Trayectorias ortogonales

Práctica 4 Ingeniería Técnica Industrial
Matematicas II
Trayectorias ortogonales
P04ED0.nb
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Desarrollo de la práctica
Trayectorias ortogonales
Dos familias uniparamétricas de curvas
G1 (x, y, c1 ) = 0,
G2 (x, y, c2 ) = 0,
se dicen que son trayectorias ortogonales, si todas las curvas de una familia cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia.
El método para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparamétrica G (x,
y, c) = 0 consiste en encontrar, en primer lugar, la ecuación diferencial asociada a la familia
y' = f (x, y)
y, a continuación, plantear y resolver la ecuación asociada a la familia ortogonal que vendrá
dada por
y' = -1 / f (x, y)
Nota: Es normal, en este tipo de ejercicios, el que una o ambas familias de curvas vengan
dadas en su forma implícita. Para la representación gráfica de una curva dada en su forma
implícita necesitamos cargar, previamente, la librería
<<Graphics`ImplicitPlot`
y así poder utilizar la instrucción ImplicitPlot, cuya sintaxis es:
ImplicitPlot[ expresión, {x, xmin , xmax }]
Representa la función dada en forma implícita para valores de x en el intervalo [xmin, xmax ]
ImplicitPlot[ expresión, {x, xmin , xmax}, {y, ymin , ymax }]
Representa la función dada en forma implícita para valores de (x, y) en el
rectángulo [xmin, xmax ]×[ymin, ymax].
In[1]:=
<< Graphics`ImplicitPlot`
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Ejemplo
Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que pasan por los
puntos (-1, 0) y (1, 0).
Q., M., S. Pág 60, 2.17
x2 + Hy - cL2 = c2 + 1
Se comprueba facilmente que las ecuaciones de estas circunferencias vienen dadas por
1º Representación gráfica de la familia de circunferencias x2 + Hy - cL2 = c2 + 1
In[5]:=
Clear@"Global`∗"D;
familia1 = x2 + Hy − cL2
c2 + 1;
grafica1 =
ImplicitPlot@Evaluate@Table@familia1, 8c, −3, 3, 1<DD, 8x, −5, 5<D;
6
4
2
-3 -2 -1
1
2
3
-2
-4
-6
2º Obtención de la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas
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In[10]:=
ecuacion1 = familia1 ê. y → y@xD
derivada1 = D@ecuacion1, xD
Out[10]=
x2 + HyHxL - cL2 n c2 + 1
Out[11]=
2 x + 2 HyHxL - cL y£ HxL n 0
In[12]:=
parametro = Solve@derivada1, cD êê Simplify
Out[12]=
x
99c Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ + yHxL==
y£ HxL
In[17]:=
ED1 = ecuacion1 ê. parametro@@1DD êê Simplify
Out[17]=
2 x yHxL
x2 n yHxL2 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅ + 1
y£ HxL
que es la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por los puntos (-1, 0) y (1, 0).
3º Ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales
La familia de trayectorias ortogonales se obtiene sustituyendo y' Ø -1 / y'
ED2 = ED1 ê. y '@xD → −1 ê y '@xD
Out[18]=
x2 n yHxL2 - 2 x y£ HxL yHxL + 1
ecuacion2 = DSolve@ED2, y@xD, xD
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
99yHxL Ø - -x2 + c1 x - 1 =, 9yHxL Ø -x2 + c1 x - 1 ==
Out[20]=
Elevando al cuadrado una de las expresiones anteriores se tiene x2 + y2 = c x - 1, que podemos escribir, finalmente, como Hx - êê
c L2 + y2 = êê
c 2 - 1, que se trata de una familia de circunferencias ortogonales a la familia
original.
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4º Representación gráfica de la familia de circunferencias Hx - êê
c L2 + y2 = êê
c2 - 1
In[21]:=
familia2 = Hx − kL2 + y2
k2 − 1
grafica2 = ImplicitPlot@Evaluate@Table@familia2, 8k, −5, 5, 1<DD,
8x, −10, 10<, 8y, −5, 5<, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD;
Out[21]=
Hx - kL2 + y2 n k 2 - 1
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5
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-4
5º Representación conjunta de ambas familias
Mediante el comando Show representamos de manera simultánea varias funciones, cuyas
gráficas se han dibujado previamente mediante un comando Plot
In[23]:=
Show@8grafica1, grafica2<D;
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Ejercicios
Ejercicio propuesto 1
Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de todas las circunferencias con centro en el origen.
Solución: y = k x
Ejercicio propuesto 2
Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de hiperbolas rectangulares y = c / x.
Solución: x2 - y2 = k
Ejercicio propuesto 3
Las curvas equipotenciales de un determinado campo electrostático se puede aproximar por las elipses x2 - 2
c x + 2 y2 = 0. Encuentre las líneas de fuerza.
Solución: y = k H 3 x2 + y2 L2
Nota: la ecuación diferencial resultante (homogénea) es conveniente resolverla a mano.
Ejercicios Resueltos