley de Hardí–Weinberg -H W“Las proporciones de genes en una población ideal específica permanecen casi
constantes de una generación a otra”.
Constituyen excepciones a esta ley, las mutaciones, la selección natural y las
poblaciones de especies de tamaño reducido que contribuyen a explicar el
proceso evolutivo.
Consideremos una población donde la probabilidad de que un miembro tenga el
gen dominante A es P A   p y la probabilidad de que tenga el gen dominado a
es P a  q de forma que p  q  1, es decir las dos características genéticas
cubren la población de interés.
Consideremos entonces el conjunto poblacional de genotipos o combinaciones pares
ordenados-
Aa  Aa 
A A , A a , a A , aa 
así
P Aa  Aa  P A A , A a, a A , a a ; como cada individuo solo tiene uno de los
tres pares genotípicos
P Aa  Aa  P A A   2 P A a  P a a
 p2  2 p q  q2
 p  q2  1
es decir la distribución genotípica es una función de probabilidad binomial de
parámetro p, donde los eventos individuales A y a son independientes como se
observa en la tabla de probabilidades conjuntas y marginales.
A
a
18
A
p2
pq
p p  q  p
a
qp
q2
q q  p  q
p p  q
q p  q
"
"
p
q
p  q
 1
Ejemplo 6. La fibrosis quística es una enfermedad genética que afecta a niños
caucásicos que tienen una pareja del gen recesivo aa. Consiste en una infección
grave de las vías respiratorias acumulante de mucosidad en el sistema
respiratorio. La fibrosis quística se hereda por el cruce de dos portadores sanos
del gene recesivo de la enfermedad.
Aa  Aa 
 A A , A a , a A , aa 
según la ley HW la proporción de niños con hornocigotos recesivos aa es
q2  1 402 , es decir
P aa  P a P a 
1
40
2
o sea , q 
1
40
lo que nos permite construir la siguiente tabla de la distribución binomial de la
fibrosis quística
así 2  39 40 2 es la proporción de portadores sanos
P Aa  2 p q en la
población.
La probabilidad de que se conforme una pareja sana de portadores de fibrosis
quística será P Aa  Aa  P2 Aa  2 p q2 , aunque en la pareja ambos sean
portadores sanos, por la ley HW el cruce de los portadores sanos origina un
espacio genético que suponemos equiprobable así
19
Bb  Bb 
 BB , B b , b B , b b 
P(BB) = P(Bb) = P(Bb) = P(bb) =
donde
1
4
de forma que la probabilidad de un niño:
Descendiente sano no portador es P(BB) =
1
4
Descendiente sano portador P B b ó b B  
2
4
Descendiente con fibrosis quística P b b  
1
4
La probabilidad de que una pareja de portadores sanos tenga un niño con fibrosis
quística será
P A a A a b b   P 2 A a  P b b   2 p q2 
1
 p 2 q2
4
Si suponemos que el espacio genético de los abuelos era
equiprobable con
P C C  P C c   P c C 
1
3
y
C C , C c , c C
P cc   0 se debe
disminuir la probabilidad de que el nieto sea portador o tenga fibrosis, en este caso
P Aa Aa  Bb ó bB  bb  P2 Aa  P Bb  P bB P bb
1
1

 2 p q2  2   
3
4


2 2 2
p q  p 2 q2  q2
3
Probabilidades genéticas entre primos hermanos
Consideremos el esquema hereditario abuelos, hijo, nieto, bisnieto. ¿Cuál es la
proporción genética común entre dos primos hermanos, mejor cuál es la
probabilidad de que un gene específico sea transmitido por un progenitor a un
descendiente?
Sea A H el suceso un gen específico pasa de un abuelo a un hijo.
20
Sea HN el suceso un gen específico pasa del hijo al nieto.
Sea NV el suceso un gen específico pasa del nieto al bisnieto así
P A H   P HN   P N V  
1
2
Así la probabilidad de que un nieto herede un gen específico de su abuelo será:
P A N   P A H  P HN  
1
2
2

1
.
4
La probabilidad de que una nieta o un nieto primos hermanos entre sí hereden un
gen específico de su abuela o abuelo será
P A N  P A N  
1
4
1
16

2
Ahora la probabilidad de que dos nietos primos hermanos entre sí hereden ambos
un gen específico común será
2 P 2 A N  
2
16
es decir los primos hermanos tienen 1/8 de sus genes en común, los primos
segundos tendrán 2 P2 A V  genes en común. Veamos
P A V   P A H  P HN  P NV  
2 P 2 A V  
2
8
2

