LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 6 Matemáticas Aplicadas CS I 1 INDETERMINACIONES Tema 6.3 * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I 2 Límites con infinitos • Al calcular el límite de una función polinómica, y = P(x), en el infinito, puede ocurrir: • • • • • • • • Lím P(x) = + oo x à+oo Lím P(x) = – oo x à+oo Lím P(x) = + oo x à– oo Lím P(x) = – oo x à – oo • El signo del resultado dependerá del signo que tenga la potencia de mayor exponente del polinomio que caracteriza la función, que será el que prevalezca. • Cuando x à – oo , habrá que tener especial cuidado con el hecho tener potencias de exponente par o impar, pues un exponente par cambia el signo negativo a positivo y un exponente impar no. • • • • • • • • Lím + N / P(x) = N / (+ oo) = 0 x à+oo Lím – N / P(x) = – N / (– oo) = 0 x à+oo Lím P(x) = N / (– oo) = 0 x à– oo Lím P(x) = – N / (+ oo) = 0 x à – oo Matemáticas Aplicadas CS I 3 • Ejemplos: • • • • • • • • • • • • • • • • Lím - x5 = - (- oo)5 = – (– oo) = (– oo) x à – oo Lím x + 2 = oo + 2 = oo x à+oo Lím x2 + 3.x + 2 = (– oo)2 + 3.(– oo) + 2 = oo – oo + 2 = oo x à– oo Lím x3 – x = (- oo)3 – (- oo) = – oo + oo = – oo x à – oo Lím - x3 + x2 = - (- oo)3 + (- oo)2 = – (– oo) + oo = + oo x à – oo Lím 1 / (x – 2) = 1 / (oo – 2) = 1 / oo = 0 x à+oo Lím 1 / (3 – x2) = 1 / (3 – (– oo)2) = 1 / (3 – oo) = 1 / (– oo) = 0 x à– oo Lím 1 / (x + x3) = 1 / (oo + (– oo)3) = 1 / (oo – oo) = 1 / (– oo) = 0 x à– oo Matemáticas Aplicadas CS I 4 Indeterminada [0.oo] • • Sabemos que 0.k = 0 siempre. Sabemos que oo.k = oo siempre. • • Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] • • • Para resolverla se procede así: Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L xàa xàa xàa • • • • Ejemplo 1 x x2 - 1 1 0 x (x+1).(x-1) 1+1 lím ------- . ----------- = --- . --- = [oo.0] = lím --------------------- = ---- = 2 xà1 x - 1 x 0 1 xà1 (x – 1).x 1 Matemáticas Aplicadas CS I 5 • Ejemplo 2 • • • 1 x3 + 1 1 0 lím ------- . Lím ---------- = --- . ----- = - [oo.0] xà – 1 x +1 xà – 1 x 0 –1 • Resolvemos la indeterminación: • • • (x+1).(x2 – x +1) (x2 – x +1) lím ------------------------- = lím --------------- = xà – 1 (x +1).x xà – 1 x • • • (– 1)2 – (– 1) + 1 1+1+1 3 = ------------------------- = ------------- = ------ = – 3 –1 –1 –1 • Como se ve, el limite resultante no vale ni 0 ni oo. Matemáticas Aplicadas CS I 6 Indeterminada [oo/oo] • • Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. • Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] • • • • • Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(x) / xm Lím f(x) = Lím -------------xàa xàa D(x) / xm • • Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x) Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo] , [-oo / oo], [ oo / - oo] Matemáticas Aplicadas CS I 7 • EJEMPLOS INTUITIVOS DE LÍMITES EN EL INFINITO • Ejemplo 1 • y = x / (x – 3) • • • • • • • Para x = 1000 à y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000 à y = 10000/9997 = 1,0003 Para x = 100000 à y = 1,00003 Por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco. Además se acerca a y=1, aunque nunca llega. Lím f(x) = 1 xà+oo • Ejemplo 2 • y = x / (x2 – 4) • • • • • • Para x = 1000 à y = 1000/999996 = 0,001 Para x=10000 à y = 10000/9999996 = 0,0001 Para x = 100000 à y = 0,00001 Para x = 1000000 à y = 0,000001 Lím f(x) = 0 xà+oo Matemáticas Aplicadas