TEMA 2

OR
Capı́tulo 2
2.1.
AD
La integral
Integral indefinida: primitivas
Consideremos la operación inversa de la derivación, desde un punto de vista
algebraico. Es decir, dada una función f (x), nos gustarı́a averiguar la (o las)
funciones F(x) tales que f (x) = F 0 (x).
RR
Definición 2.1. Una primitiva de f (x) es una función F(x) tal que
f (x) = F 0 (x).
Hemos demostrado ya ( v. la proposición 1.112, 5. ) lo siguiente.
Proposición 2.2. Las funciones constantes F(x) = C, C ∈ R son las únicas primitivas
de la función cero f (x) = 0. Este hecho se escribe con la siguiente notación
Z
0 dx = C.
BO
Recuérdese que esto es una consecuencia directa del t.v.m. El ejercicio 1.113
nos mostraba entonces que si dos funciones tienen la misma derivada, entonces
difieren en una constante.
Proposición 2.3. Si F(x) y G(x) son dos primitivas de una misma función f (x),
entonces difieren en una constante
G(x) = F(x) + C,
Esto se denota con
C ∈ R.
Z
f (x)dx = F(x) + C.
51
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
OR
52
Una primitiva cualquiera de una función se denomina también una integral
indefinida suya. Debemos memorizar unas cuantas integrales indefinidas básicas,
y aprender a calcular un conjunto suficientemente amplio de primitivas más
generales. Contrastando con el caso de la derivación, la integración de cualquier
función no es un proceso totalmente algorı́tmico, y su investigación se encuentra
todavı́a entre los problemas abiertos de la matemática actual.
AD
Toda nuestra intención al comenzar este capı́tulo era encontrar la operación
inversa de la derivación, y lo hemos conseguido:
!
Z
Z
d
0
f (x)dx = f (x).
F (x)dx = F(x) + C,
dx
Obsérvese que la primera de estas fórmulas nos da la primera regla de integración, la denominada integral inmediata, que es aquella en la que identificamos
claramente la función a integrar ( el “integrando”) como la derivada de una
función que conocemos. Más ejemplos de integrales inmediatas son
Z
Z
Z
Z
x2
x3
xn+1
2
k dx = kx + C,
x dx = ,
x dx = ,
xn dx =
,
2
3
n+1
Z
Z
sen x dx = − cos x,
cos x dx = sen x,
RR
El tı́pico caso de integral inmediata es
Z 0
f (x)
dx = ln |f (x)| + C = ln |kf (x)|,
f (x)
k ∈ R.
Por ejemplo (obsérvese el valor absoluto)
Z
1
dx = ln |x| + C.
x
BO
Más propiedades son
Z
Z
kf (x)dx = k f (x) dx,
Z
f (x) ± g(x) dx =
Z
Z
f (x) dx ±
g(x) dx
Para integrar existen muchas técnicas, la primera que vamos a ver es la del cambio de variable, que consiste en intentar reconocer la integral inmediata siguiente.
Proposición 2.4.
Z
Z
0
f (g(x))g (x) dx = F(g(x)) + C, siendo F(x) = f (x) dx.
(2.1)
Por ejemplo
Z
53
OR
2.1. INTEGRAL INDEFINIDA: PRIMITIVAS
sen2 x cos x dx =
sen3 x
+C
3
tomando g(x) = sen x y f (x) = x2 , luego f (g(x)) = sen x.
Es habitual visualizar la función g(x) como una nueva variable u = g(x), y se
suele denotar g 0 (x)dx = d(g(x)) = du, con lo que la fórmula (2.1) se escribe
Z
Z
0
f (g(x))g (x) dx =
f (u) du = F(u) + C.
AD
En el ejemplo anterior, u = sen x y du = u 0 (x) dx = cos x dx con lo que se puede
escribir
Z
Z
u3
sen3 x
2
2
sen x cos x dx = u du =
+C =
+ C.
3
3
A veces se puede intentar adivinar la función g(x) si no se reconoce fácilmente,