1
2
3

1
8
1
32
En el caso de la fibrosis quística, si el espacio genético de los abuelos es de
nuevo
 CC , Cc , c C 
con
P C C  P C c   P c C 
1
3
y el de los padres
 BB , B b , b B , b b 
tendremos P Aa aA  
con
P BB  P Bb  P bB   P bb  
1
4
1
y no 4 p 2 q2
8
de forma que la probabilidad de que dos primos hermanos engendren un hijo con
fibrosis quística será:
21
P Aa aA
 Cc
ó c C  b b 
1 2
1
1
 

8 3
4
48
Es decir, la unión entre consanguíneos aumenta la probabilidad de afecciones
como la fibrosis quística.
PROBLEMAS SELECCIONADOS
1.
Supongamos que los sucesos A y B son independientes y tienen
probabilidades distintas de cero. Demostrar que A y B no pueden ser
mutuamente excluyentes.
2.
Un químico desea observar el efecto de la temperatura, de la presión y de la
cantidad de catalizador sobre la producción de un compuesto particular por
medio de una reacción química. Si el experimentador decide usar dos niveles
de temperatura, tres de presión y dos del catalizador, ¿cuántos experimentos
se deben llevar a cabo de modo que cada combinación temperatura–presión
–catalizador sea considerada exactamente una vez?
3. El servicio meteorológico pronostica que habrá lluvia con probabilidad .6 hoy y
.4 mañana.
La experiencia pasada ha demostrado que en esta localidad
llueve uno de cada cuatro días y la probabilidad de que llueva dos días
consecutivos es .15. Si está lloviendo afuera al momento de escuchar este
pronóstico (como ocurre a menudo), ¿cuál es la probabilidad de que llueva
mañana?
4. Se le dan 12 bloques a un mono: 3 cubos, 3 cajas, 3 tetraedros y 3 cilindros.
Si el mono selecciona tres de cada clase en orden, por ejemplo, 3 tetraedros,
luego 3 cubos, etc., ¿pensaría usted que el mono asocia las figuras que
tienen forma idéntica? Calcule la probabilidad de este suceso.
22
5.
Un investigador médico compara la eficacia de los fármacos A y B para la
presión arterial, administrando los dos fármacos a cuatro pares de hermanos
gemelos. El fármaco A se le da a uno y el fármaco B al otro. Si realmente no
hay diferencia en el efecto de los fármacos, ¿cuál es la probabilidad de que la
reducción en la presión asociada con el fármaco A exceda la correspondiente
al fármaco B en los cuatro pares de gemelos? Supongamos que el fármaco B
produjera mayor reducción de la presión que el fármaco A para cada uno de
los cuatro pares de gemelos. ¿Cree usted que esto proporciona suficiente
evidencia que indique que el fármaco B es más eficaz que el fármaco A para
reducir la presión?
6.
Para reducir el costo de detectar una enfermedad, se realizan análisis de
sangre de una manera combinada de sangre, obtenida de un grupo de n
personas. Si no hay indicación de la enfermedad en la muestra combinada de
sangre (como es generalmente el caso), entonces ninguno tiene la
enfermedad.
Si el análisis de la muestra combinada de sangre indica la
presencia de la enfermedad, entonces cada individuo debe someterse a un
análisis de sangre. Los análisis individuales se efectúan en secuencia. Si en
un grupo de cinco personas una de ellas tiene la enfermedad, ¿cuál es la
probabilidad de que haya que hacer seis análisis (incluyendo el de la muestra
combinada) para detectar a la única persona enferma?
Si dos personas
tienen la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que haya que hacer seis
análisis para encontrar a ambas personas enfermas?
7.
Un estudiante se prepara para un examen estudiando una lista de 10
problemas. El logra resolver seis de ellos. Para el examen, el instructor
selecciona cinco problemas al azar de la lisita de 10. ¿Cuál es la probabilidad
de que el estudiante pueda resolver los 5 problemas en el examen?
8.
La víctima de un accidente morirá, a menos que reciba en los próximos 10
minutos una cantidad de sangre tipo A Rh–positivo que pueda ser
suministrada por un solo tipo de donante. Toma 2 minutos “tipificar” la sangre
23
de un donante y 2 minutos realizar la transfusión. Hay un gran número de
donantes disponibles cuya sangre no ha sido tipificada y 40 por ciento de ellos
tienen sangre tipo A Rh–positivo. ¿Cuál es la probabilidad que se salve la
