Boletín 1 - Universidad de Sevilla

Problemas tema 1: Oscilaciones
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Problemas de Oscilaciones
Boletín 1 – Tema 1
Fátima Masot Conde
Ing. Industrial 2007/08
Fátima Masot Conde
Dpto. Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Problemas tema 1: Oscilaciones
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Problema 1:
Una barca flota en el agua subiendo y bajando con las olas. La barca alcanza 8cm
abajo y 8cm arriba de su posición de equilibrio y tarda 2.5s en pasar del punto
más alto al más bajo y viceversa. Calcular amplitud, periodo, frecuencia y
frecuencia angular del movimiento.
Tarda 2.5 s en pasar del
punto más alto al más
bajo
+8cm
posición de equilibrio
Tarda el doble en repetir
una oscilación completa:
8cm
T = 5s
La amplitud es 8 cm
(máximo desplazamiento
medido desde la posición
de equilibrio)
Fátima Masot Conde
1
= 0.20ciclos/s = 0.2Hz
T
= 2$f = 1.26rad/s
f=
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Problema 2:
Una masa de 0.5Kg se encuentra conectada a un muelle y oscila sin rozamiento y
horizontalmente con una amplitud de 35.0cm. El oscilador repite su movimiento
cada 0.5s. Calcule a) el periodo, b) la frecuencia angular, c) la constante del
muelle, d) la velocidad máxima, y e) la fuerza máxima que ejerce el resorte.
m = 0.5 kg
a)
T = 0.5 s
¡dato!
1
b) f = T = 2Hz
A = 35 cm
= 2$f = 4$ rad/s
posición de
equilibrio
c)
Sabemos:
K = m 2 = 0.5(4$)2
ẍ + 2 x = 0
2 = K/m
Fátima Masot Conde
Kg
N
N
= 8$ 2
m
m
(rd2 ) m
N
=
s2 m
m
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Problema 2:
d)
ẋ(t) = A sen(t + &)
ẋ(t)|max = A = (0.35 m)(4$ rad/s) = 1.4$ m/s
sen(t + &) # 1
¿Cuándo
´
se alcanza vmax ?
t =
e)
Fuerza máxima
|F | = Kx
$
2
t=
$ 1
1
= s
2 4$
8
x|max
F |max
= KA
¶
μ
N
= 8$ 2
(0.35 m)
m
= 2.8$ 2 N
Fátima Masot Conde
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Problema 3:
Para medir la masa de un astronauta en ausencia de gravedad se emplea un
aparato medidor de masa corporal. Este aparato consiste, básicamente en una
silla que oscila en contacto con un resorte. El astronauta ha de medir su periodo
de oscilación en la silla. En la segunda misión Skylab el resorte empleado tenía
una constante k=605.6N/m y el periodo de oscilación de la silla vacía era de
0.90149s. Calcule la masa de la silla. Con un astronauta en la silla el periodo
medido fue 2.08832s. Calcule la masa del astronauta.
Sistema medidor de
la masa corporal
Sabemos que:
DATOS
Kre
resorte
sorte = 605.6N/m
T0 = 0.90149 s
T = 2.08832 s
silla
x(t)
=
A cos(t + &)
ẋ(t)
=
A sin(t + &)
ẍ + 2 x = 0
resorte
r
K
m
r
T0 = 2$
r
msilla
Kre
resorte
sorte
T = 2$
msilla + mastron
Kre
resorte
sorte
msilla = 12.47 kg
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T = 2$
m
K
mastronauta = 54.43 kg
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Problema 4:
Determinar la frecuencia de oscilación de una masa m unida a dos muelles de
consantes k1 y k2 cuando a) los muelles están conectados en serie y b) los muelles
están conectados en paralelo.
b) Para muelles en paralelo
a) Para muelles en serie
k1
k1
k2
#
#
k2
keq
1
1
1
=
+
Keq
K1 K2
keq
Keq =
K1 K2
K1 + K2
Keq = K1 + K2
r
En ambos casos, =
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Keq
,
m
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f =
2$
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Problema 5:
Una masa m=1kg está conectada a un resorte de constante K=200N/m. La masa
se aleja una distancia x=+0.2m de su posición de equilibrio y a continuación se
suelta, de forma que oscila horizontalmente y con rozamiento despreciable.
