Diplomatura en Ciencia y Tecnologı́a Análisis Matemático II - Segundo Parcial - 15/06/06 Apellido y Nombre: 1) Dada f (x, y) = ln (4−(x+y)2 ) + e x−y √ TEMA A x2 +y 2 −1 −1 a) Expresar analı́ticamente D = Dom(f ). Graficar. b) Hallar D ◦ y ac(D). Justificar si D es abierto/cerrado/acotado. 2) Sea f (x, y) = 2−x2 −y 2 4−2x−2y a) Calcular, si existe, el lı́mite radial teniendo al (1, 1) b) Caracterizar las curvas de nivel de f . Graficar las que corresponden a los valores k = ±1, ±2 ¿ Pertenece el (1, 1) a alguna curva de nivel? ¿ Es de acumulación de alguna curva de nivel? ( f (x, y) si x + y 6= 2 c) Sea g(x, y) = 1 si x + y = 2 Determinar si g es continua en el punto (1, 1). Justificar. 3) Sabiendo que ¡ ¢ ¡ ¢ ~ (x, y) = 6xy − 2y 3 + 3x2 ĭ + 3x2 − 6xy 2 j̆ ∇f f (1, −1) = 0 (a) Hallar f (x, y) (b) Para la función hallada, encontrar en el punto (1, 0) las direcciones de máximo crecimiento y de derivada direccional − √3 , respectivamente. 2 4) Dadas S1 : (x + 2y + z) e x+y−z −1=0 ; S 2 : x2 + y 2 + z 2 = 6 a) Encontrar todos los puntos de S1 donde el plano tangente es paralelo al eje Z. A continuación, determine especı́ficamente uno de tales puntos y escriba una ecuación del plano tangente a S 1 en dicho punto. T b) Hallar ecuaciones de la recta tangente a la curva S1 S2 en el punto A(2, −1, 1) 5) Utilizando la regla de la cadena: a) z = f (x2 + ln y) donde x = t2 e y = e t . Expresar dz dt p ∂2z ∂2z 2 2 b) z = f (r) donde r = x + y . Probar que: 2 + 2 = f 00 (r) + 1r f 0 (r) ∂x ∂y TEORÍA ~ (a, b) es perpendicular a la curva de nivel de F que pasa I) Dada F (x, y) = e x+y + xy demostrar que ∇F por (a, b) II) Para una función z = f (x, y) definir qué significa que sea diferenciable en un punto P o (xo , yo ). Ejemplificar esta definición para f (x, y) = 3xy + y 2 en el punto Po (−1, 1)