1. Enunciado - Foros

1.
Enunciado
1. La radiación emitida por un cuerpo negro a 500 ◦ C incide sobre una superficie metálica cuya función de trabajo es φ = 0,214 eV .
a) Determinar cuál es la longitud de onda más larga que es capaz de
extraer electrones de la superficie.
b) ¿Que porción de la radiancia total es efectiva para producir fotoelectrones?
(Expresar el resultado en términos de una integral adimensional sobre
la distribución de Planck)
2. Se tiene un fotón de longitud de onda 3000 ± 5 Å
a) ¿Cuál es la incertidumbre de su posición?
b) ¿Qué energı́a cinética tendrı́a un electrón de la misma longitud de
onda?
3. Entre las posibles lı́neas de decaimientos del cadmio se observa la lı́nea
roja de 6438 Å.
a) ¿Cuál es la diferencia de energia ∆E que le da origen? (Observación:
no es necesario conocer los n de los estados inicial y final).
b) Determinar el desdoblamiento normal de Zeeman para la lı́nea 6438
Å cuando los átomos se introducen en un campo magnético de 9 mT .
Notas: Resolver sin considerar el spin. Tener en cuenta las reglas de selección.
L
L
<x< .
4
4
6πx iωt
e .
Se describe su comportamiento según la función Ψ(x, t) = A ∗ cos
L
4. Una partı́cula se encuentra en una zona del eje x acotada según −
a) Normalice la función Ψ(x, t) y obtenga el valor de la constante A.
b) Grafique la función Ψ(x, 0) y la densidad de probabilidad, ambas en
función de x en la región indicada.
Ayuda:
Z
cos2 (u)du =
1
1
u + sin(2u)
2
4
1
2.
Resolución
1. La radiación emitida por un cuerpo negro a 500 ◦ C incide sobre una superficie metálica cuya función de trabajo es φ = 0,214 eV .
a) Determinar cuál es la longitud de onda más larga que es capaz de
extraer electrones de la superficie.
b) ¿Que porción de la radiancia total es efectiva para producir fotoelectrones?
(Expresar el resultado en términos de una integral adimensional sobre
la distribución de Planck)
Cuando aplicamos el concepto del fotón de Einstein al efecto fotoeléctrico,
podemos escribir
hν = φ + Kmax
(1)
donde hν es la energı́a cinética del fotón. La ecuación (1) dice que un solo
fotón porta una energı́a hν hacia la superficie en donde es absorbida por
un solo electrón. Parte de esta energı́a (φ, llamada la función de trabajo
de la superficie emisora) se usa para provocar que el electrón escape de la
superficie del metal. El exceso de energı́a (hν − φ) se convierte en energı́a
cinética del electrón. Existe una frecuencia de corte donde Kmax = 0, de
modo que:
(2)
hν0 = φ
donde el fotón tiene justo la energı́a suficiente para expulsar a los fotoelectrones y nada extra aparece como energı́a cinética. Si ν se reduce por
debajo de ν0 , hν será menor que φ y no tendrá energı́a suficiente para
expulsar fotoelectrones, es decir, no se producirá efecto fotoeléctrico.1
De la ecuación (2) tenemos que la frecuencia mı́nima para que se produzca
el efecto fotoeléctrico es ν0 , entonces:
hνmin = h
c
=φ
λmax
Despejando y reemplazando tenemos
λmax = h
6,626 · 10−34 J · s · 2,998 · 108 m
c
s
=
= 6 · 10−6 m = 6µm
φ
3,428 · 10−20 J
λmax = 6µm
Para el siguiente punto, empezaremos a calcular la radiancia total.
Z ∞
RT (T ) =
R(λ, T )dλ = σT 4
(3)
0
donde es el coeficiente de emisividad. Siendo que en el problema se
plantea que la fuente de radiación es un cuerpo negro, el coeficiente de
emisividad es igual a uno.
Z ∞
W
W
4
R(λ, T )dλ = σT 4 = 5,67·10−8 2◦ 4 ·(773◦ K) = 20244 2
RT (T ) =
m K
m
0
1 Fı́sica
Vol. 2 Versión Ampliada 4ta edición. Halliday - Resnick Capitulo 49
2
Ahora plantearemos la radiancia efectiva para producir fotoelectrones. En
el punto anterior habı́amos calculado que habı́a un λmax para que se produzca el efecto fotoeléctrico. Para fotones con λ > λmax , el efecto fotoeléctrico no sucede. Entonces, la radiancia efectiva esta dada por los
fotones con longitud de onda menor a λmax :
Z λmax
RE (T ) =
R(λ, T )dλ
0
En este caso no podemos usar la ecuación (3) porque resuelve el caso
de que se tomen todas las longitudes de onda. En cambio, dejaremos el
resultado usando la distribución de Planck (como pide el enunciado)
Z λmax
Z 6µm
1
i dλ
RE (T ) =
R(λ, T )dλ =
2πhc2 h hc
0
0
λ5 e λkT − 1
