Optimización y aproximación.

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Óptica y Optometrı́a
Resúmenes
Curso 2005-2006
Departamento de Matemáticas
Optimización y aproximación.
Aproximación. Polinomio de Taylor.
Se pueden utilizar polinomios para aproximar otras funciones en un punto determinado; supongamos que tal
punto es a. La aproximación se hace alrededor de a que es, por tanto, el centro de la aproximación. El objetivo
consiste en encontrar el polinomio (de un grado predeterminado) que mejor se aproxima (en un cierto sentido)
a la función f en un entorno del punto a.
Si f tiene n derivadas en a, el polinomio
Pn (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
f 000 (a)
f (n) (a)
(x − a)2 +
(x − a)3 + · · · +
(x − a)n
2!
3!
n!
se denomina el n-ésimo polinomio de Taylor de f centrado en A. Si a = 0, entonces el polinomio anterior se
denomina el n-ésimo polinomio de Maclaurin de f .
Para que un método de aproximación resulte útil, es necesario saber el error que se comete. Para conocer el
error cometido, hacemos la descomposición siguiente f (x) = Pn (x) + Rn (x), donde Rn (x) es el resto. El error
cometido es |Rn (x)| = |f (x) − Pn (x)|. El error se puede estimar o acotar mediante el siguiente teorema
Teorema de Taylor.- Si una función f es derivable hasta el orden n + 1 en un intervalo (c, d) conteniendo a
a, entonces para todo x ∈ (c, d),existe un número z entre c y a tal que f (x) = Pn (x) + Rn (x) siendo
Rn (x) =
f (n+1) (z)
(x − a)n+1 .
(n + 1)!
Esta expresión del resto se llama resto de Lagrange y en el uso habitual no se trata de encontrar z de forma
explı́cita, sino de encontrar cotas de f (n+1) (z) que faciliten una acotación del error.
Método de bisección.
Existen numerosos métodos para aproximar soluciones de una determinada ecuación f (x) = 0. Vamos a ver uno
de ellos que recibe el nombre de método de bisección.
Si f (x) es una función continua en un intervalo [a, b], tal que f (a) y f (b) tienen signos opuestos, el teorema de
Bolzano, nos permite asegurar que existe un valor c ∈ (a, b) solución de la ecuación f (x) = 0. Para encontrar
una aproximación a tal punto c, procedemos de la siguiente manera:
1. Tomamos p1 = a+b
2 (punto medio de [a, b]) y calculamos f (p1 ). Si su signo coincide con f (a), eliminamos
el intervalo [a, p1 ], si por el contrario, el signo de f (p1 ) y el de f (b) son idénticos, el intervalo eliminado
es el [p1 , b]. Llamemos [a1 , b1 ] al intervalo no eliminado. Tenemos de nuevo que f tiene signo opuesto en
los extremos de [a1 , b1 ] y por el teorema de Bolzano existe c ∈ (a1 , b1 ) con f (c) = 0.
1
2. Tomamos ahora p2 = a1 +b
(punto medio de [a1 , b1 ]) y repetimos la operación. Al final obtenemos un
2
nuevo intervalo [a2 , b2 ] en las condiciones del teorema de Bolzano. Repetimos el proceso...
El final del proceso viene determinado, o bien porque el número de veces que hay que iterar venga determinado
previamente o por la precisión deseada:
La longitud del intervalo final debe ser menor que un número dado.
|f (pn )| < ε, es decir el valor encontrado está más cerca de f (c) que un determinado valor ε.
Interpolación polinómica. Polinomio de Lagrange
Se trata de encontrar un polinomio P (x), del menor grado posible, que pase por n + 1 puntos determinados
(x0 , y0 ), . . . , (xn , yn ); es decir que verifique
P (xk ) = yk
para k = 0, 1, . . . , n.
El polinomio de Lagrange viene dado por la expresión
P (x) = y0 Ln0 (x) + y1 Ln1 (x) + . . . , yn Lnn (x)
donde cada Lkn (x) es un polinomio de grado, a lo sumo n cuyas expresiones vienen dadas por
Ln0 (x) =
x − x1 x − x2
x − xn
·
...
,
x0 − x1 x0 − x2
x0 − xn
Ln1 (x) =
x − x0 x − x2
x − xn
·
...
,
x1 − x0 x1 − x2
x0 − xn
Ln2 (x) =
x − x0 x − x1 x − x3
x − xn
·
·
...
,
x2 − x0 x2 − x1 x2 − x3
x0 − xn
...,
Lnn (x) =
x − x0
x − x1
x − xn−1
·
...
.
xn − x0 xn − x1
xn − xn−1
El polinomio P (x) tiene grado n como máximo, y permite hacer una cierta predicción de como se comporta “la
tendencia” de los puntos en cuestión.