2 DETERMINANTES emi lpz

ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
DETERMINANTES
PRIMERA PARTE
1.
2.
Encuentra el valor del determinante.
a)
10  15
2
7
d)
1 0 3
0 1 4
2 1 0
175 65
 125 705
e)
3 1 4
6 3 5
2 1 6
c)
145  356
571 247
f)
2 3 1
4 6 5
0 2 1
Encuentra el valor del determinante, reduciendo a la forma de matriz triangular.
a)
d).
3.
b)
2
0
0
1
0
1
0
2
3
4
1
3
1
2
5
0
2 1 0
4
3 1 1 2
3 2 2 5
0 0
4 1
3 2
1 1
1
0
1
6
1
b)
1 1 2
0 3 5
1 4
0
0 5 6
4
6
3
7
e)
1 1 2 0
3 1 4 0
2 1 5 0
0 0 0 2
0 0 0 1
0
0
0
3
4
c).
1
3
2
0
1 1
4 6
5 1
5 6
0
0
3
7
2 5 6 8 0
0 1 7 6 0
f) 0 0
0 4 0
0 2
1 5 1
4 1 5 3 0
Encuentra el valor del determinante desarrollando cofactores a lo largo de la
fila o columna conveniente.
a)
3 1
4 3
1 0
6 2
2 1
1 2
2 0
5 2
Ing. Felix Vega Benavides
b)
1 1 2
0 3 5
1 4
0
0 5 6
4
6
3
7
c)
2 3 1
0 2 0
3 7 1
4 1 3
4
0
2
8
Página 1
ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
d)
4.
5.
1 0
3 5
1 2
0 5
4 2
2 0
0 8
6 4
8 3
0 9
2
9
8
4
2
e)
1
0
5
4
2
2
2
0
2
2
4
0
0
9
3
0
3
8
7
4
9
4
5
8
0
5
9
2
1
4
3
2 8
4 6
f)
5 3
7
0 5
9
6 4 3
1 9
0
2 8
4
Encuentre el valor del determinante utilizando el esquema de Chio.
a)
3 1
4 3
1 0
6 2
d)
1 0
2
0
3 2
8 8
9 6 5 0
1 8 6
2
6 5 3
0
2 1
1 2
2 0
5 2
1 1 2
0 3 5
1 4
0
0 5 6
b)
2
0
3
7
1
e)
1
1
1
1
1
2 3
3 5
4 7
5 9
6 11
4
6
3
7
4 5
7 9
10 13
13 17
16 21
c)
f)
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
0 5 6 3
7
8 2 0 4 6
2 3 8 9 8
5 7 0 3
7
4 3 7 1 8
Utiliza la matriz adjunta para obtener la inversa de cada matriz.
2  3
1

