ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010 Regla de Tres 1. CONCEPTO Es un procedimiento aritmético que consiste en determinar el valor desconocido de una magnitud, conocidos otros valores de la misma, como otras magnitudes que guardan con la primera una relación de proporcionalidad. 2. TIPOS 2.1. Regla de tres simple directa Problema 1 Sea A es directamente proporcional a B y además A es a1 cuando B es b 1. Halla el valor de A cuando B es b2. Resolución: A D.P. B Ê D.P. Se cumple: a1 x = b1 b2 x = 720 m2 Se cumple: n m 1.n1 = x.n2 F x = m1× n1 2 Ejercicio 3. El valor de la incógnita se obtiene multiplicando el valor que se encuentra encima de ella multiplicada por la razón de los valores de la otra magnitud colocados en orden diferente (D) al que se presenta en el cuadro. Ejercicio 2 Carlos puede resolver 15 problemas en 2 horas, para resolver 25 problemas, ¿Qué tiempo demorará? Resolución: Cuatro obreros hacen 240 m2 de una obra. Doce obreros igualmente hábiles, ¿cuánto harán de la obra? Resolución: N.o Obreros 4 12 N. o Horas 2 x N. o Problemas 15 25 D 25 10 x=2× = horas 15 3 x = 3 horas 20 minutos. b x = a1× 2 b1 Ejercicio 1 88 12 4 Una cuadrilla de 16 obreros demoran 27 días en terminar una obra. ¿Cuántos días habrían demorado si hubieran trabajado 4 obreros menos? Resolución: 16 – 4 = 12 4 obreros menos N. o Obreros 16 12 Ê N.o Días 27 x I Valores de A Valores de B a1 b1 x b2 D F x = 240 × 2.2. Regla de tres simple inversa Problema 2 Sea M inversamente proporcional a N y cuando M es m1, N es n1. Halla el valor de M cuando N es n2. Resolución: M I.P. N Obra 240 x x = 27 × 16 Þ x = 36 días 12 El valor de la incógnita se obtiene multiplicando el valor que se encuentra encima de ella multiplicada por la razón de los valores de la otra magnitud colocados en igual (I) orden al que se presenta en el cuadro. Ejercicio 4 Una tripulación de 120 hombres tiene víveres para 40 días. Si se reduce a la cuarta parte el número de días de viaje, ¿cuántos hombres más podrán viajar? Resolución: N. o Hombres 120 x Ê Valores de M Valores de N m1 n1 x n2 I N.o Días 40 10 I 40 x = 120 × = 480 10 Podrán viajar 480 –120=360 hombres más ARITMÉTICA 2.2. Regla de tres simple compuesta Problema 3 Dadas varias magnitudes A, B, C, y D ; y sus relaciones de proporcionalidad directa o inversa, además de sus valores correspondientes: a1, b1, c1 y d1, se desea hallar el valor de A cuando los demás valores sean b 2, c2 y d2 Resolución: A B C D a1 b1 c1 d1 x b 2 c2 d 2 D I Ejercicio 6 Quince obreros pueden hacer una obra de 200 m2 en 32 días. ¿Cuántos días necesitarán 8 obreros, doblemente hábiles que los primeros, para hacer 300 m 2 de una obra? Resolución: Ê D I 15 300 1 × × = 45 días 8 200 2 Se indica Ordenar valores Directamente proporcionales D Diferente orden Inversamente proporcionales I Igual orden Ejercicio 5 Doce costureras pueden hacer un tejido en 18 días trabajando 4 horas diarias. ¿Cuánto demorarían 9 costureras trabajando 8 horas diarias, en terminar el tejido? Una fábrica produce normalmente 10000 camisas al mes, con 40 operarios. Al recibir un pedido por 18000 camisas, para entregar en un mes, las operaciones aumentan la producción en un 20% trabajando horas extras. ¿Cuántos operarios más deberá