La porción de la radiancia total efectiva para producir fotoelectrones es
2
Z
6µm
1
2πhc
RE (T )
=
RT (T )
h
λ5 e
0
hc
λkT
−1
i dλ
W
20244 m
2
; T = 773◦ K
2. Se tiene un fotón de longitud de onda 3000 ± 5 Å
a) ¿Cuál es la incertidumbre de su posición?
b) ¿Qué energı́a cinética tendrı́a un electrón de la misma longitud de
onda?
Del principio de incertidumbre tenemos la relación
∆x∆p ≥
h̄
2
(4)
por otro lado tenemos la longitud de onda de de Broglie
λ=
h
p
(5)
De aqui podemos obtener una expresión para ∆p
p=
h
λ
h
h
∆p = − 2 ∆λ = 2 ∆λ
λ
λ
h
∆λ
λ2
Juntando las ecuaciones (4) con (6) obtenemos
∆p =
∆x
h
h
∆λ ≥
λ2
4π
3
(6)
∆x ≥
λ2
4π∆λ
(7)
Resolvemos para los valores que propone el ejercicio usando la ecuacion
(7)
λ2
∆x ≥
4π∆λ
2
3000 · 10−10 m
∆x ≥
4π10 · 10−10 m
∆x ≥ 7 · 10−6 m
Para el siguiente punto, usaremos la fórmula de energı́a cinética clásica.
Antes de poder usar esta fórmula, debemos justificar porque usamos esta
y no la relativista. Utilizando la ecuación (5) calculamos el valor de p
p=
h
6,626 · 10−34 J · s
m
=
= 2,21 · 10−27 kg
λ
3000 · 10−10 m
s
Si reemplazamos y despejamos de la ecuación de cantidad de movimiento
relativista
mV
p= r
V2
1− 2
c
obtenemos que
m
V = 2425 c
s
Habiendo hecho esta aclaración podemos usar la fórmula clásica de energı́a
cinética
mV 2
K=
2
2mK = m2 V 2
2mK = p2
p2
2m
Utilizando la ecuación (8) calculamos la energı́a cinética
2
2,21 · 10−27 kg m
p2
s
K=
=
= 2,68 · 10−24 J
2m
2 · 9,109 · 10−31 kg
K=
(8)
No debemos olvidarnos de calcular la incertidumbre del valor recién calculado. Utilizando nuevamente la ecuación (8) junto con (6)
2p ∆p = p ∆p = p h ∆λ
∆K = 2m m
m λ2
∆K = 1,79 · 10−26 J = 0,0179 · 10−24 J ≈ 0,02 · 10−24 J
Por lo tanto, el valor de energı́a queda:
4
K = (2,68 ± 0,02)10−24 J
3. Entre las posibles lı́neas de decaimientos del cadmio se observa la lı́nea
roja de 6438 Å.
a) ¿Cuál es la diferencia de energia ∆E que le da origen? (Observación:
no es necesario conocer los n de los estados inicial y final).
b) Determinar el desdoblamiento normal de Zeeman para la lı́nea 6438
Å cuando los átomos se introducen en un campo magnético de 9 mT .
Notas: Resolver sin considerar el spin. Tener en cuenta las reglas de selección.
El primer punto se resuelve fácilmente utilizando el postulado de la frecuencia de Bohr2
hνnm = En − Em = ∆E
(9)
La ecuación (9) nos quiere decir que si un átomo cambia de su estado de
energı́a inicial En a un estado de energı́a final (menor) Em , la energı́a del
fotón emitido es ∆E. Entonces, reemplazando en la ecuacion (8) νnm por
la relación correspondiente con la longitud de onda obtenemos
h
∆E =
c
= ∆E
λnm
6,626 · 10−34 J · s · 2,998 · 108 m
s
= 3,086 · 10−19 J
6438 · 10−10 m
L
L
<x< .
4
4
6πx iωt
Se describe su comportamiento según la función Ψ(x, t) = A ∗ cos
e .
L
4. Una partı́cula se encuentra en una zona del eje x acotada según −
a) Normalice la función Ψ(x, t) y obtenga el valor de la constante A.
b) Grafique la función Ψ(x, 0) y la densidad de probabilidad, ambas en
función de x en la región indicada.
Como la partı́cula se encuentra acotada en una zona, la probabilidad de
encontrarla en algun lugar de esa zona es 1. Para eso debemos integrar la
función densidad de probabilidad en dicha zona e igualarla a 1. La fórmula
densidad de probabilidad es
6πx
2
2
2
P (x) = |Ψ(x)| = A cos
L
planteamos que la probabilidad de encontrar a la partı́cula dentro de la
zona donde esta acotada es igual a 1
Z
L
4
P (x)dx = 1
−L
4
2 Fı́sica
Vol. 2 Versión Ampliada 4ta edición. Halliday - Resnick Capitulo 50
5
L
4
Z
A2 cos2
−L
4
6πx
L
dx = 1
Proponemos el siguiente cambio de variables
θ=
6πx
L
dx =
dθL
6π
los lı́mites de integración cambian
x=−
x=
3
L
−→ θ = − π
4
2
3
L
−→ θ = π
4
2
reemplazando quedarı́a
Z
3
2π
A2 cos2 (θ)
− 32 π
A2 L
6π
A2 L
6π
Z
3
2π
3
2π
cos2 (θ)dθ = 1
− 32 π
cos2 (θ)dθ =
− 32 π

Z
L · dθ
=1
6π
32 π
A2 L 1
1
θ + sen(2θ)
=1
6π 2
4
−3π
2
0
0


A2 L  3
1 z }| {
3
1 z }| {
π + sen(3π) − − π + sen(−3π) = 1
6π 4
4
4
4
A2 L 3
A2 L
π=
=1
6π 2
4
r
A=
6
4
L
Figura 1: Función de onda Ψ(x, 0)
Figura 2: Función densidad de probabilidad P (x)
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