ANDREE ENGLISH SCHOOL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 3° AÑO MEDIO GUÍA 3 MATEMÁTICA ELECTIVO. Nombre Alumno(a): ______________________________________Fecha: …. / 08 / 19 1) Dado el triángulo 𝐴𝐵𝐶 cuyos vértices son: 𝐴(2, −1), 𝐵(−2,5), 𝐶(−8, −4): a) Calcule su perímetro: b) Determine las ecuaciones principales de las rectas portadoras de los lados. 2) Sean 𝐴(−1,2), 𝐵(−1,5), 𝐶(4,2) los vértices de un triángulo. Determine si es un triángulo rectángulo y calcule su área. 3) Determine la longitud de la mediana más corta del triángulo isósceles formado por los vértices 𝐴(−1, −1), 𝐵(−1,1), 𝐶(5,0). 4) Determine la longitud de la transversal de gravedad correspondiente al vértice A, del triángulo formado por 𝐴(3, −2), 𝐵(−1, −2), 𝐶(5,2). 5) Determine la longitud de la altura correspondiente al vértice 𝑄 del triángulo formado por 𝑃(3, −1), 𝑄(0,3), 𝑅(1, −3). 6) Calcule el área y perímetro 𝐴(3,0), 𝐵(0,3), 𝐶(−3,0), 𝐷(0, −3). del cuadrado formado por los puntos 7) Calcule el área del trapecio formado por los puntos 𝐴(0,0), 𝐵(4,0), 𝐶(5,5), 𝐷(0,5). 8) Determine la ecuación de la simetral del trazo que une los puntos 𝐴(3, −2), 𝐵(5,3) y escríbala en su forma general y principal. 9) Determine algebraicamente si los puntos 𝐴(1,4), 𝐵(4,1), 𝐶(5,5) son los vértices de un triángulo isósceles. Calcule el perímetro del triángulo. 10) Sean 𝐴(11,2), 𝐵(6, −10), 𝐶(−6, −5), 𝐷(−1,7) los vértices de un cuadrilátero. Determine si 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrado algebraicamente, justifique con palabras si no es posible realizarlo algebraicamente. 11) Los puntos 𝐴(0, −2), 𝐵(4,2), 𝐶(0,6), 𝐷(−4,2) son los vértices de un cuadrilátero. Determine si las diagonales son perpendiculares. 12) Sean 𝐴(3,6), 𝐵(−5,2), 𝐶(−1, −2), 𝐷(7,2), los vértices de un cuadrilátero. Determine si 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo. 13) Determine las ecuaciones de las rectas que contienen a las simetrales del triángulo de vértices 𝐴(2,1), 𝐵(5,1), 𝐶(4,4). 14) Calcule la distancia entre el punto 𝑃 y la recta: a) 𝑃(0,0) y 𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0. b) 𝑃(2,1) y 2𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0 15) Los vértices de un triángulo son 𝐴(−3,2), 𝐵(−2,4) 𝑦 𝐶(4, −2). Calcule la longitud la ̅̅̅̅ . altura correspondiente al vértice 𝐴 y base 𝐵𝐶 1 ANDREE ENGLISH SCHOOL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 3° AÑO MEDIO Apuntes importantes Distancia de un punto a una recta: Para determinar la distancia entre un punto (𝑥, 𝑦) y una recta de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 debemos aplicar la siguiente fórmula: |𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐| √𝑎2 + 𝑏 2 La fórmula te permite determinar la menor distancia del punto indicado a la recta Ejemplo: Dado el punto (3, −2) y la recta 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0. Determine la distancia del punto a la recta. 𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (3, −2) 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 Solo valorizamos: |2 ∙ 3 − 1 ∙ −2 + 5| √(2)2 + (−1)2 |6 + 2 + 5| √4 + 1 |13| √5 13√5 ∙ = 5 √5 √5 Aplicación de la distancia de un punto a una recta → a ejercicios de altura. Ejemplo: Los vértices de un triángulo son 𝐴(3,2), 𝐵(5,4) 𝑦 𝐶(−3,6). Calcule la longitud la ̅̅̅̅ . altura correspondiente al vértice 𝐴 y base 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 1° Debemos calcular la ecuación de la recta de 𝐵𝐶 y luego aplicar la fórmula: 2 ANDREE ENGLISH SCHOOL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 3° AÑO MEDIO Elementos secundarios de un triángulo: 1) Alturas: Son segmentos perpendiculares que van de un lado del triángulo al vértice opuesto. Todo triángulo tiene tres alturas, y la intersección de ellas se llama ortocentro. 2) Transversal de gravedad: Es la recta que va del punto medio de un lado de un triángulo al vértice opuesto. Cada triángulo tiene tres medianas. Su punto de intersección se llama baricentro. 3) Simetral: Es la recta perpendicular en el punto medio. Circuncentro es el nombre de la intersección de las tres simetrales. El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo 4) Bisectriz: Es la recta que divide a un ángulo a la mitad. El punto de intersección de las tres bisectrices se llama incentro. El incentro es el centro de una circunferencia inscrita al triángulo. 5) Mediana: Son los segmentos que unen directamente los puntos medios de dos lados del triángulo, de dos en dos. La mediana tiene una longitud igual a mitad del lado paralelo. 3
