Sem 3 - Regla de tres.indd

ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010
Regla de Tres
1. CONCEPTO
Es un procedimiento aritmético
que consiste en determinar el valor
desconocido de una magnitud, conocidos
otros valores de la misma, como otras
magnitudes que guardan con la primera
una relación de proporcionalidad.
2. TIPOS
2.1. Regla de tres simple
directa
Problema 1
Sea A es directamente proporcional a B
y además A es a1 cuando B es b 1. Halla
el valor de A cuando B es b2.
Resolución:
A D.P. B
Ê
D.P.
Se cumple:
a1 x
=
b1 b2
x = 720 m2
Se cumple:
n
m 1.n1 = x.n2 F x = m1× n1
2
Ejercicio 3.
El valor de la incógnita se obtiene
multiplicando el valor que se encuentra
encima de ella multiplicada por la razón de
los valores de la otra magnitud colocados
en orden diferente (D) al que se presenta
en el cuadro.
Ejercicio 2
Carlos puede resolver 15 problemas en
2 horas, para resolver 25 problemas,
¿Qué tiempo demorará?
Resolución:
Cuatro obreros hacen 240 m2 de una
obra. Doce obreros igualmente hábiles,
¿cuánto harán de la obra?
Resolución:
N.o Obreros
4
12
N. o Horas
2
x
N. o Problemas
15
25
D
25 10
x=2× =
horas
15 3
x = 3 horas 20 minutos.
b
x = a1× 2
b1
Ejercicio 1
88
12
4
Una cuadrilla de 16 obreros demoran
27 días en terminar una obra. ¿Cuántos
días habrían demorado si hubieran
trabajado 4 obreros menos?
Resolución:
16 – 4 = 12
4 obreros menos
N. o Obreros
16
12
Ê
N.o Días
27
x
I
Valores de A Valores de B
a1
b1
x
b2
D
F x = 240 ×
2.2. Regla de tres simple
inversa
Problema 2
Sea M inversamente proporcional a
N y cuando M es m1, N es n1. Halla el
valor de M cuando N es n2.
Resolución:
M I.P. N
Obra
240
x
x = 27 ×
16
Þ x = 36 días
12
El valor de la incógnita se obtiene
multiplicando el valor que se encuentra
encima de ella multiplicada por la razón de
los valores de la otra magnitud colocados
en igual (I) orden al que se presenta en
el cuadro.
Ejercicio 4
Una tripulación de 120 hombres tiene
víveres para 40 días. Si se reduce a la
cuarta parte el número de días de viaje,
¿cuántos hombres más podrán viajar?
Resolución:
N. o Hombres
120
x
Ê
Valores de M Valores de N
m1
n1
x
n2
I
N.o Días
40
10
I
40
x = 120 × = 480
10
Podrán viajar 480 –120=360 hombres más
ARITMÉTICA
2.2. Regla de tres simple
compuesta
Problema 3
Dadas varias magnitudes A, B, C, y D
; y sus relaciones de proporcionalidad
directa o inversa, además de sus valores
correspondientes: a1, b1, c1 y d1, se desea
hallar el valor de A cuando los demás
valores sean b 2, c2 y d2
Resolución:
A B C D
a1 b1 c1 d1
x b 2 c2 d 2
D I
Ejercicio 6
Quince obreros pueden hacer una
obra de 200 m2 en 32 días. ¿Cuántos
días necesitarán 8 obreros, doblemente
hábiles que los primeros, para hacer 300
m 2 de una obra?
Resolución:
Ê
D
I
15 300 1
×
× = 45 días
8 200 2
Se indica
Ordenar
valores
Directamente
proporcionales
D
Diferente
orden
Inversamente
proporcionales
I
Igual
orden
Ejercicio 5
Doce costureras pueden hacer un tejido
en 18 días trabajando 4 horas diarias.
¿Cuánto demorarían 9 costureras
trabajando 8 horas diarias, en terminar
el tejido?
Una fábrica produce normalmente
10000 camisas al mes, con 40
operarios. Al recibir un pedido por
18000 camisas, para entregar en un
mes, las operaciones aumentan la
producción en un 20% trabajando
horas extras. ¿Cuántos operarios
más deberá contratar si se sabe que,
como son nuevos, su producción es
el 80% de los antiguos en jornada
normal?
a) 15
d) 25
b) 40
e) 30
c) 20
Número
días
18
x
I.P.
