Document

TEMA 5: FUNCIONES I
CONCEPTOS BÁSICOS
Función. Una función es una relación entre dos variables que habitualmente llamamos X e Y, en la que para
cada valor de X se le asocia un único valor de Y.
X es la variable independiente
Y es la variable dependiente
La función se expresa de la forma y = f(x)
Podemos hacer el símil de que una función es como una máquina en la que introducimos un valor de X y nos
devuelve un único valor de y
Llamamos dominio de una función f y se designa por Dom f, al conjunto de valores de X para los que existe la
función, es decir, existe una Y
Llamamos recorrido de la función al conjunto de valores que toma la función. Es decir, valores de Y para los
cuales hay una X, tal que f(x) = y
Las funciones se nos pueden presentar de varias maneras, mediante su gráfica, mediante un enunciado,
mediante una tabla de valores y mediante su expresión analítica o fórmula.
Ejercicios:
1. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el
tiempo (en horas) y la distancia al instituto (en kilómetros):
a) ¿Cuáles son las dos variables?
b) ¿Es una función? ¿Por qué?
c) Escribe el dominio y el recorrido.
2. Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores. La
versión del comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es:
Corredor 1: Salió muy rápido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando
y llegó en terceras posición.
Corredor 2: Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los últimos 50 metros. A partir de ahí fue
mucho más rápido.
Corredor 3: Salió rápido pero a los 100 metros tropezó y cayó al suelo. Al cabo de unos segundos se
levantó y continuó pero ya mucho más lento y llegó el último.
Corredor 4: Salió lento pero conforme transcurría la prueba, aumentó la velocidad llegando el primero.
Haz las gráficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores.
3. Un cultivo de bacterias crece según la función y = 1 + 2 x/10 (y: miles de bacterias, x: horas).
a) ¿Cuántas había en el momento inicial?
b) ¿Y al cabo de 10 horas?
c) Calcula cuánto tiempo tardarán en duplicarse.
CÁLCULO ANALÍTICO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
1. Dominio de la función polinómica. El dominio de una función polinómica es
Por ejemplo el dominio de la función y  3x 2  5x  9 es X 
2. Dominio de la función racional. El dominio es
menos los valores que anulan al denominador.
2x  5
Por ejemplo el dominio de la función y  2
x  x6
3. Dominio de la función radical de índice par. El dominio está formado por todos los valores que hacen que
el radicando sea mayor o igual que cero.
Por ejemplo el dominio de la función y  x 2  x  6
Si la función radical es de índice impar su dominio solo depende de la función radicando
Ejercicios:
4. Calcula el dominio de las siguientes funciones:
2x  5
a) y  2
x  100
b) y  4 x  3
c) y 
3x  6
x2  7x
d) y  7 3x 2  5x  2
FUNCIÓN INVERSA
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
El dominio de f-1(x) es el recorrido de la función f(x).
Para calcular la función inversa seguimos los siguientes pasos:
1. Cambiamos la X por la Y
2. Despejamos la Y
Veamos a calcular las funciones inversas de las siguientes funciones:
a) f ( x)  3x  5
b) f ( x) 
2x  3
2  5x
c) f ( x)  log 2 5x 
Ejercicios:
5. Calcula la función inversa de las siguientes funciones:
a) f ( x)  2 x  1
b) f ( x) 
7  3x
2x  1
c) f ( x)  3 x 3
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Decíamos en la introducción del tema que una función es como una máquina donde introducimos números
y salen otros números. ¿Qué ocurre si ponemos dos máquinas seguidas a funcionar?
Imagina que una máquina lo que hace es elevar al cuadrado el número que se introduzca y otra lo que hace
es dividir por dos.
Metemos el 4 y por la primera máquina saldría el 16, metemos éste en la segunda y saldría el 8.
Ojo, que el orden de de las máquinas es importante. Si ponemos primero la que divide por la mitad y después
la que eleva al cuadrado y metemos el 4. Por la primera máquina saldría un dos, y si metemos este en la
segunda máquina saldría un 1.
Dadas dos funciones f y g , se llama función compuesta de f y g, y se escribe, gof, a la función que
transforma x en g(f(x)):
La expresión gof se lee f compuesta con g.
En general gof es distinto a fog.
