Problemas de Potencial Eléctrico Boletín 2 – Tema 2

Problemas tema 2: Potencial eléctrico
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Problemas de Potencial Eléctrico
Boletín 2 – Tema 2
Fátima Masot Conde
Ing. Industrial 2010/11
Fátima Masot Conde
Dpto. Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Problemas tema 2: Potencial eléctrico
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Problema 1
Ocho partículas con una carga de 2 nC cada una están uniformemente
distribuidas sobre el perímetro de una circunferencia de 10 cm de radio.
Calcule: a) el potencial electrostático en el centro de la circunferencia y b) el
campo eléctrico. Si ahora las cargas se distribuyen de una forma aleatoria sobre
el perímetro de la circunferencia: c) ¿cambia el potencial? d) ¿Y el campo
eléctrico?
qi=q=2nC
ri=r=10cm
a)
Sabemos:
El potencial debido a
un sistema de cargas
puntuales:
R=10 cm
V (r ) =
∑
i
=8
Fátima Masot Conde
q
4πε 0 r
Dpto. Física Aplicada III
qi
4πε 0 ri
=8
=
2 nC
= 1440 V
4πε 0 ×10 ⋅10−2 m
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Problema 1
b)
unitarios en las
direcciones de qi a O
2 nC
E=
∑
i
qi
4πε 0 ri
2
ui =
q
4πε 0 r
2
[u
1 +
u2
+…+
u8
]
10 cm Por simetría, la suma vectorial de todos
esos vectores se cancela dos a dos
E= 0
c)
d)
en el origen
Si las cargas se distribuyen aleatoriamente sobre la circunferencia, el potencial
no cambia en O, debido a que es una cantidad escalar que sólo depende de los
módulos de las distancias de las cargas a O (que no cambian); mientras que el
campo eléctrico sí cambia, porque lo harían los unitarios que posicionan el
punto O desde cada carga. Si la distribución es aleatoria, en general no se
cancelarían.
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Problema 2
Una carga positiva de 2 mC se encuentra en el origen de coordenadas. a)
Calcular el potencial a 4 m del origen suponiendo que el potencial de referencia
está en el infinito (V (∞) = 0 ) b) Calcular el trabajo que debe realizar un agente
exterior para llevar una carga de 3 mC desde el infinito hasta una distancia de
4 m del origen, admitiendo que la carga de 2 mC se mantiene fija.
y
a)
El potencial V(P) es el trabajo que haría
el campo de q para llevar a la carga unidad
desde el punto P hasta el infinito,
= V (4 m) =
V ( P)
O
q=2 μC
4m
P
Q= 3 μC
b)
= 4.5 × 103 V
4πε 0 r
Y es idéntico al que tiene que hacer el agente
externo contra el campo para realizar el
camino inverso, y llevarla desde el infinito
hasta P. Para una carga Q cualquiera:
W = Q V ( P)
Q= 3 μC
= Q
V(P)
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q
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q
4πε 0 r
=
q=2 μC
=
13.5 mJ
4m
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Problema 3
Un protón ( q = 1.602 ⋅10−19 C ) se desplaza una distancia d=0.5 m en línea recta en
el interior de un acelerador lineal. El campo eléctrico a lo largo de esa línea se
puede considerar constante, de valor E = 1.5 ⋅107 V/m . Hallar a) la fuerza sobre el
protón. b) El trabajo que el campo eléctrico realiza sobre él, c) la diferencia de
potencial entre los puntos inicial y final del recorrido.
a)
F = q E = (1.602 ⋅10−19 C) (1.5 ⋅107 V/m)=
= 2.4 ⋅107 N
+
E = 1.5 ⋅107 V/m
= 1.5 ⋅107 eV/m
q = 1.602 ⋅10−19 C
d = 0.5 m
Electronvoltio
c)
VA − VB = E ⋅ d = (1.5 ⋅107 V/m)(0.5 m)=
= 7.5 MV
b)
Wcampo = q(VA − VB ) = (1.602 ⋅10−19 C) (7.5 MV) =
O bien:
= F ⋅d =
(2.4 ⋅107 N) (0.5 m) =
= 1.2 ⋅10-12 J = 7.5 MeV
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Problema 4
En el tubo de imagen de un televisor los electrones parten del reposo y se
aceleran dentro de una región en la que existe una diferencia de potencial de
30.000 V antes de golpear sobre el revestimiento de material de fósforo de la
pantalla. Calcular la velocidad con la que los electrones chocan con la pantalla.