contratar si se sabe que, como son nuevos, su producción es el 80% de los antiguos en jornada normal? a) 15 d) 25 b) 40 e) 30 c) 20 Número días 18 x I.P. Camisas Operarios 10000 40 18000 120%(40)+80%(x) Número horas diarias 4 8 48+0.8x 40 = 18000 10000 I.P. 12 4 × 9 8 (a – b)m = bc m = bc x = am x = abc x = 30 x = 12 días 2. Rpta.: d 3. Si 10 obreros deben de hacer una obra en 30 días trabajando 6 horas diarias, pero se retiran 8 obreros en el quinto día. ¿Cuántos obreros más con un 50% más de rendimiento se necesitan contratar para terminar la obra en la fecha señalada trabajando 8 horas diarias? a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 Resolución: Resolución: Resolución: Máquinas m m+c 1 I am=b(m+c)= x(1) En I: 1. Comparar magnitudes x = 18 × I.P. D En forma práctica: Número costureras 12 9 1 2 b c d x = a1× 2 × 1 × 2 b1 c2 d1 D b) ab 2c c) abc 2 e) (a+b)c Días a b x Habilidad D.P. x = 32 × a) a2bc d) abc Resolución: Número Obra Número obreros días 15 200 32 8 300 x I.P. entonces el número de días que empleará una máquina para hacer el trabajo es: Rpta.: e Un contratista dice que puede terminar un tramo de una autopista en "a" días si le proporcionan un cierto tipo de máquinas; pero con "c" máquinas adicionales de dicho tipo puede hacer el trabajo en "b" días (a – b = 1). Si el rendimiento de las máquinas es el mismo, Los 3 trabajan normal 5 días 25 días Parte sombreada: Obreros h/d Rendimiento 8 6 2R x 8 3R I I 6 2R x=8× × 8 3R x=4 Rpta.: d 89 ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010 4. Un grupo de 6 alumnos resuelven en 5 horas una tarea consistente en 10 problemas de igual dificultad. La siguiente tarea consiste en resolver 4 problemas cuya dificultad es el doble que la de los anteriores. Si no se presentan dos integrantes del grupo, entonces los restantes alumnos terminarán la tarea en: a) 4h d) 8h b) 6h e) 10h c) 7,5h Alumnos Horas Problemas Dificultad 6 5 10 1 4 x 4 2 I D D 6 4 2 x=5× × × 4 10 1 x = 6h Rpta.: b 5. Una cuadrilla de obreros inician una obra que debe culminarse en "d" días. Al cabo de "a" días la doceava parte de la cuadrilla se retira. ¿Cuántos días más se necesitarán para finalizar la obra? 12 (d – a) 7 1 b) (d – a) 11 7 c) (d – a) 12 1) Una fábrica de conservas con 12 máquinas tiene una producción mensual de 8400 latas. Si dos máquinas se malogran, ¿en cuánto disminuye la producción mensual de latas? a) 7000 d) 1400 Resolución: a) Nivel I 13 (d – a) 11 11 e) (d – a) 12 d) Resolución: 1 de la cuadrilla 12 en d – a días, realizan los 11 de la 12 cuadrilla en x días Lo que iban a hacer Rpta.: b c) 4500 2) Jaimito pintó las caras de un cubo en 40 minutos. Si ahora está pintado otro cubo cuyo lado en cada cara es el triple del anterior, ¿a qué hora terminará si empezó a las 10:40 a.m.? a) 4:40 p.m. b) 2:40 p.m. c) 6:00 a.m. d) 12:40 p.m. e) 6:10 p.m. 3) Si "h" hombres hacen un trabajo en "d" días, ¿con cuántos días de retraso harán el trabajo "h - r" hombres? a) d h-r b) hd d-r c) d h+r d) dr h-r e) dr d+r 4) Una bomba llena un estanque en 12 horas. Cuando el estanque está lleno hasta la cuarta parte se malogra y su rendimiento disminuye en 1/4. ¿Cuánto tiempo en total tardará la bomba para llenar el estanque? a) 15h d) 20h b) 18h e) 21h c) 16h 5) Cien