b) A   4  5 2 
  1 1  7
2 0 1 
a). A  3 2  1
1 0 1 
2
0
 2 1
d). A  
 2 1

1
0
Ing. Felix Vega Benavides
1
3
5
0
3
4
2

2
1
3
e) A  
 2

0
2
4
5
1
1 3 2 
c) A  2 1 4
1  7 2
0 5
2 3

9  1
1 7
f) A  
6 0
2 0


2  7
8 9
0
2
4
0
1
5
2

3
Página 2
ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
6.
a b
Se sabe que: d e
g h
determinantes.
g h
a) d e
a b
e)
7.
i
f
c
2a
2b
2c
f)
a
2d
g
c)
a b b
d e e
g h h
det(AT)
b
c
2e 2 f
h
i
c
f
i
b)
g)
d)
a
d
g
2a  3d
g
d
2c
2f
2i
b
e
h
2b  3e 2c  3 f
h
i
e
f
det(2A)
c)
det(2A-1)
8.-Sean A y B matrices cuadradas nxn, tales que: det(A)=3 y det(B)=4. Calcula:
det(AB)
b)
det(ABAT)
c)
det(B-1AB)
Determina los valores de x para los cuales A es singular.
0
3 
x  3
a) A   0
x2
0 
  5
0
x  5
10.
d
e
f
Sea A una matriz 4x4 y suponga que det(A)=5, calcula:
a)
9.
g
h
i
 3a  3b  3c
2d
2e
2f
5g
5h
5i
a)
8.
b)
c
f  8 utiliza esta información para calcular los siguientes
i
0
1 
6 
x
2  x  3
b) A  1 x  1 0  c) A   4
1  x  2 
0
 2
0
x  1
 1 2  x
Encuentra el valor de los siguientes determinantes:
a)
x yz
2y
2z
2x
yxz
2z
Ing. Felix Vega Benavides
2x
2y
zx y
b)
1
1
1
bc ca ab
bc
ca
ab
Página 3
ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
y z t
z xt
t x y
x yz
c)
1
1
1
1
x
y
z
t
f)
bc
a
a
b
ca
b
c
c
ab
1 a
b
c
d
e
a 1 b
c
d
e
d)
a
b 1 c
d
e
a
b
c 1 d
e
a
b
c
d
1 e
g)
Aplicando propiedades de determinante,
1
1
1
1
1
1
1+𝑎
1
| = 𝑎𝑏𝑐
mostrar:|
1
1
1
1+𝑏
1+𝑐
1
1
1
12.
Resolver las siguientes ecuaciones:
13.
1
𝑥
1
1
1 1
1 1) = 0
𝑥 1
1 𝑥
1
c
c3
;
𝑥+2
1
1
1
0
𝑥−1
0
1 )=0
𝑑𝑒𝑡 (
𝑥+2
𝑥
𝑥−2 𝑥−2
𝑥+2
1
1
𝑥−3
Hallar los valores de “x” y “a” que satisfagan las ecuaciones dadas:
𝑥
3
4
𝑎) | 4
6 2𝑥 + 3| = 7
𝑥−3 2
5
1
1
2
3
2
2
3|=0
𝑐) |1 2 − 𝑥
2
3 1
5
2
3 1 9 − 𝑥2
14.
1
b
b3
 2a a  b a  c
b  a  2b b  c
c  a c  b  2c
11.
𝑥
𝑑𝑒𝑡 (1
1
1
1
e) a
a3
𝑎
Si 𝐴 = (𝑥
𝑢
𝑏
𝑦
𝑣
que la matriz
𝑏)
𝑑)
2
|1
5
𝑎
1
|0
|
0
0
𝑥 + 2 −1
1
−2| = 0
−3
𝑥
7 0 0 0
𝑎 5 0 0
3 𝑎 3 0|| = 0
0 5 𝑎 1
0 0 7 𝑎
𝑐
𝑧 ) es una matriz no singular, hallar los valores de k que hacen
𝑤
𝑎 + 𝑘𝑏 𝑘𝑎 + 𝑏 𝑐
(𝑥 + 𝑘𝑦 𝑘𝑥 + 𝑦 𝑧 ) sea no singular.
𝑢 + 𝑘𝑣 𝑘𝑢 + 𝑣 𝑤
Ing. Felix Vega Benavides
Página 4
ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
15.
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0
Si la matriz 𝐴 = (−𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 0) hallar la matriz 𝐵 = (𝐼 − 𝐴)(𝐼 + 𝐴)−1 y
0
0
1
demostrar que es anti simétrica
SEGUNDA PARTE
16.
𝑎
Muestre que la matriz (
𝑐
caso la inversa es
𝑏
) es invertible si y solo si 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0. En este
𝑑
𝐴−1 = (
17.
𝑑
−𝑐
−𝑏
)
𝑎
Si A es una matriz de orden n y 𝐴𝑘 = 0 para algún 𝑘 ∈ ℕ entonces muestre
que
