Fernando Zalamea
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ENSAYOS SOBRE MATEMÁTICAS Y C U LT U R A C O N T E M P O R Á N E A Fernando Zalamea EDITOR ENSAYOS SOBRE MATEMÁTICAS Y C U LT U R A C O N T E M P O R Á N E A ENSAYOS SOBRE MATEMÁTICAS Y C U LT U R A C O N T E M P O R Á N E A Fernando Zalamea EDITOR con la colaboración de Alexander Cruz, Alejandro Martín, Gabriel Restrepo y Andrés Villaveces y obras de arte de María Clara Cortés y Regina Silveira DEPARTAMENTO DE FILOSOFÍA Bogotá D. C. 2013 catalogación en la publicación universidad nacional de colombia Rondas en Sais: ensayos sobre matemáticas y cultura contemporánea / editor Fernando Zalamea; con la colaboración de Alexander Cruz... [et ál.] – Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias Humanas. Departamento de Filosofía, 2012. 308 pp. Incluye referencias bibliográficas ISBN : 978-958-761-310-0 1. Filosofía de las matemáticas 2. Matemáticas y arte 3. Matemáticas y literatura I. Zalamea Traba, Fernando, 1959- II. Cruz Morales, John Alexander CDD-21 510.1 / 2012 Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Humanas Departamento de Filosofía © 2013, editor Fernando Zalamea © 2013, varios autores © 2013, Universidad Nacional de Colombia Primera edición Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Humanas Comité Editorial Sergio Bolaños Cuéllar, decano Jorge Rojas Otálora, vicedecano académico Luz Amparo Fajardo, vicedecana de investigación Jorge Aurelio Díaz, profesor especial Ángela Robledo, profesora asociada Yuri Jack Gómez, profesor asociado Preparación editorial Centro Editorial Esteban Giraldo, director Jorge Enrique Beltrán Vargas, coordinación editorial Diana Marcela Murcia Molina, coordinación gráfica Diseño de colección: Diana Murcia Molina Desarrollo gráfico: Endir Roa Basto [email protected] www.humanas.unal.edu.co Bogotá, 2013 Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio, sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales. Contenido Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Matemáticas y pensamiento: en torno a imágenes, modelos, abstracción y figuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . 61 . . . . . . . . . . . . . . PRIMERA PARTE Precedentes históricos josé ferreirós arnold oostra Matemáticas, lógica y arquitectónica en Peirce francisco vargas Aritmología, infinito y trascendencia: hacia el lugar de las matemáticas en la filosofía de Pavel Florenski . . . . . . . . . SEGUNDA PARTE Momentos cruciales de las matemáticas contemporáneas john alexander cruz morales Hacia una filosofía galoisiana de las matemáticas . . . . . . . . . . 83 . 97 gabriel restrepo Alexander Grothendieck, ¿el pasaje al fin de la melancolía? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bill Lawvere y la lógica categórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Creatividad matemática y hermenéutica en Shelah y Zilber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 jesús hernando pérez andrés villaveces TERCERA PARTE Enlaces con la cultura contemporánea javier de lorenzo Matemática y filosofía contemporánea . . . . . . . . . . . . . . . 193 Auge, muerte e inesperada resurrección de una teoría matemática de la narrativa . . . . . . . . . . . . . . . 213 . javier moreno alejandro martín Algunas conexiones sueltas entre cine contemporáneo y matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 251 . . . . . 271 fernando zalamea Matemáticas y arte contemporáneo . . Apéndices I. Antología mínima. Reflexiones de grandes matemáticos contemporáneos: Grothendieck, Shelah, Connes, Gromov, etc. john alexander cruz morales, andrés villaveces y fernando zalamea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II. Lecturas recobradas. Inventividad literaria y matemática: fragmentos de Musil, Broch, Borges, Novalis, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Índice de obras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Índice onomástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 fernando zalamea . III. Sobre las artistas Regina Silveira alejandro martín . . María Clara Cortés fernando zalamea Prólogo L os trabajos que intentan entrelazar matemáticas y cultura —buscando conectar formas «precisas» del pensamiento con otras expresiones más «plásticas»— se restringen usualmente a describir una serie de lugares comunes en la historia de la matemática: los sólidos platónicos, las armonías musicales y celestes, el número de oro, la perspectiva renacentista, las máquinas de Leonardo, los dibujos de Escher, entre otros tantos temas saciadamente analizados. Nuestro objetivo en esta compilación puede considerarse casi ortogonal a las pesquisas anteriores, al buscar sintetizar algunas ideas centrales de las matemáticas modernas (1830-1950) y contemporáneas (1950-hoy), así como discutir la compenetración de algunas de esas ideas con la cultura como un todo. De hecho, el pensamiento matemático «avanzado» contemporáneo ha explorado con sumo detalle algunas fuerzas directrices —tránsitos fronterizos, contaminaciones estructurales, deformaciones conceptuales, fluxiones plásticas, procesos reflexivos, por ejemplo— que han permeado la cultura en el último medio siglo, y que no aparecen ni en las matemáticas «elementales», ni en las consideraciones acostumbradas alrededor de los «lugares comunes» recién señalados. La compilación Rondas en Sais. Ensayos sobre matemáticas y cultura contemporánea pretende extender el panorama y ampliar nuestra inteligencia (entendida como trans/formación de la in/formación) al informar sobre