litros de un jarabe contiene 30 kg de azúcar. ¿Cuánto de agua hay que agregar para que se encuentre 2 kg de azúcar en cada 11 litros de jarabe? a) 60 L d) 68 L 90 b) 1500 e) 1800 b) 63 L e) 71 L c) 65 L 6) Un obrero que ha trabajado 30 días, ha hecho 60 m de cierta obra. ¿Cuánto tiempo emplearon 7 obreros para hacer 140 m de otra obra? (La dificultad del primer terreno respecto al segundo es como 2 a 3) a) 10 d) 25 b) 15 e) 30 c) 20 7) Un artesano pensó hacer un trabajo en 6 días, pero tardó 8 días por trabajar 2 horas diarias menos. ¿Cuántas horas diarias trabajó? a) 8 d) 5 b) 7 e) 4 c) 6 8) Si compro 18 claveles me obsequian tres claveles. ¿Cuántos claveles debo comprar si necesito 280 claveles? a) 250 d) 220 b) 240 e) 200 c) 320 9) Doce obreros tenían pensado hacer una obra en 21 días. Luego de seis días tres se retiran por enfermedad y no se les puede reemplazar. ¿Con cuántos días de retrazo se terminó la obra? a) 3 d) 6 b) 4 e) 8 c) 5 10) Dieciocho obreros pueden hacer una obra en 42 días, pero 12 de ellos aumentaron su eficiencia por lo cual la obra se terminó en sólo 36 días. ¿En qué fracción aumentaron su eficiencia dichos obreros? a) 1/3 d) 1/6 b) 1/4 e) 1/8 c) 1/5 ARITMÉTICA 11) Si una cisterna suministra 320 litros de agua diariamente a cada una de las familias que habita en un edificio quedando vacío el depósito a los 100 días. Por arreglos en las tuberías debe hacerse durar el agua de la cisterna 20 días más y además se alojarán en el edificio diez familias más. ¿En cuánto debe reducirse el suministro diario (en litros) para atender esa eventualidad si inicialmente eran 30 familias? a) 90 d) 130 b) 100 e) 150 c) 120 12) Una obra debía terminarse en 30 días empleando 20 obreros y trabajando 8 horas diarias. Después de 12 días de trabajo se pidió que la obra quedase terminada 6 días antes del plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros se aumentaron si se aumentó también 2 horas el trabajo diario? a) 4 d) 20 b) 24 e) 6 c) 44 13) Si 20 peones se demoran 21 días de 5 horas diarias de trabajo en sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, ¿cuántos días de 8 horas diarias de trabajo se demoraran en sembrar un terreno de 40 m de lado y de una dureza 3 veces más que el terreno anterior, 30 peones doblemente hábiles? a) 70 d) 66 b) 72 e) 78 14) Doce obreros pensaban hacer una obra en "n" días. Si ocho obreros aumentaron su rendimiento en 25%, la obra se realizó en "n – 1" días. Halla "n". a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8 15) Quince obreros pueden hacer un pozo en 12 días trabajando 8 horas diarias. ¿Qué tiempo emplearán 18 obreros en hacer otro pozo similar, pero en un terreno del doble de dificultad, si ahora trabajan 10 horas diarias? a) 15 días b) 18 días c) 20 días d) 21 días e) 16 días Nivel II 16) Ocho obreros trabajando con 60% de rendimiento cada uno pueden hacer una obra en 20 días trabajando 8 horas diarias. Después de 5 días de trabajo se retiran cierto número de obreros y los que quedan trabajan 9 horas diarias con un rendimiento de 80% cada uno y aún así terminarán la obra con un día de retraso. ¿Cuántos obreros se retiraron? a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 c) 74 17) Un trabajo puede ser hecho por 12 hombres