Cálculo Integral Enero 2016

Cálculo Integral
Laboratorio #1
Enero 2016
Antiderivadas
I.- Halle las siguientes integrales indefinidas.
𝟑
1) ∫ (𝐱 𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟏) 𝒅𝒙
2) ∫(2𝑥 + 3) (𝑥 − 1) 𝑑𝑥
4𝑦+3 𝑑𝑦
11) ∫ (4𝑦+5 )3
3
12) ∫ 𝑥 2 √ 5𝑥 − 2 𝑑𝑥
1
3) ∫ (2 𝑤 2 + 3) (3𝑤 2 − 2) 𝑑𝑤
13) ∫ 𝑐𝑜𝑠 −3 (5𝑥) sen(5𝑥) 𝑑𝑥
4) ∫(3𝑥 + 2)2 𝑑𝑥
14) ∫ √5 − 𝑦 (𝑦 + 2)2 𝑑𝑦
5) ∫(2𝑦 2 − 1 )2 𝑑𝑦
15) ∫ cos(10 − 4𝑥) 𝑑𝑥
6) ∫
(2 𝑥 2 +1)(3𝑥− 5)𝑑𝑥
𝑥6
1
7) ∫
8) ∫
𝑥 2 −3𝑥 2 +10 𝑑𝑥
𝑥4
16) ∫ sec( 5𝑥) tan( 5𝑥) 𝑑𝑥
17) ∫ 𝑠𝑒𝑛3 (4𝑥) cos(4𝑥) 𝑑𝑥
18∫ √cos 𝑥 + 2 (sin(𝑥) cos(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑑𝑥
2
(3𝑥 +2) 5
9) ∫ 𝑥 2 (5𝑥 3 − 20)3 𝑑𝑥
10) ∫
𝑡 𝑑𝑡
√𝑡+2
II.- Calcule.
1) 𝐷𝑥 (∫
𝑑𝑥
3
(3+6𝑥)4
)
2) ∫ 𝐷𝑦 (3 + √𝑦) 𝑑𝑠
Página 1 de 15
Cálculo Integral
Laboratorio #2
Enero 2016
Aplicaciones de Antiderivadas
I.-Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
1)
2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
=
𝑥 2 +3𝑥+2
(𝑦+1)2
(3 𝑥 +4) 4
2
(5 𝑦−2 )3
3) 𝑦 ′′ = cos 3𝑥
4) 𝑦 ′′′ = 𝑥 2 − 3 cos 𝑥 + 2𝑥 + 3
5) 𝑦 ′′ = 6 𝑥 + 5 ; 𝑦(0) = 1 , 𝑦 ´(0) = −1
II.1) En cualquier punto (x, y) de una curva se tiene 𝐷𝑥3 (𝑦) = 4 𝑥 2 + 3 𝑥 − 2. Si el
punto (0, 1/4) es un punto de inflexión en el cual la pendiente de la recta
tangente es 1, halle su ecuación.
2) Halle la ecuación de la curva cuya pendiente de la recta tangente en
cualquier punto está dada por 1 - sen(x), y pasa por el punto (𝜋, −1).
III.1) Determine la función de posición de una partícula en movimiento que tiene
aceleración dada por a(t), siendo la posición inicial 𝑥0 = 𝑥(0) y la velocidad
inicial 𝑣0 = 𝑣(0)
a) 𝑎(𝑡) =
3
√𝑡+4
;
𝑣0 = −1, 𝑥0 = 1
2) Dada la aceleración a = 3 s - 4 y la velocidad v = 5 , cuando s = 3 , formule la
ecuación que incluya a v y s .
3) Una partícula se mueve en línea recta sujeta a las condiciones dadas.
Determine s(t) :
a) 𝑎(𝑡) = 3𝑡 2 , 𝑣(0) = 20 , 𝑠(0) = 5
b) 𝑎(𝑡) = −980 , 𝑣(0) = −100 , 𝑠(0) = 400
Página 2 de 15
Cálculo Integral
Enero 2016
Laboratorio #3 Integral definida
I.-Calcule la suma indicada, aplicando propiedades y formulas.
1)
2)
3)
4)
∑20
𝑖=1(2𝑖 − 3)
3
∑50
𝑖=1(2𝑖 − 5𝑖 + 3)
∑10
𝑖=1(2𝑖 + 1)(3𝑖 − 2)
3
∑30
𝑖=1(𝑖 + 1)
5) ∑40
𝑖=1
(2𝑖+𝑖 2 )(2𝑖−𝑖 2 )
𝑖
II.-Calcule el límite indicado.
