- 1 - = + = = + + 0 2 2 1 z ay ax zyx 23 12

ENUNCIADOS
ÁLGEBRA
⎧ x + y + z =1
⎪
= 2 se pide:
P.-1 Dado el sistema de ecuaciones ⎨ax
⎪ ay + 2 z = 0
⎩
a) Encontrar para qué valores de a el sistema tiene solución única
b) Resuelve el sistema para a = 2
P.- 2 Despeja la matriz X en la siguiente ecuación y halla su valor
⎛2 1⎞
⎛ 1 − 1⎞
⎟⎟ y B = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 3 2⎠
⎝0 2 ⎠
2 A – A X = B X siendo A = ⎜⎜
CUESTIONES
C.-1 Demuestra sin desarrollar que el determinante de Vandermonde
1
a
a2
1
b
b2
1
c =(b – a)(c – a) (c – b)
c2
⎛ 2 0⎞
⎟⎟ y 3X + 2Y =
⎝ − 4 15 ⎠
C.-2 Halla las matrices X e Y sabiendo que: 5 X + 3 Y = ⎜⎜
⎛ 1 − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝− 2 0 ⎠
ANÁLISIS
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
PROBLEMAS
P1.- Demostrar que la ecuación e-x + 2 = x tiene al menos una solución real.
P2.- Sea f(x) = x 3 + a x 2 + b x + 5 . Halla a y b para que la curva y = f(x) tenga en x = 1 un punto de
inflexión y que la recta tangente en él sea horizontal
CUESTIONES
C.-1.-Sea la función f(x) =
x2 − 4
. El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando x = 2
x−2
¿ Cómo elegir el valor de f(2) para que la función sea continua en ese punto ?
C.- 2 Calcula, utilizando la regla de L´Hôpital lim
x →0
-1-
ax − bx
x
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES E INTEGRACIÓN
4 − 2x 2
se pide:
P1.- Dada la función y =
x
a) Su dominio
b) Sus asíntotas
c) Sus puntos singulares
d) Su gráfica con los datos obtenidos en los apartados anteriores ( NO con calculadora)
P.2.- Resuelve la integral
∫x
2
.senx dx
C.1.- ¿ Cuántos puntos de inflexión puede tener, como máximo, una función polinómica de cuarto
grado? ¿ Qué se precisa para que no tenga puntos de inflexión?
C.2.- Dadas las funciones x y = 6 y x + y – 7 = 0, calcula el área limitada por las dos funciones
En cada apartado, cada problema vale 2 puntos y cada cuestión 1 puntos
NOTA: Se considerará que el alumnos ha superado esta parte cuando haya alcanzado la nota de
3 puntos.
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
⎧ x + y + z =1
⎪
= 2 , para que tenga solución única, es necesario que rango A = 3,
P1.- a) El sistema ⎨ax
⎪ ay + 2 z = 0
⎩
siendo A la matriz de los coeficientes del sistema
1 1 1
Encontremos el valor de | A | = a 0 0 = a ( a – 2 ) ≠ 0
0 a 2
Cuando a ≠ 0 y a ≠ 2 el sistema tiene solución única.
