Probabilidad

PREUJOVEN
22
Matemática
Probabilidad
Al término de esta lección podrás:
•
•
Relacionar la noción de probabilidad con la información estadística que
deriva de la repetición de un fenómeno aleatorio.
Calcular probabilidades a priori y a posteriori, así como también
calcular permutaciones, variaciones y combinaciones.
Introducción
Las probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos
llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles,
pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por
ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el
lanzamiento de un dado, la extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se
verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de
las probabilidades experimentales o estadísticas.
1. Probabilidad.
La probabilidad de que ocurra un hecho, es la razón entre el número de casos favorables y el
número de casos posibles.
A la probabilidad se le asigna un valor entre 0 y 1 (ó 0% y 100%).
Si el suceso (evento) es seguro de que ocurra, la probabilidad (P) es 1 ó 100%.
Si el suceso es seguro que no ocurra, la probabilidad (P) es 0 ó 0%.
1.1 Espacio muestral (S).
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento dado.
Ejemplos:
1) Al “lanzar una moneda”, el espacio muestral es:
2) Al “lanzar un dado”, el espacio muestral es:
Lección 22
S
m
= {cara, sello}
S = {1, 2,3, 4,5, 6}
d
1
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Observaciones:
1. Si lanzamos a la vez una moneda y un dado, el espacio muestral resultante se obtiene del
producto cartesiano m × d :
S S
S
md
= S m×S d
2. De la observación anterior se desprende que el número de elementos del espacio muestral
resultante corresponde al producto del número de elementos del primer espacio muestral por
el número de elementos del segundo (cardinalidad).
#S
md
= # S m×# S d
Ejemplos:
1) Si lanzamos dos dados, el espacio muestral tendrá 36 elementos; es decir, 6 x 6 (6
resultados de cada uno).
2) Si lanzamos un dado y una moneda, el espacio muestral tendrá 6 x 2 = 12 elementos.
1.2 Evento (E).
Un evento o suceso, es un subconjunto del espacio muestral.
Ejemplos:
1) Al lanzar una moneda, “que salga cara” : E = {cara}
2) Al lanzar un dado, “que salga 3”
3) Al lanzar un dado, “que no salga 3”
: E = {3}
: E = {1, 2, 4,5, 6}
1.3 Probabilidad a priori.
Es la posibilidad de que ocurra un evento o suceso. Esta nos permitiría en cierto modo
predecir lo que ocurrirá. (Históricamente relacionada con juegos de azar).
Definición 1:
Sucesos excluyentes, se llamaran cuando sólo uno de ellos pueda ocurrir en una prueba.
Teorema1:
La probabilidad de que ocurra un suceso entre varios mutuamente excluyentes en una sola
prueba, es la suma de las probabilidades separadas de ocurrencia.
Ejemplos:
1) Determinaremos la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado sea 4 ó 5.
Lección 22
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La probabilidad de que salga
4→
1
6
La probabilidad de que salga
5→
1
6
La probabilidad que salga
4∨5 →
1 1 1
+ =
6 6 3
2) ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta, esta sea de trébol o de corazones?
La probabilidad de que salga trébol:
P
tr
=
13 1
=
52 4
La probabilidad de que salga corazón:
P
co
=
13 1
=
52 4
La probabilidad de que salga trébol o corazón:
P
( tr _ ó _ co )
=
1 1 1
+ =
4 4 2
Definición 2:
Dos sucesos A y B se dicen independientes si el que ocurra uno, no afecta la ocurrencia del
otro.
Ejemplo:
1) Al lanzar dos dados, el resultado de uno no influye en el resultado del otro.
Teorema 2:
La probabilidad de que todos los sucesos independientes ocurran entre el conjunto de tales
sucesos, es el producto de sus posibilidades separadas.
Ejemplo:
1) Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras, otra bolsa contiene 2 bolas blancas y 4
negras y una tercera bolsa contiene una bola blanca y 3 negras. Si se saca una bola de cada
bolsa, hallar la probabilidad de que sean todas blancas.