víctima del accidente, si sólo se dispone de un equipo para tipificar la sangre?
9.
Setenta por ciento de todo el ganado es inyectado con una vacuna para
combatir una enfermedad grave.
La probabilidad de recuperarse de la
enfermedad es 1 en 20 si no ha habido tratamiento y 1 en 5 si hubo
tratamiento. Si una res inyectada se recupera, ¿cuál es la probabilidad de
que haya recibido la vacuna preventiva?.
La fenilcetonuria es heredada como un carácter autosímico recesivo simple
10.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que dos personas normales
engendren a un hijo con FCU si se sabe que ambas parejas de abuelos
son portadores?.
b)
Suponga que la pareja tiene tres niños. ¿Cuál es la probabilidad
de que por lo menos uno de los tres esté afectado de FCU?
La galactosemia es una enfermedad genética que impide la conversión de
11.
galactosa en glucosa. Dicha enfermedad es causada por un gen recesivo y se
presenta una vez entre cada 62.500 nacimientos. Juan tiene una hermana
que padece de galactosemia; tanto él como sus padres son normales. Juan
se ha casado con María, que no es pariente consanguíneo y no tiene
antecedentes de esta enfermedad en su familia
a)
¿Cuál es la probabilidad de que cualquier niño que nazca de Juan y
María padezca de galactosemia?
b)
Supongamos que Juan y María son primos segundos. Si éste fuese el
caso, ¿cuál sería la probabilidad de que cualquier niño de Juan y maría
padeciera de galactosemia?
12.
La jaqueca es aparentemente heredada a través de un gen dominante.
Roberto y su madre padecen de jaqueca, pero no el padre de Roberto.
24
Tampoco padece de ella la esposa de Roberto. Si Roberto y su esposa tienen
dos niños, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) Por lo menos uno de los dos niños padezca de jaqueca?
b) Uno u otro, pero no ambos niños, padezca de jaqueca?
13.
Cierta enfermedad tiene una tasa de mortalidad del 75%. Se seleccionan al
azar dos pacientes que padecen de esa enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad
de que por lo menos uno de ellos se recupere?
Se hace un cruce de un experimento genético con Drosophila en el cual se
14.
espera que ¼ de la progenie tendrá ojos blancos y ½ tendrá el rasgo
denominado “quetas chamuscadas”. Supongamos que los dos loci genéticos
se segregan independientemente.
a) Qué proporción de la progenia exhibiría ambos rasgos simultáneamente?
b)
Si se extraen 4 moscas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sean
todas de ojos blancos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las cuatro moscas tenga ojos
blancos ni “quetas chamuscadas”?
d)
Si se extraen dos moscas ¿cuál es la probabilidad de que al menos una
de ellas tenga ojos blancos o “quetas chamuscadas” o ambos rasgos?
Si la frecuencia del gen A es p y la frecuencia de a es q, ¿cuáles son las
15.
frecuencias esperadas de los cigotos AA, Aa, o aa (suponiendo que un sigoto
diploide representa una muestra al azar de tamaño 2)?. ¿Cuál sería la
frecuencia esperada para un autotetraploide (para un locus próximo al
centrómero, un cigoto puede considerarse como una muestra al azar de
tamaño 4)?
16.
Una población consta de tres tipos de individuos A1 , A 2 y A 3 con
frecuencias relativas de 0.5, 0.2 y 0.3, respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener solamente individuos de tipo A1 en
muestras de tamaño 1, 2, 3,...., n?
25
b) ¿Cuáles serían las probabilidades de obtener solamente individuos que no
fuesen de los tipos A1 ni A 2 en una muestra de tamaño n?
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una muestra que contenga al menos
una representación de cada tipo en muestras de tamaño 1, 2, 3, 4, 5....,
n?
17.
En un hospital especializado ingresan un promedio de 50% de enfermos con
la afección K, 30% con la afección L, 20% con la afección M. La probabilidad
de curación completa de la afección K es 0.7; para las afecciones L y M estas
probabilidades son respectivamente 0.8 y 0.9. Un enfermo internado en el
hospital fue dado de alta sano. Hallar la probabilidad de que este enfermo
sufría la afección.
18.
Un ratón es dominante doble (AA) o heterocigoto (Aa) según las propiedades