escribiendo directamente u = g(x), dx = du/g 0 (x(u)). Por ejemplo
√
Z
=
xu
1/2
Z
dx =
u
1/2 2x dx
2
Z
1
=
2
RR
x
Z
x2 + 1 dx
=
u 1/2 du
(x2 + 1)3/2
1 2 3/2
u +C =
+ C.
23
3
Proposición 2.5 (Integración por partes).
Z
0
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) −
Z
f 0 (x)g(x) dx.
BO
La demostración es obvia:
Z
Z
Z
d
0
f (x)g(x) + C =
[f (x)g(x)] dx = f (x)g(x) dx + f (x)g 0 (x) dx.
dx
Un ejemplo tı́pico es
Z
x cos x dx = x sen x −
Z
Ejercicio 2.6. Resolver
Z
sen x dx = x sen x + cos x + C.
ex cos x dx integrando dos veces por partes.
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
OR
54
Integrales de funciones racionales. Toda función racional se puede escribir
como un polinomio más una función racional de numerador de menor grado
que el denominador:
P (x)
R(x)
= A(x) +
.
Q(x)
Q(x)
Todo polinomio puede factorizarse en factores de grado 1, de la forma (x − αi )
donde cada αi ∈ C es una raı́z compleja del polinomio. Si el polinomio era de
coeficientes reales, las raı́ces complejas de parte imaginaria no nula se presentan
en pares conjugados (x − a − bi)(x − a + bi) = (x − a)2 + b2 . Es decir, todo polinomio
de coeficientes reales se puede factorizar como
AD
Q(x) = (x − x1 )n1 · · · (x − xr )nr [(x − a1 )2 + b12 ]m1 · · · [(x − as )2 + bs2 ]ms
donde xi son r raı́ces reales de multiplicidades ni y αi = ai + ibi son raı́ces
complejas. Entonces podemos escribir
RR
A1n1
Arnr
R(x)
A
Ar1
= 11 + · · · +
+
·
·
·
+
+
·
·
·
+
+
Q(x) x − x1
(x − x1 )n1
x − xr
(x − xr )nr
M1m1 x + N1m1
M x + N11
+ 11
+
·
·
·
+
+ ···
(x − a1 )2 + b12
[(x − a1 )2 + b12 ]m1
Msms x + Nsms
Ms1 x + Ns1
+
·
·
·
+
+
+
(x − as )2 + bs2
[(x − as )2 + bs2 ]ms
BO
cuya integral es una suma de integrales como
Z
A
dx = A ln |x − x1 |
x − x1
Z
1
A
A
dx = −
, n ∈ N, n ≥ 2
n
(x − x1 )
n − 1 (x − x1 )n−1
Z
h
i
a
x−a
Mx + N
1
2
2
dx
=
M
arctan
log
b
+
(x
−
a)
+
b
b
2
(x − a)2 + b2
1
x−a
+N arctan
b
b
y, si m ≥ 2
Z
Z
2x − 2a
Ma + N
dx
+
dx
[(x − a)2 + b2 ]m
[(x − a)2 + b2 ]m
Z
1
Ma + N
1
M
=−
+
du
2(m − 1) [(x − a)2 + b2 ]m−1
b
(u 2 + 1)m
Mx + N
M
dx
=
2
[(x − a)2 + b2 ]m
Z
55
OR
2.1. INTEGRAL INDEFINIDA: PRIMITIVAS
y para resolver la última integral podemos usar la fórmula de reducción
Z
Z
1
2m − 3
1
x
1
dx =
+
dx.
2
m
2
m−1
2
2m − 2 (x + 1)
2m − 2 (x + 1)m−1
(x + 1)
AD
Ejemplo 2.7.
Z 4
Z 8x − 1
x + 2x3 − 4x2 + x − 3
2
dx =
x + 3x + 1 + 2
dx
x2 − x − 2
x −x−2
Z
x3 3 2
8x − 1
+ x +x+
=
dx.
2
3 2
x −x−2
Factorizando x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) podemos descomponer en
fracciones simples
8x − 1
x2 − x − 2
=
B
3
5
A
+
= operando =
+
.
x+1 x−2
x+1 x−2
RR
La integral es, pues,
Z
Z
Z 4
x3 3 2
3
5
x + 2x3 − 4x2 + x − 3
dx =
+ x +x+
dx +
dx
2
3 2
x+1
x−2
x −x−2
x3 3 2
+ x + x + 3 ln |x + 1| + 5 ln |x − 2| + C.
=
3 2
Integrales de funciones racionales de funciones trigonométricas. Una función racional R(sen x, cos x) dx se puede integrar en general utilizando el cambio
x
de variable t = tg , según el cual
2
2
1 − t2
2t
dt,
cos
x
=
,
sen
x
=
,
1 + t2
1 + t2
1 + t2
transformándose el integrando en una función racional de t.
dx =
BO
Ejemplo 2.8.
2
Z
Z
2
2
2
dx
1
+
t
dt =
=
dt =
dt
2
2
2
1 + 2 cos x
1−t
1 + t + 2 − 2t
3 − t2
1+2
1 + t2