Veamos unos ejemplos:
Dadas las funciones f ( x)  3x  6 y g ( x) 
a) (fog)(2)=f(g(2))=
3x  2
calcula:
x 1
b)(gof)(5)=
c)(fog)(x)=
d)(gof)(x)=
Ejercicios:
6. Dadas las funciones f ( x)  x 2  3x y g ( x)  3x  2 Calcula:
a) (fog)(3)=
b) (gof)(5)=
c) (fog)(x)=
3x
calcula:
2x  3
a)El recorrido de la función
7. Dada la función f ( x) 
b)(fof-1)(x)=
c)(f-1of)(x)=
FUNCIONES CONTINUAS. TIPOS DE DISCONTINUIDADES
Intuitivamente una función f es continua si su gráfica no tiene interrupciones ni saltos, ni oscilaciones
indefinidas, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Tipos de discontinuidades
Discontinuidad evitable
Discontinuidad de salto finito
Discontinuidad asintótica
CRECIMIENTO Y DEC RECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
Una función f(x) es creciente en un intervalo (a , b), cuando al aumentar la x la f(x) también aumenta
Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a , b), cuando al aumentar la x la f(x) disminuye
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Un máximo relativo es un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente.
Un mínimo relativo es un punto donde la función pasa de ser decreciente a creciente
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
La tasa de variación media (T.V.M.) de una función f(x) en el intervalo [a , b] es la pendiente de la recta
que une los puntos
T .V .M . a , b 
.
f (b)  f (a)
ba
Ejemplos:
a) Calcular la TVM de la siguiente función en el intervalo [1 , 5]
b) Calcular la TVM de la función f ( x)  2 x 2  3x en el intervalo [2 , 5]
PERIODICIDAD
Una función es periódica cuando su valor se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto
intervalo. El valor de este intervalo se llama periodo.
f(x+periodo)=f(x)
Veamos u ejemplo:
Una cisterna se llena y se vacía automáticamente expulsando 6 litros de agua cada 5 minutos. Cuando el
depósito está vacío comienza el llenado, que tarda un minuto, permanece lleno 3,5 minutos y se vacía en
0,5 minutos. Este proceso se repite periódicamente.
a) Dibuja la gráfica de los primeros 18 minutos.
b) ¿Qué volumen de agua tendrá a los 32 minutos?
CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
El límite de la función f(x) en el punto xo, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los
originales (las x) se acercan al valor xo. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales
tienden a x0.
Se escribe así:
lim f(x) =
x  x0
Cálculo analítico del límite. Para calcular el valor del límite de una función vamos dando valores a X
próximos al valor X0 y vemos hacia qué valor se acerca la Y . Veamos unos ejemplos:
3x  2
x 1
a) Calcular el límite cuando x tiende a ∞
Dada la función f ( x) 
X
100
1000
10000
y

∞

b) Calcular el límite cuando X tiende a 1
En este caso hemos de calcular los límites laterales, es decir, el límite cuando nos acercamos a 1 por su
izquierda (por valores menores) el límite cuando nos acercamos por su derecha (por valores superiores)
Si nos acercamos a 1 por su izquierda:
X
0,9
0,99
0,999
y

1-

Si nos acercamos por su derecha:
X
1,01
1,001
1,0001
y

1+

Para que exista el límite de una función tienen que coincidir sus límites laterales.
Cálculo gráfico del límite. Para calcularlo hemos de hacer lo anterior pero en una gráfica. Veamos un ejemplo:
lim f(x) =
x  1lim f(x) =
x  1+
lim f(x) =
x ∞
lim f(x) =
x  -∞
Ejercicios:
8. Dada la función f ( x) 
a) lim f(x) =
x ∞
5x
calcula:
x3
b) lim f(x) =
x  3-
c) lim f(x) =
x  3+
d) lim f(x) =
x  -∞
9. Dada la gráfica
a) lim f(x) =
x  -∞
b) lim f(x) =
x  0c) lim f(x) =
x  0+
d) lim f(x) =
x  3e) lim f(x) =
x  3+
f) lim f(x) =
x  +∞
EJERCICIOS
1. ¿Cuáles de estas gráficas son funciones?
2. Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido:
3. Pepe y Susana han medido y pesado a su hijo, David, cada mes desde que nació hasta los 21 meses. Estas son las
gráficas de la longitud y del peso de David en función de la edad:
a) ¿Cuánto medía y pesaba David cuando nació?
b) ¿Cuánto creció David los seis primeros meses? ¿Y de los seis a los veintiún meses? ¿En qué meses fue mayor su
crecimiento?
c) ¿Cuánto aumentó de peso David los dos primeros meses? ¿Y del mes 12 al mes 18?
d) ¿Cuánto pesaba David cuando medía 80 cm? ¿Qué edad tenía entonces?
e) Indica el dominio y el recorrido de cada gráfica.
