Equilibrio General Paula Jaramillo 26 de octubre de 2015 ¿Qué es un consumidor? x1 R1 ω21 ω1 ω11 x1 ¿Qué es un consumidor? x1 R1 ω21 ω1 ω11 x1 ¿Qué es una firma? y2 Yj y1 Economı́a de intercambio x2 x2 ω2 ω22 R1 ω21 R2 ω1 ω11 x1 ω12 x1 Economı́a de intercambio ω12 x1 x2 R1 R2 ω1 ω22 ω2 ω21 x2 ω11 x1 Economı́a de intercambio x1 ω12 x2 R1 ω21 R2 ω1 ω11 x1 ω2 ω22 x2 Economı́a de intercambio x1 ω12 x2 R1 ω21 R2 ω1 ω11 x1 ω2 ω22 x2 Economı́a de intercambio x1 ω12 x2 R1 ω21 R2 ω1 ω11 x1 ω2 ω22 x2 Economı́a de intercambio x1 ω12 R1 ω ω21 ω22 R2 ω11 x1 Economı́a de intercambio x12 x1 x21 ω12 x x22 R2 R1 ω21 ω x11 ω11 ω22 x1 Economı́a de producción Una economı́a con producción es: (R, ω, Y , s) ≡ ((Ri )i∈N , (ωi )i∈N , (Yj )j∈J , (sij )i∈N,j∈J ). ¿Cuál es el total que hay en la economı́a del bien l? P 1. ∀l ∈ L, i∈N ωli . P 2. ∀l ∈ L, j∈J ylj . P P 3. ∀l ∈ L, i∈N ωli + j∈J ylj . P P P 4. ∀l ∈ L, i∈N ωli + j∈J ylj − i∈N xli . 5. Ninguno de los anteriores. Economı́a de producción x2 x2 R1 y2 Y l1 −y1 = l1 l1 24 ω1 o1 Economı́a de producción x2 x2 R1 y2 Y l1 −y1 = l1 l1 24 ω1 o1 Economı́a de producción x2 x2 R1 y2 Y l1 −y1 = l1 ω1 24 o1 División igualitaria DI12 x1 R2 DI21 DI22 DI R1 ω DI11 x1 División igualitaria DI12 x1 R2 DI21 DI22 DI R1 ω DI11 x1 Esto significa que en una economı́a de intercambio cada persona recibe lo siguiente: 1. ∀i ∈ N y ∀l ∈ L, DIli (R, ω) = 2. ∀i ∈ N y ∀l ∈ L, DIli (R, ω) = 3. ∀i ∈ N y ∀l ∈ L, DIli (R, ω) = ωl |N| . ωl +yl |N| . yl |N| . 4. ∀i ∈ N y ∀l ∈ L, DIli (R, ω) = ωli . Dictatorial x1 D≺ R2 R1 ω x1 Dictatorial x1 D≺ R2 R1 ω x1 ¿Quién es el dictador en este caso? 1. 1 2. 2 3. Ninguno 4. Depende del bien Dictatorial D≺ x1 R2 R1 ω x1 ¿Quién es el dictador en este caso? 1. 1 2. 2 3. Ninguno 4. Depende del bien Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a de intercambio (p, x) ∈ RL+ × RL×N que cumple las 2 condiciones siguientes: + Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a de intercambio (p, x) ∈ RL+ × RL×N que cumple las 2 condiciones siguientes: + 1. ∀i ∈ N, xi ∈ arg máx ui (xi ) tal que p · xi ≤ p · ωi . x∈RL+ Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a de intercambio (p, x) ∈ RL+ × RL×N que cumple las 2 condiciones siguientes: + 1. ∀i ∈ N, xi ∈ arg máx ui (xi ) tal que p · xi ≤ p · ωi . x∈RL+ 2. ∀l ∈ L, X i xli = ωl . Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a de intercambio R1 2 p w 1 R2 Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a de intercambio R1 2 w x p 1 R2 Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a con producción ¿Cuál es el conjunto presupuestal al que se enfrenta cada consumidor? ∀i ∈ N, Bi (p, p · ωi , sij , p · yj ) Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a con producción ¿Cuál es el conjunto presupuestal al que se enfrenta cada consumidor? ∀i ∈ N, Bi (p, p · ωi , sij , p · yj ) n xi n 2. xi 3. xi 4. xi 1. o P P p w + s p · y ij j j l li l j∈J l∈L o P ∈ RL+ | p · xi ≤ p · wi + j∈J sij (p · yj ) ∈ RL+ | p · xi ≤ p · wi P P ∈ RL+ | l pl xli ≤ l pl wli ∈ RL+ | P l pl xli ≤ P Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a con producción (p, x, y ) ∈ RL+ × RL×N × RL×J que cumple las 3 condiciones + siguientes: Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a con producción (p, x, y ) ∈ RL+ × RL×N × RL×J que cumple las 3 condiciones + siguientes: 1. ∀i ∈ N, xi ∈ arg máx ui (xi ) tal que p · xi ≤ p · ωi + x∈RL+ X j∈J sij (p · yj ). Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a con producción (p, x, y ) ∈ RL+ × RL×N × RL×J que cumple las 3 condiciones + siguientes: 1. ∀i ∈ N, xi ∈ arg máx ui (xi ) tal que p · xi ≤ p · ωi + x∈RL+ 2. ∀j ∈ J, yj ∈ arg máx p · y y ∈Yj X j∈J sij (p · yj ). Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a con producción (p, x, y ) ∈ RL+ × RL×N × RL×J que cumple las 3 condiciones + siguientes: 1. ∀i ∈ N, xi ∈ arg máx ui (xi ) tal que p · xi ≤ p · ωi + x∈RL+ 2. ∀j ∈ J, yj ∈ arg máx p · y y ∈Yj 3. ∀l ∈ L, X i xli = ωl + X j∈J ylj X j∈J sij (p · yj ). Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a con producción x2 y2 x2 π(p) p2 Y l1 −y1 ω1 x1 Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a con producción x2 y2 x2 π(p) p2 Y l1 −y1 x1 ω1 ¿Es este un equilibrio competitivo? 1. No, porque el consumidor no está maximizando su utilidad. 2. No, porque la firma no está maximizando sus ganancias. 3. No, porque los mercados no se vacı́an. 4. Si, es un equilibrio competitivo. Equilibrio competitivo o Regla Walrasiana en una economı́a con producción x2 x2 π(p) p2 Y l1 x1 ω1 Participación voluntaria x satisface participación voluntaria si ∀i ∈ N, xi i ωi . Participación voluntaria x satisface participación voluntaria si ∀i ∈ N, xi i ωi . x1 R1 x4 x3 x2 ω1 x1 x1 ¿Cuál de las siguientes asignaciones satisface participación voluntaria? 1. x1 2. x2 3. x3 4. x4 5. Ninguna de las anteriores. Participación voluntaria x satisface participación voluntaria si ∀i ∈ N, xi i ωi . x1 R1 ω1 x1 Eficiencia en el sentido de Pareto x es eficiente en el sentido de Pareto si @x 0 ∈ F (, ω) tal que ∀i ∈ N xi0 i xi ∃i ∈ N xi0 i xi y Eficiencia en el sentido de Pareto x es eficiente en el sentido de Pareto si @x 0 ∈ F (, ω) tal que ∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que xi0 i xi . R1 2 x 1 R2 ¿Es x eficiente en el sentido de Pareto ? 1. Si. 2. No. 3. Depende de donde este ω. Eficiencia en el sentido de Pareto x es eficiente en el sentido de Pareto si @x 0 ∈ F (, ω) tal que ∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que xi0 i xi . R1 2 x x′ 1 R2 ¿Es x 0 eficiente en el sentido de Pareto ? 1. Si. 2. No. 3. No sabemos. Eficiencia en el sentido de Pareto x es eficiente en el sentido de Pareto si @x 0 ∈ F (, ω) tal que ∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que xi0 i xi . R1 x 2 1 R2 ¿Es x eficiente en el sentido de Pareto ? 1. Si. 2. No. 3. No sabemos. Eficiencia en el sentido de Pareto x es eficiente en el sentido de Pareto si @x 0 ∈ F (, ω) tal que ∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que xi0 i xi . R1 x 2 x′ 1 R2 ¿Es x 0 eficiente en el sentido de Pareto ? 