1) lim ∑𝑛𝑖=1 15𝑖
𝑛→∞
2𝑖 3
2
2) lim ∑𝑛𝑖=1 (1 + 𝑛 ) (𝑛)
𝑛→∞
III.-Halle el área de la región acotada por la gráfica de las ecuaciones dadas.
1)
2)
3)
4)
5)
𝑦 = 2𝑥, 𝑥 = 2, 𝑥 = 5, 𝑒𝑗𝑒 𝑥
y = 3 - x , x = -1, eje x
𝑦 = 2𝑥 2 + 2𝑥, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3
𝑦 = 𝑥 3 − 4𝑥 2 , 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 = 5
𝑦 = |𝑥 + 1| + |𝑥|, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 = −2, 𝑥 = 1
IV.-Calcule la integral indicada, utilizando definición.
3
1) ∫−3(3 − 3𝑥)𝑑𝑥
1
2) ∫−1(𝑥 2 − 𝑥)𝑑𝑥
0
3) ∫−2(5 − 𝑥 3 )𝑑𝑥
Página 3 de 15
Cálculo Integral
Enero 2016
Laboratorio #4 Propiedades de la integral definida
I.- Dado que:
3
∫−1 𝑥 3 𝑑𝑥 = 20,
3
∫−1 𝑥 2 𝑑𝑥 =
28
3
3
𝜋/3
, ∫−1 𝑥𝑑𝑥 = 4, ∫0
1
𝜋/3
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 2 , ∫0
cos 𝑥 𝑑𝑥 =
√3
2
Calcule:
3
1) ∫−1(5 − 8𝑥)𝑑𝑥
−1
2) ∫3 (2 + 3𝑥)(4 − 𝑥)𝑑𝑥
1
1
2 2𝑥𝑑𝑥 − 2 2𝑥𝑑𝑥
3) ∫−1
∫3
𝜋
𝜋
4) ∫04 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 + ∫𝜋3 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
4
3
5) ∫−1(𝑥 2 + 3𝑥)𝑑𝑥
II.-Sin calcular las integrales, pruebe que:
2
2
1
1
1)∫1 𝑥 3 𝑑𝑥 ≥ ∫1 𝑥 2 𝑑𝑥
2)∫0 √𝑥𝑑𝑥 ≥ ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥
III. Halle un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral definida dada.
5 𝑑𝑥
1)∫2
𝑥−1
2 𝑥−1
2)∫0
𝑥 2 +1
𝑑𝑥
𝜋
3
𝜋
4
3)∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥
Página 4 de 15
Cálculo Integral
Enero 2016
Laboratorio # 5 Teorema Fundamental del Cálculo
I.-Utilice el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular la integral definida dada.
1
1) ∫−1(𝑥 3 − 3𝑥 2 + 18)𝑑𝑥
3
8) ∫0 |3𝑥 − 2|𝑑𝑥
3
2) ∫0 (4𝑥 + 1)(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥
4
1
4
10) ∫0 |𝑥 2 − 9| 𝑑𝑥
3) ∫0 (𝑥 2 + 3)3 𝑑𝑥
3
1
5 𝑥 ⁄2 +𝑥−𝑥 ⁄2 +2
𝑥
4) ∫1
2
9) ∫−3|𝑥 + 1| 𝑑𝑥
𝑑𝑥
0
11) ∫− 𝜋 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥
4
√7
5) ∫0 𝑥 3 √𝑥 2 + 9 𝑑𝑥
3𝜋
⁄
12) ∫𝜋⁄ 4(𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1) 𝑑𝑥
2
2
6) ∫0 𝑥√2𝑥 2 + 1 𝑑𝑥
𝜋⁄
13) ∫𝜋⁄ 2 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑐𝑡𝑔2 𝑥 𝑑𝑥
6
3 𝑥 3 𝑑𝑥
7) ∫0
𝜋
14) ∫02 √𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃
√𝑥 2 +1
II.- Halle .