1/ √3
√
√
Z  √1
√1
x

 3

3
+
tg
3
+
t
1
3 
2  dt = ln √
=  √
+√
+C = √ ln √
+C

 3+t
3−t
3−t
3 3 − tg 2x Z
Z
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
Otros tipos de integrales.
OR
56
2.2.
AD
Z √
Z √
Z
2
2
1 − x dx =
1 − sen u cos u du = cos2 u du
Z
1
1
1
1
1 + cos 2u
du = u + sen 2u = u + sen 2u
=
2
2
4
2
4
arc sen x sen(2 arc sen x) arc sen x sen(arc sen x) cos(arc sen x)
=
+
=
+
2
4
2
2
arc sen x 1 √
+ x 1 − x2
=
2
2
Integral definida: áreas, teoremas
RR
Hemos visto cómo el concepto de derivada nos permite calcular magnitudes
que son inalcanzables utilizando los métodos anteriores al cálculo diferencial.
Ejemplos de ello son las tasas de variación instantáneas de diversas funciones,
magnitudes geométricas como las rectas tangentes, la curvatura, etc. En esta
sección estudiaremos otro concepto que resultaba difı́cil de definir, si no imposible, sin las técnicas infinitesimales, y que ha producido quebraderos de cabeza
innumerables a la Humanidad, desde los tiempos de Zenón, al menos. Se trata
de cuestiones como el cálculo del valor acumulado de una cantidad que varı́a de
una forma determinada, pero cambiante. Por ejemplo, la distancia recorrida por
un móvil de velocidad variable, la longitud de una curva o el área de una figura
de contornos curvos.
BO
Comencemos con el problema del área. El tratamiento inicial que estudiaremos es adecuado para figuras limitadas por la gráfica de una función entre dos
valores de x y el eje de abscisas. Ya a Eudoxo se le ocurrió el denominado método
de exhaución: aproximemos nuestra figura mediante polı́gonos de área conocida,
y podremos calcular, aproximadamente, el área de la figura.
Definición 2.9. Dados a < b, una partición del intervalo [a, b] es una colección finita
de puntos de [a, b] que incluye a a y a b:
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
Las aproximaciones al área se pueden construir utilizando las siguientes
magnitudes (ver el apéndice sobre sumatorios).
57
OR
2.2. INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS, TEOREMAS
Definición 2.10. Supongamos que f (x) es acotada sobre [a, b], y que P = {x0 , x1 ,. . . ,
xn−1 , xn } es una partición de [a, b]. Una suma integral para f entre a y b es la suma
IP =
n
X
f (ξi )(xi − xi−1 ) = f (ξ1 )(x1 − x0 ) + f (ξ1 )(x1 − x0 ) + · · ·
i=1
+ · · · + f (ξn−1 )(xn−1 − xn−2 ) + f (ξn )(xn − xn−1 )
donde ξi ∈ [xi−1 , xi ] son puntos arbitrarios en cada subintervalo.
AD
Definición 2.11. La resolución o norma ρP = |P | de una partición P = {x0 , x1 ,. . . ,
xn−1 , xn } es el tamaño del mayor de los subintervalos. Es decir, denotando ∆xi =
xi − xi−1 :
ρP = |P | = máx(∆xi ).
i
El problema es que no se puede definir el
lı́m IP
ρP →0
ya que IP no es una función de una variable ρP .
RR
Definición 2.12. Un número I se denomina el lı́mite de las sumas integrales de
Riemann
n
X
IP =
f (ξi )(xi − xi−1 )
i=1
si para todo > 0 existe δ > 0 tal que para todas las posibles particiones P de
norma ρP < δ se cumple que
n
X
|IP − I| = f (ξi )∆xi − I < .
i=1
BO
Definición 2.13. Una función f (x) definida en un intervalo [a, b] es integrable (según
Riemann) si y solo si existe el lı́mite de las sumas integrales. En ese caso, ese lı́mite se
denota como
Z
Z
x=b
x=a
b
f (x) dx =
a
f (x) dx = IP
y se denomina integral definida entre a y b de f (x).
Los valores a y b se denominan lı́mites de integración, y la interpretación de la
integral definida como el área de la región comentada anteriormente, es clara.
La integral de Riemann se puede entonces utilizar para definir el área de las
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
OR
58
regiones del tipo particular que hemos estudiado. Hay que hacer notar que existen regiones más complicadas, para las cuales la Matemática ha proporcionado
definiciones más generales (utilizando, por ejemplo, otra integral, la integral
de Lebesgue) Para las regiones que nosotros consideramos, las definiciones más
generales coniciden con la de Riemann.
Es difı́cil determinar la clase de funciones que poseen integral, y nos conformaremos con resultados que serán que suficientes para nosotros. Es, sin embargo,
bastante fácil identificar una clase de funciones no integrables.
Proposición 2.14. Una función no acotada no es integrable.
AD
Efectivamente, en el entorno de algún punto la función ha de tomar valores
arbitrariamente grandes (en módulo). En cualquier partición habrá un subintervalo que contenga a ese punto, y el término correspondiente en una suma
integral puede hacerse arbitrariamente grande (en módulo).
El siguiente teorema lo damos sin demostración.
Teorema 2.15. Una función continua en un intervalo cerrado [a, b] es integrable.
Es útil la siguiente proposición.
RR
Proposición 2.16. Una función continua con un número finito de discontinuidades
evitables es integrable.
Efectivamente, cualquier partición se puede refinar para que las discontinuidades estén aisladas cada una en un subintervalo. La contribución a la suma de
Riemann de esos subintervalos es una suma finita:
X
f (ξi )∆xi < máx(f (xi ))ρ
i
i
BO
siendo ρ la norma de la partición. A medida que la norma tiende a cero, esta
contribución tiende a cero. Las demás contribuciones se comportan como las del
caso continuo. (Como alternativa, demostrar que la función 0 con una discontinuidad evitable en 0 es integrable, y luego mediante sumas y productos, una vez
que conozcamos las propiedades, lo podemos hacer).
La familia más grande de funciones integrables que vamos a discutir es la de