algunos desarrollos profundos en matemáticas contemporáneas y reflexionar sobre las transformaciones que esos avances pueden llegar a producir en el ámbito general de la cultura. En homenaje a Los discípulos de Sais (1798) de Novalis, y continuando con la simbiosis de ciencia, arte y filosofía presente en su clarividente Borrador general (1798-1799), Rondas en Sais reúne ensayos expresamente preparados para esta ocasión por reconocidos especialistas del mundo hispánico en historia y filosofía de las matemáticas. Con ello se registra un estado de la cuestión por vez 9 · rondas en sais · 10 primera a nivel internacional —en cualquier idioma— y se plantean problemáticas y guías a desarrollar en el futuro próximo. El volumen se distribuye en tres partes bien definidas, donde se exploran tres puntos de vista «no estándar»: (I) revisión de altas contribuciones, no siempre bien conocidas (Riemann, Peirce, Florenski), en el corazón de la matemática moderna; (II) síntesis de panoramas creativos de punta (Grothendieck, Lawvere, Connes, Shelah, Zilber) en la matemática contemporánea; (III) correlación de las ideas anteriores con procesos paralelos en filosofía, literatura, cine y artes plásticas. La primera parte se inicia con José Ferreirós, quien nos presenta, alrededor de Bernhard Riemann (1826-1866), algunas interacciones entre el ascenso de las matemáticas abstractas y la aparición del enfoque modelista de las teorías entre científicos y filósofos. Arnold Oostra muestra luego cómo esa plasticidad, imprescindible en el matemático revolucionario, se corresponde con la visión arquitectónica de un pensador mayor, como resulta ser Charles Sanders Peirce (1839-1914). Francisco Vargas concluye la primera parte con un análisis fresco y original de la aritmología infinitaria de Pavel Florenski (1882-1937), uno de los genios olvidados del pensamiento moderno. La segunda parte aborda temáticas rara vez tratadas en trabajos de reflexión matemática. Alexander Cruz muestra la vigencia de las ideas de Évariste Galois (1811-1832) en el desarrollo de las matemáticas contemporáneas, y propone la construcción de una filosofía galoisiana de las matemáticas, abierta, dialéctica y dinámica. Gabriel Restrepo realiza un análisis fascinante y supremamente dúctil de las ensoñaciones de Alexander Grothendieck (n. 1928) y de su inigualable capacidad inventiva. Jesús Hernando Pérez estudia las categorificaciones centrales propuestas por William Lawvere (n. 1937) en su programa de reconstrucción sintética del pensamiento matemático. Finalmente, Andrés Villaveces aborda el entendimiento de la creatividad y la hermenéutica en las figuras de Saharon Shelah (n. 1945) y Boris Zilber (n. 1949), dos de los grandes lógicos matemáticos de las últimas décadas. En todos los casos, el lector aprovechará descripciones y consideraciones críticas enteramente novedosas. Las primeras dos partes de la compilación utilizan herramientas de las «ciencias humanas» (filosóficas, históricas, semióticas) para acercarse a las «ciencias exactas» (matemáticas). En realidad, los bordes entre las disciplinas son (y deberían ser) más vagos y plásticos, como esta compilación lo pretende. La tercera parte intenta devolver explícitamente el movimiento del péndulo. Las matemáticas se observan ahora como redes que se integran al hacer cultural. Javier de Lorenzo —posiblemente el mayor filósofo de las matemáticas de habla hispánica en la historia— nos regala · Prólogo · una amplia reflexión sobre los vaivenes del pensamiento matemático y filosófico. Javier Moreno crea un texto muy personal donde entrevera al matemático y al literato en acción, como sucede con el autor mismo de esas sinuosas líneas. Alejandro Martín combina su pasión cinematográfica con su conocimiento de primera mano de las matemáticas contemporáneas, en un sugestivo ensayo lleno de alternancias especulares. Finalmente, Fernando Zalamea descubre nuevos reflejos entre notables artistas y matemáticos contemporáneos: Kabakov y Grothendieck, Caro y Connes, Kiefer y Shelah. Dos apéndices proporcionan textos provenientes de ambas vertientes del péndulo. El Apéndice I incluye reflexiones directas de algunos cruciales matemáticos contemporáneos (Grothendieck, Serre, Langlands, Lawvere, Shelah, Zilber, Atiyah, Manin, Gromov, Connes) reunidas aquí por vez primera, y brevemente comentadas por Cruz, Villaveces y Zalamea. Por su parte, el Apéndice II reúne textos de literatos y filósofos modernos (Novalis, Goethe, Valéry, Musil, Broch, Cassirer, Borges) que ilustran, mediante citas «no estándar», la fina comprensión del pensamiento matemático que pueden alcanzar ciertas mentes ilustradas. Por último, debe resaltarse el tono diagramático y visual del volumen, gracias a la inclusión de obras de Regina Silveira (Brasil) y de María Clara Cortés (Colombia), que entreveran —en lo hondo y lo abismal— la invención artística y la invención matemática. El Apéndice III presenta brevemente el trabajo de las artistas, labor tal vez superflua ante la belleza y la profundidad de las imágenes incluidas. Fernando Zalamea Universidad Nacional de Colombia 11 PRIMERA PARTE Precedentes históricos Matemáticas y pensamiento: en torno a imágenes, modelos, abstracción y figuración José Ferreirós*1 Universidad de Sevilla V iena y Leipzig, 1921. La revista Annalen der Naturphilosophie, editada por el químico Wilhelm Ostwald2, publica un trabajo de difícil clasificación: un ensayo escrito en aforismos sobre el conocimiento y sus límites, sobre el mundo y «lo que no se puede hablar», pulido durante