en 39 días. Si después de 13 días, 4 hombres aumentan su rendimiento en un 25%, ¿en qué tiempo se hizo toda la obra? a) 38 días b) 37 días c) 36 días d) 35 días e) 39 días 18) Veinte obreros y 5 aprendices pueden cavar una zanja de 9 m de largo, 9 m de ancho y 9 m de profundidad en 27 días a razón de 12 horas diarias, siendo la habilidad de los obreros como 5 y la de los aprendices como 3. ¿En cuánto tiempo 10 obreros y 10 aprendices cavarán una zanja de 48 m de largo, 12 m de ancho y 3 m de profundidad, trabajando 9 horas diarias y esforzándose sólo los 2/3 que los primeros? a) 160 días b) 175 días c) 184 días d)196 días e) 200 días 19) Catorce obreros deben construir una vía férrea en 18 días, pero al cabo de cuatro días se incorporan seis obreros con un rendimiento del 50% de los anteriores. Si se quiere terminar la obra tres días antes de lo fijado, a los cuántos días de haber ingresado los seis obreros deben elevar su rendimiento al 100% para terminar la obra. a) 3 d) 8 b) 4 e) 16 c) 6 20) Cua renta y cinco ob reros trabajando 10 horas diarias emplean 12 días para construir una casa. Si después de 4 días se enferman 15 obreros, y ahora los restantes trabajan dos horas diarias más, ¿con cuántos días de retraso se entregará la obra? a) 10 d) 8 b) 14 e) 2 c) 15 21) Un grupo de 36 obreros demoran 45 días en terminar una obra. ¿Cuántos días antes habrían acabado si hubiesen trabajado 18 obreros más? a) 13 d) 16 b) 14 e) 18 c) 15 91 ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010 22) Sara termina un trabajo en 10 días ocupándose en él 6 horas diarias. Sandra, que es igualmente eficiente que Sara, puede acabarlo en 15 días. ¿Cuántas horas diarias se ocupa Sandra en él? a) 2 d) 6 b) 4 e) 10 b) 12 e) 21 b) 45 e) 90 c) 60 25) Cuando Carlos y Andrés salen al cine con sus respectivas enamoradas gastan 80 soles, demorando 4 horas. ¿Cuánto gastarán si deben de llevar a un hermanito de cada enamorada y sólo demoran 2 horas y media? a) S/. 70 d) S/. 80 b) S/. 72 e) S/. 84 b) 6 e) 12 28) Un jardinero desea sembrar en dos terrenos circulares. En el primero demora 40 minutos y en el segundo 1 hora 30 minutos, siendo el radio de este último 2 metros más que el primero. ¿Cuál es el radio del primer terreno? a) 2 m d) 6 m b) 3 m e) 9 m c) 4 m 29) Un dibujante ha establecido correctamente las proporciones en una pintura de manera que en ella un árbol mide 12 cm y un puente 40 cm. ¿Cuál es la longitud real del puente si el árbol mide 15 m? a) 40 m d) 60 m b) 45 m e) 64 m c) 50 m 30) Dos hombres y 3 mujeres realizan el sembrado de un terreno en 24 días, pero 3 hombres y 2 mujeres pueden hacerlo en tres días menos. ¿Cuántas mujeres podrían sembrar dicho terreno en 28 días? a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6 c) 8 a) 30 d) 60 31) Carla necesita 2 horas para terminar su trabajo en una computadora. Félix demora 40 minutos menos, trabajando en una computadora que es el doble de rápida que la que usa Carla. ¿En qué relación se encuentran los rendimientos de Carla y Félix? b) 3/4 e) 1/1 c) 2/3 b) 40 e) 80 c) 50 33) En una guarnición, 24 hombres tienen víveres para 3 raciones diarias durante 15 días. Si se retiran 4 hombres y se sirven 2 raciones diarias, ¿para cuántos días más alcanzarán los