la siguiente proposición, fácil de probar usando razonamientos análogos a los de
la anterior.
Proposición 2.17. Una función continua a trozos es integrable.
59
OR
2.2. INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS, TEOREMAS
Recuérdese que la continuidad a trozos (v. definición 1.79) implica que los
lı́mites laterales son finitos en los puntos de discontinuidad.
2.2.1.
Propiedades y ejemplos de la integral definida.
Las primeras propiedades son.
Za
•
f (x) dx = 0.
a
Z
•
Z
f (x) dx = −
b
AD
a
b
f (x) dx
(esto es una definición).
a
La primera integral definida que podemos hacer es
b
Z
k dx = k(b − a),
k ∈ R.
a
Efectivamente,
n
X
n
X
RR
n
X
i=1
f (ξi )∆xi =
k∆xi = k
i=1
(xi − xi−1 ) = k(xn − x0 ) = k(b − a).
i=1
Otra es
Z
b
x dx.
0
BO
Esta es más difı́cil, pero seguiremos la técnica siguiente. Sabemos que f (x) = x es
continua, luego es integrable. Entonces todo proceso de lı́mite de sumas integrales converge al mismo valor, la integral. Podemos, por lo tanto, utilizar un tipo
especial de partición, refinando su norma hacia cero, y el lı́mite que obtengamos
será la integral, sin ser necesario probar con otras (todas) las particiones posibles,
ya que la integrabilidad está asegurada. Este procedimiento es la base de ciertas técnicas de evaluación numérica de integrales, cuando los procedimientos
analı́ticos no permiten el cálculo. El tipo de partición más simple es aquella para
la que los puntos son equidistantes:
xi = ih,
i = 0, . . . , n,
b
h= .
n
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
OR
60
La suma integral es, eligiendo como ξi = xi el lado derecho del subintervalo [xi−1 , xi ]:
n
X
f (xi )∆xi =
i=1
n
X
ih · h = h2
i=1
n
X
i = h2
i=1
n(n + 1)
2
n=
h2 b
=
2 h
por lo que
Z
b
!
b(b + h) h→0 b2
b
+1 =
−→
h
2
2
!
b2
.
2
AD
x dx =
b
h
0
Más propiedades:
Zb
Zb
f (t) dt =
f (x) dx.
1.
a
a
RR
2. Si f es integrable en un intervalo, lo es en cualquier subintervalo.
Zc
Zb
Zc
f (x) dx+
f (x) dx donde b no necesariamente está entre a
3.
f (x) dx =
a
a
b
y c.
Zb
Zb
4.
kf (x) dx = k
f (x) dx.
a
a
b
Z
5.
Z
[f (x) + g(x)] dx =
a
bién lo es f + g)
b
b
Z
f (x) dx +
a
g(x) dx. (si f y g son integrables, tam-
a
BO
6. Si f y g son integrables, también lo es f · g.
b
Z
7. Si f (x) ≤ g(x) son integrables y a ≤ b entonces
b
Z
f (x) dx ≤
a
g(x) dx.
a
Z
Z
Zb
b
b
8. Si |f (x)| ≤ g(x) ≤ M y a ≤ b entonces f (x) dx ≤
|f (x)| dx ≤
g(x) dx ≤
a
a
a
M(b − a).
La propiedad 8 se demuestra integrando −M ≤ −g(x) ≤ f (x) ≤ g(x) ≤ M. El
siguiente teorema es fácil de demostrar.
61
OR
2.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INFINITESIMAL
Teorema 2.18 (Teorema de la media para integrales). Si φ(x) es integrable y tiene
signo constante en (a, b), entonces si f (x) es continua en [a, b] tenemos que
Zb
Zb
f (x)φ(x) dx = f (c)
φ(x) dx,
c ∈ (a, b).
a
a
Particularizando para φ(x) = 1 tenemos que
Zb
f (x) dx = f (c)(b − a),
a
c ∈ (a, b).
AD
Demostración. sup. φ ≥ 0, Weier ⇒ m ≤ f (x) ≤ M, mφ(x) ≤ f (x)φ(x) ≤ Mφ(x),
Zb
Zb
Zb
b >a ⇒ m
φ(x) dx ≤
f (x)φ(x) dx ≤ M
φ(x) dx, con lo que existe P
a
a
a
Zb
Zb
con m ≤ P ≤ M tal que
f (x)φ(x) dx = P
φ(x) dx, y al ser f continua exisa
a
te c ∈ (a, b) tal que f (c) = P .
El significado geométrico (con φ(x) = 1) es el de que podemos encontrar un
rectángulo de base b − a con área igual a la integral, cuya altura está entre el
máximo y el mı́nimo de f en (a, b). De hecho, se define la media de una función
en un intervalo como sigue.
RR
Definición 2.19. La media en el intervalo [a, b] de una función integrable, es
Zb
1
f (x) =
f (x) dx.
b−a a
Una media ponderada según una función peso φ(x) ≥ 0 es
Zb
f (x)φ(x) dx
a
f (x) = Z b
.
φ(x) dx
a
El teorema fundamental del cálculo infinitesimal
BO
2.3.
Supongamos que f (x) es integrable en cierto dominio de R. Tomado un punto
de referencia a ∈ R de ese dominio, consideremos la siguiente función:
Zx
If (x) =
f (t) dt.
a
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
OR
62
Esta función representa el área encerrada en el contorno limitado por el eje de
abscisas, la gráfica de la función f (t) y las rectas t = a y t = x.
Proposición 2.20. Si f (x) es integrable sobre [a, b] entonces la función If (x) es
continua en [a, b].
Demostración. Calculemos (con x ∈ [a, b], x + δ ∈ [a, b])
Z x+δ
If (x + δ) − If (x) = f (t) dt x
si δ = /M.
AD
Sabemos que al ser integrable, f (x) es acotada en [a, b], es decir ∃M ∈ R, M > 0
tal que |f (x)| ≤ M. Entonces
Z
x+δ
Z x+δ
If (x + δ) − If (x) = f (t) dt ≤
|f (t)| dt ≤ Mδ = x
x
El resultado anterior se puede interpretar diciendo que la integración “suaviza” la función. Pero eso no es todo, la función integral se comporta todavı́a
mejor, si el integrando es suficientemente bueno.
te.
RR
Una versión simplificada del Teorema fundamental del Cálculo es la siguienTeorema 2.21 (T.a fundamental del cálculo infinitesimal, I). Si f (x) es una función
continua en [a, b], entonces la función
Zx
F(x) = If (x) =
f (t) dt
a
es una primitiva de f (x), es decir, F(x) es derivable y F 0 (x) = f (x).
BO
Demostración. El t.v.m. para integrales asegura que existe 0 ≤ θ ≤ 1 tal que
Z
F(x + δ) − F(x) 1 x+δ
δ→0
=
f (t) dt = f (x + θδ) = f (x),
δ
δ x
dada la continuidad de f (x).
Teorema 2.22 (T.a fundamental del cálculo infinitesimal, II). Si f (x) es integrable
sobre [a, b] y f = F 0 para alguna función F(x), entonces
Zb
f (x) dx = F(b) − F(a).
a
63
OR
2.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INFINITESIMAL
¿ Por qué tanto cuidado ? La función


