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FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
30 mayo 2006
Tema 1
Apellido y nombres: ...........................................................................
Corrigió:……………………………………… Revisó:…………………………………
La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) Dadas las rectas :
 3x − y + z = 2
r2 : ( x, y , z ) = (1,−1,2) + λ (0,1,−1)
r1 : 
− x − z + k = 0
a) Determine k ∈ ℜ para que las rectas sean coplanares.
b) Encuentre la proyección de (1, 0 , 2) sobre el plano que contiene a ambas
rectas, siendo k = 1
2) Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
( justifique su respuesta demostrando la proposición en caso de ser verdadera o
exhibiendo un contraejemplo si es falsa)
A ∈ ℜ 4 x 4 inversible ⇒ ∃ B −1 ∈ ℜ 4 x 4 , siendo
B = ( A2 − A3 , 2 A3 , A4 , A1 + A2 ) , con Ai i-ésima columna de la matriz A
a) Siendo
A , B∈ ℜn x n
b) Si
/
A
es ortogonal y
B = 1 ⇒ A3 + A 2 = A.B + B
nota: A es ortogonal ⇔ A. A = I
T
3) Sea
S ∈ (ℜ 2 x 2 , + , ℜ , ⋅ ) .
Halle el subespacio generado por
 0 2  1 1  , obteniendo su expresión analítica


S = 
 1 1  − 1 0 
T : ℜ 3 → ℜ3
→ → → 
B2 =  v 1 , v 2 , v 3 


4) Sea la transformación lineal


B1 = u 1 , u 2 , u 3 


→
→
→
,
y las bases
a) Encuentre la matriz asociada a la transformación lineal
respecto de las bases dadas si
→
b)
→
→
→
a ∈ℜ
→
→
M (T ) B 1B 2
y se verifica:
→
→
→
→
→
→
T ( u 1 ) = a v 1 + v 2 + v 3 ; T (u 2 ) = v 1 + a v 2 + v 3 ; T (u 3 ) = v 1 + v 2 + a v 3
Halle a tal que T sea un monomorfismo ( T inyectiva)
σ : Ax 2 + By 2 = Cz . Clasifique la superficie para todos los
valores posibles de A, B , C ∈ ℜ . Grafique e identifique la superficie cuando
5) a) Sea la superficie
C =1 y A = B = -1
b) Halle
k ∈ℜ

tal que la matriz B = 
1
5
− k +
2

2k + 1
 sea diagonalizable y con
1 

autovectores ortogonales. Para el valor hallado de
(x
 x
y )B  = 1
 y
. Grafique la curva.
k , identifique la curva
FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
1 agosto 2006
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Corrigió:
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La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) Sea el haz de planos α ( x + y − z − 1) + β (−2 x + z ) = 0 . Sea la recta
→
r : x = A + λ (−1,1, a )
a) Halle todos los valores de a ∈ ℜ tales que la recta r sea perpendicular a algún plano
del haz. Justifique su respuesta.
b) Para a = 0 , obtenga el plano del haz que es perpendicular a la recta. Grafique el
plano hallado y la recta r , siendo A(0,0,0)
2)
a) Sea la superficie σ : A( x − 1) 2 + By 2 + Cz 2 = 1
Halle los valores de A,B,C∈ ℜ tales que se verifique simultáneamente :
i)
La intersección de la superficie con el plano x = 1 sea una circunferencia
de radio 4
ii)
La intersección de la superficie con el plano z = 0 sea una hipérbola de
semiejes de longitudes 2 y 3
Grafique e identifique la superficie
b) Identifique la cónica, y obtenga una parametrización que la recorra en sentido
contrario a las agujas del reloj. Grafique.
x 2 + y 2 − 2x + 4 y + 4 = 0
3) Halle una transformación lineal T : ℜ 3 → ℜ 3 tal que verifica :
Nu T = S ⊥ , siendo S el subespacio vectorial de ℜ 3 cuyos elementos son los vectores
r
posición del plano que contiene a la recta r : X = (1,2,3) + λ (1,0,1)
T (1,0,0) = (1,0,1) ; T (0,0,2) = (0,0,1)
Nota: ¿ qué condición debe cumplir el plano para ser subespacio vectorial de ℜ 3 ?
