Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones

Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado
Aplicaciones de la Forma Normal de Smith de
una Matriz Entera
Rafael Heraclio Villarreal Rodrı́guez
Departmento de Matemáticas
CINVESTAV-IPN, México D.F.
XLV Congreso Nacional Sociedad Matemática Mexicana
Universidad Autónoma de Querétaro
28 de octubre al 2 de noviembre de 2012
Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado
Bosquejo
1
Forma normal de Smith
2
Factores invariantes
3
Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas
4
Grupos abelianos finitamente generados
5
Grado de anillos afı́nes
6
Grado de ideales binomiales asociados a lattices
Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofánticas Grupos abelianos finitamente generado
Sea A una matriz no-cero de orden m × n con entradas en Z y
sea r el rango de A. Esta matriz se escribe como:


a11 · · · a1n

..
.. 
A = (aij ) =  ...
.
. 
am1 · · · amn
Operaciones Elementales
(I) Permutar filas (columnas).
(II) Multiplicar una fila (columna) por −1.
(III) Multiplicar una fila (columna) por un entero y sumar a otra
fila (columna).
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Teorema (Forma normal de Smith)
Usando operaciones elementales la matriz A se puede reducir
a una matriz diagonal:

d1
0

 ..
.

D=
0
0

.
 ..
0
d2
..
.
0
0
0
..
.
0
0
..
.
···
···
..
.
0
0
..
.
0 ···
0 ···
..
..
.
.
0 ···
0 ···
..
..
.
.
dr
0
..
.
0
0
..
.
···
···
0
0 ···
0
0
···
···

0
0

.. 
.

0
 = diag{d1 , . . . , dr , 0, . . . , 0},
0

.. 
.
0
donde di > 0 y di divide a di+1 para toda i.
La matriz D es la forma normal de Smith de A y d1 , . . . , dr
son los factores invariantes de A.
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Demostración
Sea δ(A) = min{|aij | : aij 6= 0, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}.
(1) Podemos suponer que a11 = δ(A).
(2) Si a1k 6= 0 para algún k > 1, por algoritmo de la división
a1k = bk a11 + b1k , donde 0 ≤ |b1k | < a11 .
(3) Multiplicando la primera columna de A por −bk y
sumándola a la columna k obtenemos:


a11 · · · −bk a11 + a1k = b1k · · · a1n

..
..
..
.. 
B =  ...
.
.
.
. 
am1 · · · −bk am1 + amk = bmk
· · · amn
una matriz equivalente B = (bij ) donde b1k = 0 ó bién
b1k 6= 0 y δ(B) ≤ |b1k | < a11 = δ(A). Si b1k = 0, repetimos
este paso con otro elemento no-cero de la primera fila. Si
b1k 6= 0, regresamos al paso (1) con la matriz B.
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(4) Repitiendo este proceso tantas veces como sea necesario
y usando un proceso similar sobre la primera columna
obtenemos una matriz equivalente:


c11 0 · · · 0
 0 c22 · · · c2n 


C= .

..
..
.
 .

.
.
0 cm2 · · · cmn
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(5) Si c11 no divide a algún cij , sumando la fila i a la fila 1
obtenemos


c11 ci2 · · · cin
 0 c22 · · · c2n 


C0 =  .

..
..

 ..
.
.
0
y regresamos al paso (1).
cm2 · · · cmn
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(6) Aplicando pasos (1) a (5) repetidamente obtenemos:


e11 0 · · · 0
 0 e22 · · · e2n 


E = (eij ) =  .

..
..
 ..

.
.
0
em2 · · · emn
donde e11 divide a cualquier entrada eij .
(7) Definimos d1 := e11 y se regresa al paso (1) con la matriz:


e22 · · · e2n
 ..

..

 .
.
em2 · · · emn
2
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Ejemplo
A = (a11 , . . . , a1n ) ∼ D = (mcd{a11 , . . . , a1n }, 0, . . . , 0)
Ejemplo
A = (12, −5) ∼ (−5, 12) ∼ (5, 12) ∼ (5, 2) ∼ (2, 5) ∼ (2, 1)
∼ (1, 2) ∼ (1, 0) = D.
1 0
0 1
0 1
−2 5
I2 =
→
→
→ ··· →
=Q
0 1
1 0
−1 0
−5 12
−2 5
AQ = (12, −5)
= (1, 0) = D
−5 12
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Ejemplo
5 0 1
1 2 3
1
0
0
A=
∼
∼
1 −2 3
5 0 1
5 −10 −14
1
0
0
1 0 0
1 0 0
∼
∼
∼
0 −10 −14
0 10 14
0 10 4
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
∼
∼
∼
∼
=D
0 4 10
0 4 2
0 2 4
0 2 0
1 0
0 1
0 1
I2 =
→
→ ··· →
=P
0 1
1 0
−1 5