1

0 para 0 ≤ x < 2
f (x) = 

1 para 12 ≤ x ≤ 1
¡ no satisface técnicamente la regla de Barrow ! ¿ De qué función es derivada ?
Hay muchas candidatas fuera de x = 21 , y ahı́ no puede ser derivada de ninguna
función. Solo vamos a demostrar el subcaso que es un corolario del primer
teorema.
AD
Corolario 2.23. Si f (x) es continua en [a, b], entonces
Zb
f (x) dx = F(b) − F(a)
a
siendo F(x) una primitiva cualquiera de f (x).
Demostración. sabemos que F(x) =
Rx
a
f (t) dt + C es una primitiva de f (x). Luego
b
Z
F(a) = C
⇒
F(b) =
f (t) dt + F(a).
RR
a
Cambio de variable e integración por partes de integrales definidas
taremos darnos cuenta del siguiente resultado calculı́stico.
Proposición 2.24. Siendo f (t) continua y g(x), h(x) derivables, la función
Z h(x)
I(x) =
f (t) dt
g(x)
tiene como derivada
BO
I 0 (x) = f (h(x))h0 (x) − f (g(x))g 0 (x).
Cambio de variables: x = ϕ(t) y u = u(x)
b
Z
Z
φ−1 (b)
f (x)dx =
a
b
Z
φ−1 (a)
Z
u(b)
f (x)dx =
a
f (φ(t))φ0 (t) dt
f (x(u))
u(a)
du
u 0 (x(u))
Necesi-
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
OR
64
Integración por partes:
Z
a
2.4.
b
b Z b
u(x)v (x)dx = u(x)v(x)a −
u 0 (x)v(x) dx
0
a
Integrales impropias
Extendemos en esta sección el concepto de integral definida para tratar dos
situaciones nuevas:
AD
1. La función f (x) se hace infinita en algún punto de [a, b] (es arbitrariamente
grande o pequeña).
2. El intervalo de integración es infinito.
Los puntos singulares son aquellos en cuyo entorno la función no es acotada. También se dice que los puntos ±∞ son singulares cuando aparecen en los lı́mites de
integración. En ambos casos, la integral correspondiente se denomina impropia.
RR
Ejemplo 2.25. Intentemos dar sentido a
Z∞
dx
dx
2
1 x
Si realizamos la integración en un subintervalo [1, R] con R ∈ R:
Z
R
1
R
dx
1
1
dx
=
−
=
−
+ 1.
x 1
R
x2
BO
Si R tiende a ser muy grande, parece que la integral tiende a ser 1. Esto puede
interpretarse diciendo que el área de la superficie entre la hipérbola y = 1/x y el
eje x = 0, para x ≥ 1 es finita, pese a ser una región infinita. Este área serı́a
Z
R
= lı́m
R→∞
1
1
dx
1 R
dx = lı́m − = lı́m − + 1 = 1.
2
R→∞ R
R→∞ x 1
x
Ejemplo 2.26. Intentemos dar sentido a
Z
1
0
1
√ dx.
x
65
OR
2.4. INTEGRALES IMPROPIAS
Si realizamos la integración en un subintervalo [, 1] que no contenga
el 0:
Z1
√
√ 1
1
√ dx = 2 x = 2(1 − )
x
está claro que podemos hacer → 0, y entonces la integral parece
tender a ser 2.
2.4.1.
Definición de integral impropia
AD
Los ejemplos anteriores motivan las siguientes definiciones ( recordad la
definición 1.79 )
Definición 2.27 (Integral impropia de primera especie). Sea f continua a trozos
en [a, ∞). Se define
∞
Z
R
Z
f (x) dx = lı́m
a
Z
R→∞
a
f (x) dx,
a
Z
a
f (x) dx = lı́m
−∞
R→∞
f (x) dx
−R
RR
Definición 2.28 (Integral impropia de segunda especie). Sea f continua a trozos
en (a, b).
1. Si f puede ser infinita en b, se define
b
Z
b−
Z
f (x) dx =
a
f (x) dx = lı́m−
c→b
a
c
Z
b−
Z
f (x) dx = lı́m
→0
a
f (x) dx
a
2. Si f puede ser infinita en a, se define análogamente
b
Z
Z
b
f (x) dx =
BO
a
a+
Z
f (x) dx = lı́m+
c→a
c
a
Z
b
f (x) dx = lı́m
→0
f (x) dx
a+
Si el lı́mite existe, se dice que la integral impropia converge, y en caso contrario que diverge. Obsérvese que en el caso de que la función sea acotada, la
última definición produce el mismo valor de la integral que la definición de
Riemann.
Para definir la integral impropia de funciones con varios puntos singulares, se
divide el intervalo de integración para convertirla en uno de los tipos conocidos.
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
OR
66
Por ejemplo, si c1 < c2 son puntos singulares de f (x), entonces
Zc
Z c2
Z c2
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
c1
c1
c
siendo c ∈ (c1 , c2 ) un punto interior no singular. En general, si c1 < c2 < . . . < cn
son puntos singulares de f (x), se define
Z∞
Z c1
Z c2
Z∞
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx + · · · +
f (x) dx.
−∞
−∞
c1
cn
AD
Ejemplo 2.29. La fuerza de Coulomb sobre un electrón en un campo
producido por un átomo de carga Q es
F=k
Qe
.
r2
Si el electrón orbita con un radio r1 , la energı́a necesaria para separarlo del átomo (para “ionizar” el átomo) es igual al trabajo realizado al
