ecuacion de la recta

Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas
Eje Tematico: SECCIONES CONICAS
Unidad de Aprendizaje: ECUACION DE LA RECTA
Capacidades/Destreza/Habilidades:
Resolver/Construir/ Decidir/Analizar/ Identificar/ Verificar/Asignar.
Curso:
Valores/ Actitudes: Respeto/Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver
Aprendizajes esperados: ”transforman expresiones algebraicas racionales,
3° E.M.
ALGEBRA
operan con ellas y resuelven ecuaciones que las involucran, aplicando recursos como
factorización, simplificación y racionalización”.
Guía N°
problemas matemáticos.
Recursos TICs: Realización y revisión de ejercicios por medio de proyector
Uso de aplicaciones tecnologicas GEOGEBRA
3
Evaluación de proceso: Corrección de tareas, interrogaciones orales, trabajo en
clases, test.
Tiempo: 6 bloques.
Tiempo: 3 bloques.
Profesor Responsable: M. FERNÁNDEZ RIQUELME
Unidad:
ECUACION DE LA RECTA
Nombre:_________________________________________________CURSO:______
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RECTAS EN EL PLANO
Distancia entre dos puntos: La distancia entre dos puntos del plano se encuentra
algebraicamente aplicando el teorema de Pitágoras, en función de las coordenadas de
esos puntos.
Sean A( x1 , y1 ) y B( x2 , y 2 ) dos puntos del plano,
Determina la distancia entre éstos puntos.
Ejercicios
Ubica en el plano y calcula el perímetro de los siguientes polígonos.
a) Triángulo ABC cuyos vértices son: A(2,5), B(-3,4) y C(-1,-1)
b) Cuadrilátero PQRS cuyos vértices son: P(2,3), Q(5,0) R(-2,-2) y S(-1,0)
c) Pentágono DEFGH cuyos vértices son: D(2,1), E(6,4), F(-8,6), G(-4,-3) y H(0,-5)
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Ángulo de inclinación
El ángulo de inclinación (pendiente) es el que se forma de la intersección con el eje X y se
obtiene aplicando una relación trigonométrica:
Sean A( x1 , y1 ) y B( x2 , y 2 ) dos puntos del plano,
prolongamos la recta más allá de A hasta la
intersección de la recta con el eje x, como el segmento
AC es paralelo al eje X podemos afirmar que ambos
ángulos son correspondientes, por lo tanto sus medidas
son iguales.
Luego si aplicamos la relación trigonométrica Tg del
ángulo la expresión de la pendiente quedaría resumida
en :
Cat Op ( y 2  y1 )
y así resumiendo:

