5 7 6 4 7 n nm mn mn mn nm + + - - + + + -

PLAN DE MEJORAMIENTO GRADO NOVENO
INSTITUCIÓN EDUCATIVA LOMA HERMOSA
DOCENTE: WÍLMAR ALONSO RAMÍREZ G.
Refuerzo matemáticas 2011, grado 9o
Fecha: 25/07/2011.
PRIMER PERÍODO:
Competencias:
Comprensión de las expresiones algebraicas como estructuras matemáticas aplicables al
desarrollo científico.
Identificación de las expresiones algebraicas, según un contexto matemático dado.
Contenidos:
Conjunto de los números reales.
Clasificación y tipos de expresiones algebraicas.
Factorización de expresiones algebraicas.
Actividades:
Resolver los siguientes ejercicios relacionados con polinomios, potenciación y radicación:
1.
7X2 + 3Y + 2X2 – 5Y + X2 + 9Y – 12X2 – Y + 5X2 – 11Y =
2.
2a2 + 5b – 3c + 8b – 7a2 – c + 5a2 -11b + 6c – a2 – 4b + 22c =
3.
3 5 2 3 4
9
2
11
7
9
9
15
21
12
X - Y  XY  X 5  XY  Y 3  X 5  XY  Y 3  X 5  Y 3  XY 
4
5
7
4
7
5
4
7
5
4
5
7
4.
 7m 2 n  4n 3  m 3  6mn 2  n 3  m 3  7m 2 n  5n 3 =
OBSERVACIONES:
El taller se entregó con un mes de anticipación.
En primera instancia se realizó un primer refuerzo y al final del mes de noviembre se hizo
otro refuerzo.
El profesor atendió las dudas de los estudiantes desde el momento que se entregó el taller.
PLAN DE MEJORAMIENTO GRADO NOVENO
INSTITUCIÓN EDUCATIVA LOMA HERMOSA
DOCENTE: WÍLMAR ALONSO RAMÍREZ G.
Refuerzo matemáticas 2011, grado 9o
Fecha: 25/07/2011.
SEGUNDO PERÍODO:
Competencias:
Interpretación y asociación de las ecuaciones lineales con movimientos de la naturaleza.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 por el método de igualación o de
sustitución.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 por el método de Gauss.
Contenidos:
Ecuación general de la recta.
Tipos de representación de funciones lineales, el plano cartesiano y la tabla de valores.
Ecuación general y ecuación canónica de la recta
Cálculo de la pendiente de una línea recta.
Posición relativa de dos rectas en el plano.
Construir la gráfica de las siguientes ecuaciones lineales, a través de una tabla de valores:
1. x + 9y = 22
2. -5x – 6y = 7
3. y = 3x – 8
4. y = -4x + 5
5. y = 2x + 3
Hallar la pendiente y la ecuación de las líneas rectas representadas en las siguientes
gráficas:
1.
2.
3.
4.
Construir las parábolas asociadas a cada una de las funciones cudráticas siguientes:
1. y = x2 – 8x + 15
2. y = x2 + 2x + 1
3. y = 4x2 – 8x +1
4. y = -9x2 + 18x + 1
Calcular las ráices o soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1. x2 + 9x + 20 = 0
2. 6x2 – 21x + 18 = 0
3. x2 + 12x + 36 = 0
4. 5x2 + 4x – 9 = 0
OBSERVACIONES:
El taller se entregó con un mes de anticipación.
En primera instancia se realizó un primer refuerzo y al final del mes de noviembre se hizo
otro refuerzo.
El profesor atendió las dudas de los estudiantes desde el momento que se entregó el taller.
PLAN DE MEJORAMIENTO GRADO NOVENO
INSTITUCIÓN EDUCATIVA LOMA HERMOSA
DOCENTE: WÍLMAR ALONSO RAMÍREZ G.
Refuerzo matemáticas 2011, grado 9o
Fecha: 25/07/2011.
TERCER PERÍODO:
Competencias:
Interpretación y asociación de las ecuaciones lineales con movimientos de la naturaleza.
Solución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 por el método de igualación o de
sustitución.
Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales 2x2.
Respeto ante los argumentos de los demás para defender propuestas de solución de
ecuaciones.
Actividades:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución:
6  18 y   85
1.
24   5 y   5
2.
3.
x + 11y = 17
6x + 6y = 42
7   9 y  42
12  10 y   4
Construir la gráfica de las siguientes ecuaciones lineales, a través de una tabla de valores:
1. x + 9y = 22
2. -5x – 6y = 7
3. y = 3x – 8
4. y = -4x + 5
5. y = 2x + 3
Hallar la pendiente y la ecuación de las líneas rectas representadas en las siguientes
gráficas:
4.
4.
Construir las parábolas asociadas a cada una de las funciones cudráticas siguientes:
1. y = x2 – 8x + 15
2. y = x2 + 2x + 1
3. y = 4x2 – 8x +1
4. y = -9x2 + 18x + 1
OBSERVACIONES:
El taller se entregó con un mes de anticipación.