Camisas Operarios
10000
40
18000 120%(40)+80%(x)
Número
horas diarias
4
8
48+0.8x
40
=
18000
10000
I.P.
12 4
×
9 8
(a – b)m = bc
m = bc
x = am
x = abc
x = 30
x = 12 días
2.
Rpta.: d
3. Si 10 obreros deben de hacer
una obra en 30 días trabajando
6 horas diarias, pero se retiran 8
obreros en el quinto día. ¿Cuántos
obreros más con un 50% más de
rendimiento se necesitan contratar
para terminar la obra en la fecha
señalada trabajando 8 horas
diarias?
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Máquinas
m
m+c
1
I
am=b(m+c)= x(1)
En I:
1.
Comparar
magnitudes
x = 18 ×
I.P.
D
En forma práctica:
Número
costureras
12
9
1
2
b
c d
x = a1× 2 × 1 × 2
b1 c2 d1
D
b) ab 2c
c) abc 2
e) (a+b)c
Días
a
b
x
Habilidad
D.P.
x = 32 ×
a) a2bc
d) abc
Resolución:
Número Obra Número
obreros
días
15
200
32
8
300
x
I.P.
entonces el número de días que
empleará una máquina para hacer
el trabajo es:
Rpta.: e
Un contratista dice que puede
terminar un tramo de una autopista
en "a" días si le proporcionan un
cierto tipo de máquinas; pero con
"c" máquinas adicionales de dicho
tipo puede hacer el trabajo en "b"
días (a – b = 1). Si el rendimiento
de las máquinas es el mismo,
Los 3 trabajan normal
5 días
25 días
Parte sombreada:
Obreros h/d Rendimiento
8
6
2R
x
8
3R
I
I
6 2R
x=8× ×
8 3R
x=4
Rpta.: d
89
ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010
4. Un grupo de 6 alumnos resuelven
en 5 horas una tarea consistente en
10 problemas de igual dificultad. La
siguiente tarea consiste en resolver
4 problemas cuya dificultad es el
doble que la de los anteriores. Si
no se presentan dos integrantes
del grupo, entonces los restantes
alumnos terminarán la tarea en:
a) 4h
d) 8h
b) 6h
e) 10h
c) 7,5h
Alumnos Horas Problemas Dificultad
6
5
10
1
4
x
4
2
I
D
D
6
4 2
x=5× × ×
4 10 1
x = 6h
Rpta.: b
5. Una cuadrilla de obreros inician
una obra que debe culminarse
en "d" días. Al cabo de "a" días
la doceava parte de la cuadrilla
se retira. ¿Cuántos días más se
necesitarán para finalizar la obra?
12
(d – a)
7
1
b) (d – a)
11
7
c)
(d – a)
12
1) Una fábrica de conservas con 12
máquinas tiene una producción
mensual de 8400 latas. Si dos
máquinas se malogran, ¿en
cuánto disminuye la producción
mensual de latas?
a) 7000
d) 1400
Resolución:
a)
Nivel I
13
(d – a)
11
11
e) (d – a)
12
d)
Resolución:
1
de la cuadrilla
12
en d – a días, realizan los 11 de la
12
cuadrilla en x días
Lo que iban a hacer
Rpta.: b
c) 4500
2) Jaimito pintó las caras de un cubo
en 40 minutos. Si ahora está
pintado otro cubo cuyo lado en
cada cara es el triple del anterior,
¿a qué hora terminará si empezó
a las 10:40 a.m.?
a) 4:40 p.m.
b) 2:40 p.m.
c) 6:00 a.m.
d) 12:40 p.m.
e) 6:10 p.m.
