ARITMETICA Semestral Uni - APPU R 19 TEORIA DE LAS PROBABILIDADES Se refiere al estudio de azar y la incertidumbre en cualquier situación que exista posibles sucesos que puedan ocurrir. Se encarga de estudiar los fenómenos aleatorios estocásticos, es decir un comportamiento no determinístico. DEFINICIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD Antes de comenzar a calcular la probabilidad de una situación cotidiana, es necesario definir algunos términos importantes. Experimentos aleatorios: Llamamos experimentos aleatorios a aquellos cuyos resultados no pueden predecirse antes de su realización. Son experimentos que no dan siempre el mismo resultado al repetirlos en las mismas condiciones. Por ejemplo: A: Tirar al aire un dado o una moneda B: Predecir la duración de una conversación telefónica. C: Lanzar un proyectil hacia un blanco determinado. Los resultados de los ejemplos anteriores se conocen como sucesos al azar o aleatorios, pero hay sucesos que no son aleatorios o al azar, se conocen como sucesos determinísticos o no aleatorios. Por ejemplo: a: Si se calienta suficientemente el agua, ésta hierve. b: Un cuerpo que se suelta a una cierta altura, cae c: El corcho flota en el agua d: Una esfera maciza de plomo se hunde en el agua. A partir de ahora los sucesos aleatorios se llamarán sucesos elementales, dado que solo se hace referencia a experimentos aleatorios. Suceso elemental: es el resultado de cada una de las realizaciones del experimento aleatorio. Sirviendo al pueblo de todo corazón …. Espacio muestral (): es el conjunto de todos los sucesos elementales. Veamos los siguientes ejemplos: 1. Si se lanza una moneda al aire, el experimento aleatorio consiste en tomar nota de los resultados. Los sucesos elementales son cara (c) o sello (s). Y el espacio muestral se escribe: = { c, s }. n()=2 2. Al lanzar un dado y anotar el resultado de la cara superior, se puede obtener los siguientes sucesos elementales: s1 1 ; s2 2; s3 3; s4 4; s5 5 ; s6 6 Por tanto, el espacio muestral n()= 6 1, 2,3, 4,5,6 . es: 3. Se tiran dos monedas al aire y se anotan los resultados. Los sucesos elementales son: “obtener cara y cara” s1 c, c “obtener cara y sello” s2 c, s “obtener sello y cara” s3 s, c “obtener sello y sello” s4 s, s Y el espacio muestral es: c, c ; c, s ; s, c ; s, s . n()=4 Suceso: llamamos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. Se dice que se ha producido el suceso A si el resultado del experimento es un elemento de A. Por ejemplo: 1. Al lanzar un dado, algunos sucesos son: A: “obtener un número par” B: “obtener un número primo” C: “obtener un número impar menor que 5” 2. Al lanzar tres monedas, son sucesos: A: “obtener al menos una cara” B: “obtener como máximo un sello” C: “obtener exactamente dos caras” ARITMETICA Semestral Uni - APPU Por tanto, cada suceso está compuesto por varios sucesos elementales. uno cuando es seguro que ocurra, si no va a ocurrir su probabilidad es igual a cero. 0 P A 1 Suceso imposible: es cualquier suceso que sea igual al conjunto vacío , es decir; un suceso que no se produce nunca. Suceso seguro: es cualquier suceso que sea igual al espacio muestral; es decir, es el suceso que ocurre siempre. Algunos ejemplos de suceso imposible y suceso seguro son: 1. En el lanzamiento de un dado es un suceso imposible el obtener un número negativo; y es un suceso seguro obtener un número menor que 8. 2. En el lanzamiento de una moneda, obtener cara y sello es un suceso imposible, y es un suceso seguro el obtener cara o sello. PROBABILIDAD La probabilidad es un número que se asigna a cada suceso. La probabilidad de que ocurra un suceso A o un evento A, viene dada por el número de veces en que éste se repite (n(A)) entre el número de casos posibles ( n() ) P A n( A) n ( ) Ejemplo: La probabilidad de que salga 2 al lanzar 1 0.16 un dado es: 6 Ejemplo: La probabilidad de lanzar una moneda 1 y que caiga cara es: 0.5 2 PROPIEDADES BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD 1. La probabilidad de un suceso se encuentra entre los valores cero y uno; toma este valor Sirviendo al pueblo de todo corazón …. P(A) = 0 ; si A es un evento imposible P(A) = 1 ; si el evento A es un evento seguro 2. Sea A un evento de un espacio muestral entonces; AC (complemento