4. Esta es la gráfica de la evolución de la temperatura de un enfermo:
a) ¿Cuánto tiempo estuvo en observación?
b) ¿En qué día la temperatura alcanza un máximo? ¿Y un mínimo?
c) ¿En qué intervalos de tiempo crece la temperatura y en cuáles decrece?
d) ¿Qué tendencia tiene la temperatura?
e) Indica el dominio y el recorrido
5. Hemos sacado de la nevera un vaso con agua y lo hemos dejado sobre la mesa de la cocina. Esta gráfica muestra la
temperatura del agua en grados centígrados al pasar el tiempo.
a) ¿A qué temperatura está el interior de la nevera?
b) ¿A qué temperatura está la habitación?
c) Imagina que en ese mismo momento sacamos del microondas un vaso con agua a 98 °C y lo dejamos sobre la
mesa.
Dibuja una gráfica aproximada que muestre la temperatura del agua en este segundo vaso al pasar el tiempo.
6. Un nadador se deja caer desde un trampolín. Su entrenador ha medido el espacio que recorre cada cuatro décimas de
segundo mediante un método fotográfico. Obtiene la siguiente tabla:
El nadador se ha detenido a los 17 metros.
a) Representa la gráfica espacio-tiempo.
b) ¿Sabrías decir en qué momento entró en el agua?
c) ¿Qué velocidad estimas que llevaba en el momento de entrar en el agua?
d) ¿Qué altura tiene el trampolín?
7. Representa la función y = x3 – 3x + 2 definida en [–2, 3]. Para ello, completa la tabla:
¿Cuál es el recorrido de la función?
8. Cuando una persona sana toma 50 g de glucosa en ayunas, su glucemia (% de glucosa en la sangre) se eleva, en
una hora aproximadamente, desde 90 mg/dl, que es el nivel normal, hasta 120 mg/dl. Luego, en las 3 horas
siguientes, disminuye hasta valores algo por debajo del nivel normal, y vuelve a la normalidad al cabo de 5 horas.
a) Representa la curva de glucemia de una persona sana.
b) Di cuál es su máximo, su mínimo y explica su tendencia.
9. La intensidad del sonido de un foco sonoro es menor a medida que nos alejamos de él.
a) Representa la intensidad del sonido en función de la distancia al foco sonoro.
b) ¿Cuál es la tendencia?
10. Un triángulo isósceles tiene 20 cm de perímetro. Llama x al lado desigual e y a los lados iguales.
a) Haz una tabla de valores y, a partir de ella, escribe la función que nos da el valor de y dependiendo de x.
b) ¿Cuál es su dominio de definición?
c) Escribe la función que nos da el valor de x dependiendo de y.
11. De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales
miden x.
a) Escribe el área del octógono que resulta en función de x.
b) ¿Cuál es el dominio de esa función? ¿Y su recorrido?
Sol: a) A (x) = 16 – 2x2 b) Dominio: (0, 2). Recorrido: (8, 16)
12. Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones x, x/2 y 2x cm.
a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de x.
b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene 1 l de volumen. ¿Cuál es su recorrido?
Sol: a) V (x) = x3 b) Dominio: (0, 10). Recorrido: (0, 1 000)
13. Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:
Sol: a) R – {3} b) R – {–5} c) R d) R – {0} e) R – {–3, 2} f) R – {0, 1}
14. Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:
Sol: a) [–7, +∞) b) (–∞, 1] c) [3, +∞) d) (–∞, 0] e) R f) [–1, +∞)
15. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
Sol: a) (–∞, –3] ⋃ [3, +∞) b) (–∞, –7] ≪ [1, +∞) c) R d) {0} e) [–2, 2] f) [–2, 1]
16. Halla el dominio de definición de estas funciones:
Sol: a) (+∞, –3] U [3, +∞) b) R c) [0, 6] d) (–∞, –1] U [5, +∞) e) (–∞, 4) f) (–∞, 0) U (3, +∞)
g) R – {0, 1} h) R – {–1, 1}
17. Observa esta función dada gráficamente:
Calcula su T.V.M. en los intervalos [0, 4], [0, 5], [5, 7], [0, 7], [– 4, 0] y [–4, –2].
Copia en tu cuaderno la gráfica y dibuja en cada caso el segmento del cual estás hallando la pendiente.