la Gran Guerra por Ludwig Wittgenstein. En esta obra tersa y difícil, apenas 78 concentradas páginas, se ofrece un intento de clarificación definitiva de las cuestiones filosóficas fundamentales. En el centro de su reflexión está la lógica y su enlace con el mundo, tema articulado en torno a las ideas de Bild, figura o imagen, y Abbildung, figuración o representación. Toda la propuesta de Wittgenstein denota, inequívocamente, una impronta modernista; es muestra ejemplar de un giro cultural que la horrenda guerra ha acentuado y radicalizado. Por estos años comenzará a hablarse de estructuras en diversos campos, no el último las matemáticas, y el esfuerzo arquitectónico se orientará a una pureza de líneas, un purismo funcional unido * 2 [email protected] Ostwald fue premio Nobel y trató de promover una cosmovisión científica «monista»; impulsó también la historia de la ciencia. 15 · Matemáticas y pensamiento... —quizá sorprendentemente— a la búsqueda de una transcendencia a través de esas austeras estructuras. Esto que cabe aplicar, por ejemplo, a los lienzos de Kandinsky o las partituras de Webern se aplica no en menor grado al hermoso Tractatus logico-philosophicus de Wittgenstein3. Consideremos, por ejemplo, la famosa teoría pictórica o figural (Bild-theorie) del significado. Los enunciados de nuestros lenguajes son expresión de los pensamientos, que a su vez son imágenes, Bilder, de los estados de cosas en el mundo; en la base de todo está el hacernos una imagen, o Bild, de un hecho, un modelo de la realidad: el figurar o representar, abbilden (Wittgenstein 1921, 2.1). Naturalmente, Wittgenstein —y sus antecesores— emplean estas palabras en un sentido amplio y algo abstracto4. «La figura o imagen lógica de los hechos es el pensamiento», nos dice en el Tractatus (punto 3). Aún más, la propia lógica es, según Wittgenstein, una imagen del mundo5: como dijo en frase memorable, «Die Logik ist […] ein Spiegelbild der Welt», la lógica es imagen especular del mundo (Wittgenstein 1921, 6.13). Pese a toda su novedad y a su aire modernista, la composición lógico-filosófica del vienés es también un nudo que liga receptivamente propuestas y desarrollos con un recorrido ya considerable. Es bien sabido que hay pocos nombres citados expresamente en el Tractatus: apenas Frege, Russell y Hertz. Y es sabido que en la obra del físico Heinrich Hertz se encuentran pasajes que enfatizan las ideas de imagen y representación, Bild y Abbildung, como claves para entender la función del pensamiento científico y su enlace con la realidad. El objeto de este breve ensayo será mostrar la genealogía de dichos conceptos, persiguiéndola a través de un recorrido ondulante que atravesará los territorios de la ciencia, las matemáticas y la filosofía. Debería ser algo sabido: las fronteras son obra del hombre, y solo existen en nuestra vida social y en nuestra imaginación, por dura que pueda ser la consistencia que en ocasiones manifiestan. 1. Generalidades Los traspasos de fronteras que acabamos de evocar quedan a menudo inatendidos por los académicos. Hay diversas fuentes de tal ceguera, 3 4 5 Traducido en Alianza Editorial. En lo que sigue, para clarificar el discurso, emplearé a menudo las palabras alemanas en cuestión. Al lector le bastará saber que Bilder es plural de Bild, y que el verbo derivativo abbilden ‘representar pictóricamente’ da lugar al sustantivo Abbildung ‘representación’. La tesis es polémica y muy discutible, pero no podemos centrarnos aquí en esa cuestión. 17 · josé ferreirós · 18 entre ellas —dejando a un lado las visiones partidistas del pasado y el presente— lo que podríamos denominar «ceguera disciplinar»: el matemático mira atrás buscando contribuciones matemáticas que lleven a lo que se percibe relevante en el contexto actual de las matemáticas, y análogamente el filósofo o el físico. Es fácil advertir que esta ceguera disciplinar va unida a un cierto tipo de «whiggismo», que de todas formas es más habitual entre académicos que en el mundo del arte; la compensación es un mayor rigor en las afirmaciones que los primeros realizan. Idealmente, la comprensión de cambios en el mundo del pensamiento, como los que vamos a considerar, requiere de una aproximación bien interdisciplinar. Sea o no casual, lo cierto es que los autores de los que hablaremos en las páginas siguientes pertenecen al contexto de habla alemana. Y dicho contexto, en los años que median de 1800 a 1940, resultó ser un excelente vivero de intercambios entre el pensamiento filosófico y el científico. Las figuras híbridas, y de alto interés, del científico-filósofo o del filósofo-científico resultan fáciles de encontrar en ese contexto y tiempo —de Kant a Einstein, por citar dos ejemplares paradigmáticos que marcan el inicio y el fin de la era—. Otros ejemplares serán los que asomen a estas páginas: Herbart, Riemann, Helmholtz, Dedekind, Hertz y Wittgenstein. Pero esa misma riqueza del contexto complica la tarea de rastrear con fidelidad el entramado de las influencias y las afluencias. Quizá merezca la pena rememorar algún ejemplo al que me vi enfrentado tempranamente, cuando empezaba a trabajar sobre la historia del pensamiento matemático. Estudiando las obras de Dedekind, de alto interés en cuanto marcan un cambio de estilo arquitectónico en matemáticas, encontraba múltiples sugerencias del influjo de ideas filosóficas propias de Leibniz y de Kant. El primer impulso, naturalmente, fue perseguirlas en detalle y trazar su genealogía en obras concretas de estos filósofos; en el caso de Leibniz, logré argumentos muy elaborados sobre el cómo y el dónde de esas supuestas influencias. Todavía hoy considero altamente probable que Dedekind hubiera leído la Crítica, los Nuevos ensayos, etc.; sin embargo, el ejercicio crítico de historiador me hizo advertir que ninguno de mis argumentos era seguro. Comprendí que las ideas kantianas y leibnizianas estaban tan ampliamente diseminadas en el XIX alemán, que podían afluir por mil vías, a través de obras y escritos de matemáticos (Gauss, Riemann, Hamilton, y Grassmann), científicos (el físico Weber y Helmholtz) y filósofos (Fries, Lotze —quien fue maestro de Dedekind en la universidad—, etc.). Así las cosas, se impuso un cierto grado de circunspección, y aprendí una lección valiosa sobre las fuentes directas e indirectas de la transmisión cultural. 