3) Si "h" hombres hacen un trabajo
en "d" días, ¿con cuántos días de
retraso harán el trabajo "h - r"
hombres?
a) d
h-r
b) hd
d-r
c) d
h+r
d) dr
h-r
e) dr
d+r
4) Una bomba llena un estanque
en 12 horas. Cuando el estanque
está lleno hasta la cuarta parte
se malogra y su rendimiento
disminuye en 1/4. ¿Cuánto tiempo
en total tardará la bomba para
llenar el estanque?
a) 15h
d) 20h
b) 18h
e) 21h
c) 16h
5) Cien litros de un jarabe contiene
30 kg de azúcar. ¿Cuánto de
agua hay que agregar para que
se encuentre 2 kg de azúcar en
cada 11 litros de jarabe?
a) 60 L
d) 68 L
90
b) 1500
e) 1800
b) 63 L
e) 71 L
c) 65 L
6) Un obrero que ha trabajado 30
días, ha hecho 60 m de cierta
obra. ¿Cuánto tiempo emplearon
7 obreros para hacer 140 m de otra
obra? (La dificultad del primer
terreno respecto al segundo es
como 2 a 3)
a) 10
d) 25
b) 15
e) 30
c) 20
7) Un artesano pensó hacer un
trabajo en 6 días, pero tardó 8
días por trabajar 2 horas diarias
menos. ¿Cuántas horas diarias
trabajó?
a) 8
d) 5
b) 7
e) 4
c) 6
8) Si compro 18 claveles me
obsequian tres claveles. ¿Cuántos
claveles debo comprar si necesito
280 claveles?
a) 250
d) 220
b) 240
e) 200
c) 320
9) Doce obreros tenían pensado
hacer una obra en 21 días. Luego
de seis días tres se retiran por
enfermedad y no se les puede
reemplazar. ¿Con cuántos días
de retrazo se terminó la obra?
a) 3
d) 6
b) 4
e) 8
c) 5
10) Dieciocho obreros pueden hacer
una obra en 42 días, pero 12 de
ellos aumentaron su eficiencia
por lo cual la obra se terminó en
sólo 36 días. ¿En qué fracción
aumentaron su eficiencia dichos
obreros?
a) 1/3
d) 1/6
b) 1/4
e) 1/8
c) 1/5
ARITMÉTICA
11) Si una cisterna suministra 320
litros de agua diariamente a
cada una de las familias que
habita en un edificio quedando
vacío el depósito a los 100 días.
Por arreglos en las tuberías debe
hacerse durar el agua de la
cisterna 20 días más y además
se alojarán en el edificio diez
familias más. ¿En cuánto debe
reducirse el suministro diario
(en litros) para atender esa
eventualidad si inicialmente eran
30 familias?
a) 90
d) 130
b) 100
e) 150
c) 120
12) Una obra debía terminarse en
30 días empleando 20 obreros
y trabajando 8 horas diarias.
Después de 12 días de trabajo
se pidió que la obra quedase
terminada 6 días antes del plazo
y así se hizo. ¿Cuántos obreros
se aumentaron si se aumentó
también 2 horas el trabajo
diario?
a) 4
d) 20
b) 24
e) 6
c) 44
13) Si 20 peones se demoran 21 días
de 5 horas diarias de trabajo en
sembrar un terreno cuadrado
de 20 m de lado, ¿cuántos días
de 8 horas diarias de trabajo se
demoraran en sembrar un terreno
de 40 m de lado y de una dureza 3
veces más que el terreno anterior,
30 peones doblemente hábiles?
a) 70
d) 66
b) 72
e) 78
14) Doce obreros pensaban hacer una
obra en "n" días. Si ocho obreros
aumentaron su rendimiento en
25%, la obra se realizó en "n – 1"
días. Halla "n".
a) 6
d) 9
b) 7
e) 10
c) 8
15) Quince obreros pueden hacer
un pozo en 12 días trabajando
8 horas diarias. ¿Qué tiempo
emplearán 18 obreros en hacer
otro pozo similar, pero en un
terreno del doble de dificultad, si
ahora trabajan 10 horas diarias?
a) 15 días b) 18 días c) 20 días
d) 21 días e) 16 días
Nivel II
16) Ocho obreros trabajando con
60% de rendimiento cada uno
pueden hacer una obra en 20
días trabajando 8 horas diarias.
Después de 5 días de trabajo se
retiran cierto número de obreros
y los que quedan trabajan 9
horas diarias con un rendimiento
de 80% cada uno y aún así
terminarán la obra con un día
de retraso. ¿Cuántos obreros se
retiraron?
