MC-2415 Formulario Vibraciones (Compacto)

FORMULARIO VIBRACIONES
Vibraciones por centro de masa desbalanceado: M e &x& + c e x& + k e x = M e eW 2 sin(Wt )
2
Ecuación diferencial: me &x& + ce x& + k e x = f (t ) adimensional: &x& + 2zw n x& + w n x = f (t ) / m
M e eW 2
X m = er 2 K
x
(
t
)
=
X
sin(
W
t
j
)
X
=
K
m
m
Respuesta: x(t ) = x h (t ) + x p (t )
ke
ke
ce
Fuerza transmitida a la Fundación:
2p
z=
con : w n =
w n = 2pf n w n =
wa = w n 1 - z 2
FT = cx& (t ) + kx(t )
FT = FT max cos(Wt - j - f)
FT max = M e ew 2n r 2 t
me
tn
2 me k e
Vibraciones por movimiento de la base: Y = Ym sin( Wt ) :
Coor.absoluta x:
me &x& + c e ( x& - y& ) + k e ( x - y ) = 0
me &x& + c e x& + k e x = k e y + ce y&
Coor. relativa z:
me &z& + c e z& + k e z = - me &y&
me &x& + c e ( x& - y& ) + k e ( x - y ) = 0
VIBRACIONES LIBRES: x(t ) = x h (t )
Sistema no amortiguado: z = 0
x(t ) = A sen( w n t ) + B cos( w n t )
A=
x& (0)
wn
B = x(0)
Sistema subamortiguado: 0 < z < 1
x& (0) + zw n x(0)
wa
x
2pnz
D = ln i =
xj
1- z2
x(t ) = e - zw nt ( A sen( w a t ) + B cos( w a t ))
A=
Decremento logarítmico
B = x(0)
VIBRACIONES TRANSITORIAS: x(t ) = x h (t ) + x p (t )
Si se utiliza Laplace: x(t ) = L-1 [H ( s ) F ( s )] + xCI (t )
D
z=
( 2pn) 2 + D2
Sistema Críticamente amortiguado: z = 1
x(t ) = [A + Bt ]e - zw n t
Sistema Sobreamortiguado: z > 1
x(t ) = Ae ( - z +
z 2 -1 ) w n t
+ Be ( - z -
z 2 -1 ) w n t
A = x(0)
A=
B = x& (0) + w n x(0)
x& (0) + (z + z 2 - 1)w n x( 0)
2
2w n z - 1
B=
- x& (0 ) - ( z - z 2 - 1 )w n x( 0)
2w n z 2 - 1
1
(1 - r 2 ) 2 + ( 2zr ) 2
t=
1 + ( 2zr ) 2
(1 - r 2 ) 2 + ( 2zr ) 2
r=
W
wn
Xm =
2z r
meW 2
me 2
K=
r K tan j =
ke
Me
1- r2
Fuerza transmitida a la Fundación: FT = cx& (t ) + kx( t )
FT = FT max cos(Wt - j - f) FT max = Fo t FT max = meW 2 t = mew 2n r 2 t
rcrit =
öù
æ
1é
z
ê1 - e -zw nt ç cos w a t +
si
sin w a t ÷ú
2
÷ú
ç
kê
1
z
øû
è
ë
Respuesta a una rampa de pendiente unitaria, f (t ) = t
r (t ) =
z=0
1
(ms + cs + k )
2
h(t ) =
z = 0 g (t ) =
F (s) = 1 s
1
sin w n t
mw n
1
[1 - cos w n t ]
k
2
é
ù
1
sin(w n t )ú
êt w
n
ë
û
1
æ 2z
öù
1 é 2z
2z 2 - 1
+ e - zw n t çç
cos(w a t ) +
sin( w a t ) ÷÷ú si z = 0 r (t ) =
êt k
w
w
k ëê w n
a
è n
øûú
Respuesta a las Condiciones Iniciales:
æ x&(0) + zw n x(0)
ö
xCI (t ) = e - zw n t çç
sen( w a t ) + x(0) cos( w a t ) ÷÷
w
a
è
ø
Vibraciones por excitación armónica: me &x& + c e x& + k e x = Fo cos( Wt )
F
2zr
tan j =
rcrit = 1 - 2z 2
Xm = o K
x(t ) = X m cos( Wt - j)
ke
1- r2
Fuerza transmitida a la Fundación: FT = cx& (t ) + kx(t )
2z r
tan j =
tan f = 2zr
FT = FT max cos(Wt - j - f) FT max = Fo t
1- r2
Vibraciones por masa desbalanceada: M e &x& + c e x& + k e x = meW 2 sin(Wt )
x(t ) = X m sin(Wt - j)
Vibraciones por fuerzas no periódicas:
Respuesta a un impulso unitario f (t ) = d(t ) F (s) = 1
1 -zw nt
h( t ) =
e
sin w a t
si
mw a
Respuesta a un escalón unitario f (t ) = u (t ) F ( s ) = 1 s
g (t ) =
VIBRACIONES FORZADAS EN REGIMEN PERMANENTE: x(t ) = x p (t )
Coef. de amplitud dinámico Coef. de transmisibilidad:
Relación entre frecuencias
K=
con H ( s ) =
Integral de Convolución:
Integral de Duhamel:
t
t
0
0
x(t ) = ò f ( t )h(t - t )dt x(t ) = ò f (t - t )h(t )dt
1
1 - 2z 2
t
x(t ) = f (0) g (t ) + ò f ¢( t) g (t - t )dt
0