Cat Ady ( x2  x1 )
( y  y1 )
m 2
( x2  x1 )
m  tg 
Resumen
Posición de la recta

Valor de m
Agudo
0°<  <90°
m>0
Nulo
m=0
 =0°
Ejemplo:
Sean A(4,3); B(5,5)
determinar la pendiente y el
ángulo de inclinación de la
recta.
m
53 2
 2
54 1
La pendiente de la recta es
2
Recto
 =90°
No existe
Obtuso
90°<  <180°
m<0
53 2
 2
54 1
tg  2    tg 1 2
tg  
 =63,43 aprox.
El ángulo de inclinación de
la recta es de 63,43° aprox.
Tipos de Ecuaciones:
 Lógicamente se puede considerar m 
( y 2  y1 )
( y  y1 )
igual a m 
y de aquí deducir la
( x2  x1 )
( x  x1 )
ecuación
3
de la recta ya sea con dos puntos dados o con la pendiente y un punto la que queda
y  y1  m( x  x1 )
resumida en:
 Ecuación Principal: resulta de despejar “y” en la ecuación
y  y1  m( x  x1 ) 
y  mx  ( y1  mx1 ) donde
( y1  mx1 ) = n, representa el coeficiente de posición y se reduce
la ecuación a : y  mx  n
 Ecuación General: es sólo una forma de ordenar la ecuación anterior y expresarla con
otras variables, observa: y  mx  n  mx  y  n  0 que se expresa como
Ax  By  C  0
C
A
donde A 
y n
; de esta forma la ecuación principal queda reducida a :
B
B
A
C
y  x
B
B
Ejercicios:
1. Encuentra la ecuación principal y general de la recta que pasa por:
a) A(5,-2) y B(6,8)
b) 2,3) y B(4,7)
c) A(6,4) , m=-3
d) B(0,4) m=1
2. Escribe la ecuación principal y general de la recta de modo que m y n sean
respectivamente:
a) 1 y -1
b) 5 y 0
c) 8 y 3
Rectas Paralelas y Perpendiculares:
 Dos rectas son paralelas si su ángulo de inclinación son iguales, o sea si sus pendientes son
iguales:
L1 : y  m1 x  n1
L2 : y  m 2 x  n 2
L1 // L2  m1  m2
 Dos rectas son perpendiculares si la multiplicación de sus ángulos de inclinación resulta -1,
o sea si la multiplicación de sus pendientes da como resultado -1:
L1 : y  m1 x  n1
L2 : y  m2 x  n2
L1  L2  m1  m2  1
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Calcular la distancia del punto P(x1, y1) a una recta l.
En muchas ocasiones no interesa conocer la posición del punto y la recta, sino simplemente
la distancia positiva entre ellas. En este caso, la distancia del punto a la recta se expresa por
medio de la fórmula:
Consideremos una recta l y el punto P(x1, y1) que no pertenece a la recta.
EJEMPLO: Encontrar la ecuación de la recta que contiene el punto P(17, 12) y es
perpendicular
a la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0.
Como la pendiente de la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0 es m
si m1 denota la pendiente de la perpendicular se sigue que m1
5
entonces,
12
12
.
5
12
y el punto P(17, 12). En
5
12
consecuencia, la ecuación de dicha recta viene dada por: y 12
x 17 ó
5
Así que de la recta que se busca, se conoce su pendiente m1
12x – 5y – 144 = 0 es la ecuación general de la recta pedida.
EJERCICIOS
1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P(17, 12) y es perpendicular a
la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0. Determine las coordenadas del punto de
intersección de estas líneas y halle la distancia de P a l de dos maneras distintas.
2. Una empresa de turismo ha observado que cuando el precio de un viaje es de $15000 se
venden cuarenta asientos, pero si el precio sube a $18000, las ventas bajan a 30 asientos.
a) Encuentre la ecuación de la recta que representa la situación y dibuje su
gráfico.
b) Determine el precio del pasaje si la venta sube a 56 asientos.
5
3. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,2) y es paralela a la recta:
-10x + 2y - 6 = 0.
R:
y=5x+7.
4. Si la funciones f(x)=(4-k)x+3 y g(x)=(2k+1)x+5 representan rectas paralelas, entonces
encuentre el valor de k.
R/k=1.
5.
Si la función f(x)=(k – 2/3)x + 2 es paralela con la función g(x)=(1/3 + 2k)x - 1. Encontrar el
valor de k.
R/k=-1.
6.
Hallar el valor de k para que el par de ecuaciones representen rectas paralelas.
a) 6x-ky-1=0; 3x-2y-3=0
R: k=4
b) 2x-(k-1)y-1=0; 5x+(1-k)y+2=0
R: k=1
c) (1-k)x+3y-2=0; (k-2)x-2y-1=0
R: k=4
d) (2-k)x-y-1=0; (1-2k)x-3y-1=0
R: k=5
7. Hallar el criterio de las funciones lineales paralelas f, g y h representadas en las siguientes
gráficas.
8. De acuerdo a la figura adjunta hallar el criterio de la función en cada caso:
6
9. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A(7,-3), y perpendicular a la
recta cuya ecuación es 2x - 5y = 8.
R: y= -5x /2 + 29
10. Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 4x - 5y - 6 = 0 y pasa
por el punto (-1, 4).
R: y=-5x/4+11/4.
11. Dos rectas perpendiculares se intersecan en el punto (-3,-5) y la ecuación de una de ellas
es
y
2
x
3
5 . Hallar la ecuación de la otra recta.
R/y=3x/2-3/2
12. Sean L1 y L2 rectas perpendiculares cuyas ecuaciones son L1 : y = kx - 2x + 1,
L2 : y = kx + 7. Determinar el valor de k.
R/k=1.
13. Las ecuaciones de las rectas L1 y L2 son: L1 : y = kx + x-1 y L2 : y = 3x - 5. Si L1 L2, hallar
el valor de k.
R: k=-4/3.
14. Determine el valor de k para que las rectas L1 y L2 sean perpendiculares, L1 : y = x - 5 y
L2 : y = 2kx + 5x + 2
R: k=-3
15. Encontrar el valor de k para que el par de ecuaciones representan rectas
perpendiculares.
a) 5x-y+3=0; x+(2k-3)y+10=0
R: k=3
b) (1-3k)y+x-7=0; 7x-(3+k)y-3=0
R: k = -2; k= -2/3
16. Hallar el criterio de las funciones lineales perpendiculares f, g y h representadas en las
siguientes gráficas.
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Otra serie de ejercicios
1. Si A(7, 4), B(–1, 5), C(–5, –2), D(3, –3), demuestra que ABCD es un rombo.
2. Demuestra que el ABC de vértices: A(2, 4), B(6, 0), C(8, 6) es un triángulo isósceles.
3. Los vértices de un cuadrilátero son: A(1, 3), B(3, 2), C(4, 4), D(2, 5). Demuestra que es un
cuadrado y determina su área y su perímetro.
4. Demuestra que el cuadrilátero de vértices: A(6, 8), B(12, –4), C(14, 2), D(12, 6) es un
trapecio isósceles.
5. Demuestra que el ABC cuyos vértices son: A(–1, 0), B(1, 0) y C(0,
equilátero.
3 ) es un triángulo
6. ABCD es un cuadrado cuyos lados se han dividido en 4
puntos: H, E, F, G, tal como lo ilustra la figura. Utilizando un
sistema cartesiano en una posición conveniente,
demuestra que HEFG también es un cuadrado:
8