Algebra y Geometría 2008
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SEGUNDO PARCIAL - EJERCICIOS DE REPASO
13-06-08
ESPACIOS VECTORIALES
1. Construya en R2 un subconjunto que sea:
a) cerrado para la suma y resta de vectores, pero no para la multiplicacion por un escalar;
b) cerrado para la multiplicacion por un escalar, pero no para la suma de vectores
2. Mostrar que el conjunto de matrices inversibles no es un espacio vectorial
3. Cuales de las siguientes afirmaciones son correctas? Las soluciones de


x1
1 1 1 
0
x2  =
Ax =
1 0 2
0
x3
constituyen:
un plano
una recta
un punto
un subespacio
el espacio nulo de A
el espacio columna de A
4. Encuentre el mayor numero posible de vectores independientes entre los siguientes:


1
1
 −1 
 0


v1 = 
 0  ; v2 =  −1
0
0



1
0

 0 
 1
 ; v3 =   ; v4 = 
 −1

 0 
1
0




0
0
 1 
 0



 ; v5 = 

 0  ; v6 =  1
−1
−1

5. Describa el subespacio de R3 generado por
los vectores (1, −1, 1), (−1, −1, 1)
los vectores (0, 1, 1), (1, 1, 0) y (0, 0, 0)
las columnas de una matriz escalonada 3 × 5 con dos pivotes
todos los vectores con segunda componentes nula





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6. Encuentre una base para cada uno de los siguientes subespacios:
todos los vectores cuyas componentes son iguales
todos los vectores cuya tales que la suma de sus componentes es 0
todos los vectores perpendiculares a (1, 1, 0, 0) y (1, 0, 1, 1)
El espacio columna y el espacio fila de la matriz
1 0 1 0 1
A=
0 1 0 1 0
En cada caso, indique la dimension del mismo
7. Encuentre la dimension y una base para los espacios fila, columna, nucleo e imagen de la
matriz


1 2 0 1
A= 0 1 1 0 
1 2 0 1
8. Sea A es una matriz m × n con rango ν(A) = r. Suponga que hay miembros b para los cuales
Ax = b no tiene solucion.
cuales desigualdades (< o ≤) deben ser ciertas ebtre m, n y r
que se puede decir de la nulidad de A
9. Encuentre todos los vectores perpendiculares a (1, 4, 4, 1) y (2, 9, 8, 2)
10. Encuentre una tercera columna de




A=


1
√
3
1
√
3
1
√
3

1
√
∗

14

2
√
∗ 


14

−3
√
∗
14
para que resulte ortogonal.
TRANSFORMACIONES LINEALES
1. Sea π el plano en R3 dado por la ecuacion x + 2y − z + 0. Determinar
una matriz A (3 × 3) tal que el nucleo de A sea el plano π
una matriz B (3 × 3) tal que la imagen de B sea el plano π
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2. Sea P3 (R) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que 4. Sea T : P3 (R) −→ P3 (R)
la transformacion lineal definida por T (p) = p00 . Determine la representacion matricial de T
con respecto a la base canonica
3. Cuales de las siguientes transformaciones de R2 en R2 no son lineales?
T (x, y) = (y, x)
T (x, y) = (x, x)
T (x, y) = (0, x))
T (x, y) = (0, 1)
Z
4. Sea P3 (R) el espacio de los polinomios de grado menor o igual que 3, y sea S = p ∈ P3 (R) :
0
Mostrar que S es un subespacio de P3 (R) y encontrar una base para S.
5. Que matriz transforma (1, 0) en (2, 5) y (0, 1) en (1, 3). Por que no existe una matriz que
transforme el (2, 6) en el (1, 0) y el (1, 3) en el (0, 1)?
6. Sea T : R3 −→ R3 dada por T (x, y, z) + (x + y + z, x + y, x).
Encontrar la representacion matricial de T con respecto a la base canonica
Es T inversible. En caso de serlo, encontrar T −1
7. Que matriz tiene el efecto de rotar cada vector un angulo de π/2 y luego reflejar el vector
sobre el eje x? Que matriz representa una reflexion sobre el eje x seguida por una reflexion
sobre el eje y?
8. Construya una matriz cuyo:
espacio nulo contenga al vector (1, 1, 2)
cuyo espacio columna este generado por el (1, 1, 2) y cuyo espacio renglon este generado
por el (1, 2)
9. Sea T (1, 1) = (2, 2), y T (2, 0) = (0, 0). Si T es lineal, encontrar T (2, 2) y T (3, −4)
10. Por que las siguientes transofmraciones lineales no son isomorfismos?
T (x, y) = (y, y)
T (x, y) = (x, y, x + y)
T (x, y) = x
11. Describa las transformaciones lineales de R2 , representadas en la base canonica por las
matrices:
1 0
0 −1
1 0
2 1
0 −1
1 0
1
p(x)dx = 0 .
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VALORES Y VECTORES PROPIOS
1. Encontrar la multiplicidad geométrica de los autovalores de la matriz


−4 1 0
A =  0 −4 0  .
0
0 5
¿Es la matriz A diagonalizable?
2. Encontrar los valores y vectores característicos de la matriz A =
1 −1
2 4
3. Encontrar los valores y vectores caracterisiticos de las siguientes matrices:


3 4 2
 0 1 2 
0 0 0


0 0 2
 0 2 0 
2 0 0
4. Sea A una matriz (3×3) con valores caracteristicos 0, 3, 5 con vectores propios independientes
u, v, w respectivamente.
proporcione una base para el nucleo y el espacio columna de A
encuentre una solucion particular de Ax = v + w
Por que el sistema Ax = u no tiene solucion?
5. Si A tiene autovalores λ1 = 4 y λ2 = 5, ecnuentre tres matrices (2 × 2) tales que su traza
sea 20 (la suma de los elementos de la diagonal) y cuyo determinante sea 20.
6. Cuales de las siguientes matrices no pueden diagonalizarse:
2 −2
2 −2
2 0
2 2
2 0
2 −2
7. Completar las siguientes matrices tales que su determinante sea 25. Son estas matrices diagonalizables?
8 ∗
∗ 2
9 4
∗ 1
8. Para que valores de c la matriz


1 2 0
 2 1 c 
0 5 3
10 5
−5 ∗
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tiene autovalores reales y autovectores ortogonales? De existir tal valor de c, encontrar los
autovalores y autovectores de la matriz? Es diagonalizable?
9. Encuentre una matriz 2x2 A 6= 0 tal que tenga valores característicos λ1 = λ2 = 0
10.
a) Si A2 = I, ¿cuáles son los valores característicos de A?
b) Si esta matriz A es 2x2, y no es ni I ni −I, encuentre su determinante
c) Si el primer renglón de A es (3, −1), cuál es el segundo renglón?