6 · Matemáticas y pensamiento... Volvamos ahora a las representaciones o aplicaciones, lo que en alemán actual se designa por Abbildung. Dicho término fue acuñado precisamente por Dedekind, en una obra de 18886, siguiendo la estela de aportaciones más fragmentarias de Gauss y Riemann, quienes fueron sus maestros. Para decirlo en términos sencillos y próximos a los de Dedekind, una aplicación, o Abbildung φ, es una ley que correlaciona los objetos de cierto dominio D con los de otro C, llamado contradominio, de tal manera que a cada objeto de D le corresponde un, y solo un, objeto de C. Siendo d un elemento de D, su correlato φ(d) se llama la imagen, Bild, de d; análogamente, se dice que d es el elemento origen o el original de φ(d). Además, todo el conjunto de elementos de C que son imágenes de algún elemento de D puede ser llamado «la imagen de D» y denotado por φ(D); lo cual correspondería a todo el cuadro que representa una escena original. La terminología es de obvia inspiración pictórica, y el propio Dedekind decía en una carta que la aplicación o representación es «el pintor que pinta»; pero sin duda la idea puede aplicarse a la relación entre los símbolos del pentagrama y los sonidos musicales, como a cualquier otro lenguaje, incluidas las representaciones científicas. El momento clave en que se acuñó esta elegante idea, desarrollada enseguida por el propio Dedekind para trabajar con aplicaciones que preservan ciertas estructuras (lo que luego se llamarían morfismos), tiene un carácter epocal en cuanto marca la transición entre la matemática «clásica» y la llamada «moderna» o del siglo XX. Dicha transición transfiguró las matemáticas de tal manera que el paso del XIX al XX ha sido llamado un auténtico Renacimiento de las matemáticas. Claro está que las aplicaciones o representaciones de Dedekind entroncan con las funciones concretas que estudiaba el álgebra y el análisis en la época clásica, pero precisamente abandonan el elemento concreto (venir definidas por una fórmula analítica) para instalarse en una simplicidad, generalidad y abstracción típicamente modernas. También inauguran esas aplicaciones, y sobre todo los morfismos, el camino hacia nuevas cotas de abstracción conceptual que acabarán plasmándose en las flechas y los functores de la teoría de categorías (véanse los artículos de la segunda parte). Dedekind es claramente reconocible, así, como un hito en el camino hacia la matemática contemporánea, tal como lo ejemplifica su reconceptualización ¿Qué son y para qué sirven los números?, de la que existe versión en español publicada por Alianza Editorial (1998). Veáse el § 2, «Representación [Abbildung] de un conjunto». 19 · josé ferreirós · de la teoría de Galois, ofrecida en 18947, y tal como reconocieron los algebristas Emmy Noether y Emil Artin, entre otros. La plasmación de la idea moderna de aplicación debe ser vista como un momento álgido en una transformación de longue durée, y, especialmente, notable que ha afectado en profundidad al pensamiento filosófico y científico. Me refiero al paso de una concepción sustancial-causal de los fenómenos, que fue característica del pensamiento antiguo y medieval, a la concepción relacional-funcional, propia de la contemporaneidad. Los modelos sustanciales y causales se han revelado incompletos e insuficientes para la comprensión de los fenómenos físicos, humanos y sociales8. Al tiempo, de la mano de la física y del análisis matemático, iba teniendo lugar el ascenso de las funciones a un primer plano dentro de los modelos científicos admitidos. Toda la ciencia actual aspira a formular modelos relacional-funcionales capaces de predecir con exactitud los diversos tipos de fenómenos, al modo en que la teoría gravitatoria (ya sea newtoniana o relativista) describe las interacciones mediadas por la gravedad, o en que las teorías cuánticas (elementales o de campos) describen los fenómenos debidos al electromagnetismo y a las fuerzas nucleares. El triunfo del pensamiento funcional, en términos de aplicaciones, se gestó durante el siglo XVIII y principios del XIX, en la época que —vista desde las matemáticas— llamaríamos de Euler y Gauss. Desde entonces no ha dejado de consolidarse, a pesar y a través de todas las transformaciones de diversos tipos en ciencia y en matemáticas. Volveremos a este tema. 2. La inflexión Riemann Veamos a continuación algunos aspectos de la obra y el pensamiento de Bernhard Riemann, cuya enorme figura intelectual supone un verdadero punto de inflexión en la historia del pensamiento matemático y científico. 