⎧ x + y + z =1
⎪
= 2 donde la matriz ampliada es
b) Para a = 2 tendremos el sistema ⎨2 x
⎪ 2 y + 2z = 0
⎩
-2-
⎛1 1 1 1⎞
⎜
⎟
⎜ 2 0 0 2⎟
⎜0 2 2 0⎟
⎝
⎠
Vemos que C1 = C4 y que C2 = C3 por lo que rango matriz ampliada = rango matriz A = 2 < nº incóg
Tenemos un sistema compatible e indeterminado
Tomemos el menor M=
=2
2 0
⎧ 2x
= 4 ≠ 0 y a partir de él formemos el sistema: ⎨
cuya
0 2
⎩ 2 y + 2z = 0
solución es x = 2 e y = - z => ( 2, - z , z )
⎛2 1⎞
⎛ 1 − 1⎞
⎟⎟ y B = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ 3 2⎠
⎝0 2 ⎠
P2.- Sea la ecuación 2 A – A X = B X .donde A = ⎜⎜
⎛ 4 2⎞ ⎛3 0⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ . X (1)
⎝ 6 4⎠ ⎝3 4⎠
Despejamos X => 2 A = A X + B X = ( A + B ) X => ⎜⎜
⎧ A11 = 4
⎪ A = −3
3 0
⎪ 12
= 12 ≠ 0 ; esta matriz tiene su inversa y sus adjuntos son : ⎨
de donde
Como
3 4
⎪ A21 = 0
⎪⎩ A22 = 3
⎛3 0⎞ = 1 ⎛ 4 0⎞
⎟⎟ 12 ⎜⎜
⎟⎟ = M
⎝3 4⎠
⎝ − 3 3⎠
Inversa de ⎜⎜
Multiplicando, a la izquierda de los dos miembros de la relación (1), resulta
1
12
1 ⎛ 4 0⎞ ⎛3 0⎞
1 ⎛16 8 ⎞
⎛ 4 0⎞ ⎛ 4 2⎞
⎜⎜
⎟⎟ . ⎜⎜
⎟⎟ = 12 ⎜⎜
⎟⎟ . ⎜⎜
⎟⎟ . X => 12 . ⎜⎜
⎟⎟ = X
⎝ − 3 3⎠ ⎝ 6 4⎠
⎝ − 3 3⎠ ⎝3 4⎠
⎝ 6 6⎠
1
1
1
C1.- Sea el determinante a
b
2
2
c−a =
c => F1, F2 – a.F1, F3 – a F2 => 0 b − a
2
2
0 b − ab c 2 − ac
c
a
1
1
b
1
1
1
1 1 1
c − a = (b - a ) ( b – c ). 0 1 1
0 b(b − a ) c(c − a )
0 b c
0
b−a
desarrollando por la 1ª columna = (b - a ) ( b – c ).
1 1
= (b - a ) ( b – c ). (c – b )
b c
C2.- Tenemos el sistema
⎛ 2 0⎞
⎟⎟
⎝ − 4 15 ⎠
5 X + 3 Y = ⎜⎜
⎛ 1 − 1⎞
⎟⎟
⎝− 2 0 ⎠
3X + 2Y = ⎜⎜
-3-
1
Resolvemos por reducción. Multiplicando a la 1ª ecuación por 3 y a la 2ª por – 5 tenemos:
0⎞
⎛ 6
⎟⎟
⎝ − 12 45 ⎠
15 X + 9 Y = ⎜⎜
⎛ − 5 5⎞
⎟⎟ . Sumando m. a. m. y multiplicando por – 1 => Y =
⎝ 10 0 ⎠
- 15 X - 10Y = ⎜⎜
⎛−1 − 5 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2 − 45 ⎠
3⎞
⎛ 1
⎟⎟
⎝ − 2 30 ⎠
De igual modo. Multiplicando a la 1ª por 2 y a la 2ª por – 3 y sumando => X = ⎜⎜
ANÁLISIS
A) CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
P1.- P1.- Tenemos la ecuación e-x + 2 = x y a partir de ella consideremos la función
f(x) = e-x + 2 - x
Esta función es continua en todo R por ser combinación lineal de funciones continuas
Busquemos un intervalo donde la función pueda cambiar de signo en sus extremos y así, por ejemplo:
Para x = 0 => f( 0 ) = e 0 + 2 – 1 = 2 > 0
Para x = 3 = > f( 0 ) = e - 3 + 2 – 3 =
1
+2–3<0
e3
Por el T. De Bolzano la función f(x) se anulará para algún valor x = c € ( 0, 3 ).
Para él f( c ) = e-c + 2 – c = > de donde e-c + 2 = c
P2.- Tenemos la función f(x) = x 3 + a x 2 + b x + 5 .
