Vectores

Física 2º Bach.
Tema: Vectores
DEPARTAMENTO DE
FÍSICA E QUÍMICA
05/10/05
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Problema
1. Dados A = 2 i – 3 j + 4 k y B = –3 i + j – 2 k, C = i – k , calcula:
a) los cosenos directores del vector C.
b) el perímetro del triángulo formado por los vectores A, B y A + B.
c) el área de ese mismo triángulo.
d) el ángulo que forman los vectores A y B.
e) el momento del vector B cuando está situado en el punto A con respecto al punto C.
Solución:
a) Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos α, β y γ que un vector C forma con los ejes
cartesianos X, Y y Z.
El módulo del vector C es
  1202 −12=  2=1,41 u
∣C∣=
Del producto escalar:
C
1
 · i =C x =∣C∣cos

C
 ⇒ cos = x = =0,707

∣C∣  2
cos β = 0
C −1
cos = z = =−0,707
 2
∣C∣
b) Los vectores A, B y A + B forman un triángulo ya que la suma de
dos vectores se obtiene colocando un de ellos a continuación del otro
y dibujando el vector que va desde el origen del primero hasta el final
del último.

 B
 =−i −2 j2 k
A
El perímetro del triángulo es la suma de sus lados.
El valor de cada lado es el módulo del vector.
A
B
 ∣=  −3212−22=  14=3,74 u
∣B
A+
B
  22−324 2= 29=5,39 u
∣A∣=
 B
 ∣=  −12−2222=  9=3 u
∣A
perímetro = 5,39 + 3,74 + 3,00 = 12,13 u
c) El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos cualesquiera de sus lados:
1   1 
1
 1 10,82=5,41 u 2
A= ∣A×
B∣= ∣2 i −3 j4 
k ×−3 i j−2 
k ∣= ∣2 i −8 j−7 k∣=
2
2
2
2
d) El ángulo entre dos vectores se obtiene de su producto escalar:
 ·B
 B
 =∣A∣∣
 ∣cos 
A
AB
 · B=−17

A
−17

AB=arc cos
=arc cos−0,844=148 º =2,57 rad
 29  14
CA

  =
 i −3 j5 
M
CA× B=
k ×−3 i j−2 
k =i −13 j−8 k
B ,C
A
B
e)
C