7 8 20 La teoría de Galois —verdadera clave del álgebra moderna— nació en escritos del famoso francés hacia 1830, pero Dedekind fue el primero en formularla de manera plenamente moderna, en términos de grupos de automorfismos de un cuerpo (en el apéndice XI a las Vorlesungen über Zahlentheorie, [Lejeune-Dirichlet y Dedekind 1894]); esta versión muy abstracta sería popularizada por Emil Artin treinta años más tarde. Nota para filósofos: la idea de lo causal admite varias definiciones, y hay una tendencia importante a llamar «causales» a los modelos científicos en uso hoy; pero tal uso lingüístico es anacrónico cuando se aplica al momento álgido del pensamiento causal, y por esta y otras razones me parece muy confundente. Reservo pues la idea de causalidad para la relación simple de causa-efecto que ocupó, por ejemplo, a Hume en su famosas páginas críticas, y que Kant quiso defender haciéndola a priori como una de las categorías. 9 10 · Matemáticas y pensamiento... Naturalmente, las matemáticas son una obra colectiva, y prácticamente nada de importancia puede reducirse a la aportación de un único «genio» (noción por lo demás muy denostada —quizá exageradamente— entre los historiadores de hoy). Aún así, algunos matemáticos concentran de tal manera motivos y tendencias pregnantes, que despiertan nuestro asombro y nos invitan a preguntarnos cómo habrían sido las cosas sin sus propuestas. Es el caso de Riemann, cuya obra, al decir de un importante matemático del XX, está llena de «mensajes crípticos destinados al futuro». El relacionismo y la idea de Abbildung desempeñan papeles clave en diversos lugares del pensamiento de Riemann, pero nuestra aproximación al tema comenzará en los terrenos de la filosofía. Digamos rápidamente que Riemann fue discípulo de Gauss en la Universidad de Gotinga, al igual Dedekind, quien consideró a su compañero algo mayor como un verdadero maestro. Una característica importante de los matemáticos de Gotinga fue resaltada por el físico, y gran colaborador de Gauss, Wilhelm Weber: «Con Dirichlet y Riemann, Gotinga ha seguido siendo la plantación de la orientación filosófica más profunda en investigación matemática, en la que se convirtió con Gauss» (Weber 1886)9. El topos de lo relacional se fue haciendo más y más presente en las reflexiones de los filósofos durante la época que acotamos arriba. Seguramente no es casualidad que Leibniz, inventor del cálculo, fuera uno de los pioneros de este giro y uno de los que más insistieron en las relaciones como clave de lo real. Desde su original metafísica, donde toda mónada contiene una representación (más o menos parcial) del universo, hasta en sus contribuciones científicas, vemos aparecer aquella idea en formas diversas. Incluso se atrevería a aplicar esos conceptos a las ideas matrices de espacio y tiempo, ofreciendo un enfoque que, sin embargo y pese a Einstein, nunca ha terminado de elaborarse en forma satisfactoria. El topos siguió su curso en autores centrales, como Kant, y parece haber alcanzado un momento culmen durante el siglo XIX. En esa época, un autor poskantiano y de inspiración leibniziana, un filósofo-científico llamado Herbart, llegó a decir que todo nuestro conocimiento es de relaciones, tanto en lo perceptivo como en lo teórico: «Vivimos entre relaciones y no necesitamos nada más» (Ferreirós 2000, XXXVII). Lo que hay, tanto en la realidad última postulada por su metafísica, como en nuestros contenidos mentales10, son sobre todo relaciones y registros de relaciones. Véase Ferreirós (2000), xxvii. Herbart elaboró una novedosa psicología, apareciendo en las historias de esta disciplina como figura de transición a la psicología científica. También se le considera muy relevante en historia de la pedagogía. Véase Ferreirós (2000). 21 · josé ferreirós · Johann Friedrich Herbart nos interesa porque fue considerado por Riemann como maestro fundamental en cuestiones filosóficas. Sin embargo, no es personaje que suela aparecer en las historias de la filosofía, en parte por la ceguera disciplinar de la que hablábamos11. Herbart elaboró una nueva e interesante teoría del conocimiento: quizá por vez primera en un filósofo, aparece una epistemología abiertamente hipotético-deductiva, coherente con el enfoque experimental de las ciencias naturales. Insistió en que nuestras teorías son producto de la modificación gradual de ideas anteriores, que resultan de una dialéctica entre experiencia y reflexión; es decir, del esfuerzo reflexivo por acomodar en el plano teórico los datos de experiencia adversos a las viejas ideas. Rechazó de plano el apriorismo kantiano diciendo que la «hipótesis» de las formas de la intuición espacial y temporal fue «completamente superficial, carente de contenido e inapropiada», pues se trataba meramente de «un par de recipientes infinitos vacíos en los que los sentidos deben verter sus sensaciones, sin [dar] ninguna razón de la configuración y ordenación» (Herbart 1825, 428). Y a propósito de las categorías del entendimiento —que entre otras cosas regulan, según Kant, nuestra comprensión de sustancias y fuerzas—, decía: La multitud de errores cometidos [en la historia de la ciencia] acerca de las sustancias y las fuerzas demuestra fácticamente que los correspondientes conceptos no están fijos y determinados en el espíritu humano, que no son en absoluto categorías o conceptos innatos, sino productos mudables de una reflexión estimulada por la experiencia y alterada por todo tipo de opiniones. (Herbart 1826, 198) El matemático, filósofo y científico Bernhard Riemann aceptó plenamente esta posición de rechazo al apriorismo, de gradualismo evolutivo en las teorías científicas, y el esquema hipotético-deductivo de «experiencia» y «reflexión». Dicha posición, unida a su notable independencia de pensamiento, le permitió adelantar ideas que tardarían décadas en parecer razonables a otros científicos. En particular, se situó más allá del positivismo que reinaba en su época, se permitió sugerir que la teoría gravitacional newtoniana —que entonces pasaba por definitiva— sería abandonada por otras teorías más adecuadas, y propuso novedosísimas 11 22 Los filósofos del XX han retroproyectado sus ideales y trazado su propia genealogía en las historias a la moda, prefiriendo escoger como propios del Zeitgeist decimonónico a autores cercanos a la línea de Hegel-Marx, o bien a la de Schopenhauer-Nietzsche. 