Integrales Triples: Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

100
Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES
Tema 5.6 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
(Estudiar la Sección 15.8 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 23)
Ejemplo 1 en Coordenadas Cilíndricas:
∫∫∫
Evalúe la integral triple:
x 2 + y 2 dV , en donde E es el volumen dentro del
E
2
2
cilindro x + y = 1 , debajo del plano z = 4 , y arriba del paraboloide
z = 1− x2 − y2
∫∫∫
x 2 + y 2 dV =
2π
1
∫ ∫∫
0
0
1− r
E
2π
=
1
∫ ∫ [r z ]
2
0
=
∫
4
1− r 2
2π
4
2π
dr dθ =
0
r dz r dr dθ =
2
∫ ∫
0
∫ ∫
−2
+ 4− x 2
− 4− x
2
∫
2
2
x +y
2
(x
2
1− r
)]
∫
r 2 dz dr dθ =
2
2π
1
∫ ∫ (3r
0
2π
dθ =
0
)
+ y 2 dz dy dx
2
)
+ r 4 dr dθ =
0
6
12π
⋅ 2π =
5
5
Ejemplo 2 en Coordenadas Cilíndricas:
+2
4
r 2 4 − 1 − r 2 dr dθ =
1
0
[ (
0
0
 3 r5 
 1
r +  dθ = 1 + 
50
 5

2π
∫ ∫∫
0
1
1
Evalúe la integral
cambiando a coordenadas cilíndricas,
Solución:
La curva de intersección del cono z = x 2 + y 2 , y el plano z = 2 , es el círculo de
x 2 + y 2 = 4 , que limita la región de integración:
2π
2
∫ ∫∫
0
0
2π
=
∫ ∫
0
2
r 2 dz r dr dθ =
2
∫ ∫∫
0
r
2
2π
(2r
3
0
8
16π
= ⋅ 2π =
5
5
−r
4
0
)dr dθ = ∫
2π
0
2
r 3 dz dr dθ =
r
2π
∫ ∫ [r z ]
2
r 4 r5 
 −  dθ =
2 50
2
∫
3
2
r
dr dθ =
0
0
2π
 32 
 8 −  dθ =
5

0
101
Ejemplo 3 en coordenadas esféricas: Evalúe la integral
{
∫∫∫
e (x
2
+ y2 + z2
)3 2 dV , en
E
}
donde E = ( x, y, z ) x + y + z = 1
2
2
2
Solución:
∫∫∫
e (x
2
3
) 2 dV =
+ y2 + z2
π
2π
∫ ∫ ∫
0
0
1
3
e ρ ρ 2 senϕ dρ dθ dϕ =
0
1
3
π
2π
∫ ∫ [e ]
0
ρ3
1
0
senϕ dθ dϕ
0
E
1
=
3
=
π
∫ ∫
0
2π
(e − 1) senϕ dθ dϕ = e − 1
3
0
2(e − 1)
3
∫
2π
dθ =
0
π
∫ ∫
0
2π
0
e −1
senϕ dθ dϕ =
3
2π
∫ [− cos ϕ ]
0
π
dθ
0
2(e − 1)
4π
(e − 1)
⋅ 2π =
3
3
Ejemplo 4 en coordenadas esféricas: Encuentre el volumen del sólido sobre el cono
z = x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = z
Solución:
2
2
1 1

Completando el cuadrado la ecuación de la esfera es: x + y +  z −  =   y en
2 2

2
coordenadas esféricas es: ρ = ρ cos ϕ , o simplificada: ρ = cos ϕ . Entonces:
2
π
2π
∫∫∫dV = ∫∫∫ ρ senϕ dρ dθ dφ = ∫ ∫ ∫
2
V=
4
0
π
=
∫ ∫
4
0
1
=
3
2π
0
∫
2π
0
cos ϕ
ρ3 
 
 3 0
senϕ dθ dφ =
π
1
3
π
0
∫ ∫
0
4
2π
ρ 2 senϕ dρ dθ dφ
0
cos 3 ϕ senϕ dθ dφ
0
 − cos 4 φ  4
−1
cos 4 (π 4 ) − cos 0

 dθ =
12
 4 0
[
cos ϕ
2
−1 1 
π
]∫ dθ = 12
 − 12π =
4
8
2π
0


102
Diferencial de volumen en coordenadas esféricas:
dρ
ρ senϕ dθ
ρ dϕ
dV = (dρ )( ρdϕ )( ρsenϕdθ )
dV = ρ 2 senϕ dρ dθ dϕ
Para la próxima clase estudiar las secciones
15.8 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
16.1 Campos Vectoriales
Tarea para entregar la próxima clase
Tarea No. 23 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
103
Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 23 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
(Sección 15.8 del Stewart 5ª Edición)
En los problemas 1 y 2 evalúe la integral triple en coordenadas cilíndricas:
∫∫∫ y dV en donde E es el sólido que está entre los
P1: Evalúe
R1 : 0
E
2
2
2
cilindros x + y = 1 ,
2
x + y = 4 , arriba del plano xy, y abajo
del plano z = x + 2
∫∫∫
P2: Evalúe
x 2 dV en donde E es el sólido que está dentro del
E
2
2
cilindro x + y = 1 , arriba del plano z = 0 , y abajo del cono
R2 :
2π
5
z 2 = 4x 2 + 4 y 2
En los problemas 3 y 4 evalúe la integral triple en coordenadas esféricas:
P3: Evalúe
∫∫∫ z dV , donde E está entre las esferas
R3 :
E
x2 + y2 + z2 = 1 ,
x 2 + y 2 + z 2 = 4 en el primer octante.
P4: Calcule el volumen del sólido que está sobre el cono
debajo de la esfera ρ = 4 cosφ
φ =π 3 y
R 4 : 10π
P5: Transforme a coordenadas cilíndricas y evalúe la integral:
1− x 2
1
∫∫
−1
− 1− x 2
∫
2− x 2 − y 2
x2 + y 2
(x
2
+y
)
2 32
dz dy dx
R5 :
8π
35
R6 :
243π
5
P6: Transforme a coordenadas esféricas y evalúe la integral:
3
∫∫
−3
9− x 2
− 9− x 2
∫
0
9− x 2 − y 2
2
2
2
z x + y + z dz dy dx
15π
16