1. Si. 2. No. 3. No sabemos. Eficiencia en el sentido de Pareto El conjunto de asignaciones que son eficientes en el sentido de Pareto se llama curva de contrato. Eficiencia en el sentido de Pareto El conjunto de asignaciones que son eficientes en el sentido de Pareto se llama curva de contrato. R1 2 1 R2 Eficiencia en el sentido de Pareto con producción (x, y ) es eficiente en el sentido de Pareto si @(x 0 , y 0 ) ∈ F (, ω, Y , s) tal que ∀i ∈ N xi0 i xi ∃i ∈ N xi0 i xi y Eficiencia en el sentido de Pareto con producción (x, y ) es eficiente en el sentido de Pareto si @(x 0 , y 0 ) ∈ F (, ω, Y , s) tal que ∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que xi0 i xi . x′ = y ′ Y x=y R1 ¿Son x = y y x 0 = y 0 eficientes en el sentido de Pareto ? 1. Si. 2. No. 3. Solo uno de los dos. Eficiencia en el sentido de Pareto con producción (x, y ) es eficiente en el sentido de Pareto si @(x 0 , y 0 ) ∈ F (, ω, Y , s) tal que ∀i ∈ N, xi0 i xi y ∃i ∈ N, tal que xi0 i xi . Y x=y R1 El núcleo x pertenece al núcleo (C (, ω)) si @N 0 ⊂ N, N 0 6= ∅, y L×N 0 0 @xi∈N tal que: 0 ∈ R+ El núcleo x pertenece al núcleo (C (, ω)) si @N 0 ⊂ N, N 0 6= ∅, y L×N 0 0 @xi∈N tal que: 0 ∈ R+ P P 1. ∀l ∈ L, i∈N 0 xli0 = l wli , El núcleo x pertenece al núcleo (C (, ω)) si @N 0 ⊂ N, N 0 6= ∅, y L×N 0 0 @xi∈N tal que: 0 ∈ R+ P P 1. ∀l ∈ L, i∈N 0 xli0 = l wli , 2. ∀i ∈ N 0 , xi0 i xi y El núcleo x pertenece al núcleo (C (, ω)) si @N 0 ⊂ N, N 0 6= ∅, y L×N 0 0 @xi∈N tal que: 0 ∈ R+ P P 1. ∀l ∈ L, i∈N 0 xli0 = l wli , 2. ∀i ∈ N 0 , xi0 i xi y 3. ∃i ∈ N 0 , xi0 i xi . El núcleo x pertenece al núcleo (C (, ω)) si @N 0 ⊂ N, N 0 6= ∅, y L×N 0 0 @xi∈N tal que: 0 ∈ R+ P P 1. ∀l ∈ L, i∈N 0 xli0 = l wli , 2. ∀i ∈ N 0 , xi0 i xi y 3. ∃i ∈ N 0 , xi0 i xi . R1 2 w 1 R2 Propiedades sobre las reglas x satisface participación voluntaria si ∀i ∈ N, xi i ωi . Propiedades sobre las reglas x satisface participación voluntaria si ∀i ∈ N, xi i ωi . ¿Cómo definimos que la regla satisfaga participación voluntaria? 1. ∃(, ω), ϕ(, ω) satisface participación voluntaria. 2. ∀(, ω), ϕ(, ω) satisface participación voluntaria. 3. ∀(, ω), ϕi (, ω) i ωi . 4. Ninguno de los anteriores. Eficiencia en el sentido de Pareto La regla es eficiente si 1. ∀(, ω), ϕ(, ω) es eficiente en el sentido de Pareto. 2. ∀(, ω), ϕ recomienda una asignación que es eficiente en el sentido de Pareto. 3. ∀(, ω), ϕ(, ω) está en la curva de contrato. 4. ∀(, ω), ϕ recomienda una asignación en la curva de contrato. 5. ∀(, ω), @x ∈ F (, ω) tal que ∀i ∈ N, xi i ϕi (, ω) y ∃i ∈ N tal que xi i ϕi (, ω). 6. Ninguna de las anteriores. Núcleo La regla recomienda una asignación en el núcleo si 1. ∀(, ω), ϕ(, ω) ∈ C (, ω). 2. ∃(, ω), ϕ(, ω) ∈ C (, ω). 3. ∀(, ω), ϕ recomienda una asignación en el núcleo. 4. Ninguna de las anteriores. Sin monotonicidad estricta R1 ω 1 2 R2 Sin convexidad estricta R1 2 ω 1 R2 Teorema del punto fijo de Brawer g(x) = f (x) − x = 0 1 0 1 Teorema del punto fijo de Brawer g(x) = f (x) − x = 0 1 0 1 Teorema de existencia R1 2 ω 1 Diga si en esta economı́a existe un equilibrio competitivo. 1. Si. 2. No. 3. Depende. Teorema de existencia R1 2 ω x 1 R2 Con producción sin convexidad en la función de producción x2 y2 Y x∗ ocio ω =tiempo