Datos: me = 9.11⋅10−31 kg, qe = −1.602 ⋅10−19 C
Sería un movimiento acelerado,
v f = at
( vo = 0 )
Pantalla
v0=0
eΔV
donde la aceleración es la que le
imprime el campo eléctrico:
=30.000 V
a = Fe
qE
=
=
me
me
V
d
me
q
No sabemos d
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Problema 4
Pero no hace falta:
1 2
d = at
2
V
d ⋅d
= 2ad = 2
me
q
vf 2
= 2
qV
me
v f 2 = a 2t 2
vf =
2
qV
= 108 m/s
me
Si todo está en unidades internacionales, v
también, sin necesidad de hacer derivaciones.
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Problema 5
Una gota esférica de agua transporta una carga de 30 pC uniformemente
distribuida en su volumen, y el potencial en su superficie es 500 V
(considerando el potencial de referencia (V=0 en el infinito). a) ¿Cuál es el
radio de la gota? b) ¿Cuál es el valor del potencial en el centro de la gota? , c)
Si la gota se combina con otra del mismo radio y la misma carga para formar
una sola gota, determinar el potencial en la superficie de la nueva gota.
a)
V = 500 V
Radio?
Sabemos:
El potencial sobre la
superficie de una
esfera cargada:
R
q = 30 pC =30 ⋅ 10
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-12
C
V ( R) =
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q
4πε 0
1
= 500 V → R = 0.54 mm
R
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Problema 5
b)
Potencial en el centro de la gota?
Necesitamos calcular el potencial en un punto del interior.
V(R), dato: 500 V
V ( r ) − V (∞ ) = ∫
Sabemos:
⎧ ρr
⎪ 3ε
⎪
E =⎨ 0
⎪ Q
⎪⎩ 4πε 0 r 2
∞
R
∞
r
R
E ⋅ d r =∫ E ⋅ d r + ∫ E ⋅ d r =
r
r≤R
r≥R
∫
R
r
E ⋅dr =
R
ρr
r
3ε 0
∫
⋅ dr =
ρ
3ε 0
r2
2
R
=
r
ρ
3ε 0
⎛ R2 r 2 ⎞
− ⎟
⎜
2⎠
⎝ 2
Integramos
∫
∞
R
E ⋅ d r = V ( R) =
q
4πε 0
4
π R3 ρ
1
R2 ρ
3
=
=
4πε 0 R
3ε 0
R
R2 ρ
ρ ⎛ R2 r 2 ⎞
R2 ρ ⎛
r2 ⎞
V ( r ) − V (∞ ) =
+
− ⎟ =
⎜
⎜1 −
⎟
3ε 0 3ε 0 ⎝ 2
2⎠
2ε 0 ⎝ 3R 2 ⎠
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Problema 5
V (r = 0) =
R2 ρ
kQ
=750 V
= 3
2ε 0
2R
4
Q = π R3 ρ
3
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Nm 2
K=
= 9 ⋅10
4πε 0
C2
1
9
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Problema 5
c)
ρ
ρ
ρ
=
+
R
R
RT
R
R
m
+
m
=
2m
La masa de las dos gotas es la misma, y la
densidad del agua, también (las gotas no se
comprimen por el hecho de fundirse). Por
tanto, el volumen de la nueva gota:
4
2 V = VT = 2 π R 3
3
→ RT = R 3 2
Potencial de la
1º gota sobre
su superficie
=500 V
4
π R3
3
Y el potencial de la
nueva gota sobre su
superficie:
2Q = 2 ρ V =
V ( RT ) =
QT
4πε 0 RT
=
4πε 0 R
3
2
=
2ρ R 2
3ε 0
3
22 / 3 ρ R 2
=
3ε 0
2
= 794 V
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Problema 6
Un dipolo consta de dos cargas iguales y opuestas de valor q, separadas una
distancia 2 a. Supongamos que se encuentra alineado con el eje x y centrado en
el origen de coordenadas. Calcule a) el potencial eléctrico en cualquier punto
del eje x. y b) el campo eléctrico en un punto muy alejado del dipolo.
a)
n
E
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e
s
a
l
c
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Problema 6
Imagen del potencial en el plano
de un dipolo eléctrico. El potencial
debido a cada carga es proporcional
a la carga e inversamente prop. a la
distancia.