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
c) 4
c) 74
17) Un trabajo puede ser hecho
por 12 hombres en 39 días. Si
después de 13 días, 4 hombres
aumentan su rendimiento en un
25%, ¿en qué tiempo se hizo toda
la obra?
a) 38 días b) 37 días c) 36 días
d) 35 días e) 39 días
18) Veinte obreros y 5 aprendices
pueden cavar una zanja de 9 m
de largo, 9 m de ancho y 9 m de
profundidad en 27 días a razón
de 12 horas diarias, siendo la
habilidad de los obreros como 5 y
la de los aprendices como 3. ¿En
cuánto tiempo 10 obreros y 10
aprendices cavarán una zanja de
48 m de largo, 12 m de ancho y 3
m de profundidad, trabajando 9
horas diarias y esforzándose sólo
los 2/3 que los primeros?
a) 160 días b) 175 días c) 184 días
d)196 días e) 200 días
19) Catorce obreros deben construir
una vía férrea en 18 días, pero al
cabo de cuatro días se incorporan
seis obreros con un rendimiento
del 50% de los anteriores. Si
se quiere terminar la obra tres
días antes de lo fijado, a los
cuántos días de haber ingresado
los seis obreros deben elevar
su rendimiento al 100% para
terminar la obra.
a) 3
d) 8
b) 4
e) 16
c) 6
20) Cua renta y cinco ob reros
trabajando 10 horas diarias
emplean 12 días para construir
una casa. Si después de 4 días
se enferman 15 obreros, y ahora
los restantes trabajan dos horas
diarias más, ¿con cuántos días de
retraso se entregará la obra?
a) 10
d) 8
b) 14
e) 2
c) 15
21) Un grupo de 36 obreros demoran
45 días en terminar una obra.
¿Cuántos días antes habrían
acabado si hubiesen trabajado
18 obreros más?
a) 13
d) 16
b) 14
e) 18
c) 15
91
ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010
22) Sara termina un trabajo en 10
días ocupándose en él 6 horas
diarias. Sandra, que es igualmente
eficiente que Sara, puede acabarlo
en 15 días. ¿Cuántas horas diarias
se ocupa Sandra en él?
a) 2
d) 6
b) 4
e) 10
b) 12
e) 21
b) 45
e) 90
c) 60
25) Cuando Carlos y Andrés salen
al cine con sus respectivas
enamoradas gastan 80 soles,
demorando 4 horas. ¿Cuánto
gastarán si deben de llevar a un
hermanito de cada enamorada y
sólo demoran 2 horas y media?
a) S/. 70
d) S/. 80
b) S/. 72
e) S/. 84
b) 6
e) 12
28) Un jardinero desea sembrar en
dos terrenos circulares. En el
primero demora 40 minutos y en
el segundo 1 hora 30 minutos,
siendo el radio de este último 2
metros más que el primero. ¿Cuál
es el radio del primer terreno?
a) 2 m
d) 6 m
b) 3 m
e) 9 m
c) 4 m
29) Un dibujante ha establecido
correctamente las proporciones
en una pintura de manera que
en ella un árbol mide 12 cm y
un puente 40 cm. ¿Cuál es la
longitud real del puente si el
árbol mide 15 m?
a) 40 m
d) 60 m
b) 45 m
e) 64 m
c) 50 m
30) Dos hombres y 3 mujeres realizan
el sembrado de un terreno en
24 días, pero 3 hombres y 2
mujeres pueden hacerlo en tres
días menos. ¿Cuántas mujeres
podrían sembrar dicho terreno
en 28 días?
a) 4
d) 7
b) 5
e) 8
c) 6
c) 8
a) 30
d) 60
31) Carla necesita 2 horas para
terminar su trabajo en una
computadora. Félix demora 40
minutos menos, trabajando en
una computadora que es el doble
de rápida que la que usa Carla.