víveres? a) 12 d) 18 b) 15 e) 20 c) 17 34) Durante "d" días trabajaron "h" hombres para hacer "n" metros de una obra. Si se retiran la mitad de los hombres, ¿qué tiempo demoran en hacer otra obra cuya longitud es "n" metros mayor? Da la respuesta en días. a) d d) 4d b) 2d e) d/2 c) 3d 35) Veinte obreros se comprometen realizar una obra en 27 días. Después de trabajar 8 días, se retiran 5 obreros y los que quedan duplican su rendimiento. ¿Cuántos días antes entregarán la obra? a) 5 d) 9 Nivel III a) 4/3 d) 3/2 92 c) 7/12 c) S/. 75 26) N obreros pueden hacer una obra en 20 días, pero con 2 obreros más entregarían la obra 4 días antes. Halla N. a) 4 d) 10 b) 1/2 e) 3/4 c) 14 24) Ciento cincuenta obreros pueden hacer una obra de 240 m 2 en 45 días. ¿Cuántos días necesitarán 160 obreros, cuyo rendimiento es la mitad de los primeros, para realizar 256 m 2 de la obra? a) 40 d) 75 a) 5/12 d) 2/3 32) Carlos pensó terminar un trabajo en n días, pero terminó en 4 días menos por trabajar una hora más cada día. Si hubiera trabajado durante n/2 días, habría utilizado 8 horas diarias para acabar el trabajo. Halla n. c) 5 23) Cuatrosastresdebenconfeccionar cierto número de trajes en 2 semanas, trabajando 6 horas diarias. Pero uno de los sastres deja el taller y los demás deciden trabajar 2 horas más. ¿En cuántos días se entregarán los trajes? a) 10 d) 18 27) Un automóvil recorre 24 km en 20 minutos. ¿Qué tiempo empleará en recorrer 42 km? Da respuesta en horas. b) 7 e) 10 c) 8 36) En un determinado distrito, 30 hombres y 20 mujeres pueden cosechar 24 hectáreas de trigo en 36 días. Después de 9 días de trabajo, se retiran 5 hombres y 10 mujeres. ¿En cuántos días más terminarán de cosechar si el trabajo de un hombre equivale al de dos mujeres? a) 30 d) 40 b) 32 e) 45 c) 36 ARITMÉTICA 37) Unmotortrabajadurante10horas al día por 15 días, consumiendo 40 galones de combustible. Si el motor funcionara por 20 días, a razón de 12 horas diarias, ¿qué cantidad de combustible consumirá? halla la respuesta en galones. a) 60 d) 70 b) 64 e) 72 c) 65 38) Un trabajo puede ser ejecutado por 20 mujeres en 30 días o por 15 hombres en 20 días. ¿Cuántas personas deben emplearse, para terminar el trabajo en 25 días, contratando igual número de hombres y de mujeres? a) 10 d) 16 b) 12 e) 20 c) 14 39) Un grupo de 18 obreros cavaron un pozo de 12 metros de profundidad con 2 metros de diámetro en 15 días, trabajando 4 horas diarias. Si se quiere cavar otro pozo de 10 metros de profundidad y de 4 m de diámetro, ¿en cuántos días otros 30 obreros podrán acabarlo trabajando 6 horas diarias? a) 12 d) 20 b) 15 e) 24 c) 18 40) Para hacer un trabajo en 4 días se hizo del modo siguiente: el primer día trabajó un solo obrero; el segundo día dos obreros, 3 el tercero y 4 el cuarto día. Si se hubiera trabajado diariamente con 2 obreros, ¿en cuántos días más acabarían la misma obra? a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 41) Un reservorio suministra 600 litros de agua por 8 días a 12 familias que habitan en un edificio. ¿Por cuántos días podrá abastecer a 16 familias con 900 litros? a) 7 d) 10 b) 8 e) 12 b) 12 e) 20 c) 15 43) Una cuadrilla de 45 obreros puede hacer una obra en 24 días; en los 8 primeros días trabajó 1/5 del total de obreros. Para