CAPITULO 1: DERIVADAS EJERCICIOS I. 1. En los siguientes

CAPITULO 1: DERIVADAS
EJERCICIOS I.
1. En los siguientes problemas, s(t) representa la posición de un cuerpo en
movimiento, en el instante t. Hallar su velocidad v= ds/dt y su aceleración a=d2s/dt2
gt 2
a) s=t2-4t+2
b) s= 2t3-5t2+8t-9
c) s=
+ v 0 t + s0
d) s=(2t-3)2.
2
2. Hallar f ’(x0) en los siguientes casos:
2 2
b) f(x)=senx ; x0=0
c) f(x)= 2 − ; x0=2.
a) f(x)= (x+3)2 ; x0= -4
x
x
3. Hallar y ‘ = dy/dx de las siguientes funciones:
a) y=x5-¾ x1/4 + ½x-3/2
e) y=4+4/x
b) y= 5x3- x
f) y= (x+x2)(1+x3)
g) y=
3. Hallar f ‘ , f” , f ‘” , fiv, fv y fvi si
a) f=x3-3x2+6x-13
b) f= senx
c) y= x2(x3-1)
x + x3
1+ x 2
c) f=tgt
d) y=
x
x−4
h) y= π2+3 x 3 -x-1/7
5
e)f= .
x
d) f=ex
4. Hallar la tangente a cada una de las curvas dadas en el punto dado:
a) y=x3 en (2,8)
b) y=2x2+4x-3 en (1,3)
c) y=x3-6x2+5x en el origen
5. Considere la curva y=x2+5x y el punto x=3. Cuál de los siguientes valores es la
pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado?.
a) 24
b) 3
c) –5/2
d) 11
e) 8.
6. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la tangente a la curva y=x3-3x+1 en el
punto (2,3).
7. Un cuerpo se mueve sobre una recta de acuerdo a la expresión s=t3-4t2-3t. Hallar la
aceleración cada vez que la velocidad es cero.
8. Hallar las rectas tangentes a la curva y=x3+x en los puntos en que la pendiente es 4.
Cuál es el menor valor que puede tener una pendiente de esta curva, y en que lugar
de la curva alcanza la pendiente el menor valor?.
9. 9. En los siguientes problemas, s(t) representa la posición de un cuerpo en
movimiento, en el instante t. Hallar su velocidad v= ds/dt y su aceleración a=d2s/dt2
t
2t
b) s = 2
c) s= (2t+3)3
d)s=(t2-1)-2 e) s=(t+t-1)2
a) s = 2
t −1
3t + 1
t −1
sen t + cos t
i) s=
j) s=
.
f) s= sent cost
g) s=etsent h) s= t lnt
tg t
t2
EJERCICIOS II.
1. En los siguientes problemas, hallar dy/dx
x −1
x +1
a) x2+y2=1
b) y 2 =
f) x2/3+y3/2
g) x1/2-y1/2=1
l) y2= x2 +
k) y=x x 2 + 1
c) x2 + xy =2
d) x2y +xy2=8
h) x3-xy+y3=2
i) x 2 =
1
x2
m) 2xy + y2=x+y
ñ) (x+y)3+(x-y)3 = x4+y4 o) y=(x+5)4(x2-2)3
r) y=(2x+5)-1/5
x−y
x+y
s) y=(3x2+5x+1)3/2
p)
e) y2=x3
x
j) y =
x +1
2
n) y= x + 3 x + 4 x
1 1
+ = 1 q) x3+y4 = 18xy
y x
t) y=3(2x-1/2+1)-1/3 v) y= 1− x .
2. Si f " (x)= x-1/3, cuáles de las siguientes expresiones son correctas?
2
3
a) f(x)= x 3 − 3
2
5
4
9
1 −
b) f(x)= x 3 − 7 c) f "' (x)= − x 3
10
3
2
3
d) f ' (x)= x 3 + 6
2
d2 y
.
3. En los siguientes problemas, calcule
dx 2
a) x2+y5 =1
b) x3+y2 =π2
c) x2/3+y2/3=1
d)xy+y2=1
4. Una partícula de masa m se mueve a lo largo del eje x. La velocidad v= dx/dt y la
posición x satisfacen la ecuación:
m(v2-v20)=k(x20-x2), donde k, v0 y x0 son constantes.
Diferenciando implícitamente esta ecuación respecto a t, muestre que cuando v≠0,
m
dv
= -kx.
dt
5. En los siguientes problemas, hallar las rectas que : i) sean tangentes
ii) sean normales, a la curva en el
punto P dado.
a) x2+xy-y2=1, P(2,3)
b) x2+y2=25, P(3,-4)
c) x2y2=9, P(-1,3).
EJERCICIOS III.
1. En los siguientes problemas, cada par de ecuaciones representa una curva en forma
paramétrica: i) Hallar , en cada caso, la ecuación de la curva en la forma y= f(x),
eliminando t en cada ecuación. ii) Luego, hallar dy/dx, dy/dt y dx/dt y verifique que se
cumple la "regla de la cadena" .
a) x=3t+1 , y=t
2
2
b) x=t , y=t
3
t
c) x=
, y= t2
1− t
t2
t
d) x =
, y=
.
1+ t
1+ t
2. Si x=4t-5, y=t2 , cuál de los siguientes es el valor de dy/dx cuando t=2?.
a) 2
b) 4
c) 1
d) 1/2.
3. Las siguientes ecuaciones paramétricas describen curvas del plano. Hallar la
pendiente de la curva en el punto (x, y) del plano cuando t=2, y hallar la tangente a
ala curva en ese punto:
a) x= t+ 1/t, y=t-1/t
d) x=
t −1
t +1
, y=
t +1
t −1
c) x= t 2t + 5 , y= (4t )
b) x= 2t 2 + 1 , y=(2t+1)2
1/ 3
1
f) x= + t 2 , y=t2 - t +1.
t
e) x=t-2 , y= t 2 + 12
4. Hallar las primeras derivadas de las siguientes funciones:
a) y=x2sen52x
b) y=cotg2x
c) y= sen2(1+3t)
d) z=sen3t
f) y= x2cos8x
g) y= sen(cos2x)
h) y= coscx
i) y=cotgx2
j) y=cotg22x
k) y=
m) y=sec2x
n) y=secxsenx
ñ) y= senxcos(tgx) o) y= cos(sen(cos(set)))
e) t=
sen x
cos 2 x
sen x
1 + cos x
2
2x
p) z=e sen2x
2
q) r=lnt cost
ex
r) y=
1+ e x
l) y=
cos 2 x
sex
e − πx
s) y=
sen x − 1