de A) se conoce el evento de que no ocurra A P AC 1 P A P A P AC 1 ; Ejemplo: Si el evento P(A) la probabilidad de que un alumno apruebe el examen de matemáticas, ¿Cuál es la probabilidad de dicho alumno no apruebe el examen de matemáticas? P( A) 0.56 P( AC ) 1 P( A) 1 0.56 0.44 Además se sabe que: A AC P A AC P P A AC P A P AC 1 Por tanto, P () = 1 ÁLGEBRA DE SUCESOS Unión de dos sucesos: Sean A y B dos sucesos asociados a un determinado experimento aleatorio. Llamaremos suceso unión de A y B, simbólicamente A B, al que se verifica cuando, al menos se verifica uno de los dos. Está formado por todos los sucesos elementales de A y por todos los sucesos elementales de B. Intersección de dos sucesos: Sean A y B dos sucesos asociados a un determinado experimento aleatorio. Llamaremos suceso intersección de A y B, simbólicamente AB, al que se verifica cuando se verifican simultáneamente los sucesos A y B. Está formado por los sucesos elementales que están, a la vez, en A y en B. ARITMETICA Sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes): Dos sucesos A y B se dicen incompatibles cuando A B = Ø. Designaremos por P () al conjunto de todos los subconjuntos de , es decir al conjunto de todos los posibles sucesos del espacio muestral. Propiedades de la unión de sucesos: 1.- A, B P () A B P () 2.- A, B, C P() A ( B C ) ( A B) C 3.- A, B P () A B B A 4.- A P () A Ø = A Semestral Uni - APPU B) Calcule la probabilidad que salga 2 y 3 P A B = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la intersección no existe, es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo. 2.- P( AC ) 1 P( A) Ejemplo: En el evento A (día nublado), P(A) = 0.3, la probabilidad de tener un día despejado será 1P(A)=0.7 3.- Si A y B no son incompatibles, entonces: 5.- A P () A A Propiedades de la intersección de sucesos: 1.- A, B P () A B P () 2.- A, B, C P () A ( B C ) ( A B) C 3.- A, B P () A B B A 4.- A P () A = 5.- A P () A A Ø DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD Dado un experimento aleatorio de espacio muestral , se llama probabilidad a una P : P () Ў que verifica los aplicación: axiomas siguientes: 1. A P() 0 p ( A) 1 2.- p () = 1 3.- A, B P() tales que A∩B=Ø, se verifica que P(A U B) = P(A) + P(B) Consecuencias de la definición: 1.- Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes se verifica que: P( A B) P( A) P( B) Ejemplo: Al lanzar un dado: P( A B) P( A) P( B) P( A B) Ejemplo: Se escoge una carta al azar de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar : A) un diamante B) un diez C) un diez de diamantes D) un diamante o un diez P ( A) 13 ; 52 P( B) P(C ) P( A B) 1 52 P( D) P( A B) P( A) P( B) P( A B) 13 4 1 16 0.30769 52 52 52 52 5.- Si A B p(A) p(B) PROBABILIDAD CONDICIONADA Sean A, B P(), con p(A) ≠ 0. Llamaremos probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y la denotaremos por P(B|A ), al cociente siguiente: a) cual es la probabilidad de que salga 2 o 3? P A B 1 1 1 0.33 6 6 3 Sirviendo al pueblo de todo corazón …. 4 52 P( B | A) P( A B) P( A) ARITMETICA Semestral Uni - APPU Ejemplo: Si el evento A (lluvia) = 0.2 y el evento B (nublado) = 0.3, cual es la probabilidad de que llueva en un día nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes P A B P A B P B = 0.2 0.67 0.3 Propiedades de la probabilidad condicionada: 1.- P(A|A) = 1 2.- Si P(A) ≠ 0 y P(B) ≠ 0, P(A∩B) = P(B|A)·P(A) =P(A|B)·P(B) 3.- Si A y B son incompatibles y no imposibles P(A|B) = P(B|A) = 0 Sucesos estocásticamente independientes: Dos sucesos A y B son independientes si y sólo si la ocurrencia de uno de ellos no afecta los resultados del otro; entonces se cumple: P( A B) P( A) P( B) Ejemplo: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo), a) calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado. A: El primer artículo está en buen estado. B: El segundo artículo está en buen estado. a) Al ser eventos independientes el primero del segundo: Sirviendo al pueblo de todo corazón …. 98 98 P A B P A P B = 0.9604 100 100 b) Si la muestra se toma “sin reemplazo” de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el segundo entonces: 98 97 P A B P A P B A = 0.9602 100 99 Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B, se tiene que haber cumplido antes el evento A.