4) a) Sean las matrices A , B ∈ ℜ
Demuestre que ∃
/A
b) Sea las matrices
−1
∨ ∃/B
n xn
, con n impar, tales que A.B = − A.B
−1
A, P ∈ ℜ n x n tales que P. A = P , calcule
5) Identifique y grafique la curva 5 x − 2 xy + 5 y = 1
2
2
A
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1 agosto 2006
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La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) Sea el haz de planos α (−2 x + z ) + β ( x + y − z − 1) = 0 . Sea la recta
→
r : x = B + γ (−1,1, b )
a) Halle todos los valores de b ∈ ℜ tales que la recta r sea perpendicular a algún plano
del haz. Justifique su respuesta.
b) Para b = 0 , obtenga el plano del haz que es perpendicular a la recta. Grafique el
plano hallado y la recta r , siendo B(0,0,0)
2)
a) Sea la superficie σ : Ax 2 + B( y − 1) 2 + Cz 2 = 1
Halle los valores de A,B,C∈ ℜ tales que se verifique simultáneamente :
a. La intersección de la superficie con el plano y = 1 sea una circunferencia
de radio 4
b. La intersección de la superficie con el plano z = 0 sea una hipérbola de
semiejes de longitudes 2 y 3
Grafique e identifique la superficie
b) Identifique la cónica, y obtenga una parametrización que la recorra en sentido
contrario a las agujas del reloj. Grafique.
x 2 + y 2 + 4x − 2 y + 4 = 0
3) Halle una transformación lineal T : ℜ 3 → ℜ 3 tal que verifica :
Nu T = S ⊥ , siendo S el subespacio vectorial de ℜ 3 cuyos elementos son los vectores
r
posición del plano que contiene a la recta r : X = (2,1,3) + λ (0,1,1)
T (2,0,0) = (1,0,1) ; T (0,0,1) = (0,0,1)
Nota: ¿ qué condición debe cumplir el plano para ser subespacio vectorial de ℜ 3 ?
4) a) Sea las matrices
B, P ∈ ℜ n x n tales que P.B = P , calcule
b) Sean las matrices B , C ∈ ℜ
Demuestre que ∃
/A
−1
∨ ∃/B
nxn
, con n impar, tales que B.C = − B.C
−1
5) Identifique y grafique la curva 5 x − 2 xy + 5 y = 1
2
B
2
FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
15-02-06
Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1
Corrigió:
...
La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo tres
ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) Dada la superficie S: x2 – 4y2 + z2 = 1
y
x + z = 0
x − y = k
r: 
a) Determine todos los valores de k para los cuales la recta corta a la superficie en un único
punto. Indique en cada caso las coordenadas del mismo.
b) Obtenga todos los plano paralelos a algún plano coordenado, tales que su intersección con S
es una circunferencia de radio 2 .
Identifique y grafique la superficie, señalando dichos planos en el gráfico.
2) Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
Justifique su respuesta ( demostrando la proposición en caso de que sea verdadera y exhibiendo
un contraejemplo en caso de que sea falsa ).
Si T: V → W
es una transformación lineal y { v1 , v 2 , v 3 } es base de V, entonces:
2.1)
{ T(v1 ), T(v 2 ), T(v 3 ) } es una base de W
2.2)
{ T(v1 ), T(v 2 ), T(v 3 ) } es una base de la imagen de T
3) Sea la T.L. T: P1 → R
3
1 0


cuya matriz asociada es M (T) B,B’ =  2 1 
1 2


Si B = { 1 , x } y B’ = { (1, 0, 0) , (1, 1, 1) , (0, 0, 1) } ,
halle todos los p ∈ P1 tales que T (p) = (2, 1, 0)
4) Sea { v1 , v2 , v3 , v4 } base de R4.