1 0 0
1 0 0
1 0 −1
I3 = 0 1 0 → 0 −1 0 → · · · → 0 −3 7  = Q
0 0 1
0 0 1
0 −2 5
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A
op.elem. fila
−→
B
⇒ B = EA
In
PAQ =
op.elem. fila
−→
E


1 0 −1
1 0 0
0 1 5 0 1 
0 −3 7  =
=D
0 2 0
−1 5 1 −2 3
0 −2 5
Corolario
Existen matrices enteras invertibles P y Q tales que
PAQ = diag{d1 , . . . , dr , 0, . . . , 0},
di > 0 para 1 ≤ i ≤ r y di divide a di+1 para 1 ≤ i ≤ r − 1.
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Considere el sistema de ecuaciones lineales
Ax = b,
(∗)
donde b = (b1 , . . . , bm )t es un vector entero y x = (x1 , . . . , xn )t .
¿Como se determinan las soluciones enteras de este sistema?
Puesto que PAQ = D, el sistema Ax = b se re-escribe como
(P −1 D)(Q −1 x) = b ⇒ Dy = Pb, donde Q −1 x = y
Por tanto para determinar las soluciones enteras del sistema
Ax = b es suficiente resolver el sistema
Dy = Pb
y hacer x = Qy.
(∗∗)
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Ejemplo
Determinar las soluciones enteras de la ecuación
12x1 − 5x2 = 7
Este sistema se puede escribir como Ax = b, donde
A = (12, −5), x = (x1 , x2 )t , y b = (7)
Recordar que PAQ = D, donde
−2 5
P = (1), Q =
, D = (1, 0).
−5 12
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y
Dy = (1, 0) 1 = Pb = (1)(7) = (7)
y2
∴ y1 = 7, y2 ∈ Z. De la ecuación
x1
−2 5
y1
x=
= Qy =
x2
−5 12
y2
se obtiene que las soluciones enteras de la ecuación lineal
12x1 − 5x2 = 7 son:
x1 = −14 + 5y2
x2 = −35 + 12y2 , y2 ∈ Z.
Comprobando: Si y2 = 0, se tiene
12(−14) − 5(−35) = −168 + 175 = 7.
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Ejemplo
Determinar las soluciones enteras del sistema
5x1 +
x3 = 1
x1 − 2x2 + 3x3 = −11
Este sistema se puede escribir como Ax = b, donde
5 0 1
1
A=
y b=
1 −2 3
−11
Recordar que PAQ = D, donde
P=


1 0 −1
0 1
1
0
0
, Q = 0 −3 7  , D =
−1 5
0 2 0
0 −2 5
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 
y1
1 0 0  
0 1
1
−11
y2 = Pb =
Dy =
=
0 2 0
−1 5
−11
−56
y3
∴ y1 = −11, y2 = −28, y3 ∈ Z. De la ecuación
 