Mendelianas, y la probabilidad de que cualquiera de los dos casos se presente
es ½. Se cruza el ratón macho con una hembra doblemente recesiva (aa). Si
el ratón es dominante doble (AA) entonces la cría poseerá la característica
dominante; si el ratón es heterocigoto la cría exhibirá la característica
dominante la mitad de las veces también. Supóngase que una cría exhibe la
característica dominante. ¿Cuál es la probabilidad de que el ratón padre sea
dominante doble?.
19.
En un estudio de Tuberculosis pleural se tienen 50 pacientes con
diagnóstico confirmado de tuberculosis por el método estándar.
A cada
paciente se le tomó una muestra de líquido pleural para estudiar la sensibilidad
del nuevo método propuesto: PCR *. Si la sensibilidad del PCR fue de 4/5:
a)
¿Cuál es el número de pacientes que el PCR diagnosticó como
tuberculosis pleural?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el PCR presente falsos negativos?
26
*
El PCR es una prueba que permite detectar fragmentos de ADN , genes
específicos o microorganismos, observando la reacción en cadena de la
polimerasa.
20. Encuentre los errores en cada una de las siguientes afirmaciones:
a)
Las probabilidades de que con una trampa Shannon se atrapen 0, 1, 2,
ó más de 2 lutzomyias en un bosque seco tropical son, respectivamente,
0.2, 0.4, 0.3 y 0.2.
b) La probabilidad de que una persona esté infectada con mycobacterium
tuberculosis es de 0.8 y la probabilidad de que no lo esté, es de 0.3.
c) Las probabilidades de que el lector de ELISA * cometa 0, 1, 2, 3, ó más
de 3 errores, antes de mantenimiento, son respectivamente: 0.5, -0.3,
0.2, 0.4 y 0.2.
*
El lector de ELISA es un espectrofotómetro electrónico que permite
identificaciones en microplatos de microorganismos.
21. En cierta zona endémica de malaria, la probabilidad de que una mujer tenga
la enfermedad es de 0.1 y la probabilidad de que un hombre la tenga es de 0.2.
Si se tienen dos pacientes que provienen de dicha zona endémica, un hombre
y una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que ambos tengan la enfermedad?
22.
En un estudio de Tuberculosis pulmonar se aplicó la prueba de PPD * a los
150 pacientes del estudio.
En la base de datos se tiene el valor de PPD, en
mm., de cada uno de ellos.
Para categorizar los valores de PPD se han
propuesto los siguientes grupos A, B y C:
A = { PPD desde 0.00 a 9.99 }
B = { PPD mayor o igual a 10.00 }
C = { PPD mayor de 8.50 }
Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Los grupos A y B son mutuamente excluyentes?
b) ¿Los grupos A y C son mutuamente excluyentes?
27
c) Si P A   0.2 , calcule P B .
*
PPD es una prueba de respuesta cutánea consistente en la aplicación de
un antígeno que genera una pápula que según su tamaño y dureza indica
si hubo contacto previo con el agente infeccioso.
23. En un experimento para estudiar la relación entre la hipertensión y el hábito
de fumar, se reunieron los siguientes datos de 100 pacientes:
No fumadores
Fumadores
Fumadores
moderados
empedernidos
Hipertenso
10
20
15
No hipertenso
30
15
10
Si se selecciona aleatoriamente a uno de estos pacientes, encuentre la
probabilidad de que la persona
a) Experimente hipertensión, dado que es un fumador empedernido.
b) No fume, dado que no ha presentado problemas de hipertensión.
24.
Los siguientes datos representan el período de vida, en segundos, de 20
adultos de a. albimanus que están expuestas a un nuevo insecticida en un
experimento controlado de laboratorio:
17
20
10
9
23
13
12
19
18
24
12
14
6
9
13
6
7
10
13
7
a) Complete la siguiente tabla:
Intervalo de tiempo
(seg)
6 a 9
10 a 13
14 a 17
18 a 21
22 a 24
Frecuencia Frecuencia acumulada
13
2
b) Grafique la distribución de frecuencias de la variable.
c)
Calcule la probabilidad de que los insectos puedan vivir de 10 ó más
segundos y menos de 14 segundos.
28
d)
Calcule la probabilidad de que los insectos puedan vivir más de 13
segundos y menos de 22 segundos.
e)
f)
Grafique la distribución de frecuencia acumulada de la variable.
¿Cuál es la probabilidad de que los insectos vivan menos de 18
segundos?
g) ¿Cuál es la probabilidad de que los insectos vivan más de 17 segundos?
29