Aproximación de funciones derivables mediante polinomios.(Taylor y Mc-Laurin) √ Ejercicio introductorio: Calcular 3 7, de manera aproximada, sin ayuda de una calculadora cientı́fica Aproximación de funciones derivables mediante polinomios.(Taylor y Mc-Laurin) √ Ejercicio introductorio: Calcular 3 7, de manera aproximada, sin ayuda de una calculadora cientı́fica Consideramos la función derivable f (x) = Vamos a utilizar un polinomio de grado 3 √ 3 x. y el punto a = 8. Calculamos sus derivadas sucesivas, p.e, hasta orden 4. D n) f (x) D n) f (8) 1 f 0 (x) = 13 x −2/3 f 0 (8) = 13 8−2/3 = 12 2 2 1 f 00 (x) = − 9 x −5/3 f 00 (8) = − 9 8−5/3 = − 144 −8/3 −8/3 = 5 f 000 (x) = 10 f 000 (8) = 10 27 x 27 8 3456 −5/3 f iv ) (x) = − 80 x 81 Consideramos la función derivable f (x) = Vamos a utilizar un polinomio de grado 3 √ 3 x. y el punto a = 8. Calculamos sus derivadas sucesivas, p.e, hasta orden 4. D n) f (x) D n) f (8) 1 f 0 (x) = 13 x −2/3 f 0 (8) = 13 8−2/3 = 12 2 2 1 f 00 (x) = − 9 x −5/3 f 00 (8) = − 9 8−5/3 = − 144 −8/3 −8/3 = 5 f 000 (x) = 10 f 000 (8) = 10 27 x 27 8 3456 −5/3 f iv ) (x) = − 80 x 81 En principio consideramos el siguiente polinomio P3 (x) = f (8) + f 0 (8) P3 (x) = 2 + 1 12 (x (x − 8)2 (x − 8)3 (x − 8)1 + f 00 (8) + f 000 (8) 1! 2! 3! − 8)1 − 1 288 (x − 8)2 + 5 20736 (x − 8)3 Polinomio de Taylor de grado 3 de f centrado en 8 En principio consideramos el siguiente polinomio P3 (x) = f (8) + f 0 (8) P3 (x) = 2 + 1 12 (x (x − 8)2 (x − 8)3 (x − 8)1 + f 00 (8) + f 000 (8) 1! 2! 3! − 8)1 − 1 288 (x − 8)2 + 5 20736 (x − 8)3 Polinomio de Taylor de grado 3 de f centrado en 8 En principio consideramos el siguiente polinomio P3 (x) = f (8) + f 0 (8) P3 (x) = 2 + 1 12 (x (x − 8)2 (x − 8)3 (x − 8)1 + f 00 (8) + f 000 (8) 1! 2! 3! − 8)1 − 1 288 (x − 8)2 + 5 20736 (x − 8)3 Polinomio de Taylor de grado 3 de f centrado en 8 Quiero f (7) ' P3 (7) P3 (7) = 2 + Respuesta 1 1 12 (7 − 8) √ 3 − 1 2 288 (7 − 8) + 5 3 20736 (7 − 8) 7 ' 1.91295 Valor con una calculadora cientı́fica √ 3 7 = 1.91293 = 1.91295 Quiero f (7) ' P3 (7) P3 (7) = 2 + Respuesta 1 1 12 (7 − 8) √ 3 − 1 2 288 (7 − 8) + 5 3 20736 (7 − 8) 7 ' 1.91295 Valor con una calculadora cientı́fica √ 3 7 = 1.91293 = 1.91295 Quiero f (7) ' P3 (7) P3 (7) = 2 + Respuesta 1 1 12 (7 − 8) √ 3 − 1 2 288 (7 − 8) + 5 3 20736 (7 − 8) 7 ' 1.91295 Valor con una calculadora cientı́fica √ 3 7 = 1.91293 = 1.91295 Quiero f (7) ' P3 (7) P3 (7) = 2 + Respuesta 1 1 12 (7 − 8) √ 3 − 1 2 288 (7 − 8) + 5 3 20736 (7 − 8) 7 ' 1.91295 Valor con una calculadora cientı́fica √ 3 7 = 1.91293 = 1.91295 ¿Cómo estimamos el error? f (x) = P3 (x) + R 4) −5/3 (ξ) ξ Error < f (4!) (7 − 8)4 = − 80 81 12 7<ξ<8 < 0.0823045 La estimación es muy burda, pero piensa que no podemos utilizar calculadora cientı́fica. ¿Cómo estimamos el error? f (x) = P3 (x) + R 4) −5/3 (ξ) ξ Error < f (4!) (7 − 8)4 = − 80 81 12 7<ξ<8 < 0.0823045 La estimación es muy burda, pero piensa que no podemos utilizar calculadora cientı́fica. ¿Cómo estimamos el error? f (x) = P3 (x) + R 4) −5/3 (ξ) ξ Error < f (4!) (7 − 8)4 = − 80 81 12 7<ξ<8 < 0.0823045 La estimación es muy burda, pero piensa que no podemos utilizar calculadora cientı́fica. ¿Cómo estimamos el error? f (x) = P3 (x) + R 4) −5/3 (ξ) ξ Error < f (4!) (7 − 8)4 = − 80 81 12 7<ξ<8 < 0.0823045 La estimación es muy burda, pero piensa que no podemos utilizar calculadora cientı́fica. f una función n−veces derivable. Polinomio de Taylor de grado n, centrado en a 1 2 Pn (x) = f (a) + f 0 (a) (x−a) + f 00 (a) (x−a) + · · · + f n) (a) (x−a) 1! 2! n! f (x) = Pn (x) + R, donde R = con ξ entre a y x. f n+1) (ξ) (n+1)! (x − a)n+1 n f una función n−veces derivable. Polinomio de Taylor de grado n, centrado en a 1 2 Pn (x) = f (a) + f 0 (a) (x−a) + f 00 (a) (x−a) + · · · + f n) (a) (x−a) 1! 2! n! f (x) = Pn (x) + R, donde R = con ξ entre a y x. f n+1) (ξ) (n+1)! (x − a)n+1 n f una función n−veces derivable. Polinomio de Taylor de grado n, centrado en a 1 2 Pn (x) = f (a) + f 0 (a) (x−a) + f 00 (a) (x−a) + · · · + f n) (a) (x−a) 1! 2! n! f (x) = Pn (x) + R, donde R = con ξ entre a y x. f n+1) (ξ) (n+1)! (x − a)n+1 n Comentario: Si a = 0 se llama desarrollo de Mc-Laurin Preguntas frecuentes Dado un grado determinado n hallar aproximación y estimación del error. Dada una estimación del error, hallar aproximación, hallando previamente el grado del polinomio a utilizar. Comentario: Si a = 0 se llama desarrollo de Mc-Laurin Preguntas frecuentes Dado un grado determinado n hallar aproximación y estimación del error. Dada una estimación del error, hallar aproximación, hallando previamente el grado del polinomio a utilizar. Comentario: Si a = 0 se llama desarrollo de Mc-Laurin Preguntas frecuentes Dado un grado determinado n hallar aproximación y estimación del error. Dada una estimación del error, hallar aproximación, hallando previamente el grado del polinomio a utilizar. Comentario: Si a = 0 se llama desarrollo de Mc-Laurin Preguntas frecuentes Dado un grado determinado n hallar aproximación y estimación del error. Dada una estimación del error, hallar aproximación, hallando previamente el grado del polinomio a utilizar.