1)
2)
𝑑
𝑥
(∫ √𝑡 2 + 1 𝑑𝑡)
𝑑𝑥 1
𝑑
𝑑𝑥
3
3)
𝑑
𝑥
(∫ √1 + 𝑡 2 𝑑𝑡)
𝑑𝑥 −𝑥
(∫𝑥 √𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡 )
III.-Halle el área de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones dadas, expresándola
mediante una integral definida y calculando esta por Teorema Fundamental del Cálculo.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
𝑦 = 6 − 𝑥 − 𝑥 2 , 𝑒𝑗𝑒 𝑥
𝑦 = |𝑥 − 1| + 3; 𝑦 = 0, 𝑥 = −2, 𝑥 = 4
𝑥 3 = 2𝑦 2 ; 𝑥 = 0, 𝑦 = −2
𝑦 = √1 − 𝑥, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 = 3
2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 = −3, 𝑥 = 1
𝜋
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 ∈ [0; ]
4
7) 𝑦 = |𝑥| + 3, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 = 2
Página 5 de 15
Cálculo Integral
Laboratorio # 6
Enero 2016
Área y Volumen
I.-Determine el área de la región limitada por las curvas y rectas dadas.
1) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = −3𝑥, 𝑦 = 6
2) 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3, 𝑦 = −𝑥 2 − 𝑥 + 12
3) 𝑦 = 𝑥 4 − 4𝑥 3 , 𝑦 = 0
4) 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥, 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1
𝜋
5) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 , 𝑒𝑗𝑒 𝑥 , 𝑥 ∈ [− 3 , 0]
−𝜋 𝜋
6) 𝑦 = 2 cos 𝑥 , 𝑦 = − cos 𝑥 , 𝑥 ∈ [ 2 , 2 ]
7) 𝑦 2 = 𝑥
, 𝑥−𝑦−2= 0
8) 𝑦 2 = 2 − 𝑥 , 𝑦 = 𝑥
II.- Halle el volumen del solido de revolución generado al girar la región limitada por las curvas y
rectas dadas, alrededor del eje indicado, utilizando el método del “disco”.
1) 𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑦 = −𝑥 + 1, 𝑥 = 0 , alrededor de: i) x=0 ii) x = -2
2) 𝑦 = 9 − 𝑥 2 , 𝑒𝑗𝑒 𝑥
, alrededor de: i) eje x ii)y = -2
3) 𝑦 = 𝑥 3 + 1, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑒𝑗𝑒 𝑦 alrededor de: i) eje x ii)y = 1
4) 𝑦 = (𝑥 − 2)2 , 𝑦 = 10 − 5𝑥 alrededor de: i) eje x ii)y = 10
5) 𝑦 = −|𝑥 − 3|; 𝑥 = 1, 𝑥 = 5, 𝑦 = 0 alrededor de: i) y = 0 ii) y = 3
Página 6 de 15
Cálculo Integral
Laboratorio #7
Enero 2016
Volumen y Longitud de arco
I.- Halle el volumen del solido de revolución ganado al girar la región limitada por la curva
y rectas dadas, alrededor del eje indicado, utilizando el método de la “corteza”.
1) 2𝑥 − 𝑦 − 12 = 0, 𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0, 𝑥 = 0; alrededor de: i) x = 0
2) 𝑦 2 = 1 − 𝑥, 𝑥 = 0; alrededor de: i) x = 0
ii)x = -1
ii)x = -2
3) 𝑦 = 𝑥 2 (1 − 𝑥), 𝑦 = 0; alrededor de: i) x = 0
ii)x = 2
4) 𝑦 3 = 𝑥, 𝑥 = 8, 𝑦 = 0; alrededor de: i) y = -1
ii)y = 4
5) 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2), 𝑒𝑗𝑒 𝑥; alrededor de: i) x = 2
ii)x = -1
II.- Halle la longitud del arco de curva representada por la ecuación dada, entre los puntos
indicados.
2
1) 9𝑦 2 = 𝑥(𝑥 − 3)2 ; 𝐴 (1, 3) , 𝐵 (2,
√2
)
3
2) (𝑦 + 1)2 = 4(𝑥 + 1)3 ; 𝐴(−1, −1), 𝐵(0, 1)
tan(𝑥)
1
𝑑𝑡
1+𝑡 2
3)
𝑦 = ∫2
4)
𝑦 = 5 − √𝑥 3 A(1,4)
, 𝑥=
𝜋
6
, 𝑥=
𝜋
4
B(4,-3)
Página 7 de 15
Cálculo Integral
Enero 2016
Laboratorio # 8 Función inversa
I.- Determine si la función dada es uno a uno en su dominio o en el dominio indicado. Si
no lo es, restrinja el dominio para que sí lo sea.