12 · Matemáticas y pensamiento... nociones geométricas que, precisamente, darían el marco matemático para la teoría gravitacional de Einstein (la relatividad general). Riemann no siguió a Herbart en todos los campos de la filosofía. En particular, rechazó sus teorías psicológicas y su metafísica, elaborando posiciones que, precisamente, enfatizan más el relacionismo. (Así, Herbart defendió una versión de la monadología leibniziana, y consideró a dichos entes inmateriales y esencialmente activos como sustancias; Riemann le replica que el supuesto carácter sustantivo de las «mónadas» de Herbart queda contradicho por los atributos centrales que el mismo autor les asigna.) Aunque rechazó partes importantes de la concepción herbartiana del espacio y del continuo, es indudable que Herbart le transmitió una concepción relacional y no kantiana del espacio, que tiene mucho que ver con el gran aporte riemanniano a la geometría. Pero más que esto, aquí va a interesarnos la idea de aplicación, Abbildung, tal como la elabora Riemann en su teoría de funciones, y sus reflejos en una concepción pictórica o modelista de las representaciones científicas; temas donde parece haber enlaces entre la matemática y la filosofía del autor. Herbart pensaba que la matemática era especialmente cercana a la filosofía, y juzgaba posible darle un tratamiento muy filosófico, a tal punto que «tratada filosóficamente se convierte ella misma en una parte de la filosofía» (Herbart [1807] 1964, 275). En gran medida, la contribución de Riemann se nos antoja una realización de esa idea, muy profunda, pero muy distinta de lo que Herbart hubiera podido imaginar. Riemann se dedicó a la búsqueda de conceptos básicos en torno a los cuales fuera posible reestructurar y reorganizar ramas completas de la matemática, y que permitieran excavar más hondo en sus fundamentos. Estaba convencido de que una investigación matemática que «partiera de conceptos generales» contribuiría decisivamente a que el pensamiento científico «no se vea entorpecido por las limitaciones de los conceptos, y que los prejuicios transmitidos no impidan el avance del conocimiento» (Ferreirós 2000, CLXXXIX)12. Fue así como llegó a proponer nociones próximas a los conceptos modernos de conjunto y aplicación, que a su vez rastreó en las raíces del pensamiento científico. La fama de Riemann como matemático, en vida, se debió a sus contribuciones a la «teoría de funciones», es decir, el análisis en variable Riemann, «Sobre las hipótesis en que se funda la geometría» (1854-1868) (citado en Ferreirós [2000, CLXXXIX]). 23 · josé ferreirós · compleja13. Permítaseme decir unas palabras sobre este tema, para que se comprenda su enlace con la idea pictórica o modelista del conocimiento. En teoría de funciones le pareció a Riemann que era imprescindible alejarse de la matemática calculística y basada en fórmulas, en favor de un enfoque francamente conceptual, lo que hoy solemos llamar abstracto. El concepto general clave para refundar la teoría de funciones sería el de ‘función analítica’, o más específicamente lo que hoy se llama una función holomorfa14. Este concepto no lo definió de manera calculística, sino mediante una propiedad muy general: la simple diferenciabilidad de la función en torno a un punto cualquiera (ecuaciones de CauchyRiemann). Partiendo de ahí, con el fin de caracterizar «a vista de pájaro» cada función concreta, el muy original planteamiento de Riemann combinaba elementos geométricos (más propiamente, topológicos —disciplina que prácticamente inventó—) con otros originarios de la física matemática. Las fórmulas concretas del análisis (series infinitas, integrales) debían aparecer solo al final, como un resultado de la teoría general abstracta; con ello Riemann trazaba un punto de inflexión en el camino hacia la matemática abstracta del siglo XX. Lo anterior tenía otra consecuencia que llamó la atención de Riemann: si la variable compleja se concibe como un plano, la función establece una correspondencia entre dos planos15. Y las funciones holomorfas, precisamente, establecen una aplicación conforme entre ambos; esto es, «aplican las partes de una superficie sobre las de la otra, de modo que la imagen es similar al original en las partes mínimas» (Gauss 1825): esto es, un triángulo infinitesimal tiene como imagen otro triángulo de ángulos iguales y lados proporcionales16. Encontramos aquí, en versión geométrica y bien pictórica, las ideas de aplicación (Abbildung), original e imagen (Bild); la función es el pictor que pinta y conforma. Entre la variable compleja y su correlato holomorfo se da un «isomorfismo», se conservan las formas. En relación con este tema, nuestro autor propuso y demostró —sin el debido rigor— el célebre teorema de aplicación de Rie13 14 15 16 24 Basado en los números a + bi, donde i es la famosa unidad compleja, √–1; el conjunto de todos estos números