Calcular a) ecuación del movimiento, b) velocidad máxima y mínima que alcanza
la masa indicando en qué posición se alcanzan, c) velocidad y aceleración de la
masa cuando lleva recorrida la mitad de la distancia entre la posición inicial y el
punto de equilibrio, d) energía total, potencial y cinética en ese punto.
a) Ecuación del mov.
x(t) = A cos(t + &)
0.2m
&=0
Elección arbitraria
t = 0 para x(0) # A
posición de
equilibrio
r
Datos:
=
K = 200 N/m
A = 0.2 m
m=
1 kg
s
K
=
m
200N/m
= 14.14 rad/s
1 kg
x(t) = 0.2 cos(14.14 t)
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Problema 5
b)
Velocidad máxima y mínima que alcanza la
masa indicando en qué posición se alcanzan.
0.2m
sen t = 1
cos t = 0
x(t) = A cos(t)
14.14rad/s
vmax = A = 2.83 m/s
(x = 0)
|ẋ(t)| = v(t) = | A sen(t)|
(módulo)
x
ẋ
vmin = 0
sen t = 0
cos t = 1
(x = A)
veloc. máx
t
3$
2
x = A
v=0
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equilibrio , x
ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱvmax
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0
x = +A
v=0
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Problema 5
c)
Velocidad y aceleración para x a medio camino entre posición de
equilibrio y extremo.
x(t) =
A
= 0.1 cm
2
1
2
cos t =
x(t) = A cos t
t = 60o $
sen 60 = 3/2
A
ẋ(t) = A sen
s tt
0.2
14.14
Directamente calculamos
la aceleración
$
Para calcular la velocidad,
necesitamos despejar el seno.
3/2
ẍ(t) = A 2 cos t = 2 x(t)) = 2
A
2
x(t) = 0.1 m
= A/2 = 0.1
El instante t en el que se alcanza esa posición
es t=0.074 s (aprox. T/6, y T=0.444 s)
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ẋ(t) = 2.45 m/s
Resultado:
Resultado:
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ẍ(t) = 20 m/s
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Problema 5
d) Energía total, potencial y cinética en ese punto.
ETOT
TOTAL
AL
¶
μ
1
1
N
= KA
K A2 =
(0.2 m)2 = 4Nm = 4 J
200
2
2
m
calculado apartado c)
1
1
1
2
EK = mv 2 = m [ẋ(t)]
ẋ(t)]] = (1 kg)(2.45 m/s)2 = 3 J
2
2
2
m
Kg
Datos
EP = ETOTAL EK =
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s2
m
N
1
[x(t)]]2 = 1 J
K [x(t)]
2
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Problema 6:
Un resorte de masa despreciable posee una longitud de 10cm sin estirar. Se sitúa
el resorte en posición vertical y, a continuación, se cuelga de su extremo una
masa de 2kg. Como resultado la masa comienza a oscilar en torno a un punto
situado a 11cm estirado de la base del muelle. Calcule a) constante K del muelle,
b) Amplitud y periodo de movimiento.
a) Constante del muelle K
Sabemos Kl = mg en el equilibrio
10 cm
K=
11 cm
mg
2 kg 9.8 m/s2
=
l
1 cm
y0='l=1cm
K = 1962
N
m
Y el periodo de oscilación, independientemente
de la amplitud para oscilaciones pequeñas, es:
r
m = 2 kg
l = 1 cm
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=
K
2$
=
m
T
r
T = 2$
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m
= 0.2 s
K
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Problema 6
En principio, la amplitud de la oscilación vertical no tendría por qué
ser igual a 'l: La masa podría oscilar entorno a la posición de
equilibrio vertical (situada a once centímetros de la base del muelle,
-distinta de la posic. de equilibrio horizontal, que dista solamente 10
cm-), con una amplitud que no tendría por qué coincidir con el
estiramiento que sufre el resorte en esas condiciones, (con la masa
colgada, 1 cm).
Sin embargo, aquí sí coinciden, ya que en este caso se dice que
simplemente “la masa se cuelga, y empieza a oscilar”. Así que el
movimiento parte del reposo (condición inicial de velocidad nula), y
según la definición de condiciones iniciales, el estiramiento del
resorte en ese momento coincide con la amplitud de movimiento (sin
incluir efectos de amortiguación). O sea: A='l
De todas formas, podemos comprobarlo, por energías.