Sol: 1 ; 1 ; -2 ; 1/7 ; -7/4 ; -3
18. Halla la T.V.M. de la función: y = 3x3 + 9x2 – 3x – 9 en los intervalos [–2, 0], [–1, 0], [–3, –1], [0, 1].
Sol: -9 ; -9 ; 0 ; 9
19. La posición de una partícula viene dada por la función:
s = (t4 – 8t 3 + 18t + 2)
Calcula la velocidad media de dicha partícula en los intervalos [2, 4], [1, 2], [1, 3], [2, 3].
Sol: 2 ; 13/2 ; 4 ; 3/2
20. De cada una de las siguientes funciones di:
a) En qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente.
b) Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos.
21. La gráfica adjunta describe el valor de una empresa desde que abrió.
Responde:
a) ¿Cuál era su valor en el momento de la apertura?
b) ¿A cuánto se redujo su valor después de 4 meses?
c) ¿Cuál es la T.V.M. en el intervalo [4, 12]? Da el resultado en miles de euros por mes.
d) ¿Cuál es la T.V.M. en [12, 14] y en [14, 20]?
e) Esta función tiene un máximo y dos mínimos relativos. Descríbelos.
f) ¿Cuál parece la tendencia de esta función para los próximos meses?
Sol: c) T.V.M. [4, 12] = 200 000 €/mes d) T.V.M. [12, 14] = –100 000 €/mes T.V.M. [14, 20] = 133 333 €/mes
22. ¿Es periódica esta función? ¿Cuál es su periodo?
Averigua los valores de la función en los puntos de abscisas x = 1, x = 3, x = 20, x = 23 y x = 42.
23. Continúa esta gráfica sabiendo que se trata de una función periódica. Di cuál es su periodo.
24. Calcula a, b y c para que los puntos A(–12, a), B(3/4, b) y C(0, c) pertenezcan a la gráfica de la función
y = 3x2 – x + 3.
Sol: a = 447 b = 63/16 c = 3
25. Observa la gráfica de la función y responde:
a) ¿Cuáles son su dominio de definición y su recorrido?
b) ¿Tiene máximo y mínimo relativos? En caso afirmativo, ¿cuáles son?
c) ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?
d) ¿En qué intervalos es la función creciente y en cuáles es decreciente?
26. a) Calcula la T.V.M. de la función y = 2x – 3 en los intervalos [0, 1], [5, 6], [1, 5], [0, 7].
b) Observa que en todos los intervalos el valor obtenido es igual. ¿Con qué elemento característico de la recta
coincide ese valor?
c) Generaliza completando la frase:
“En las funciones lineales, la T.V.M. en cualquier intervalo es igual a ………………………………”.
27. La expresión analítica de una función es de la forma y = ax3 + bx2 + c. Si sabemos que los puntos
A(0, –2), B(1, 5) y C(–2, –22) pertenecen a la gráfica, ¿cuáles serán los valores de a, b y c?
Sol: a = 4, b = 3, c = –2.
28. Di, razonadamente, si las siguientes frases son verdaderas o falsas:
a) Si una función es discontinua en un punto, dicho punto no pertenece al dominio de definición.
b) Si un punto no pertenece al dominio de definición de una función, esta no puede ser continua en ese punto.
c) Una función periódica podemos asegurar que es continua.
d) La pendiente de una recta es la T.V.M. de cualquier intervalo de esta.
29. Dibuja una función periódica de periodo 5 con un máximo relativo en x = 3 y con un mínimo relativo en x = 6.
30. Las siguientes gráficas corresponden a funciones discontinuas. Relaciona cada función con el motivo de su
discontinuidad.
31. Las cuatro gráficas siguientes corresponden a funciones discontinuas.
Para cada una de ellas, di:
a) Cuáles son los puntos de discontinuidad. Explica la razón de la discontinuidad en cada punto.
b) Cuál es su dominio de definición.
c) Indica si tiene máximos y mínimos relativos y di cuáles son.
d) En qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente.
32. a) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua?
b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad.
33. Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
Sol: a) 0 y –1 b) 2 c) -1/2 d) Continua e) 0 y 5 f) √2 y – √2
34. Indica para qué valores de Á son continuas las siguientes funciones:
Sol: a) R b) [3, +∞) c) (–∞, 0] d) (–∞, 5/2]
35. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican.
Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha del punto. Representa gráficamente los
resultados.
36. Di el límite cuando x → +∞ de las siguientes funciones dadas por sus gráficas:
37. Calcula el límite cuando x → +∞ de las siguientes funciones y representa sus ramas
38. Calcula el límite cuando x → +∞ de las siguientes funciones y representa sus ramas
39. Dada la función y 
2x
, halla:
1 x
Representa gráficamente los resultados obtenidos.
