universidad de oriente nucleo de bolivar unidad

UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO DE BOLIVAR
UNIDAD DE ESTUDIOS BASICOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
AREA DE MATEMATICAS
Profesor:
Cristian Castillo.
Elaborador por:
Bolívar Yunary
C.I 16.648.098
Medeiros Nuralis C.I 20.772.185
Oriana Osorio
C.I 19.077.727
Ciudad Bolívar, Marzo del 2010
Trayectorias Ortogonales
Se dice que dos curvas son ortogonales si se interceptan y en los puntos de corte
sus rectas tangentes son perpendiculares entre sí. Si todas las curvas de una familia de
curvas
, son ortogonales a todas las curvas de otra familia
, entonces se dice que las familias son cada una, trayectorias
ortogonales de la otra.
Es una familia de curvas cuyas pendientes son perpendiculares entre sí, o de otra
manera son las curvas que se interceptan formando ángulos rectos. Si una familia de
curvas tiene la ecuación:
La ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a ella, es otra familia de
la forma:
Para obtener las trayectorias ortogonales de una ecuación diferencial, se toma:
Y como:
Trayectorias ortogonales y sus aplicaciones
Suponga que nos dan una familia de curvas como en la Figura 3.16 (líneas
Gruesas). Podemos pensar en otra familia de curvas (líneas puxiteadas). Tal que cada
miembro de esta familia corte a cada miembro de la primera familia en ángulos rectos.
Por ejemplo, la curva AB se encuentra con varios Miembros de la familia punteada en
ángulos rectos en los puntos L, M, N, O, P. Decimos que las ‘familias son mutuamente
ortogonales, o que una familia Forma un conjunto trayectorias ortogonales de la otra
familia.
Figura 3.16
Considere la familia de todos los círculos con centro en el origen; Unos cuantos
círculos aparecen en, la Figura 3.17. Las trayectorias ortogonales Para esta familia de
círculos podrían ser miembros de la familia de las líneas rectas (líneas punteadas).
Similarmente las trayectorias ortogonales de la familia de líneas rectas que pasan por el
origen son los círculos con centro en el origen.
Figura 3.17
Como una situación más complicada, considere la familia de elipses Figura 3.18
y la familia de curvas ortogonales a ellas. Las curvas de una familia Son las trayectorias
ortogonales de la otra familia. Las aplicaciones de Trayectorias ortogonales son
numerosas en física e ingeniería.
Figura 3.18
Como una aplicación muy elemental, considere la Figura 3.19. Aquí NS
representa una barra Magnética, siendo N su polo norte, y S su polo sur. Si sus
limaduras de hierro se esparcen alrededor del magneto encontramos que ellas se
ordenan así mismas Como las curvas punteadas de la Figura 3.19. Estas curvas se
llaman Líneas de fuerza.* Las curvas perpendiculares a estas (líneas gruesas) se llaman
líneas equipotenciales, o curvas de igual potencial. Aquí, también los miembros de una
familia constituyen las trayectorias ortogonales de la otra familia.
Figura 3.19
Como otro ejemplo de física considere la Figura 3.20, la cual representa Un
mapa del clima tan familiar en muchos de nuestros periódicos diarios. Las curvas
representan isobaras, las cuales son curvas que conectan todas Las ciudades que
reportan la misma presión barométrica a la oficina metereológica. Las trayectorias
ortogonales de la familia de isobaras podrían indicar La dirección general del viento
desde áreas de alta a baja presión. En vez de Isobaras, la Figura 3.20 podría representar
curvas isotérmicas las cuales son Curvas que conectan puntos que tienen la misma
temperatura.
Figura 3.20
Ejemplos:
1.) Encontrar las trayectorias de familias de parábolas
Solución: de la ecuación de la familia dada
se sigue que:
Sustituyendo
Obtenemos
Luego las trayectorias ortogonales deben cumplir
Resolviendo la ecuación diferencial encontramos
Así las trayectorias ortogonales de las parábolas con vértice en el origen y cuyo
eje es el eje y, son elipses con centro en el origen y eje mayor en el eje x.
2.) Obtener la familia de curvas ortogonales a
Derivamos:
Pendiente
Se cumple:
Aplicando doble c
Integrando
Aplicando exponencial
Se eliminan los exponenciales con los logaritmos naturales y queda:
Ò
Familia de curvas ortogonales.
3.) Halle las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas
De
obtenemos:
Y como
despejado
Nos queda que:
Buscamos
Integramos
Ò