pueden pensarse como un sistema geométrico bidimensional, el plano complejo. El término holomorfo fue empleado por dos alumnos de Cauchy, Briot y Bouquet; deriva del griego ȜȠȢ (holos), entero, y de ȝȠȡijȒ (morphē), forma o apariencia. Si la función w = f(z) es continua, dice Riemann en su tesis doctoral, «se podrá concebir dicha dependencia de la magnitud w respecto a z como una aplicación [Abbildung] del plano A en el plano B» (Ferreirós 2000, CXXX). La frase de Gauss inspiró a su discípulo. Una aplicación conforme preserva ángulos y formas en torno a cada punto, pero puede realizar ciertas deformaciones que afectan al tamaño. · Matemáticas y pensamiento... mann (que da la existencia de una aplicación conforme entre cualquier dominio simplemente conexo y el disco unidad), uno de los teoremas más importantes del análisis complejo. Pero, bien mirado y mutatis mutandi, algo análogo ocurre con todas las funciones o aplicaciones, por más que la correlación pueda eliminar toda traza de forma geométrica o incluso topológica: aún así, la existencia misma de una relación funcional continua o bien biyectiva establece profundas analogías estructurales entre un lado y el otro. Esta idea, tan filosófica, sin duda ocupó a Riemann y le inspiró ciertas consideraciones epistemológicas; también a Dedekind, animándole a ampliar la terminología pictórica de Bild y Abbildung a toda función en general. Podemos sin más pasar a ver qué reflejo encuentra esa idea en la epistemología riemanniana. La metodología hipotético-deductiva de Riemann se apoya en la noción de ‘verdad’, entendida en la clásica versión de correspondencia con los hechos que ya planteara Aristóteles: I. ¿Cuándo es verdadera nuestra concepción del mundo? «Cuando la conexión entre nuestras representaciones [Zusammenhang unserer Vorstellungen] se corresponde con la conexión entre las cosas». ... II. ¿De qué modo se debe establecer la conexión entre las cosas [Zusammenhang der Dinge]? «A partir de las conexiones entre las apariencias [Erscheinungen]» (Riemann 2000, 100-1). Pero, aunque lo dicho aquí pueda parecer muy visto, también a este nivel Riemann consigue introducir reflexiones innovadoras que no han dejado de tener sus correspondencias en el siglo XX. Concretamente, en vena herbartiana, el matemático indica que la correspondencia interesante no se da entre elementos simples de nuestros sistemas conceptuales y elementos simples de la realidad, sino entre las respectivas relaciones. Las relaciones entre los elementos de nuestra representación del mundo deben reflejar fielmente las relaciones entre las cosas. En comentario a I. dice: Los elementos de nuestra imagen del mundo [Bild von der Welt] son totalmente distintos de los correspondientes elementos de lo real representado. Son algo en nosotros; los elementos de lo real son algo fuera de nosotros. Pero las conexiones [Verbindungen] entre los elementos en la imagen y en lo representado [Elementen im Bilde und im Abgebildeten] deberían coincidir, si es que la imagen ha de ser verdadera. La verdad de la imagen 25 · josé ferreirós · es independiente de su grado de finura; no depende de si los elementos de la imagen representan cantidades mayores o menores de lo real. Pero las conexiones deben corresponderse entre sí; en la imagen no debe suponerse una acción inmediata [unmittelbare Wirkung] entre dos elementos, cuando en la realidad solo tiene lugar una mediata. En tal caso la imagen sería falsa y necesitada de rectificación […]. (Riemann 2000, 101) Las explicaciones de Riemann a este respecto recuerdan enormemente la famosa teoría figurativa del pensamiento y el lenguaje propuesta por Wittgenstein al comienzo de su Tractatus, empezando —claro— por la terminología muy riemanniana de ‘Bild’ y ‘Abbildung’. Sería interesante saber si Wittgenstein, además de estar influido por el físico Hertz, leyó también con cuidado las obras de Riemann. Quizá no. Lo que es sumamente probable, en cualquier caso, es que Hertz las leyera. 3. Reflejos en ciencia y matemática... y nuevos destellos A través de la terminología pictórica de imagen y representación (Bild y Abbildung) se produce simultáneamente una inversión: un desplazamiento semántico y un alejamiento de la concepción ingenua. Pues, de hecho, Riemann y Dedekind —en la estela del relacionismo leibniziano y herbartiano— están insistiendo en que el elemento en la figura que representa cierto elemento real no tiene por qué guardar similitud alguna con este: aquella forma que se preserva en las representaciones correctas no es la forma de los elementos, sino la forma de las relaciones entre ellos. Así pues, la terminología tan sugerente y tranquilizadoramente familiar de las imágenes esconde una idea nueva y ajena al sentido común. Esta idea del carácter simbólico y no icónico de las imágenes científicas17, de la convencionalidad de los modelos y representaciones científicas, se va a reflejar en diversos logros de la ciencia de aquel tiempo, que a su vez le darán nuevo impulso. Dos experiencias históricas de gran calado epistemológico se dan cita en el siglo XIX, en torno a la matemática y la física: la superación del 17 26 Sigo la terminología de Charles S. Peirce, quien emplea ‘signo’ como término genérico o paraguas bajo el cual caen iconos, índices y símbolos; el icono guarda similitud con lo que representa, a diferencia del símbolo. La obra de Riemann es, por supuesto, anterior a la de Peirce, y también es independiente la de Dedekind. 