llevarlo a r → ∞:
Z∞
Z∞
Qe
dr
1 ∞ kQe
Ei =
k 2 dr = kQe
= −kQe =
.
r
r1
r
r2
r1
r1
r1
RR
Ejemplo 2.30. Se puede demostrar que (idealmente) la intensidad eléctriV
ca i(t) en el circuito de la figura es i(t) = exp(−t/RC). La carga total
R
EJ
4
BO
8
+
Figura 2.1: Circuito RC.
en el condensador en un tiempo t, y a qué valor tenderá cuando t → ∞
(situación estacionaria), se calculan realizando una integral impropia:
dQ
= i(t),
dt
Zt
t
V −s/RC
t→∞
Q=
e
ds = −V C e−s/RC 0 = CV (1 − e−t/RC ) −→ CV .
0 R
2.4.2.
67
OR
2.4. INTEGRALES IMPROPIAS
Criterios de convergencia
AD
En el estudio de las integrales impropias aparece una cuestión nueva, que
no se presentaba en el caso de integrales no impropias: puede ser necesario o
interesante determinar si una integral impropia es convergente o divergente,
independientemente de su valor. Con las integrales que se pueden calcular
explı́citamente, simplemente calculando su valor, si es finito, se concluye que la
integral converge. Pero existen muchos métodos para estudiar la convergencia de
integrales sin necesidad de calcular su valor. Utilizándolos, podremos determinar
la convergencia de integrales que incluso no se pueden calcular en términos de
funciones elementales.
No siempre es fácil determinar si una integral impropia converge o diverge.
Sin embargo, existe una situación en que se puede decir con seguridad que una
integral impropia de primera especie diverge: cuando el integrando no tiende a
anularse en el infinito (en el siguiente sentido)
Proposición 2.31 (Condicion suficiente de divergencia). Si el integrando de la
integral impropia de primera especie
Z∞
f (x) dx
a
RR
tiene un lı́mite no nulo en ∞, es decir
lı́m f (x) = c , 0,
x→∞
entonces la integral diverge.
Este criterio es equivalente a una condición necesaria de convergencia: para
que la integral converja ha de ser lı́mx→∞ f (x) = 0.
Demostración. Si lı́mx→∞ f (x) = c , 0 entonces |f (x) − c| < cuando x > R para
cierta R. Si, por ejemplo, c > 0, entonces tomando 0 < < c tenemos que f (x) >
c − ≡ µ > 0 y que
Z
Z
∞
∞
BO
f (x) dx >
R
µ dx
(2.2)
R
que diverge.
Ra
Para las integrales de la forma −∞ f (x) dx la condición necesaria de convergencia es, evidentemente, que f (x) tienda a un lı́mite nulo en −∞.
En la demostración de la proposición anterior, en (2.2), hemos utilizado una
desigualdad entre integrales que se puede explotar más todavı́a para crear el
siguiente criterio de convergencia.
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
OR
68
Teorema 2.32 (Criterio de comparación). Si f (x) y g(x) son continuas a trozos
en [a, b) (b puede ser ∞), son positivas y
0 ≤ f (x) ≤ g(x),
entonces
b
Z
∀x ∈ [c, b)
b
Z
g(x) dx es convergente
f (x) dx es convergente
⇒
a
a
b
Z
b
Z
f (x) dx es divergente
g(x) dx es divergente
⇒
a
a
AD
La demostración se basa en que las funciones integrales, al ser los integrandos
positivos, son monótonas crecientes y acotadas.
El teorema anterior es muy útil si conocemos un conjunto amplio de integrales
simples convergentes o divergentes, con respecto a las que podemos comparar
integrales impropias más complicadas. Las siguientes integrales simples son
fundamentales.
Proposición 2.33.
La integral impropia
Z
∞
RR
1
dx
α
1 x
converge cuando α > 1 y diverge cuando α ≤ 1.
La integral impropia
Z
1
1
dx
α
0 x
converge cuando α < 1 y diverge cuando α ≥ 1.
BO
Demostración. Se hace integrando directamente.
Z∞
1
Ejercicio 2.34. ¿ Es convergente
dx ?
0 x
Ejemplo 2.35.
Z
∞
1
sen2 x
dx
x2
es convergente, ya que si f (x) = sen2 x/x2 podemos comparar usando
el teorema 2.32 con g(x) = 1/x2 , porque ambas son positivas y al
ser sen2 x ≤ 1, f (x) = sen2 x/x2 ≤ 1/x2 = g(x). Por la proposición (2.33)
la integral de 1/x2 es convergente, luego la de f (x) también lo es.
69
OR
2.4. INTEGRALES IMPROPIAS
Podemos aumentar mucho el conjunto de funciones con las que comparamos
si comprendemos cómo se comportan, además de las potencias, los logaritmos y
las exponenciales, y la relación entre los comportamientos de esas tres familias
de funciones. Todo ello se resume en las dos siguientes proposiciones.
AD
Proposición 2.36. Si 0 < a < 1 entonces
Z a σ /xp
e
|ln x|γ
dx
xk
0
es