Suponiendo, primero, que no coinciden
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A='l
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Problema 6
Diagrama de los niveles de energía en varios puntos
Epm = mg(h + l)
Epr = 0
l
1
Epr = K(l A)2
2
A
1
Epr = K(l)2
2
Antes de colgar la masa
Epm = mg(h + A) EK = 0
Epm = mgh
1
Epr = K(l + A)2 Epm = mg(h A)
2
+
ETOT
= Epr + Epm
Después de colgar la masa
EK = 0
ETOT
= Epr + Epm
h
Energ. Potencial
del resorte
Energía potencial
gravitatoria
Energía
cinética
Energía
total
Tierra Epm = 0
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Problema 6
+
ETOTAL
=
ETOTAL
=
1
1
1
K(l)2 + KA2 2 Kll · A + mgh + mg
mgA
A
2
2
2
1
1
1
K(l)2 + KA2 + 2 Kl
K
l · A + mgh mgA
mg A
2
2
2
+
ETOTAL = ETOTAL
= ETOTAL
=
La energía total en todos los puntos tiene
que ser la misma (pues tanto la gravedad
como el resorte son fuerzas conservativas)
1
1
K(l)2 + mgh + KA2
2
2
Energía potencial
total en el equilibrio
A 6= l
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Energía potencial
propia de la oscilación
En principio no tiene
por qué ser 'l = A
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Problema 6
Igualando la ETOTAL antes y después de colgar la masa:
(La ETOTAL debe ser igual en cualquier instante)
+
mgg ((h
h + l) = ETOTAL
= ETOTAL
=
1
1
K(l)2 + mgg h + KA2
2
2
1
1
mgl = K(l)2 + KA2
2
2
mg = Kl
K(l)2 = 12 K(l)2 + 12 KA2
1
1
K(l)2 = KA2
2
2
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l # A
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Problema 7:
Dos cuerpos con la misma masa cuelgan de dos resortes distintos de constantes
recuperadoras K1 y K2. Ambos cuerpos oscilan con amplitudes tales que sus
velocidades máximas son iguales. Determinar la relación existente entre ambas
amplitudes.
Sabemos:
x(t) = A cos(t)
K1
K2
ẋ(t) = A sen(t)
A1
A1
m
m
A2
vmax = A
A2
=
Dato: vmax |1 # vmax |2
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r
K
m
Hay que calcular
A1
A2
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Problema 7
vmax |1 = A1 1
A1 1 = A2 2
vmax |2 = A2 2
velocidades máximas
iguales (dato, condición
del problema)
r
1 =
K1
m
r
2 =
A1
2
=
=
A2
1
K2
m
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r
K2
K1
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Problema 8:
Un resorte vertical de masa despreciable soporta una masa que le produce un
alargamiento l0. Demostrar que el periodo de las oscilaciones verticales es el
mismo que el de un péndulo simple de longitud l0.
Sabemos:
2$
,
para un resorte:
T =
en el equilibrio:
mg = Kl0
K1
m
l0
Po
Por
P
Po
o ta
or
tanto:
anto:
ntto:
n
to r
to
T = 2$
2$
m
= 2$
K
r
r
,,
K
m
mg
K=
l0
=
s
m
= 2$
mg/l0
l0
g
Idéntico
Idéntico alal periodo
periodo de
de oscilación
oscilación de
de un
un péndulo
péndulo
de
l0l0 para
oscilaciones
de longitud
longitud
g
p pequeñas
para
p q
pequeñas
oscilaciones
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Problema 9:
Un explorador espacial desea conocer la aceleración de la gravedad en un planeta
en el que acaba de aterrizar. Para ello, construye un péndulo simple con una
cuerda de longitud 50.0cm y una masa de 2kg. El explorador determina que el
péndulo efectúa 100 oscilaciones completas en 136s. ¿Cuánto vale g en ese
planeta?
s
Sabemos:
100 oscilaciones
en 136s
l
T =
l
T2
= 1.36s
4$ 2 (0.5m)
2
g=
=
10.7m/s
(1.36s)2
Datos
m = 2 kg
136
100
g = 4$ 2
l = 50 cm
m
l = 50 cm
l
g
T = 2$
Dato
D t innecesario:
i
i La
L oscilación
il ió de
d un péndulo
é d l NO
NOdepende
d
d de
d lal masa
asa
(Galileo). El funcionamiento del reloj de péndulo se basa en esto.
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Problema 10:
En el sistema de la figura el muelle tiene una constante K=8N/m y m=1.50kg.