terminar la obra en el plazo fijado trabajaron todos los obreros y se contrataron "n" obreros más. Halla n. a) 12 d) 20 b) 16 e) 24 c) 18 44) Una obra debió de ser terminada en 60 días trabajando 10 obreros a razón de 5 horas diarias. Después de 12 días de empezada la obra, se reduce en una hora el trabajo diario y debe terminarse 8 días antes del plazo fijado. ¿Cuántos obreros más se tuvo que contratar? a) 3 d) 6 b) 4 e) 10 a) del sexto día b) del séptimo día c) del octavo día d) del noveno día e) del quinto día c) 9 42) Para realizar una obra se puede elegir entre dos cuadrillas, la primera de 40 obreros que pueden terminar la obra en 15 días o la segunda de 30 obreros que puede terminar en 18 días. Si se emplean 30 obreros de la primera y 18 obreros de la segunda, ¿en cuantos días terminarían la obra? a) 10 d) 18 45) Quince obreros deben terminar una obra en 10 días, pero el primer día se ausentó un obrero, el segundo día faltaron 2, el tercero 3 y el cuarto día 4. Si a partir del quinto día trabajaron todos los obreros, ¿a partir de qué día debe de contratarce 2 obreros más para entregar la obra en el plazo fijado? 46) En una fundición, de cada 450 kg de un mineral se obtiene 1,2 kg de un elemento A. ¿Cuánto del mineral se debe de obtener para que resulte 2 kg del elemento A? a) 750 kg b) 700 kg c) 720 kg d) 780 kg e) 800 kg 47) Un jardinero A puede sembrar un jardín en 6 horas. ¿Qué tiempo demora otro jardinero B, doblemente hábil que el primero, en sembrar el mismo jardín? a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 6 horas 48) Un equipo de 124 obreros construyen una carretera y realizan 90 km de ella. Con 31 obreros más, igualmente hábiles a los primeros, ¿qué longitud de la carretera habrían hecho en el mismo tiempo? a)112,5 km b)122,5 km c)120 km d)105 km e)117,5 km c) 5 93 ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010 49) Víctortarda80minutosenresolver 18 problemas de aritmética. ¿Qué tiempo demorará en un examen de 45 problemas? a) 3h 20min b) 3h c) 3h 12min d) 4h e) 4h 15 min 50) En una granja, se requiere 42 kg de alimento para 910 aves. Si se venden 260 aves, ¿qué cantidad de alimento se necesitará para las aves que quedan? a) 24 kg d) 32 kg 1) En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Si retiran 6 obreros, ¿cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra? a) 36 b) 12 c) 48 d) 24 e) 15 c) 30 kg 2) Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días, con 10 obreros 4 veces más rápidos que los anteriores, ¿en cuántos días harán una obra 9 veces más difícil que la anterior? a) 25 b) 31 c) 28 3) Un grupo de obreros pueden hacer una obra en 4 meses. Si con 108 obreros más lo harían en 40 días, ¿cuántos obreros hubieron al principio? a) 44 b) 45 c) 54 b) 28 kg e) 36 kg d) 52 e) 58 4) Para hacer un cubo compacto de 6 cm de arista se ha utilizado 24 horas. ¿Qué parte de un cubo del doble de arista se habrá construido en 32 horas? a) 1/5 b) 1/6 c) 1/7 5) Un buey sujeto a un poste por medio de una cuerda de 6 m de longitud demora 1 hora y media en comer la hierba que está a su alcance. ¿Cuánto hubiera demorado si la cuerda tuviera 8 m de longitud? a) 2h 21 min b) 2h 40 min c) 2h 20 min 94 d) 32 e) 24 d) 1h 41 min e) 2h 47 min d) 1/4 e) 1/8