 
x1
1 0 −1
y1
x = x2  = Qy = 0 −3 7  y2 
x3
0 −2 5
y3
se obtienen las soluciones enteras del sistema Ax = b:
x1 = −11 − y3
x2 = 84 + 7y3
x3 = 56 + 5y3 , y3 ∈ Z.
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∆r (A) = mcd de los r -menores de A.
Teorema (I. Heger)
Sea b ∈ Zm un vector columna tal que rango(A) = rango([A b]).
Entonces, el sistema
Ax = b
tiene una solución entera si y sólo si ∆r (A) = ∆r ([A b]).
Corolario
La ecuación lineal Diofantina
a11 x1 + · · · + a1n xn = b1
tiene solución entera si y sólo si mcd(a11 , . . . , a1n ) divide a b1 .
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Teorema (Grupos abelianos finitamente generados)
Sean a1 , . . . , am las filas de A y sean d1 , . . . , dr los factores
invariantes de A. Entonces
Zn /ha1 , . . . , am i ' Z/(d1 ) × · · · × Z/(dr ) × Zn−r
' Zd1 × · · · × Zdr × Zn−r
Definición
Sean L = ha1 , . . . , am i y M = Zn /L.
La parte de torsión de M es T (M) := Zd1 × · · · × Zdr .
La parte libre de M es F (M) := Zn−r .
Observación
T (M) = (0) ⇔ di = 1 para todo i ⇔ M es libre.
F (M) = 0 ⇔ rango(M) = n ⇔ T (M) = M ⇔ M es grupo finito.
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Corolario
∆r (A) = |T (Zn /L)|.
Demostración: |T (Zn /L)| = d1 · · · dr . Por otra parte PAQ = D y
como ∆r (A) es invariante bajo operaciones elementales,
obtenemos:
∆r (A) = ∆r (PAQ) = ∆r (D) = d1 · · · dr .
Corolario
Si n = m y det(A) 6= 0, entonces
|Zn /L| = | det(A)|.
2
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Teorema
Si a1 , . . . , am son linealmente independientes, entonces
(a) m!vol(conv(0, a1 , . . . , am )) = ∆m (A).
(b) Si n = m, entonces m!vol(conv(0, a1 , . . . , am )) = |det(A)|.
(c) Zn ∩ (R+ a1 + · · · + R+ am ) = Na1 + · · · + Nam ⇔ ∆m (A) = 1.
Ejemplo
(Comprobando (b)): Sea A la matrix identidad, i.e., a1 = (1, 0) y
a2 = (0, 1). Entonces conv(0, a1 , a2 ) es un triángulo rectángulo con
base y altura 1 y con area/volumen igual a 1/2.
(Ilustrando (a) y (c)) Sea A = (12, −5) = (a1 ). Entonces conv(0, a1 )
es un segmento de linea en R2 (que tiene area 0) pero por (a) tenemos
1!vol(conv(0, a1 )) = ∆1 (A) = 1 y por (c) tenemos
Z2 ∩ R+ (12, −5) = N(12, −5).
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Sea S = K [t1 , . . . , tn ] un anillo de polinomios con coeficientes
en un campo K y sea I un ideal de S.
Sea ` ∈ N, sea S≤` el K -espacio vectorial de polinomios de S
de grado ≤ ` y sea I≤` = I ∩ S≤` . La función
HI (`) = dimK (S≤` /I≤` )
es llamada la función de Hilbert de S/I. Esta función es central
en álgebra conmutativa y en geometrı́a algebraica.
Teorema
Existe un único polinomio
hI (x) = λd x d + · · · + λ1 x + λ0
con λi ∈ Q para todo i tal que hI (`) = HI (`) para ` 0.
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Definición
El entero positivo (d!)λd es el grado de S/I y d es la dimensión de
Krull de S/I.
Ejemplo
Sea S = Q[t1 ] y sea I = (0). Entonces:
Q[t1 ]≤i = Q ⊕ Qt1 ⊕ · · · ⊕ Qt1i ⇒ HI (i) = i + 1 ∀ i ⇒
grado(S/I) = grado(S) = 1.
Como ejercicio probar que grado(Q[t1 , . . . , tn ]) = 1.
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Ejemplo
Sea S = Q[t1 ] y sea I = (t1d + · · · + t1 + 1).
Denotamos las clase de t1i en S/I por t1i .
t1d + · · · + t1 + 1 = 0 ⇒ t1i ∈ Q1 ⊕ Qt1 ⊕ · · · ⊕ Qt1d−1 para i ≥ d − 1
Para i ≥ d − 1, se tiene Q[t1 ]≤i /I≤i = Q1 ⊕ Qt1 ⊕ · · · ⊕ Qt1d−1
Por tanto dimQ (Q[t1 ]≤i /I≤i ) = d para i ≥ d − 1 ⇒ grado(S/I) = d.
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Un binomio de S es un polinomio de la forma t b − t c , donde
b, c ∈ Nn , y donde, si b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Nn , definimos
t b = t1b1 · · · tnbn ∈ S.
Un ideal binomial es un ideal generado por binomios.
Dado c = (ci ) ∈ Nn , podemos escribir c = c + − c − , donde c + y
c − son vectores no-negativos.
Definición
Un subgrupo L de Zn es llamado un lattice (enrejado). Un ideal
lattice es un ideal de la forma
+
−
I(L) = ({t c − t c | c ∈ L}) ⊂ S
para algún lattice L ⊂ Zn .
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Teorema
Si D = kerZ (A) y v1 , . . . , vn son las columnas de A, entonces
|T (Zm /hv1 , . . . , vn i)| grado(S/I(D))
= (rango(A)!)vol(conv(0, v2 − v1 , . . . , vn − v1 , −v1 )).
Ejemplo
5 0 1
Sea A =
. Las soluciones enteras del sistema Ax = 0
1 −2 3
son de la forma y3 (−1, 7, 5) con y3 ∈ Z ⇒
D = kerZ (A) = h(−1, 7, 5)i y I(D) = (t1 − t27 t35 )
Como D = diag(1, 2), tenemos
|T (Z2 /hv1 , v2 , v3 i| = |Z2 /h(5, 1), (0, −2), (1, 3)i| = 2.
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Usando el programa Normaliz obtenemos:
(rango(A)!)vol(conv(0, v2 − v1 , . . . , vn − v1 , −v1 )) =
2!vol(conv((0, 0), (−5, −3), (−4, 2), (−5, −1))) = 24.
Por el teorema anterior obtenemos
grado(S/I(D)) = 12.
Lo cual es consistente con la noción intuitiva de grado pues el
polinomio t1 − t27 t35 tiene grado 12.
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Teorema
Sea L un lattice en Zn .
1
Si rango(L) = n y K = Q, entonces
grado(S/I(L)) = |Zn /L|.
2
Si rango(L) = n − 1 y c1 + · · · + cn = 0 para todo
(c1 , . . . , cn ) ∈ L, entonces
grado(S/I(L)) = |T (Zn /L)|.
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FIN