1)
2)
3)
4)
𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 5
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 1 , 𝑥 < 0
𝑓(𝑥) = 2 − √2 − 𝑥 , 𝑥 ≤ 2
5) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥+3
𝜋
𝜋
6) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 (𝑥 − 2 ) , 𝑥 ∈ ( 2 , 𝜋)
7) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3/4
II .a)
b)
c)
d)
e)
Determine si existe la inversa de la función dada (en su dominio).
Si no existe, restrinja el dominio para que si exista.
Halle 𝑓 −1 (𝑥), si es posible.
Halle el dominio y rango de 𝑓 y 𝑓 −1 .
Grafique ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas.
1)
2)
3)
4)
𝑓(𝑥) = 4 + 2𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2
𝑓(𝑥) = 8𝑥 3 − 1
𝑓(𝑥) = 1 + √1 − 𝑥
5)
𝑓(𝑥) =
6)
7)
8)
𝑓(𝑥) = −cos(2𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 1
𝑓(𝑥) = 2x 3 + 𝑥 + 20
1−3𝑥
𝑥
Página 8 de 15
Cálculo Integral
Enero 2016
Laboratorio # 9 Función inversa
I.-
a)Halle el punto en la gráfica de 𝑓, para el valor de x indicado.
b)Sin obtener 𝑓 −1 , halle el punto de la gráfica de 𝑓 −1 correspondiente al punto obtenido
en a).
c)Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 −1 en el punto obtenido en b).
1
1) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 + 𝑥 − 7;
2𝑥+1
2) 𝑓(𝑥) = 4𝑥−1 ;
𝑥=3
𝑥=0
3) 𝑓(𝑥) = (𝑥 5 + 1)3 ; 𝑥 = 1
𝑥
4) 𝑓(𝑥) = ∫1
𝑑𝑥
1
(4𝑡 2 −12𝑡+9) ⁄2
𝑥 = 1⁄4
1⁄
2
5) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3(4𝑥 2 − 1)
𝑥 = −2
II.- Halle (𝑓 −1 )′(𝑑)
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 𝑥 + 20;
𝑑=2
𝑥
2) 𝑓(𝑥) = ∫2 √9 + 𝑡 4 𝑑𝑡;
𝑑=0
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 7, 𝑥 ≤ 3; 𝑑 = 0
4) 𝑓(𝑥) = √4𝑥 + 2 ; 𝑑 = 2
Página 9 de 15
Cálculo Integral
Enero 2016
Laboratorio # 10 Funciones trigonométricas inversas
I.- Halle 𝐷𝑥 𝑦 , simplifique resultado.
1) 𝑦 = tan(sin−1 𝑥 2 )
5) 𝑦 = sec −1 √3𝑥 + 1
6) 𝑦 = sec −1(√𝑥)
7) tan−1(𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2
2) 𝑦 = 2 cos−1 𝑥 + 2𝑥√1 − 𝑥 2
3) 𝑦 = 𝑥 3 tan−1 (2𝑥)
𝑥
4) 𝑦 = cot −1 (2𝑥) − tan−1(𝑥+1)
II.- Calcule las siguientes integrales.
1
1) ∫04(1 − 4𝑥 2 )−
1
1
2
3
𝑑𝑥
6) ∫√3 9+𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2) ∫06 √1−9𝑥 2
7) ∫
𝑥+2√𝑥(𝑥+4)
3) ∫0
8) ∫ (3𝑥
4)
9) ∫ 1+𝑦 2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
1 𝑥+2
𝑑𝑥
√4−𝑥 2
4
2 𝑥 −15
∫0 𝑥 2 +4 𝑑𝑥
𝑑𝑥
1
2 −7)−2
𝑥
𝑑𝑥
1−𝑦 2
5) ∫ 𝑥 2 −4𝑥+7
III.-
𝑥
1) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = sin−1 (2) en el punto cuya
abscisa es 1.
2) Halle el área de la región acotada por:
1
a) 𝑦 = 𝑥 2 +2𝑥+5 , y = 0 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = 3,
b) y = (24 + 2x – x 2) - ½ , x = 2 , x = 4
3) Halle el volumen del sólido generado al girar la región acotada por:
1
2
1
a) 𝑦 = √1+9𝑥 2 , 𝑦 = √1+16𝑥2 , 𝑥 = ± 2 alrededor del eje x.
b) 𝑦 =
1
3
√𝑥2 +1
𝑥 = 0 , 𝑥 = 3 , 𝑒𝑗𝑒 𝑥 alrededor de 𝑦 = −2 .