Si A = ( v1 + 2 v3 , v1 – v2 + v4 , v3 , v2 + 2 v3 – v4 ) ∈ R4x4 , obtenga la dimensión del
espacio solución del sistema de ecuaciones A.X = N , X ∈ R4x1
Sugerencia: determine el rango de la matriz A.
Justifique su respuesta
5) Sea f: R3 → R3 la T.L. que verifica:
f(1, 0, 0) = (2, 0, 0) , f(0, 1, 0) = (a, 3, 1) , f(2, 0, 1) = (7, 1, 3)
Determine los valores de a para los cuales la matriz asociada a f resulta diagonalizable.
Justifique su respuesta.
FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
1 marzo 2006
Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1
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La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) a) Encuentre los valores de a ∈ ℜ tal que los planos
π 1 : ax − 2 y = 0 ; π 2 : 2 x − 2 y − z = 0 ; π 3 : −2 x + ay − z = 0 pertenezcan al
mismo haz de planos.
b) Para a = 1 , obtenga la intersección en6-77.p/F6 11.z[(2)] 4e9.19 9 70.72 ga
FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
1 marzo 2006
Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1C
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La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) a) Encuentre los valores de b ∈ ℜ tal que los planos
δ 1 : 2 x − 2 y − z = 0 ; δ 2 : z = −2 x + by ; δ 3 : bx = 2 y pertenezcan al
mismo haz de planos.
b) Para b = 1 , obtenga la intersección entre la recta r1 : δ 1 ∩ δ 3 y el plano δ 2 . Grafique
la recta r1 y el plano δ 2 , indicando el punto de intersección.
2) Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
Justifique su respuesta ( demostrando la proposición en caso de que sea verdadera y exhibiendo un
contraejemplo en caso de que sea falsa ).
2.1 Si M es una matriz asociada a una transformación lineal respecto de la base canónica y D es la
matriz asociada a la misma transformación lineal respecto de los vectores propios indique
si det (M)= det (D) . Es decir : Si D = P .M .P-1 ⇒ det(M)= det(D)
2.2 Sea A ∈ ℜ
→
nxn
→
→
, tal que u , v son autovectores correspondientes al mismo autovalor λ ⇒
→
→
→
→
α u + β v es autovector correspondiente la autovalor λ ( ∀α , β ∈ ℜ / α u + β v ≠ 0 )
3) Encuentre los valores de a ∈ ℜ / W1 y W2 sean el mismo subespacio , siendo
W1 = gen{(1,2,1) (2,1,−1)} y W2 = gen{(0, a, a) (1,1,0) (a,0,−1)} . Justifique
4) Sea la transformación lineal T: ℜ → ℜ
3
→

→
→


y las bases B1 = u 1 , u 2 , u 3  y
3
→ → → 
B2 =  v 1 , v 2 , v 3 


a) encontrar la matriz asociada M(T) B B ( en función de a ) respecto de las bases
1 2
→
→
→
→
y se verifica T ( u 1 ) = v 1 + a v 2 + v 3 ,
→
y calcule T ( w)
[ ]B1
siendo w
→
→
→
→
→
dadas si a ∈ ℜ
→
2
 
=  − 1
4
 
( coordenadas de w en B1 )
b) encontrar todos los a ∈ ℜ tales que la TL sea un monomorfismo ( es decir, T inyectiva)
5) a) Identifique la superficie : σ : Ax + By + Cz = 1 sabiendo que:
La intersección de la superficie con el plano z =
2
→
→
T (u 2 ) = v 1 + v 2 + a v 3 , T ( u 3 ) = a v 1 + v 2 + v 3 ,
2
2
FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
21 febrero 2008
Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1
Corrigió:……………………………………… Revisó:…………………………………
La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) a) Halle la intersección entre la recta r y el plano π , siendo:
r : recta que pasa por el punto P(-1,2,3) y que es perpendicular a las rectas:
r1 : x , y , z = 2,7 ,−1 + α 3,−1,0 y
r2 : x , y , z = 0,3,4 + β 0,2,−1
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
π : x − y + 2 z = −7
b) Grafique el plano
π y calcule su distancia al origen.