•
Si para x = 1 tiene un punto de inflexión => f´´(1) = 6 . 1 + 2 a = 0 de donde a = - 3
•
Si en x = 1 tiene una recta tangente horizontal es que f´(1) = 3. 1 2 +`2.a.1 + b = 0 de donde b = 3
C1.- Una función es continua en x = a si se verifica que f(a) = lim f(x)
x→a
según esto f(2) = lim
x→2
x2 − 4
( x + 2)( x − 2)
. = lim
= lim (x + 2) = 4
x
→
2
x→2
x−2
x−2
C2.- Aplicando la regla de L´Hôpital lim
x →0
Podemos aplicar L´Hôpital => lim
x →0
ax − bx 0
=
x
0
ax − bx
a x . ln a − b x ln b
a
= lim
= ln a – ln b = ln
x
→
0
x
1
b
-4-
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES E INTEGRACIÓN
4 − 2x 2
se pide:
P1.- Dada la función y =
x
a) Su dominio: R - { 0 } porque elñ denominador se anula para x = 0
b) Sus asíntotas
Sólo pueden ser de dos tipos
1.- Verticales: como lim
x→0
4 − 2x 2
4
=
= ± ∞ podemos afirmar que x = 0 es una a. vertical
x
0
Aunque no se pide directamente será necesario averiguar la posición entre asíntota y curva para
contestar correctamente al d)
4 − 2x 2
4
lim+
= =+ ∞
x→0
x
+
lim−
x→0
4 − 2x 2
4
= =- ∞
x
−
2.- Oblicuas
4
4 − 2x 2
=-2x+
x
x
Asíntota oblicua y = - 2 x
Diferencia entre curva y asíntota y c – y a =
4
x
Cuando x tiende a + infinito y c – y a > 0 => curva por encima de la asíntota
Cuando x tiende a - infinito y c – y a < 0 => curva por debajo de la asíntota
c) Sus puntos singulares
Aquellos donde f ´(x) = 0 => f´(x) =
40
− 2x − 4
= 0 => - 2 x 2 – 4 = 0
2
x
2
20
Esta ecuación carece de soluciones reales por
lo que no habrá puntos singulares. La
monotonía de la función será constante a lo
0
-4
-3
-2
-1
0
largo de todo su dominio ( crecimiento
-20
negativo)
-40
d) Su gráfica con los datos obtenidos en los
apartados anteriores ( NO con calculadora)
-5-
1
2
3
4
P.2.- Resuelve la integral
∫x
2
.senx dx
⎧u = x 2
⎨
⎩dv = senx dx
Es una integral que se resuelve por partes
I=
∫x
2
.senx dx = x 2 .(- cos x ) + 2 ∫ x cos x dx
A su vez
⎧u = x
∫ x cos x dx => ⎨⎩dv = cos x dx
du = 2 xdx
v = − cos x
(1)
du = dx
con lo que
v = senx
∫ x cos x dx = x . sen x - ∫ senx dx = x sen x + cos x
Si llevamos este resultado a (1) tendremos finalmente
I = x 2 .(- cos x ) + 2 ( x sen x + cos x ) + C
C.1.- una función polinómica de 4º grado es de la forma f(x) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e
f ´(x) = 4 a x 3 + 3 b x 2 + 2 c x + d
f ´´ (x) = 12 a x 2 + 6 b x + 2c
f ´´´( x) = 24 a x + 6b
Para que existan puntos de inflexión f ´´ (x) = 12 a x 2 + 6 b x + 2c = 0
El número de puntos de inflexión que, como máximo pueden existir, coincidirá con las raíces reales de
una ecuación de 2º grado que pueden ser dos como máximo y ninguno como mínimo
C.2.- Dadas las funciones x y = 6 y x + y – 7 = 0, calcula el área limitada por las dos funciones
Consideremos la función d(x) =
Sus raíces son :
Área pedida A =
6
- ( 7 – x)
x
6
- ( 7 – x) = 0 => x 2 – 7 x + 6 = 0 cuyas raíces son x = 1 y x = 6
x
∫
6
1
6
x2
( + x − 7) dx = 6.ln x +
- 7x
x
2
-6-
6
1
= 6 ln 6 + 18 – 42 –(
1
- 7)
2