Boletín 5 - Universidad de Sevilla

Problemas tema 5: Corriente eléctrica
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Problemas de Corriente Eléctrica
Boletín 5 – Tema 5
Fátima Masot Conde
Ing. Industrial 2007/08
Fátima Masot Conde
Dpto. Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Problemas tema 5: Corriente eléctrica
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Problema 1:
Un cable conductor cuya sección transversal tiene un área de 13.30 mm2
transportan una corriente de 2 A durante 5 minutos. Calcular: a) Carga total que
atraviesa cualquier sección transversal del cable en ese tiempo. b) número de
electrones que atraviesan esa sección transversal, c) tiempo que tarda un electrón
en recorrer una distancia de 1 cm, sabiendo que el material posee una densidad de
electrones libres de 8.5 x 1028 electrones/m3.
a)
QT?
I=
I=2A
dQ
→
dt Sup. transversal total
= 2
A= 13.3 mm2
b)
C
s
(5 ×
ΔQ = I Δt
60 s ) = 600 C
n e?
-19
qe = 1.602 × 10 C
n = 8.5 × 1028 e/m 3
Fátima Masot Conde
ne =
Q
600 C
=
= 3.75 ×1021 e -19
qe 1.602 ×10 C
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Problema 1:
c)
Tiempo que tarda un electrón en recorrer 1 cm.?
2A
1. Calculamos v
(la veloc. del e-)
I = J A
=
→
nq vA
v = I
n q A
8.5 × 1028 e/m 3
J = nq v
13.3 mm2
1.602 × 10-19 C
1 cm
s
= 946 s
v t=
2.- Calculamos t:
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Problema 2:
Un cable conductor transporta una corriente que decrece con el tiempo según la
ecuación I(t) = I0 e-t/τ, donde I0=2 A y τ= 100 s. Calcular a) la carga total que
atraviesa cualquier sección transversal del cable entre t=0 y t=τ. b) La carga
total que atraviesa cualquier sección entre t=0 y t → ∞ .
I =
dQ
→ dQ = I dt →
dt
t
t
-t/τ dt
∫ dq = ∫ I(t) dt = ∫ I0 e
Q
0
0
0
I(t)
t
Q (t) = I0 (-τ) e-t/τ = I0 τ ⎡⎢1 - e-t/τ ⎤⎥
⎣
0
a)
Q (t = τ ) = I0 τ ⎡⎣1 - e-1 ⎤⎦
= 126 C
b)
Q (t = ∞ ) = I0 τ ⎡⎣1 - e-∞ ⎤⎦
=
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⎦
I0 τ = 200 C
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Problema 3:
Un fusible en un circuito eléctrico es un alambre conductor que está diseñado para
fundirse, y por tanto, abrir el circuito si la corriente excede un valor determinado.
Suponiendo que el material que se va a emplear en un fusible se funde cuando la
densidad de corriente alcanza 440 A/cm2. ¿Qué diámetro de alambre cilíndrico
debe usarse para hacer un fusible que limite la corriente a 0.5 A?
Diámetro?
I lim ite = 0.5 A
J lim ite = 440 A/cm 2
A
⎛d ⎞
2
I lim ite = J lim ite A = J lim ite π ⎜ ⎟
⎝2⎠
2
⎛ d ⎞
⎟
⎝ 2 ⎠
(sección transversal
del cilindro)
A=π ⎜
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d =2
I lim ite
π J lim ite
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= 0.38 mm
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Problema 4:
Un bloque rectangular de hierro tiene dimensiones de 1.2 cm x 1.2 cm x15 cm, y
se le aplica una diferencia de potencial entre dos lados paralelos de forma que
esos lados son superficies equipotenciales. Sabiendo que la resistividad del hierro
es aproximadamente 10-7 Ωm, calcular la resistencia del bloque si los lados
paralelos son a) los extremos cuadrados, b) dos lados rectangulares.
1.2
a)
Lados cuadrados
1.2
15
R= ρ
15 cm
A
= 10-7 Ωm
15 × 10-2 m
= 10-4 Ω
(1.2)2 × 10-4 m 2
(1.2)2
b)
Lados rectangulares
1.2
R= ρ
A
= 6.7 × 10-7 Ω
15 × 1.2
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Problema 5:
Un alambre de cobre que tiene un diámetro de 1.02 mm, transporta una corriente
de 1.67 A. Hallar a) el campo eléctrico en el alambre, b) la d.d.p. entre dos
puntos del alambre separados 50 m, c) la resistencia de esos 50 m de alambre.