2) Sea la superficie σ : x + 2 x + By + Cz = 1
2
2
a) Halle los valores de B ,C ∈ ℜ tales que sea un paraboloide cuya traza con el plano
y = 0 sea una circunferencia de radio 2 , y la traza con el plano z = 0 sea una
parábola de vértice en (− 1,2 ,0)
b) Identifique y grafique la superficie B = 0 ∧ C = −1 . Grafique la superficie.
3)
Justifique si cada una de las siguientes afirmaciones son V o F
( si es verdadera, debe demostrarlo, si es falsa es suficiente con un contraejemplo)
a)
⎧→
⎩
→ →
⎫
⎭
Si A = ⎨u , v , w⎬ es un conjunto de vectores linealmente independientes en un
(
)
→ → →
→ → →
⎧→
⎫
, + ,ℜ ,⋅ ⇒ B = ⎨u − 2 w , u + v , k w− u + v ⎬ es un conjunto
⎩
⎭
linealmente independiente ∀k ∈ ℜ
nxn
b) Sean A, B ∈ ℜ
/ B ≠ 0 ⇒ B −1 AB T = A
espacio vectorial ℜ
16
4) Sea T : ℜ → ℜ una transformación lineal tal que: Nu (T ) = S ,
3
(
⊥
3
) (
)
{
}
T (2,0,0) = (− 1,0,1)
T 0,1,0 = 0,0,3 , siendo S = ( x , y , z ) ∈ ℜ / x + y − z = 0
y
a) Halle la expresión analítica de la transformación lineal
b) Halle la imagen, una base y su dimensión.Verifique el Teorema de las Dimensiones.
3
⎛ k 3 − 2⎞
⎟
⎜
5⎟
5) Sea A = ⎜ 0 1
⎜0 0
2 ⎟⎠
⎝
a) Halle todos los
k ∈ ℜ tales que A es diagonalizable
b) Para k = 0 obtenga, si existe, una matriz P tal que
matriz diagonal.
P −1 AP = D , siendo D una
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21 febrero 2008
Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1C
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La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) a) Halle la intersección entre la recta r y el plano π , siendo:
r : recta que pasa por el punto P(-1,2,3) y que es perpendicular a las rectas:
r1 : x , y , z = 2,7 ,−1 + α 3,−1,0 y
r2 : x , y , z = 0,3,4 + β 0,2,−1
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
π : x − y + 2 z = −7
b) Grafique el plano
π y calcule su distancia al origen.
σ : x 2 + 2 x + By + Cz 2 = 1
a) Halle los valores de B ,C ∈ ℜ tales que sea un paraboloide cuya traza con el plano
2) Sea la superficie
y = 0 sea una circunferencia de radio 2 , y la traza con el plano z = 0 sea una
parábola de vértice en (− 1,2 ,0)
b) Identifique y grafique la superficie B = 0 ∧ C = −1 . Grafique la superficie.
3)
Justifique si cada una de las siguientes afirmaciones son V o F
( si es verdadera, debe demostrarlo, si es falsa es suficiente con un contraejemplo)
b)
⎧→
⎩
→ →
⎫
⎭
Si A = ⎨u , v , w⎬ es un conjunto de vectores linealmente independientes en un
⎧→ → → → → → → ⎫
, + ,ℜ ,⋅) ⇒ B = ⎨u − w , u − 2 v , k w+ u − v ⎬ es un conjunto
⎭
⎩
linealmente independiente ∀k ∈ ℜ
nxn
b) Sean A, B ∈ ℜ
/ B ≠ 0 ⇒ B −1 AB T = A
espacio vectorial
(ℜ
16
Nu (T ) = S ⊥ , T (1,0,0) = (1,0,−1)
T (0,1,0) = (0,0,2) , siendo S = {( x , y , z ) ∈ ℜ 3 / x + y − z = 0}
4) Sea T : ℜ → ℜ una transformación lineal tal que:
3
3
y
a) Halle la expresión analítica de la transformación lineal
b) Halle la imagen, una base y su dimensión.Verifique el Teorema de las Dimensiones.
