Práctico 7 1. Sea H un espacio de Hilbert y {en : n ∈ Z} un conjunto

Introducción a Ecuaciones Diferenciales
Curso 2014
Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Práctico 7
1. Sea H un espacio de Hilbert y {en : n ∈ Z} un conjunto ortonormal.
Probar que es una base de Hilbert si y solamente si se cumple la igualdad
de Parseval para todo par de vectores x e y en H:
X
< x, y >=
< x, en > < y, en >
n
.
2. Sea H un espacio de Hilbert y {en : n ∈ Z} una
de Hilbert. Probar
P base
que si {an : n ∈ N} es una sucesión tal que
|an |2 converge, entonces
existe un único elemento x de H tal que < x, en >= an para todo n ∈ N.
3. Hallar la serie de Fourier de las funciones definidas por:
π si −π ≤ x ≤ π/2
a) f (x) =
0 si π/2 < x ≤ π
0
si −π ≤ x < 0
b) f (x) =
sin x si 0 ≤ x ≤ π
4.
a) Hallar la serie de Fourier de la función definida por
f (x) = ex , −π ≤ x ≤ π.
b) Dibujar el gráfico de la suma de esa serie sobre el intervalo [−5π, 5π].
c) Concluir que
∞
X
1
1 π
1
=
−
1
.
n2 + 1
2 tanh π
5. En los siguiente casos escribir la serie de Fourier de senos y la serie de
Fourier de cosenos de la función f definida en (0, π).
1 si 0 < x < π/2
a) f (x) = 1 b) f (x) = π − x c) f (x) =
0 si π/2 ≤ x < π
6. En los siguientes casos demostrar la validez de la igualdad:
P∞
sin 2nx
a) cos x = 8/π n=1 n4n
2 −1 , ∀x ∈ (0, 2π)
P∞ cos 2nx
b) | sin x| = 2/π − 4/π n=1 4n2 −1 , x ∈ R
Calcular
+∞
X
1
2−1
4n
n=1
1
y
+∞
X
(−1)n
4n2 − 1
n=1
7. Sea f : R → R una función periódica de período 2L dada por
2 − x si 0 ≤ x ≤ L
f (x) =
2 + x si −L ≤ x ≤ 0
Calcular las reducidas n−ésimas de la serie de Fourier de f y graficar la
función a la cual convergen puntualmente.
8. P
Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones
∞
n=1 an (x) cuando
a) an (x) =
9.
sin(nx)
n2
b) an (x) =
n2
1
+ x2
a) Sea f : X →PR una función tal que sup{|f (x)| : x ∈ X} < 1.
Mostrar que
f (x)n converge uniformemente y calcular su suma.
b) Estudiar la convergencia puntual y uniforme (calculando
la suma
P∞
cuando corresponda) para las series de funciones n=1 an (x) para
an (x) =
n
n
1−x
(−1)n 1 − x
a)
b)
c) xe−nx
1+x
2n
1+x
10. Se considera la sucesión de funciones
fn (x) =
1
1 + x2n
donde n ≥ 0. Hallar el límite puntual de la sucesión y concluir que la
convergencia no es uniforme en R.
11. Consideremos la sucesión de funciones en R
x
fn (x) =
1 + nx2
a) Calcular el límite puntual de las sucesiones fn y fn0 a los que llamaremos f y g.
b) Probar que f 0 (x) existe para todo x ∈ R pero f 0 (0) 6= g(0).
c) Estudiar en qué conjuntos X ⊂ R hay convergencia uniforme de fn
a f y en cuales hay convergencia uniforme de fn0 a g.
Ejercicios complementarios (desafiantes) Estos ejercicios no son importantes para el curso y quedan como complemento al práctico, está prohibido
intentar hacer estos ejercicios a cualquiera que no haya cursado Topología.
12. Sea A un conjunto arbitrario. Se considera el conjunto D de las partes
finitas de A, que ordenado por la inclusión resulta ser un conjunto dirigido.
Para
x : A → C se define la red Sx : D → C como Sx (F ) =
P una función
2
2
a∈F |x(a)| . Se define ` (A) como el conjunto de todas las funciones
x : A → C tales que la red Sx es convergente.
2
a) Probar que `2 (A) es un espacio vectorial sobre C.
P
b) Probar que si x e y están en `2 (A), entonces la red F → a∈F x(a)y(a)
es convergente y define un producto interno < x, y > en `2 (A).
c) Probar que `2 (A) es un espacio de Hilbert.
d) Defina, para cada a ∈ A, el elemento ea ∈ `2 (A) como ea (b) = 0 si
b 6= a y ea (a) = 1. Probar que el conjunto U = {ea : a ∈ A} es una
base de Hilbert de `2 (A).
e) Sean A1 y A2 conjuntos arbitrarios. Probar que `2 (A1 ) es isomorfo
como espacio de Hilbert con `2 (A2 ) si y sólo si el cardinal de A1 es
igual al cardinal de A2 . Por eso escucharán decir que hay un único
modelo de espacio de Hilbert para cada cardinal.
13. Sea H un espacio de Hilbert, I un conjunto arbitrario y U = {ei : i ∈ I}
un conjunto ortonormal de H. Sea D el conjunto dirigido formado por las
partes finitas de I con el orden de inclusión.
a) Probar que para cada x ∈ H, la red
X
F ∈D→
< x, ei > ei ∈ H
i∈F
es convergente a un elemento de H denotado por PU (x).
b) Probar que si V denota a la clausura del subespacio generado por U ,
entonces son equivalentes:
1)
2)
3)
4)
V =H
PU (x) = x para todo x ∈ H.
x ⊥ ei para todo i ∈ I implica x = 0.
Para todo x ∈ H se cumple que la red
X
F ∈D→
| < x, ei > |2
i∈F
converge a kxk2 .
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