CS I 8 Ejemplo 1 • Ejemplo 1 • 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo • lím -------------------- = --------------------- = [-----] • xàoo x3 – x2 - 5 oo3 – oo2 – 5 oo • Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) • 2 - (3/x2)+ (1/x3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2–0+0 • lím ------------------------- = -------------------------- = ------------- = 2 • xàoo 1 – (1/x) – (5/x3) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1–0-0 Matemáticas Aplicadas CS I 9 Ejemplo 2 • Ejemplo 2 • 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo • lím -------------------- = ------------------------ = [-------] • xàoo 5 - x2 5 - oo2 - oo • Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) • 2 - (3 / x2) + (1 / x3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2–0+0 • lím ----------------------------- = -------------------------- = -------------- = • xàoo (5 / x3 ) - (1 / x) (5/oo) - (1/oo) 0–0 • = 2 / 0 = oo à Vemos que NO existe límite en el infinito. Matemáticas Aplicadas CS I 10 Ejemplo 3 • Ejemplo 3 • 2.x + 1 2.oo + 1 oo • lím -------------------- = ------------------------ = [-------] • xàoo 5 + x2 5 + oo2 oo • Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x2 ) • (2 / x) + (1 / x2) (2/oo) + (1/oo) 0+0 0 • lím ----------------------------- = ----------------------- = ---------- = -- = 0 • xàoo (5 / x2 ) + (x2 / x2) (5/oo) + 1 0 +1 1 • Vemos que el límite en el infinito es 0. Matemáticas Aplicadas CS I 11 Indeterminada [oo - oo] • • Sabemos que k + oo = oo siempre. Sabemos que k - oo = - oo siempre. • Pero si al calcular un límite nos encontramos con una diferencia oo - oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. • • Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo - oo] • • Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que ha dado lugar a la indeterminación. Si el resultado es otra indeterminación, se procederá a resolverla. • Matemáticas Aplicadas CS I 12 Ejemplo 1 • • • • • Lím x – √(x2 - x) = [oo – oo] = xàoo (x – √(x2 - x)). (x + √(x2 - x)) Lím ----------------------------------------------------- = xàoo x + √(x2 - x) • x2 - ( x2 - x ) x • Lím ------------------------------ = Lím ------------------------- = • xàoo x + √(x2 - x) xàoo x + √(x2 - x) • Simplificando todo entre x, queda: • 1 1 • Lím ------------------------------ = ------------------------- = 1 / (1+1) = 1 / 2 • xàoo 1 + √(1 - 1/x) 1 + √( 1 – 0) Matemáticas Aplicadas CS I 13 Ejemplo 2 • • Lím √(x2 – 2x + 3) – x =[oo – oo] = xàoo • • • (√(x2 – 2x + 3) – x ). (√(x2 – 2x + 3) + x) Lím ----------------------------------------------------------- = xàoo √(x2 – 2x + 3 ) + x • • • x2 – 2.x + 3 – x2 – 2x + 3 Lím -------------------------------- = Lím ---------------------------- = xàoo √(x2 – 2x + 3) + x xàoo √(x2 – 2x + 3) + x • • • • Simplificando todo entre x, queda: –2+3/x –2+0 Lím --------------------------------- = --------------------- = – 2 / (1+1) = – 2 / 2 = – 1 xàoo √(1 – 2/x + 3/ x2) + 1 √( 1 – 0 + 0) + 1 Matemáticas Aplicadas CS I 14 Ejemplo 3 • Lím √(x2 – 5) – x =[oo – oo] = • xàoo • (√(x2 – 5) – x ). (√(x2 – 5) + x) • Lím ----------------------------------------------------------- = • xàoo √(x2 – 5) + x • x2 – 5 – x2 –5 • Lím ------------------------ = Lím ------------------------- = – 5 / oo = 0 • xàoo √(x2 – 5) + x xàoo √(x2 – 5) + x Matemáticas Aplicadas CS I 15