¿En qué relación se encuentran
los rendimientos de Carla y
Félix?
b) 3/4
e) 1/1
c) 2/3
b) 40
e) 80
c) 50
33) En una guarnición, 24 hombres
tienen víveres para 3 raciones
diarias durante 15 días. Si se
retiran 4 hombres y se sirven 2
raciones diarias, ¿para cuántos
días más alcanzarán los víveres?
a) 12
d) 18
b) 15
e) 20
c) 17
34) Durante "d" días trabajaron "h"
hombres para hacer "n" metros
de una obra. Si se retiran la mitad
de los hombres, ¿qué tiempo
demoran en hacer otra obra cuya
longitud es "n" metros mayor? Da
la respuesta en días.
a) d
d) 4d
b) 2d
e) d/2
c) 3d
35) Veinte obreros se comprometen
realizar una obra en 27 días.
Después de trabajar 8 días,
se retiran 5 obreros y los que
quedan duplican su rendimiento.
¿Cuántos días antes entregarán
la obra?
a) 5
d) 9
Nivel III
a) 4/3
d) 3/2
92
c) 7/12
c) S/. 75
26) N obreros pueden hacer una obra
en 20 días, pero con 2 obreros
más entregarían la obra 4 días
antes. Halla N.
a) 4
d) 10
b) 1/2
e) 3/4
c) 14
24) Ciento cincuenta obreros pueden
hacer una obra de 240 m 2 en 45
días. ¿Cuántos días necesitarán
160 obreros, cuyo rendimiento
es la mitad de los primeros, para
realizar 256 m 2 de la obra?
a) 40
d) 75
a) 5/12
d) 2/3
32) Carlos pensó terminar un trabajo
en n días, pero terminó en 4 días
menos por trabajar una hora más
cada día. Si hubiera trabajado
durante n/2 días, habría utilizado
8 horas diarias para acabar el
trabajo. Halla n.
c) 5
23) Cuatrosastresdebenconfeccionar
cierto número de trajes en 2
semanas, trabajando 6 horas
diarias. Pero uno de los sastres
deja el taller y los demás deciden
trabajar 2 horas más. ¿En cuántos
días se entregarán los trajes?
a) 10
d) 18
27) Un automóvil recorre 24 km
en 20 minutos. ¿Qué tiempo
empleará en recorrer 42 km? Da
respuesta en horas.
b) 7
e) 10
c) 8
36) En un determinado distrito, 30
hombres y 20 mujeres pueden
cosechar 24 hectáreas de trigo
en 36 días. Después de 9 días
de trabajo, se retiran 5 hombres
y 10 mujeres. ¿En cuántos días
más terminarán de cosechar si el
trabajo de un hombre equivale al
de dos mujeres?
a) 30
d) 40
b) 32
e) 45
c) 36
ARITMÉTICA
37) Unmotortrabajadurante10horas
al día por 15 días, consumiendo
40 galones de combustible. Si el
motor funcionara por 20 días,
a razón de 12 horas diarias,
¿qué cantidad de combustible
consumirá? halla la respuesta en
galones.
a) 60
d) 70
b) 64
e) 72
c) 65
38) Un trabajo puede ser ejecutado
por 20 mujeres en 30 días o por
15 hombres en 20 días. ¿Cuántas
personas deben emplearse, para
terminar el trabajo en 25 días,
contratando igual número de
hombres y de mujeres?
a) 10
d) 16
b) 12
e) 20
c) 14
39) Un grupo de 18 obreros cavaron
un pozo de 12 metros de
profundidad con 2 metros de
diámetro en 15 días, trabajando
4 horas diarias. Si se quiere
cavar otro pozo de 10 metros
de profundidad y de 4 m de
diámetro, ¿en cuántos días otros
30 obreros podrán acabarlo
trabajando 6 horas diarias?
a) 12
d) 20
b) 15
e) 24
c) 18
40) Para hacer un trabajo en 4 días
se hizo del modo siguiente: el
primer día trabajó un solo obrero;
el segundo día dos obreros, 3 el
tercero y 4 el cuarto día. Si se
hubiera trabajado diariamente
con 2 obreros, ¿en cuántos días
más acabarían la misma obra?
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
41) Un reservorio suministra 600
litros de agua por 8 días a 12
familias que habitan en un
edificio. ¿Por cuántos días podrá
abastecer a 16 familias con 900
litros?
a) 7
d) 10
b) 8
e) 12
b) 12
e) 20
c) 15
43) Una cuadrilla de 45 obreros
puede hacer una obra en 24 días;
en los 8 primeros días trabajó
1/5 del total de obreros. Para
terminar la obra en el plazo fijado
trabajaron todos los obreros y
se contrataron "n" obreros más.