40. ¿Cuál es el límite de cada una de estas funciones cuando x → –2? Calcula los límites por la izquierda y por la
derecha.
41. Sobre la gráfica de la función f (x), halla:
42. Calcula el límite cuando x → +∞ y cuando x → –∞ de las siguientes funciones y representa las ramas que
obtengas:
43. Halla la función inversa de estas funciones:
a) y = 3x b) y = x + 7 c) y = 3x – 2
Sol: a) x/3
b) x – 7
c)
x2
3
44. Calcula la función inversa de estas funciones: a) y 
2x
3x  7
3x  9
b) y 
c) y 
x 5
2x  3
x
5x
7
9
b) y 
c) y 
x2
2x
x3
45. Si f (x) = 2x y g(x) = log2 x, ¿cuál es la función ( f ◦ g) (x)? ¿Y ( g ◦ f ) (x)?
Sol: a) y 
46. Halla la función inversa de estas funciones:
a) y = 3 · 2x – 1
Sol: a) 1  log 2
b) y = 1 + 3x
x
b) log 3 x  1
3
47. Dadas las funciones f (x) = x + 3 y g(x) = 5x/2 , halla:
a) f [g (2)]
b) g[ f (–1)] c) f [g (x)]
d) g[ f (x)]
5x
5 x  15
 3 d)
2
2
48. Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 – 2x obtén la expresión de las siguientes funciones:
a) f ◦ g
b) g◦ f
c) f ◦f
d) g ◦g
Sol: a) 2x2 – 4x + 3 b) 4x2 + 8x + 3 c) 4x + 9 d) x4 – 4x3 + 2x2 + 4x
49. Considera las funciones f y g definidas por f (x) = x2 + 1 y g(x) = 1/x
Sol: a) 8 b) 5 c)
Calcula:
a) ( f ◦g) (2)
b) ( g ◦f ) (–3)
c) ( g ◦g) (x)
d) ( f ◦g) (x)
1
1
x2
50. Dadas las funciones f (x) = 3x + 2 y g(x) = √x , halla:
a) ( f ◦ g) (x)
b) ( g ◦f ) (x)
c) ( g ◦g) (x)
Sol: a) 5/4 b) 1/10 c) x d)
Sol: a) 3√x + 2 b)
3x  2 c)
4
x
51. Calcula la función inversa de f ( x)  3x  2 y luego calcula f  f
Sol: f
1
x   x
2
1
4
2
y f  f 1 4  4
3
AUTOEVALUACIÓN
1. Dada la siguiente gràfica, calcula:
a) Dominio y recorrido de la función.
b) Escribe las zonas de crecimiento y decrecimiento.
c) Escribe las coordenadas de los máximos y los mínimos, si los hay.
2. Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y 
3x  12
3x 2  12 x
b) y  3x  15
3. Analiza si la siguiente función es periódica y, en caso afirmativo, calcula:
a) Su periodo.
b) Los valores de la función en los puntos de abscisas f(2) ; f( 3,5) ; f(26) y f(32).
4. Observa esta función dada gráficamente y calcula su T.V.M. en el intervalo [-2, 0] y dibuja el segmento del
cuál estás hallando la pendiente.
5.
Completa las siguientes expresiones añadiendo › , =, ‹
- La función es constante entre 2 y 7, entonces f(2) ….. f(7)
- La función es creciente entre 20 y 50, entonces f(20) …. F(50)
- la función es decreciente entre 4 y 9, entonces f(4) …. F(9)
6. Calcula los siguientes límites de la función del ejercicio 1:
f ( x) 
lim
x 3
f ( x) 
lim
x 3
f ( x) 
x 1
f ( x) 
lim
x 1
f ( x) 
lim
x 
lim
lim
x 
f ( x) 
7. Representa, haciendo una tabla de valores (da valores enteros), la función f(x) = x3 + 3x2 - 2 definida en el
intervalo [-3, 1].
8. Calcula el límite cuando x tiende a +∞ y el límite cuando x tiende a 5- de f ( x) 
2x  4
x 5
9. Indica el dominio y el recorrido de la función que a cada número par positivo le hace corresponder el número impar
que le sigue.
10. Calcula el recorrido de f ( x) 
2x  4
x 5
11. Dadas las funciones:
f (x) = 2x + 1;
halla:
a) g[ f (–2)]
b) f [g(0)]
g(x) = x2 – 5,
c) f ◦ f (x)
d) f ◦g(x)
e) f-1(x)
f) g-1(x)