⎛k − 2
⎜
2
5) Sea A = ⎜ 0
⎜0 0
⎝
c) Halle todos los
3⎞
⎟
5⎟
1 ⎟⎠
k ∈ ℜ tales que A es diagonalizable
d) Para k = 0 obtenga, si existe, una matriz P tal que
matriz diagonal.
P −1 AP = D , siendo D una
FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
28 febrero 2008
Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 2
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La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) Sean las rectas:
r1 : pasa por el punto A (1 2 3)
FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
28 febrero 2008
Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 2C
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La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) Sean las rectas:
r1 : pasa por el punto A (0,1,−1) y es normal al plano π : x + y − 2 z = 1
r2 : paralela al plano π y perpendicular al eje y , tal que pasa por el origen de coordenadas
c) Halle la distancia entre las rectas
d) Halle la ecuación del plano que determinan la recta
2) Sea la superficie
r2 y el eje y. Grafique el plano
σ : Mx + Ky + z = 0
2
2
a) Identifique y grafique la superficie, sabiendo que su intersección con el plano y = 0 es la parábola
z = 2x 2 y que la intersección de la superficie con el plano z = 0 es el par de rectas
y = 2 x ; y = −2 x ,
b) Si M = -1 y K = 0, identifique y grafique la superficie.
3) Sean las matrices B ∈ ℜ
3x3
⎛ 0 h 0⎞
⎜
⎟
/ B .B = I , y A = ⎜ 2 − 1 1 ⎟
⎜ −1 0 0⎟
⎝
⎠
T
a) Obtenga todos los valores de
h ∈ ℜ , si existen, tales que 2(B T ) A 2 = 8
b) Obtenga todos los valores de
h ∈ ℜ , si existen, tales que la transformación lineal T : ℜ 3 → ℜ 3 /
⎛ x⎞
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
T ⎜ y ⎟ = B⎜ y ⎟
⎜z⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2
no sea un isomorfismo ( T no biyectiva). Justifique su respuesta
4) a) Halle la expresión analítica de una transformación lineal T : ℜ → ℜ tal que :
3
3
Nu (T ) = {(x , y , z ) ∈ ℜ 3 / x − y = 0 ∧ x + y = z }, T (0,0,2) = (2,0,0) ∧ T (1,0,0) = (0,1,0)
b) Halle una base del núcleo y de la imagen y verifique el teorema de las dimensiones.
5) Sea la curva : − x + 6 xy − y = 1
a) mediante una rotación lleve a la forma canónica e identifique la curva
b) grafique la curva en el nuevo sistema de coordenadas, superpuesto al sistema
original.
2
2
FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
6 de marzo de 2008
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La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) Calcule la distancia del punto P al plano π siendo:
π : plano paralelo a las rectas r , s , y que contiene al punto A(2,0,−1)
P : s ∩ l (P punto intersección de las rectas s , l )
Siendo: r : ( x , y , z ) = (1,−3,0) + λ(2,1,−3)
s : ( x , y , z ) = (1,7 ,−1) + γ (0,3,1)
l : ( x , y , z ) = (0,4,1) + δ(− 1,0,3)
2) a) Identifique y grafique la curva parametrizada por:
→
c : r (t ) = (1 + 2 cos t , − 3 + sent ) ; t ∈ [0,2π]
b) Sea la superficie σ : Ax 2 + By 2 + Cz 2 = 1 .