Página 10 de 15
Cálculo Integral
Laboratorio # 11
Enero 2016
Función Logaritmo natural
I.- Halle 𝐷𝑥 𝑦, simplifique.
1) y = ⌈ln(3𝑥 − 1)⌉2
4) 𝑦 = 𝑙𝑛(cos 7𝑥)
5) 𝑦 = ln(𝑥𝑦)
6) 𝑦 = ln(𝑥𝑦 2 )
4𝑥+2
2) y = ln (5𝑥−8)
3) 𝑦 = √𝑙𝑛√𝑥
𝑑𝑦
II.- Utilice diferenciación logarítmica para calcular 𝑑𝑥
1) 𝑦 =
(𝑥 2+4 )(𝑥 2 − 16)
2) 𝑦 =
𝑥 3 (𝑥−3)4
𝑥 10 √𝑥 2 +5
3
√8𝑥 2 +2
III.1) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥 2 − 3) en el punto
cuya abscisa es 2.
2) Grafique las siguientes funciones.
a) 𝑓(𝑥) = ln|𝑥 + 2|
b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(4𝑥)
c) 𝑓(𝑥) = 2 − 2 ln(2𝑥 − 2)
IV.- Calcule las siguientes integrales.
𝑑𝑥
𝑥 2 𝑑𝑥
1)∫ 2𝑥−1
5)∫ 3−4𝑥 3
2)∫ 2𝑥 3 +3𝑥−1 𝑑𝑥
6)∫−3 |2𝑥−10|
3)∫ 𝑋
7)∫ 𝑥 csc(2 − 5𝑥 2 ) 𝑑𝑥
2𝑥 2 +1
2
𝑑𝑥
𝑙𝑛𝑥
4 𝑑𝑥
4)∫0 2𝑥+1
2𝑥 𝑑𝑥
𝑥(𝑥−2)
8) ∫ (𝑥−1)3 𝑑𝑥
V.1) Halle el área de la región acotada por:
1
a) 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = 𝑥 , 𝑥 = 3
1
b) 𝑦 = 2𝑥 −1 , 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 = 2 , 𝑥 = 4
2) Halle el volumen del sólido generado al girar la región acotada por
𝑦=
1
√𝑥+1
, 𝑥 = 1, 𝑥 = 4, 𝑦 = 0 alrededor de eje x.
𝜋
3) Halle la longitud de arco de la curva 𝑦 = 𝑙𝑛(cos 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥𝜖 [0, 4 ].
Página 11 de 15
Cálculo Integral
Laboratorio #12
Enero 2016
Función exponencial natural
I.- Halle 𝐷𝑥 𝑦, simplifique.
1) y = tg (𝑒 3𝑥 + 2)
3) y =ln (1−𝑒 3𝑥 )
2) y = 𝑒 −𝑥 𝑐𝑡𝑔(𝑒 𝑥 )
4) y = 𝑒 3𝑥 +1
1+𝑒 3𝑥
𝑒 3𝑥 −1
II.- Calcule las siguientes integrales.
1) ∫ 𝑒 3𝑥+2 𝑑𝑥
7) ∫(2 − 𝑒 3𝑥 )2 𝑑𝑥
𝑒 2𝑥
2) ∫ 𝑒 2𝑥 +1 𝑑𝑥
2𝑦
3) ∫ 𝑒 √4 +
𝑒 2𝑦
𝑑𝑦
𝑒 3𝑥
𝑒 2𝑥 −𝑒 −2𝑥
8) ∫ 𝑒 2𝑥 +𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥
1
9) ∫−1(𝑒 𝑥 − 1)𝑑𝑥
4) ∫ 𝑒 𝑥 +2 𝑑𝑥
√3
1
2
10) ∫0 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
5) ∫0 𝑒 5𝑥+2 𝑑𝑥
6) ∫ 𝑒 𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑠𝑒𝑛7𝑥 𝑑𝑥
11) ∫
𝑒 3𝑥 +𝑒 2𝑥
𝑒 𝑥 −1
𝑑𝑥
III.1) Trace la gráfica de las funciones siguientes.
a) f(x)=𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥
b) f(x)=𝑒 −2𝑥
2
2) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y=𝑒 2𝑥 + 𝑒 −2𝑥 , en el punto
cuya abscisa es ln (1/2).