© 1990 Richard Menga /Fundamental Photographs
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Problema 6
Otro ejemplo, del mismo tipo:
Si tuviéramos dos cargas de igual signo como éste
(ya no sería un dipolo):
Su potencial:
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Problema 7
Un plano infinito con densidad de carga superficial s uniforme, se encuentra en
el plano x=0. Calcular el potencial en función de la distancia x al plano de
carga.
Sabemos:
⎧σ
⎪ 2ε i
⎪ 0
E=⎨
⎪− σ i
⎪⎩ 2ε 0
σ
x≥0
Así
Asíque,
que,operamos:
operamos:
x≤0
⎛ σ
dV = − Ed = − ⎜
⎝ 2ε 0
Para x>0
⎞
i ⎟ ⋅ dx i + dy j + dz k =
⎠
(
= −
Y que:
dV = − Ed
E
E
x
σ
dx
2ε 0
EEintegramos:
integramos:
∫
x
0
dV = V ( x) - V (0)= −
Potencial de
referencia en x=0
x=0
O sea:
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)
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σ
x
2ε 0
V0
V ( x) = V0 −
σ
x
2ε 0
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Problema 7
Para x<0:
⎛ σ
dV = − Ed = − ⎜ −
⎝ 2ε 0
⎞
i ⎟ ⋅ dx i + dy j + dz k =
⎠
(
)
= +
∫
x
0
dV = V ( x) - V (0)= +
σ
dx
2ε 0
σ
x
2ε 0
V ( x) = V0 −
V ( x) = V0 +
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σ
x
2ε 0
σ
x
2ε 0
∀x
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Problema 8
Una varilla delgada de longitud 2L posee una carga Q uniformemente
distribuida a lo largo de su longitud. La barra se encuentra alineada sobre el eje
y, con su centro en el origen. a) Determinar el potencial en función de la
posición al eje x. b) Demostrar que el potencial obtenido en el apartado
anterior se reduce al de una carga puntual Q para x>>L.
a)
Potencial sobre el eje x?
dy
r = (x2 + y2 )1/2
y
2L
P
λ
V ( P) =
4πε 0
x
+L
dy
∫− L ( x 2 + y 2 )1/ 2 =
Q / 2L
λ
L2 + x 2 + L
=
ln
4πε 0
L2 + x 2 − L
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Problema 8
b)
Límite cuando x>>L?
Cuando x>>L
x 2 + L2 → x
L
x+L
x = ln ⎛1 + L ⎞ − ln ⎛ 1 − L ⎞ ∼ 2 L
ln
∼ ln
⎜
⎟
⎜
⎟
L
x−L
x
x
x
⎝
⎠
⎝
⎠
1−
x
1+
Despreciando términos
de orden mayor
Sabemos:
n
x 2 x3 x 4
n +1 x
ln(1 + x) ∼ x − + − … + (−1)
+…
n
2 3 4
−1 ≤ x ≤ 1
V ( P) =
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λ 2L
1 Q 2L
1 Q
=
=
4πε 0 x 4πε 0 2 L x 4πε 0 x
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Problema 9
Una esfera conductora hueca, de radios a y b tiene en su centro una partícula
cargada con carga q. Suponiendo que la esfera no tiene carga neta y que está
aislada, calcule el potencial al que se encuentra, y la carga sobre sus superficies
interior y exterior.
a)
n
E
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e
s
a
l
c
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Problema 9
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Problema 10
Una esfera conductora hueca, (corteza esférica), de radio R y carga Q.
n
E
Fátima Masot Conde
Dpto. Física Aplicada III
e
s
a
l
c
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22/22
Problema 11
Dos conductores cargados, de radios R1 y R2, conectados por un alambre
conductor.
n
E
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e
s
a
l
c
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