18 · Matemáticas y pensamiento... marco euclidiano y el abandono de la imagen mecánica del mundo. En ambas están centralmente implicados los autores alemanes que vamos a concitar enseguida: Riemann, Helmholtz y Hertz (junto con otros de varias nacionalidades: Gauss, Lobachevskii, Bolyai, Faraday, Maxwell, Lorentz, Poincaré, Einstein). Un tercer logro relacionado con aquellos, que apenas tenemos tiempo de evocar, es una profundización de la reflexión sobre las sensaciones y la experiencia perceptual, que se renueva sobre bases experimentales (de nuevo Helmholtz y otros). Si hay algún signo matemático o científico que se nos antoje icónico por antonomasia son las figuras geométricas, los «triángulos, círculos» y otros «caracteres» que —según el dicho celebérrimo de Galileo— forman el lenguaje en que está escrito el «gran libro de la naturaleza»18. La geometrización de la imagen física del mundo lograda por Kepler y Galileo pareció, pues, ofrecernos una incursión directa en la realidad de las cosas, una familiaridad íntima con las formas reales. Quizá el movimiento más sísmico que se produjo en el XIX, en lo tocante a epistemología científica, fue precisamente el distanciamiento de esa comprensión ingenua. Con la terminología que hemos ido estableciendo puede decirse de forma directa y breve: la clave fue el pensamiento, muy nuevo, de que las imágenes geométricas de lo real físico no son icónicas, sino simbólicas; al menos cuando nos alejamos de los rangos medios en que se mueven nuestros cuerpos y nuestra experiencia habitual, para dirigirnos a lo muy pequeño (atómico) o a lo muy grande (cósmico). El problema estaba implicado ya en la idea misma de línea recta, tan difícil de precisar, ya que lo esencial del comportamiento de las rectas (expresado en los postulados sobre paralelas) involucra una propiedad global y no local de ellas; es decir, atañe a lo infinitamente grande. Ya Gauss vio muy claro este problema, advirtiendo que era un asunto empírico determinar si es la geometría de Euclides o la de Lobachevskii el mejor candidato para simbolizar las relaciones físicas a gran escala. Riemann fue aquí su sucesor, al tiempo que le dejaba atónito con la riqueza de posibilidades geométricas que expuso al introducir las variedades riemannianas, o sea, las geometrías de (tensor de) curvatura variable, en la célebre conferencia «Sobre las hipótesis en que se funda la geometría» (1854-1868). En este marco, las geodésicas o líneas de mínima longitud desempeñan el papel de las rectas; si la curvatura es igual en todos los Aunque su relación con lo designado está lejos de ser trivial, ya que los iconos geométricos se manipulan según están concebidos y no según están pintados: por ello sus referentes no tienen por qué estar dados empíricamente. 27 · josé ferreirós · puntos, descendemos a geometrías más intuitivas, como las de Euclides y Lobachevskii (y la geometría «elíptica» de Riemann); finalmente, el caso límite en que la curvatura es constante e igual a cero es el caso euclidiano, en el que las geodésicas son las líneas rectas de nuestra intuición. La dialéctica entre lo local y lo global, que pasaría a desempeñar un papel central en el pensamiento matemático desde entonces, fue un asunto central para Riemann —quizá el primer matemático que dio este paso—. No pudiendo adentrarnos aquí en este fascinante tema, remitimos al lector a la edición castellana de las obras selectas de Riemann (2000)19. Por otro lado, el problema de lo local o lo infinitamente pequeño era asunto candente en el XIX, ya que el núcleo de las matemáticas lo constituía el análisis (real y complejo) que se elabora sobre el cálculo infinitesimal, y en el centro de las teorías físicas estaban leyes diferenciales20. Riemann de nuevo lo vio muy claro, llegando a decir que «las leyes verdaderamente elementales solo pueden ocurrir en lo infinitamente pequeño, solo para puntos del espacio y el tiempo» (citado en Ferreirós 2000, LVII). Pues bien, a escala atómica pierden su validez «el concepto de cuerpo sólido y el de rayo de luz» en los que basamos las determinaciones métricas y geométricas usuales, por lo cual la geometría adecuada a lo «infinitamente pequeño» bien podría no ser euclidiana. Y así lo deberíamos suponer «tan pronto como esto permitiera explicar los fenómenos de manera más simple» (Riemann 2000, 16). La cuestión era del máximo interés para la teoría física del momento, ya que en las décadas centrales del XIX se realizaban grandes esfuerzos por encontrar una teoría correcta del electromagnetismo. Esta teoría, asociada al nombre de Maxwell, fue el mayor avance en la física entre Newton y las teorías cuánticas del siglo XX. En este campo se dio una intrincada dialéctica entre las exigencias de inteligibilidad y la explotación de la nueva libertad teórica implícita en la concepción pictórico-abstracta de los modelos (libertad explicitada en las herramientas matemáticas del nuevo análisis). También Riemann, como Faraday antes que él y como Maxwell, realizó una apuesta decidida por las teorías de campo en lugar de las fuerzas de acción a distancia. Se trataba de rechazar algo difícilmente compatible con la intuición física, a saber, «que un cuerpo pueda actuar sobre otro a distancia a través del vacío, 19 20 28 Hay otros muchos títulos que tratan estas cuestiones, entre los cuales, por ejemplo, está el atractivo libro La poesía del universo, de Robert Osserman (1997). Por ejemplo, ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de ondas, las de Laplace y Hamilton (en mecánica clásica), las ecuaciones electromagnéticas de Ampère y más tarde las de Maxwell, etc.