(𝐼𝑛 − 𝐴)−1 = 𝐼𝑛 + 𝐴 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝑘−1
18.
Sea A una matriz diagonal, Si todos los elementos de su diagonal principal
son no nulos muestre que A es invertible y calcule su inversa.
19.
Sean A e B matrices cuadradas. Muestre que se 𝐴 + 𝐵 y 𝐴 son invertibles
entonces
20.
(𝐴 + 𝐵)−1 = 𝐴−1 (𝐼𝑛 + 𝐵𝐴−1 )−1
Sea 𝐽𝑛 una matriz de orden n, cuyas entradas son todas iguales a 1. Muestre
que si n > 1, entonces
1
(𝐼𝑛 − 𝐽𝑛 )−1 = 𝐼𝑛 −
𝐽
1−𝑛 𝑛
21.
Muestre que se B es una matriz invertible entonces 𝐴𝐵−1 = 𝐵−1 𝐴 si y
solamente si A y B conmutan
22.
Muestre que si A es una matriz invertible entonces 𝐴 + 𝐵 y 𝐼𝑛 + 𝐵𝐴 son
ambas invertibles o ambas no invertibles.
23.
Muestre que si A no es una matriz invertible entonces AB no es invertible.
Ing. Felix Vega Benavides
Página 5
ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
24.
Muestre que si el det(𝐴𝐵) = 0 entonces A es singular o B es singular
25.
El determinante de 𝐴𝐵 es igual al determinante de 𝐵𝐴? Justifique su
respuesta
26.
Muestre que se A e una matriz no singular tal que 𝐴2 = 𝐴, entonces
det(𝐴) = 1.
27.
Muestre que si 𝐴𝑘 = 0, para algún k entero positivo, entonces A es singular
Muestre que si 𝐴𝑡 = 𝐴−1 entonces det(𝐴) = ±1.
28.
29.
Muestre que si 𝛼 es un escalar e A es una matriz cuadrada de orden n
entonces det(𝛼𝐴) = 𝛼 𝑛 det(𝐴).
30.
Muestre que si A es de tamaño 𝑛 × 𝑛, es invertible si y solamente si 𝐴𝑡 𝐴 es
invertible.
31.
Sean A y P matrices de orden n, con P invertible. Muestre que
det(𝑃 −1 𝐴𝑃) = det(𝐴)
32.
Muestre que si una matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑛 es triangular superior, entonces
det(𝐴) = 𝑎11 𝑎22 … 𝑎𝑛𝑛
TERCERA PARTE
Dada la matriz
33.
1 𝑥1
𝑉𝑛 = (1 𝑥2
⋮ ⋮
1 𝑥𝑛
𝑥12
𝑥22
⋮
𝑥𝑛2
⋯
⋯
⋱
⋯
𝑥1𝑛−1
𝑥2𝑛−1 )
⋮
𝑛−1
𝑥𝑛
Demuestre que det 𝑉𝑛 = ∏𝑖>𝑗(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ).
Ing. Felix Vega Benavides
Página 6
ALGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL
Calcule el valor del determinante
34.
𝛼2
𝛼𝛽
𝛼𝛽
2
(𝛽
𝛼𝛽
𝛼2
𝛽2
𝛼𝛽
𝛽2
𝛼𝛽
𝛼𝛽
𝛼2 )
𝛼𝛽
𝛽2
𝛼2
𝛼𝛽
Calcule el determinante de
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
⋮
(𝑛
35.
1
2
1
1
⋮
1
1
1
3
1
⋮
1
1
1
1
4
⋮
1
⋯
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
1
1
1
1
⋮
𝑛)
Calcule el determinante de
36.
𝑥1 + 𝑦1
𝑥2 + 𝑦1
(
⋮
𝑥𝑛 + 𝑦1
𝑥1 + 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
⋮
𝑥𝑛 + 𝑦2
⋯ 𝑥1 + 𝑦𝑛
⋯ 𝑥2 + 𝑦𝑛
)
⋱
⋮
⋯ 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛
Calcular el determinante de:
37.
𝑎1 + 1
𝑎2
𝑎3
𝑎1
𝑎2 + 1
𝑎3
𝑎1
𝑎2
𝑎3 + 1
⋮
⋮
⋮
𝑎2
𝑎3
( 𝑎1
Ing. Felix Vega Benavides
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
𝑎𝑛
𝑎𝑛
𝑎𝑛
⋮
𝑎𝑛 + 1)
Página 7