Halle los valores de A, B ,C ∈ ℜ , identifique y grafique la superficie, sabiendo que:
x2
+ y2 = 1
ii) σ ∩ ( y = 0) : hipérbola de eje focal x , y semiejes de
i) σ ∩ ( z = 0 ) :
4
valores 2 y 1
⎛ 2 0 0⎞
⎜
⎟
3) Sea la matriz A = ⎜ 0 h 0 ⎟
⎜ −1 1 1⎟
⎝
⎠
a) Halle todos los valores de h ∈ ℜ tales que la matriz A no sea diagonalizable.
b) Halle todos los valores de h ∈ ℜ tales que el sistema de ecuaciones lineales AX = B tenga
T
infinitas soluciones, y obtenga el espacio solución , siendo B = (4 ,0 ,1)
4) Sea T : ℜ 3 → ℜ 3 tal que: T (1,0,1) = (0,0,0) ; T (2,0,0) = (0,0,0) ; T (0,1,0) = (− 3,2,4)
a) Justifique si T es una transformación lineal, enunciando las definiciones y/o teoremas con que
fundamente su respuesta. (Sin hallar la expresión analítica de T )
b) Si T es una transformación lineal, obtenga su expresión analítica y una base y la dimensión de su
núcleo e imagen.
5) Sea x 2 + 2kxy + y 2 = 2 .Halle todos los valores de k ∈ ℜ tales que la ecuación represente un
par de rectas. Grafique las rectas en el sistema de ejes original superpuesto al nuevo sistema de ejes,
para alguno de los valores de h obtenidos.
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6 de marzo de 2008
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1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) Calcule la distancia del punto P al plano π siendo:
π : plano paralelo a las rectas r , s , y que contiene al punto B(1,−2,2)
P : s ∩ l , (P punto intersección de las rectas s , l )
Siendo:
r : (x , y , z ) = (2,3,1) + λ(2,1,−3)
s : ( x , y , z ) = (1,1,−3) + γ (0,3,1)
l : (x , y , z ) = (− 1,4,4) + δ(− 1,0,3)
2) a) Identifique y grafique la curva parametrizada por:
→
c : r (t ) = (− 3 + cos t , 1 + 2sent ) ; t ∈ [0 ,2π]
b) Sea la superficie σ : Ax 2 + By 2 + Cz 2 = 1 .
Halle los valores de A, B ,C ∈ ℜ , identifique y grafique la superficie, sabiendo que:
y2
=1
ii) σ ∩ ( y = 0) : hipérbola de eje focal x , y semiejes de
i) σ ∩ ( z = 0 ) : x 2 +
4
valores 1 y 1
⎛ 2 0 0⎞
⎜
⎟
3) Sea la matriz B = ⎜ 0 k 0 ⎟
⎜ −1 1 1⎟
⎝
⎠
a) Halle todos los valores de k ∈ ℜ tales que la matriz B sea diagonalizable.
b) Halle todos los valores de k ∈ ℜ tales que el sistema de ecuaciones lineales BX = C tenga
T
infinitas soluciones, y obtenga el espacio solución , siendo C = (4 ,0 ,1)
4) Sea T : ℜ 3 → ℜ 3 tal que: T (1,0,1) = (0,0,0) ; T (2,0,0) = (− 3,1,2) ; T (0,1,0) = (0,0,0)
a) Justifique si T es una transformación lineal, enunciando las definiciones y/o teoremas con que
fundamente su respuesta. (Sin hallar la expresión analítica de T )
b) Si T es una transformación lineal, obtenga su expresión analítica y una base y la dimensión de su
núcleo e imagen.
5) Sea x 2 + hxy + y 2 = 2 .Halle todos los valores de h ∈ ℜ tales que la ecuación represente un
par de rectas. Grafique las rectas en el sistema de ejes original superpuesto al nuevo sistema de ejes,
para alguno de los valores de h obtenidos.
FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
19 febrero de 2009
Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 1
Corrigió:……………………………………… Revisó:…………………………………
La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
⎧x + y − z = 1
⎩ 2y − z = 0
a) Halle a ,b , c , k ∈ ℜ , si existen, tales que el plano π : ax + by + cz = k sea perpendicular a
la recta r y el punto P(3,2,−1) ∈ π
1) Sea la recta r : ⎨
b) Grafique los planos que definen la recta r , y la recta como intersección de tales planos
2) Sea la superficie σ : Ax 2 + By 2 + Cz 2 = 1 .
a) Halle A, B ,C ∈ ℜ , si existen, tales que se cumplan simultáneamente las siguientes
condiciones: i) La traza de la superficie con el plano z = 0 es la curva c, siendo:
⎧ x = 2 cos t
c:⎨
⎩ y = 3 sent
;
0 ≤ t ≤ 2π
ii) La traza de la superficie con el plano x = 0 es la hipérbola y 2 − z 2 = 9
Identifique y grafique la superficie con los valores hallados de A, B ,C
b) Halle las ecuaciones paramétricas de la traza de la superficie σ con el plano y = 0 .
3) Sea la transformación lineal T : ℜ 3 → ℜ 3 tal que su matriz asociada en la base canónica es:
0⎞
⎛2 1
⎟
⎜
M E = ⎜ 3 0 − 1⎟
⎜1 2
k ⎟⎠
⎝
a) Halle todos los valores de k ∈ ℜ tales que Nu (T ) = {(0,0,0)}. Justifique su respuesta
b) Si k = 1 halle la dimensión de la Im(T ) y una base de ella.
4) Justifique si las siguientes afirmaciones son V o F
a) Sea A ∈ ℜ n x n no inversible ⇒ A . Adj( A) = N
( N matriz nula )
⎛ 1 0 0⎞
⎟
⎜
b) A = ⎜ 3 7 0 ⎟ es diagonalizable ∀k ∈ ℜ
⎜−2 4 k⎟
⎠
⎝
5) Mediante una rotación, identifique la curva y grafíquela en el nuevo sistema de coordenadas
superpuesto al sistema de coordenadas original.
xy = 1
FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
26 febrero de 2009
Apellido y nombres: ............................................................................................Tema 2
Corrigió:……………………………………… Revisó:…………………………………
La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
1) Sea el haz de planos
α ( x + 3 y − z ) + β (2 x − y + z + k ) = 0
a) Halle el plano del haz, si existe, que es perpendicular a la recta
y obtenga todos los valores de
2
disten
r : ( x , y , z ) = (2,1,3) + λ(3,−5,3)
k ∈ ℜ tales que los planos del haz perpendiculares a la recta r
del origen.
43
b) Para k = −1 grafique los planos que definen el haz y su recta intersección. Halle la ecuación de
tal recta
2) Sea la superficie σ : Ax + By + Cz = k
2
2
a) Halle A, B ,C , k ∈ ℜ sabiendo que se verifican simultáneamente:
i)
σ ∩ ( y = 0) : x 2 + z 2 = 4 ; ii) σ ∩ (x = 0) : y = 4 − z 2
(
→
)
(
)
iii) σ ∩ z = 0 : curva c : r (t ) = t , 4 − t
;−∞ <t < ∞
Grafique e identifique la superficie para los valores hallados
b) Identifique y grafique la superficie σ en cada uno de los siguientes casos:
i) A = C = 1 ; B = 0 ; k = 9
ii) C = 0 ; A = B = 1 ; k = 1
3) Sea T : ℜ → ℜ / Nu (T ) = S , siendo
3
⊥
4
T (1,0,0) = (2,0,0,1) ; T (0,0,1) = (0,1,0,0)
2
S = {( x , y , z ) ∈ ℜ / x + y − z = 0}
a)
Justifique que las condiciones dadas definen una transformación lineal única.