3) Halle el área de la región limitada por y=𝑒 𝑥 + 1, y=𝑒 −𝑥 + 1, x=ln (1/2), x= ln
(1/3).
4) Halle el volumen del solido generado al girar la región acotada por y=𝑒 5𝑥 ,
y=𝑒 −5𝑥 , x = 2, alrededor de: i) eje x ii) y= -1.
Página 12 de 15
Cálculo Integral
Laboratorio #13
Enero 2016
Funciones Exponenciales de otras bases
I.- Halle 𝐷𝑥 𝑦, simplifique.
2
1) 𝑦 = 2𝑥 + 2𝑥
2)𝑦 = 4 𝑥 3 log 5 (𝑥 4 )
𝑥 2 +3
3)𝑦 = log 3 (
)
4) log 3 (𝑥 𝑦) = 𝑥
𝑥 3 −2
2
II.- Calcule las siguientes integrales.
1)
∫𝑥 6(8−5𝑥 )𝑑𝑥
2)
∫ 4 2 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥)
3)
∫5 2𝑦 (1 + 42𝑦 )𝑑𝑦
4)
∫(32𝑥 + 5)2𝑑𝑥
5)
∫6 6 + 1 𝑑𝑥
2
cos(3𝑥) 𝑑𝑥
2𝑥
2𝑥
1
6) ∫0 3𝑥 (4𝑥 + 6𝑥 ) 𝑑𝑥
III.- Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica 𝑦 = 2𝑥 − 2−𝑥 en el punto cuya abscisa
log 2 (2)
IV.- Halle el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las curvas y rectas
dadas alrededor del eje indicado 𝑦 = 23𝑥 , 𝑦 = 4(2𝑥 ), 𝑥 = 0, alrededor de:
a) eje 𝑥
b) 𝑦 = −1
Página 13 de 15
Cálculo Integral
Laboratorio #14
Enero 2016
Funciones Hiperbólicas
I.- Halle y simplifique la derivada de las siguientes funciones.
1
1) 𝑦 = 2 log(tanh(𝑥))
−1
2) 𝑦 = tan h
(cos(2𝑥))
3) 𝑦 = cosh(𝑥2 + 1)
4) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(5𝑥)
5) 𝑦 = cosh(√(4𝑥2 + 3))
6) 𝑦 = cosh(𝑥3 )
1
7) 𝑦 = 4 log(𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥2))
2
8) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐ℎ (4𝑤)
II.- Evaluar la integral dada.
1)
∫𝑥2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥3)𝑑𝑥
2)
∫tanh2(𝑥)𝑑𝑥
3)
∫𝑠𝑒𝑛ℎ3(𝑥)cosh4(𝑥)𝑑𝑥
4)
∫𝑠𝑒𝑛ℎ(6𝑥)cosh(4𝑥)𝑑𝑥
5)
∫coth2(𝑥)𝑑𝑥
Página 14 de 15
Cálculo Integral
Laboratorio #15
Enero 2016
Métodos de Integración
I.- Calcula las siguientes integrales.
∫
1) 𝑥 cos(𝑥)𝑑𝑥
2)
∫ ln(𝑥2 + 1)𝑑𝑥
∫
3) 𝑥 3 𝑠𝑒𝑛 (3x)𝑑𝑥
∫
4) 𝑠𝑒𝑛4 (𝑥)cos(𝑥)𝑑𝑥
∫
5) sen(2x)cos(4𝑥)𝑑𝑥
6)
∫√𝑥2𝑥−25 𝑑𝑥
∫𝑥 1+ 4 𝑑𝑥
4x−11
8) ∫2𝑥 +7𝑥 + 1 𝑑𝑥
7)
2
2
∫
9) 𝑥3𝑥 𝑑𝑥
∫
10) 𝑥 2 ln(𝑥)𝑑𝑥
∫
11) 𝑡𝑎𝑛4 (𝑥)𝑑𝑥
2
12)
∫𝑥 𝑥+4 𝑑𝑥
13)
∫𝑥 x+3
+𝑥
13)
1
∫x√4𝑥+1
𝑑𝑥
2
3
2
𝑑𝑥
II.- Halla el área de la región limitada por la curva 𝑦 = ln(𝑥) ,eje x, y la recta 𝑥 = e2
Página 15 de 15