σ > 0 ⇒ divergente



p > 0



σ < 0 ⇒ convergente (abs.)








k > 1 ⇒ divergente




si 






k < 1  ⇒ convergente (abs.)


p
≥
0
ó
σ
=
0








γ ≥ −1 ⇒ divergente




k
=
1








γ < −1 ⇒ convergente (abs.)
y si b > 1
Z
∞
p
eσ x xk |ln x|γ dx
b






σ > 0 ⇒ divergente



p
>
0




σ < 0 ⇒ convergente (abs.)








k > −1 ⇒ divergente




si 






k < −1  ⇒ convergente (abs.)


p
≤
0
ó
σ
=
0








γ ≥ −1 ⇒ divergente




k
=
−1








γ < −1 ⇒ convergente (abs.)
RR
es
Ejemplo 2.37.
Z∞
2
e−x cos 3x dx
p = 2, σ = −1
⇒
es convergente
BO
0
Z
!4
ln x
dx
x
Z∞
dx
2 ln x
∞
1
Z
∞
0
σ = 0, k = −4
σ =k=0
⇒
⇒
es convergente
es divergente
√
e x
dx
x5
p = 1/2, σ = 1
⇒
es divergente
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
OR
70
Muchos de los casos del árbol son integrales no impropias, porque sus integrandos no se hacen infinitos.
Ejemplo 2.38.
Z
1/2
(ln x)2 x4 dx
0
no es realmente impropia porque lı́m (ln x)2 x4 = 0 (luego es converx→0
gente).
Más criterios de convergencia∗
AD
2.4.3.
Los casos complicados de nuestros árboles de funciones tipo se pueden resolver con el criterio de comparación o con el siguiente potentı́simo criterio
de convergencia. En la práctica, las estimaciones de convergencia no son más
que un procedimiento rápido de aplicar el criterio, ya sea sustituyendo por
infinitésimos o por funciones equivalentes las distintas partes de un integrando
cuya convergencia queremos estudiar.
RR
Teorema 2.39 (Criterio de comparación II, o de paso al lı́mite). Sean f (x) y g(x)
funciones continuas y positivas. Entonces, si existe el lı́mite finito ( b puede ser ∞ )
f (x)
= k,
x→b g(x)
lı́m
y si
b
Z
1. k , 0, las integrales
f (x) dx y
a
mente;
Z
b
Z
b
g(x) dx convergen o divergen simultánea-
a
Z
b
b
Z
g(x) dx es convergente,
f (x) dx es convergente; si
a Z
a
b
es divergente,
g(x) dx es divergente;
BO
2. k = 0, si
f (x) dx
a
a
Z
b
Z
b
g(x) dx es divergente,
f (x) dx es divergente y si
a
Zb
es convergente,
g(x) dx es convergente.
b
Z
3. k = ±∞, si
a
a
f (x) dx
a
71
Ejemplo 2.40. La integral
a
Z
OR
2.4. INTEGRALES IMPROPIAS
ln x dx
0
converge porque
1/x
ln x
=0
√ = lı́m
x→0 1/(2x3/2 )
x→0 1/ x
lı́m
(se puede integrar directamente por partes). Más útil es calcular
Za
(ln x)4 dx
AD
0
4(ln x)3 /x
(ln x)3
(ln x)4
= 2 lı́m √ = · · · = 0
lı́m √ = lı́m
x→0 1/(2x3/2 )
x→0 1/ x
x→0 1/ x
luego es convergente.
Ejemplo 2.41.
Z
∞
2
diverge porque
dx
(ln x)2
RR
1/x
1/x
2 ln x/x
= 2 lı́m
= 0.
= lı́m
2
x→ ∞ 1
x→ ∞ 1/(ln x)
x→ ∞
1
lı́m
El teorema también sirve para estudiar la convergencia de muchas otras integrales.
Ejemplo 2.42. (El logaritmo en 1). Si 1 < c < ∞