¿Cuál es la dimensión de la imagen de T ? Justifique su respuesta sin hallar la expresión analítica de T.
b) Halle la expresión analítica de T.
4) Justifique si las siguientes afirmaciones son V o F:
⎛3 0 0⎞
⎟
⎜
2 1 ⎟ es su matriz asociada en la base canónica ⇒ ∀k ∈ ℜ
a) Sea T : ℜ → ℜ / M E = ⎜ 0
⎜ 4 −1 k ⎟
⎠
⎝
dim Nu(T ) = 0
3
b) Si A ∈ ℜ
nxn
5) Sea la ecuación:
3
tiene n autovalores distintos
⇒ B = 3 A es diagonalizable
6 x + 2kxy − 6 y + 7 = 0 .
2
2
Mediante una rotación, halle todos los valores de
una hipérbola. Justifique.
k ∈ ℜ , si existen, tales que el gráfico de la ecuación sea
FINAL DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
5 de marzo de 2009
Apellido y nombres: ......................................................................................................Tema 3
Corrigió:……………………………………… Revisó:…………………………………
La condición para aprobar este examen es tener bien resueltos como mínimo 3 ejercicios.
1
2
3
4
5
Calificación final
IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los
ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.
y=x
⎩ x + y + 2z = 2
⎧
1) Sea la recta r : ⎨
a)
Halle su ecuación vectorial y grafique los planos que la determinan y la recta como intersección de tales
Planos
b) Halle la ecuación de todos los planos perpendiculares a la recta hallada tales que su distancia al origen es
d =2
→
2) a) Sean las curvas: c1 : r 1 (t ) = (3 cos t , 2 sent )
c2 :
; 0 ≤ t ≤ 2π
x2
− z2 =1
9
Halle la ecuación, identifique y grafique la superficie σ : Ax + By + Cz = 1 sabiendo que
2
2
2
c1 , y su traza con el plano y = 0 es la curva c2
2
2
b) Sea la superficie σ : Ax + By + Cz = 1 Identifique y grafique la superficie cuando:
su traza con el plano z = 0 es la curva
i) A = 1 , B = 0 y C = - 1
ii) A = 0 , B = 1 y C = - 1
T (0,0, a ) = (b ,0,0,0) ; T (1,1,1) = (b ,0,0,1) ; T (a ,1,1) = (0,0,0,b )
a) Obtenga todos los valores de a ∈ ℜ tales que las condiciones dadas definan una transformación
3) Sea T : ℜ → ℜ
3
4
tal que
lineal única. Justifique su respuesta.
b) Para a = 2 obtenga todos los b ∈ ℜ tales que la dimensión de la imagen de T sea 1. Justifique su
respuesta y obtenga la expresión analítica de la transformación lineal
4) Justifique si las siguientes afirmaciones son V o F:
a) Si A = ( A1 , A2 , A3 ) ∈ ℜ
3x3
/ A es inversible ⇒ B ∈ ℜ
siendo B = (3 A2 , − A1 + A3 , 2 A1 − kA3 )
3x3
es inversible
∀k ∈ ℜ
(Nota Ai : i-ésima columna de la matriz A )
.X 3 x 1 = B 4 x 1 tal que la dimensión del espacio columna
4 x3
de la matriz C es 2 ⇒ el sistema homogéneo asociado C
.X 3 x 1 = N 4 x 1 es incompatible.
5) a) Halle todos los valores de k ∈ ℜ tales que la matriz A sea diagonalizable y sus autovectores
b) Sea el sistema de ecuaciones lineales C
ortogonales
b) Para el menor valor de
a)
4 x3
k hallado en a), y para a = b = 0 , identifique la cónica mediante una rotación.
⎛
a
A = ⎜⎜
2
⎝ − 2k + 25k + 20
3k 2 − 10 ⎞
⎟ ;
⎟
b
⎠
b)
(x y )A⎛⎜⎜
x⎞
⎟⎟ = 1
⎝ y⎠