Halla n.
a) 12
d) 20
b) 16
e) 24
c) 18
44) Una obra debió de ser terminada
en 60 días trabajando 10 obreros
a razón de 5 horas diarias.
Después de 12 días de empezada
la obra, se reduce en una hora el
trabajo diario y debe terminarse
8 días antes del plazo fijado.
¿Cuántos obreros más se tuvo
que contratar?
a) 3
d) 6
b) 4
e) 10
a) del sexto día
b) del séptimo día
c) del octavo día
d) del noveno día
e) del quinto día
c) 9
42) Para realizar una obra se puede
elegir entre dos cuadrillas, la
primera de 40 obreros que pueden
terminar la obra en 15 días o
la segunda de 30 obreros que
puede terminar en 18 días. Si se
emplean 30 obreros de la primera
y 18 obreros de la segunda,
¿en cuantos días terminarían la
obra?
a) 10
d) 18
45) Quince obreros deben terminar
una obra en 10 días, pero el
primer día se ausentó un obrero,
el segundo día faltaron 2, el
tercero 3 y el cuarto día 4. Si a
partir del quinto día trabajaron
todos los obreros, ¿a partir de qué
día debe de contratarce 2 obreros
más para entregar la obra en el
plazo fijado?
46) En una fundición, de cada 450 kg
de un mineral se obtiene 1,2 kg
de un elemento A. ¿Cuánto del
mineral se debe de obtener para
que resulte 2 kg del elemento
A?
a) 750 kg b) 700 kg c) 720 kg
d) 780 kg e) 800 kg
47) Un jardinero A puede sembrar
un jardín en 6 horas. ¿Qué
tiempo demora otro jardinero B,
doblemente hábil que el primero,
en sembrar el mismo jardín?
a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas
d) 5 horas e) 6 horas
48) Un equipo de 124 obreros
construyen una carretera y
realizan 90 km de ella. Con 31
obreros más, igualmente hábiles
a los primeros, ¿qué longitud de
la carretera habrían hecho en el
mismo tiempo?
a)112,5 km b)122,5 km c)120 km
d)105 km e)117,5 km
c) 5
93
ACTUALIZACIÓN DOCENTE 2010
49) Víctortarda80minutosenresolver
18 problemas de aritmética. ¿Qué
tiempo demorará en un examen
de 45 problemas?
a) 3h 20min
b) 3h
c) 3h 12min
d) 4h
e) 4h 15 min
50) En una granja, se requiere 42 kg
de alimento para 910 aves. Si se
venden 260 aves, ¿qué cantidad
de alimento se necesitará para las
aves que quedan?
a) 24 kg
d) 32 kg
1) En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3
partes de una obra. Si retiran 6 obreros,
¿cuántos días demorarán los obreros
restantes para terminar la obra?
a) 36
b) 12
c) 48
d) 24
e) 15
c) 30 kg
2) Con 8 obreros se puede hacer una obra
en 20 días, con 10 obreros 4 veces más
rápidos que los anteriores, ¿en cuántos días
harán una obra 9 veces más difícil que la
anterior?
a) 25
b) 31
c) 28
3) Un grupo de obreros pueden hacer una
obra en 4 meses. Si con 108 obreros más
lo harían en 40 días, ¿cuántos obreros
hubieron al principio?
a) 44
b) 45
c) 54
b) 28 kg
e) 36 kg
d) 52
e) 58
4) Para hacer un cubo compacto de 6 cm de
arista se ha utilizado 24 horas. ¿Qué parte
de un cubo del doble de arista se habrá
construido en 32 horas?
a) 1/5
b) 1/6
c) 1/7
5) Un buey sujeto a un poste por medio de una
cuerda de 6 m de longitud demora 1 hora
y media en comer la hierba que está a su
alcance. ¿Cuánto hubiera demorado si la
cuerda tuviera 8 m de longitud?
a) 2h 21 min
b) 2h 40 min
c) 2h 20 min
94
d) 32
e) 24
d) 1h 41 min
e) 2h 47 min
d) 1/4
e) 1/8