Algebra lineal.

Algebra lineal.
Eliminación gaussiana con pivoteo en aritmética de punto flotante
1 de septiembre, 2011.
En este ejemplo ilustramos el efecto del error por redondeo en la solución calculada por
el algoritmo de eliminación gaussiana. El inevitable error por redondeo acumulado durante
el proceso de eliminación se puede atenuar significativamente modificando el algoritmo
original. La modificación es muy simple y consiste en elegir al elemento pivote como
aquél con mayor valor absoluto entre los elementos de la columna. El algoritmo resultante
es conocido como eliminación gaussiana con pivoteo parcial.
Consideremos la resolución del siguiente sistema de ecuaciones en aritmética de punto
flotante con mantisa de 4 dı́gitos y base 10.
1.0 × 10−6 x1 + 1.2x2 = 1
4.810x1
+ x2 = 1.
(1)
(2)
Si utilizamos M ATLAB, eliminación gaussiana con pivoteo parcial en 16 dı́gitos decimales,
tenemos que la solución calculada es:
x1 = 0.034650040653160
x2 = 0.833333304458299
Ahora vamos a utilizar eliminación gaussiana en aritmética decimal con 4 dı́gitos para resolver el sistema anterior. Observa que en el algoritmo original ambos pivotes son elegibles,
ası́ que escogemos el primer pivote diferente de cero.
Pasos
1. Calcular el multiplicador
m21 =
4.810
= 4.810 × 106
10−6
2. Modificar el segundo renglón:
a022 = 1 − 4.810 × 106 × 1.2 = 1 − 5.772 × 106 = −5.772 × 106
b01 = 1 − 4.810 × 106 = −4.810 × 106
1
3. Calcular x2 de la ecuación
−5.772 × 106 x2 = −4.810 × 106 ,
por lo tanto
x2 = .8333
4. Con el valor calculado de x2 utilizamos la primera ecuación para obtener
x1 =
1 − 1.2 × .8333
1−1
=
=0
106
106
Ahora tratemos de resolver el sistema utilizando la segunda ecuación como renglón
pivote:
4.810x1
+ x2 = 1
−6
1.0 × 10 x1 + 1.2x2 = 1
Pasos
1. Calcular el multiplicador
m21 =
10−6
= 2.079 × 10−7
4.821
2. Modificar el segundo renglón,
a022 = 1.2 − 2.079 × 10−7 = 1.2
b01 = 1 − 2.079 × 10−7 = 1
3. Calcular x2 de la ecuación 1.2x2 = 1
x2 = 0.8333
4. Con el valor de x2 obtenemos x1 de la primera ecuación
x1 =
1 − 0.8333
= 0.0347
4.81
Observa que la elección de 4.81 como pivote tiene un efecto espectacular en el valor
calculado de x1 .
Ejercicios
2
1. Repite el ejercicio anterior reemplazando a11 = 1.0 × 10−4 en el sistema original
(1-2)
2. Resuelve el sistema (1-2 ) utilizando determinantes. Compara la calidad de la solución
obtenida con la obtiene el método de eliminación gaussiana con pivoteo parcial.
3. Considera el caso de un sistema de 3 × 3


a11 a12 a13


 a21 a22 a23 
a31 a32 a33
Supongamos que a11 satisface la condición de ser el mejor pivote. Prueba que todos
los multiplicadores están acotados por 1.
Entonces, al realizar el proceso de eliminación, las componentes del renglón pivote
nunca aumentan de tamaño. Utiliza esta observación para explicar la falla del método
que no pivotea.
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