Zc


dx
γ < 1 ⇒ es convergente (abs.)
si

γ

γ ≥ 1 ⇒ es divergente
1 |ln x|
BO
ln x
= 1.
x→1 x−1
porque lı́m
2.4.4.
Integrandos no positivos y convergencia absoluta∗
Los criterios de comparación, teoremas 2.32 y 2.39, se pueden aplicar solo
cuando las funciones que se comparan, f (x) y g(x), son positivas, al menos en un
entorno del punto b en donde la integral es impropia. Si f (x) es estrictamente
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
OR
72
negativa, se pueden aplicar los criterios a la función −f (x), que es positiva. La
convergencia o divergencia de −f (x) es simultánea a la convergencia o divergencia de f (x), ya que solo hay involucrado un cambio de signo. Sin embargo, si
la función f (x) no es ni estrictamente positiva ni negativa, los criterios no son
directamente aplicables. Existen algunos conceptos que permiten el estudio de
funciones de signo cambiante, que vamos a discutir a continuación.
Definición 2.43. La integral impropia
b
Z
f (x) dx
AD
a
es absolutamente convergente si
b
Z
|f (x)| dx
a
es convergente.
Es fácil probar que (como consideramos solo f ’s continuas a trozos)
RR
Proposición 2.44. Si una integral impropia es absolutamente convergente, entonces
es convergente. De hecho
Z
Z
b
b
f
(x)
dx
≤
|f (x)| dx.
a
a
Dada una función f (x) de signo cambiante, podemos considerar la integral
de su valor absoluto |f (x)|, que es de signo positivo, aplicando los criterios de
convergencia de que disponemos. Si la integral de |f (x)| resulta ser convergente, la integral de f (x) es absolutamente convergente, por lo que es también
convergente.
Ejemplo 2.45.
BO
Z
∞
1
sen x
dx
x2
es absolutamente convergente (comparar con 1/x2 ), luego es convergente.
Sin embargo, si la integral del valor absoluto |f (x)| resulta ser divergente, no
podemos concluir que la integral de f (x) también lo es. Puede suceder que las
áreas negativas resultantes de integrar f (x) en las regiones donde es negativa,
sean en magnitud −∞ y “contrarresten” en cierto modo una contribución positiva
73
OR
2.4. INTEGRALES IMPROPIAS
(infinita) de las zonas en las que f (x) es positiva. Es decir, la integral de |f (x)|
puede diverger, aún convergiendo la integral de f (x). En ese caso, se dice que la
integral impropia es condicionalmente convergente.
Ejemplo 2.46.
∞
Z
1
sen x
dx
x
no es absolutamente convergente* , pero es condicionalmente convergente.
Z∞
Z∞
sen x
cos x ∞
cos x
dx = −
dx
+
x
x 1
x2
1
1
2.4.5.
AD
(la última integral es absolutamente convergente)
Valor principal de Cauchy∗
Z
Sea una integral impropia
b
f (x) dx con un único punto singular en c ∈ (a, b),
a
RR
divergente. En los alrededores del punto c, la integral impropia puede diverger,
debido a que el área de la región correspondiente es infinita. Pero podemos
considerar el caso en el cual el área infinita a la izquierda de c sea de signo
contrario, e “igual magnitud” que el área infinita a su derecha. Ilustremos este
concepto con el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.47.
Z 0−
Z1
Z1
1
1
1
dx =
dx+
dx = divergente+divergente = divergente
−1 x
0+ x
−1 x
BO
Sin embargo, parece que las dos integrales impropias, aunque infinitas, son opuestas en signo, luego podrı́a ser
Z1
1
dx = 0
−1 x
Definición 2.48. Si f (x) tiene un único punto singular c en (a, b), se define el valor
Rb
principal de Cauchy de la integral impropia a f (x) dx como el lı́mite
b
Z
VP
a
*a
c−
"Z
f (x) dx = lı́m+
→0
demostrar más tarde mediante series
Z
b
f (x) dx +
a
#
f (x) dx
c+
CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL
OR
74
Obsérvese que el hecho relevante es que las integrales dependen simétricamente
de .
Ejemplo 2.49. Tenemos que
Z
1
1
VP
dx = lı́m+
→0
−1 x
"Z
−
−1
1
dx +
x
Z
1
#
"
1 #
−
1
dx = lı́m+ ln |x| + ln |x| →0
x
−1
= lı́m+ (ln || − 0 + 0 − ln ||) = 0.
→0
Z
AD
Si, por ejemplo, en una de las integrales anteriores decidimos que tienda a cero al doble de velocidad que en la otra integral:
1
1
dx ≈ lı́m+
→0
−1 x
−2
"Z
−1
1
dx +
x
Z
1
#
"
−2
1 #
1
dx = lı́m+ ln |x| + ln |x| →0
x
−1
= lı́m+ (ln 2 − ln ) = ln 2.
→0
El valor principal de una integral impropia convergente es igual al valor de la
integral. El concepto de valor principal se puede generalizar al caso de valor
principal en el infinito:
+∞
Z
RR
Z
VP
R
f (x) dx = lı́m
−∞
R→∞
f (x) dx
−R
Ejemplo 2.50.
Z
x dx
= lı́m
2
R1 →∞
−∞ x + 1
Z
BO
Sin embargo
Z
VP
0
Z R2
x
x
dx
+
lı́m
dx
2
R2 →∞ 0 1 + x2
R1 1 + x
1
1
= − lı́m ln |R21 + 1| + lı́m ln |R22 + 1| = no existe
R2 →∞ 2
R1 →∞ 2
∞
∞
1
x dx
1
2
2
= lı́m − ln |R + 1| + ln |R + 1| = 0
2
R→∞
2
2
−∞ x + 1