En primera instancia se realizó un primer refuerzo y al final del mes de noviembre se hizo
otro refuerzo.
El profesor atendió las dudas de los estudiantes desde el momento que se entregó el taller.
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DOCENTE: WÍLMAR ALONSO RAMÍREZ G.
Refuerzo matemáticas 2011, grado 9o
Fecha: 25/09/2011.
CUARTO PERÍODO:
Competencias:
Resuelvo preguntas relacionadas con funciones y ecuaciones cuadráticas, y reconozco el
talento de los demás en este tema.
Investigo en la ciencia actividades o fenómenos relacionados con funciones y ecuaciones
cuadráticas.
Creación de generalizaciones con respecto a razones y proporciones.
Valoración de la enseñanza de conceptos matemáticos en razones y proporciones usando
como estrategia las TIC.
CONTENIDOS:
Concepto de función cuadrática.
Gráfica de la función cuadrática.
Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.
Solución de ecuaciones cuadráticas completas.
Comunicación adecuada con mis compañeros dentro y fuera del aula de clase.
Ejercicios de la función cuadrática
Representa las funciones cuadráticas
1y = -x² + 4x - 3
2y = x² + 2x + 1
3y = x² +x + 1
4Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:
1. y= (x-1)² + 1
2. y= 3(x-1)² + 1
3. y= 2(x+1)² - 3
4. y= -3(x - 2)² - 5
5. y = x² - 7x -18
6. y = 3x² + 12x - 5
5Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:
1. y = x² - 5x + 3
2. y = 2x² - 5x + 4
3. y = x² - 2x + 4
4. y = -x² - x + 3
6Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto
(1, 9). Calcular el valor de a.
7Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0,
0) y (-1,1). Calcula a, b y c.
8Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su
ecuación.
9Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x2, representa:
1. y = x² + 2
2. y = x² - 2
3. y = (x + 2)²
4. y = (x + 2)²
5. y = (x - 2)² + 2
6. y = (x + 2)² − 2
1.
Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b
x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de
0.
2. Las funciones f(x) = x2 + 6x, g(x) = x2 + 16 y G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000
3. que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.
4. Gráfica de las funciones cuadráticas
5. La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
x
f(x) = x2
-3
9
-2
4
-1
1
-0'5
0'25
0
0
0'5
0'25
1
1
2
4
3
9
6.
7. Esta curva simétrica se llama parábola.
8. Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
9. Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.
x
f(x)
-1
0
0
-3
1
-4
10. Completando la gráfica obtengo:
11.
2
-3
3
0
4
5
1. Obtención general del vértice
Sea la parábola y = ax2 + bx + c
Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el
sistema
.
Igualando:
a x2 + b x + c = c → a x2 + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva
a la solución x = -b/a.
La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de
extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a
Ejemplo
Si f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces
y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).
Actividad
2. Dada la parábola y =- x2 + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.
Cortes con los ejes
Observa las parábolas:
a.
y = - x2 + 2x + 3
Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula
obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.
Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).
El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por
tanto, será (0,3).
b. y = x2 - 4x + 4
Puntos de corte con el eje X:
Resolviendo la ecuación x2 - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos
proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).
Punto de corte con el eje Y: (0,4).
c. y = x2 - 2x + 3
Puntos de corte con el eje X:
Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que
lo tanto, no tiene cortes con el eje X.
Punto de corte con el eje Y: (0,3)
Actividades
. No existe solución y, por
3. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:
a. y = 2x2 -14x + 24
b. y = 5x2 - 10x + 5
c. y = 6x2 + 12
d. y = 3(x - 2)(x + 5)
e. y = 3(x - 2)2
f. y = 3(x2 + 4)
4. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).
1.
2. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).
3. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y
con el eje Y sea (0,4).
4. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).
Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas
Parábolas del tipo y = ax2 (b = 0 , c = 0)
Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0).
Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.
Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.
Un resultado importante
La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir,
cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.
Por ejemplo:
La parábola y = 2x2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2; encajan perfectamente una
encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas.
Al someter la parábola y = 2x2-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son las
coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola y = 2x2.
Las parábolas y = ax2 + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del tipo y = ax2.
Actividad
5.
Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x2 sobre la parábola y = 3x2- 9x +
4.
Parábolas del tipo y = ax2 + c , (b = 0)
La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2 , desplazándola 3
unidades
hacia arriba . El vértice se halla en V(0,3) .
La gráfica de h(x) = x2 - 4 , se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x2 , desplazándola 4
unidades hacia abajo.
El nuevo vértice es V(0,-4) .
Las parábolas del tipo y = ax2 + c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax2 , c
unidades hacia arriba o hacia abajo , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el
punto V(0,c).
Parábolas del tipo y = ax2 + bx , (c = 0)
La gráfica de la parábola y = 2x2 - 4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es b/2a = 1.
Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V(1,-2).
Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0).
Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta
también al eje x en el punto (- b, 0)
Actividades
6. Halla en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas:
Si la parábola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene información de que esto ocurra),
su ecuación se determina a partir de tres puntos dados.