TRANSFORMADOR DE HILBERT 1. Peque˜na explicación sobre un

TRANSFORMADOR DE HILBERT
1. Pequeña explicación sobre un transformador de Hilbert
La respuesta en frecuencia (ideal) de un transformador de Hilbert de tiempo contı́nuo,
es:

 −j si Ω > 0,
0
si Ω = 0,
(1.1)
H(jΩ) =
 j
si Ω < 0.
Es sabido que si x(t) es una señal real entonces la transformada de Fourier satisface
X(jΩ) = X(−jΩ). Sea y(t) la respuesta del transformador de Hilbert a la entrada x(t).
La transformada de Fourier de y(t) satisface,
(1.2)

 −jX(jΩ) si Ω > 0,
0
si Ω = 0,
Y (jΩ) = H(jΩ)X(jΩ) =
 jX(jΩ)
si Ω < 0.
Si se define z(t) = x(t) + jy(t), es decir que la parte real de z(t) es la señal original
x(t) mientras que la parte imaginaria es la salida del transformador de Hilbert, entonces
la transformada de Fourier de z(t) será:
(1.3)

 2X(jΩ) si Ω > 0,
X(jΩ) si Ω = 0,
Z(jΩ) = (1 + jH(jΩ))X(jΩ) =
 0
si Ω < 0.
Esta señal z(t) (que no es real) tiene la particularidad de poseer el mismo espectro que
x(t) (salvo una constante) para Ω > 0, mientras que su espectro es cero para Ω < 0. Es
decir, el espectro de esta señal ocupa la mitad del ancho de banda, por lo tanto se la puede
muestrear a la mitad de la tasa que requiere la señal original x(t), sin perder información
(hemos quitado la parte redundante del espectro).
2. Transformador de Hilbert digital
La respuesta de un transformador de Hilbert (ideal) digital, incluyendo el término de
fase lineal serı́a:
(2.1)

j
 −e 2 (π−ωN ) si ω > 0,
0
si ω = 0,
H(ejω ) =
 j (π−ωN )
si ω < 0.
e2
Dado que φ0 = π2 el tipo de filtro que se puede usar es de tipo III o IV. La respuesta al
impulso para este filtro serı́a:
1
TRANSFORMADOR DE HILBERT
Z 0
Z π
j
j
1
(π−ωN
)
jωn
(π−ωN
)
jωn
H(e )e dω =
e2
e2
e dω −
e dω
2π
−π
−π
0
Z π
jπ Z
0
π 0
1
e2
j(n−N/2)ω j(n−N/2)ω j(n−N/2)ω
j(n−N/2)ω
e
e
dω −
e
dω =
=
−e
2π
−π
0
2π(n − N2 )
−π
0
1
{1 − cos [(n − N/2)π]} si n 6= N/2,
π(n−N/2)
=
0
si n = N/2.
1
h(n) =
2π
Z
π
2
jω
jωn