La fuerza de amortiguamiento es del tipo F=-bv con b=230g/s. Suponiendo que el
bloque se desplaza a 12.0cm de su posición de equilibrio y se suelta, calcule: a)
tiempo necesario para que la amplitud de las oscilaciones se reduzca a un tercio
de su valor inicial, b) ¿Cuántas oscilaciones realiza el bloque en ese tiempo?
Ecuación del
movimiento
amortiguado:
Solución:
d2 x
dx
Kx b
=m 2
dt
dt
x(t) = A0 e(b/2m)t cos(0 t + &)
Amplitud sin
amortiguar
(dato: 12 cm)
Amplitud
amortiguada
s
0 = 0
r
Frecuencia sin amortiguar =
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Frecuencia de
amortiguación
1
K
,
m
μ
b
2m0
¶2
K, m datos
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Problema 10
a) Tiempo transcurrido para que A decaiga a A0
3
b
t A0
A = A0 e 2m =
3
b
t 1
e 2m =
3
1
b
t = ln = 1.0986
2m
3
2 · 1.5 kg 103 g
= 14.3 s
t = 1.0986
230 g/s 1 kg
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Problema 10
s
b) Oscilaciones transcurridas
hasta ese momento.
=
μ
02 b
2m
¶2
t 0
t con amortiguación
=
' 5.25osc.
n de oscilaciones=
2$
T
o
sin amortiguación
=
r
0 =
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tt
0
= 5.25osc.
22$
$
s
K
=
m
8 N/m
= 2.31 rad/s
1.5 kg
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Problema 11:
Una canica pequeña de masa m se desliza sin rozamiento por el interior de un
cuenco esférico de radio r. a) Demostrar que el movimiento de la canica es el
mismo que si estuviese sujeta a un péndulo de longitud r. b) Una cánica de masa
m1 se desplaza del centro del cuenco a una distancia s1. Otra canica de masa m2
se desplaza en dirección opuesta una distancia s2=3s1, siendo s1 y s2 mucho
menores que r. Si se sueltan las canicas en el mismo instante, ¿dónde se
encontrarán?. Explicarlo.
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Problema 11
a) Movimiento de la canica # movimiento de un péndulo de radio r.
~
N
La ecuación de movimiento
es la misma en los dos casos:
l
=
d2 s
mg sen = m 2
dt
gc
os
m
r#
r
P = mg
os
gc
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n
m
m
e
gs
ángulo
espacio recorrido sobre la
superficie del cuenco (arco)
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Problema 11
~ # tensión de la cuerda T~
• La normal N
• El radio del cuenco r # longitud del péndulo
l
´
• El peso P~ = m~g y el ángulo son idént
idénticos
ticos en los dos casos
Transformamos
T
Tr
ansfor
f mamos s :
s
rT
radio del cuenco
2
d g
=
sen 2
dt
r
d2 d2 s
=r 2
dt2
dt
¿
'
g
d2 =
2
dt
r
Idéntica a la del péndulo, con ‘longitud’=‘r’
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Problema 11
b) Dó
e ma
caen desde dos distancias distintas s1 y s2 ,
m1 y m2 , que
s2 = 3s1 , s1 , s2 ¿ r
La solución a la ecuación anterior (para pequeños)
es la
r
r
de un M.A.S., con un periodo definido: T = 2$
que NO
g
depende ni de m ni de la altura de la que cae la bola.
Las dos se encuentran en el
punto
más
bajo
del
recipiente (¡llegan al punto
más bajo al mismo tiempo!)
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Problema 11
Esto parece contradictorio, pues
• Las bolas son distintas m1 6= m2
• y una recorre un camino tres veces menor (s2 = 3s1 )
La explicación está en que, cuando los ´angulos
ángulos
son pequeños (garantizado
(garanti
n zado porque s1 , s2 ¿ r)
estamos bajo la aproximación de infinitésimos
infinitési
´ mos
equiva
v lent
n es y los ángulos
´
equivalentes
recorridos y 0 son
aproximadament
n e iguales: ' 0 ' sen ' 0
aproximadamente
0
(siempre que s1 , s2 ¿ r)
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Problema 11
h1 = r r cos h2 = r r cos 0
1
s2
Aproximadamente caen
desde la misma altura.
Por otro lado, el tiempo
de caída no depende de
la masa.
Fátima Masot Conde
r
'
s1
0
1
r cos 0
'
r cos La diferencia de alturas desde
la que caen:
h = h1 h2 = rr(cos
(cos 0 cos )) ' 0
'0
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