Dato: resistividad del cobre: 1.72x10-8 Ωm.
c)
b)
Resistencia:
D.d.p.
datos
Ley de Ohm:
R= ρ
=
= 1.05 Ω
A
V = I R = (1.67 A) (1.05 Ω) = 1.75 V
50 m
a)
ρ = 1.72×10-8 Ωm
⎛d⎞
A =π ⎜ ⎟
⎝2⎠
d=
Campo
2
V=E
→E =
V
1.02 mm
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=
1.75 V
50 m
= 0.035 V/m
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Problema 6:
Se dispone de una resistencia fabricada con una barra de carbono de sección 0.5
mm2, cuyo valor nominal a 20o C es de 1 Ω. Hallar a) la longitud de la barra de
carbono, b) la temperatura que ha de alcanzar esa resistencia para que su valor
disminuya en un 5 %. Datos: resistividad del carbono a 20o C: ρ0 = 35x10-6 Ωm.
Coeficiente de temperatura α=-0.5 x10-3 K-1
a)
Longitud de la barra de carbono
b)
(se supone para T=20o C)
R0 = ρ0
A
→
=
R0 A
ρ0
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5%
RT = R0 − 0.05 R0 = 0.95 R0
= 1.43 cm
ρ0 = 35 × 10-6 Ωm (para T = 20o C)
α = - 0.5 × 10-3 K -1
A = 0.5 mm 2
R 0 = 1 Ω (a T = 20o C)
T0 = 20o C
T para que R
=
= 0.95 Ω
RT
= R(T ) =
R0 [1 + α (T − T0 )] → T = 120o C
Tenemos todos los datos, despejamos T
Como vemos, es una temperatura demasiado
distante de T0 como para que la simple
aproximación lineal pueda darse como buena.
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Problema 7:
Un cable de cobre, de sección transversal A y longitud SCu, se conecta extremo
con extremo con un cable de carbono de la misma sección transversal y longitud
SC. a) Hallar la relación de longitudes de ambos cables para que la resistencia
total del dispositivo sea independiente de la temperatura. b) Explicar por qué
esta relación sólo asegura independencia de R con T para pequeñas variaciones de
T. Datos: ρCu0 = 1.7x10-8 Ωm. ρC0 = 3500x10-8 Ωm Coeficiente de temperatura αCu=3.9
x10-3 K-1, αC=-0.5 x10-3 K-1.
a)
Cu
Cu
R ≠ R(T)
C
C
Es una asociación en serie:
Rtotal = RCu + RC
Cu
C
Donde ambas son funciones de T:
Datos
RCu (T ) = R 0 (1 + α Cu ΔT )
ρCu ,αCu
ACu = AC = A
ρC ,αC
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Cu
RC (T ) = R
0
C
(1 + α C ΔT )
,ΔT común para los dos segmentos
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Problema 7:
Rtotal (T ) = RCu (T ) + RC (T ) = R 0 (1 + α Cu ΔT ) + R 0
Cu
⎡
⎤
= R 0 + R 0 + ΔT ⎢ R 0 α Cu + R 0 α C ⎥
Cu
C
C
⎣ Cu
⎦
C
(1 + α C ΔT ) =
R0
R 0 α Cu = − R 0 α C
Cu
Cu
C
R
C
0
total
R
0
0
Para que Rtotal no sea función de T en
primera aproximación, el segundo
sumando debe ser cero.
RCu = ρCu
RC = ρC
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Cu
0
C
b)
Como:
∀T
0
Cu
A
C
A
=−
=−
αC
α Cu
αC ρ 0
C
α Cu ρ 0
Cu
En general:
R(T ) = R 0 (1 + α ΔT + βΔT 2 + …)
En primera aproximación, R (T )
R0 (1 + α ΔT )
porque las potencias mayores de ΔT son despreciables
para ΔT<<. (Eso sin contar con la dilatación lineal de
la barra, e in extremis, la dilatación de su área
transversal)
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