Bolsa 1 :
P
( B1)
=
4 2
=
6 3
Bolsa 2:
P
( B 2)
=
2 1
=
6 3
Bolsa 3:
P
( B 3)
=
1
4
Lección 22
3
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Matemática
2 1 1
3 3 4
Luego, la probabilidad de que todas las elegidas sean blancas será: P = i i =
1
18
Definición 3:
Sucesos dependientes serán aquellos en que la ocurrencia de uno afectará en la ocurrencia
del otro.
Ejemplo:
1) Al sacar dos cartas de un naipe, la probabilidad de sacar una carta roja en la segunda
extracción depende de si en la primera extracción se obtuvo una carta roja o no.
Teorema 3:
En sucesos dependientes, si la probabilidad de que un suceso ocurra es
ocurrido, la probabilidad de que un segundo suceso ocurra es
dos sucesos ocurran en ese orden es
P iP
1
2
P
2
P
1
, y si una vez
, la probabilidad de que los
.
Ejemplo:
1) Una bolsa contiene 5 bolas rojas y otra bolsa contiene 1 bola blanca y 4 rojas. Se elige una
de las bolsas y luego una bola de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca?
a) La probabilidad de que la segunda bolsa sea elegida es:
P
1
=
1
2
b) La probabilidad de que se elija la bola blanca de la segunda bolsa será:
P
2
=
1
5
c) Por último, la probabilidad de sacar una bola blanca de entre ambas molsas será:
P = P iP
1
2
1 1 1
= i =
2 5 10
1.4 Probabilidad frecuencial (a posteriori o empírica).
La probabilidad a posteriori se calcula después de realizar un experimento n veces (en que n
es muy grande) si un suceso ocurre m veces. Entonces, la probabilidad del suceso se define
como:
Ejemplo:
1) Si se lanzó una moneda 50 veces y 26 veces salió cara, la probabilidad a posteriori o
frecuencial será:
Lección 22
P
cara
=
26
= 0, 52(52%)
50
P
sello
=
24
= 0, 48(48%)
50
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2. Combinatoria.
Es el estudio de las distintas ordenaciones que se pueden realizar con un determinado grupo
de elementos. Existen básicamente tres tipos:
2.1 Permutaciones.
Consiste en ordenar de todas las maneras posibles, n objetos.
a) Tomando todos los objetos (distintos) al mismo tiempo, el número de ordenaciones posibles
será:
P
n
= n ! ( n ! = n _ factorial )
Ejemplos:
1) Si n = 1 ⇒ n ! = 1
n = 3 ⇒ n! = 6
2) ¿De cuántas maneras pueden ordenarse 5 libros en un librero?
maneras posibles.
b) Si dentro de los elementos existen algunos de ellos que se repiten, el cálculo de las
ordenaciones será:
Pr =
n!
n ! n ! n ! ...n !
1
donde:
n
n
2
3
i
es el número de elementos.
es el número de veces que se repite un elemento.
i
Ejemplo:
1) ¿Cuántas permutaciones se realizan con las letras de la palabra FOSFORO?
La palabra tiene 7 letras (
La O se repite 3 veces (
Lección 22
n
n
O
= 7 ).
).
5
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La F se repite 2 veces (
n
F
).
Luego, las permutaciones estarán dadas por:
P
r
=
7!
7i6i5i4i3i2i1
=
= 420 maneras.
3!i2!
3i2i1i2i1
2.2 Variaciones o Arreglos.
a) Serán todas las posibles ordenaciones de n elementos, tomados de a m de ellos cada vez,
sin que estos se repitan.
Vm=
n
A
n
m
=
n!
(n − m)!
Ejemplos:
1) Sean A, B, C, D y E elementos.
2) ¿Cuántos arreglos o variaciones de a 4 se pueden hacer con un total de 7 elementos?
b) Arreglos circulares:
El número de arreglos circulares distintos de n objetos es:
(n−1)!
Ejemplo:
1) ¿De cuantas maneras pueden colocarse 6 platos distintos alrededor de una masa redonda?
Lección 22
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c) Arreglos con repetición.
El número de arreglos distintos de n objetos considerados de a m cada vez, con repetición de
ellos, es:
A( m , n ) = n
n
m
Ejemplo:
1) Los dos arreglos de a 3 elementos de entre 5 con repetición de ellos serán:
A
5
(3,3)
= 5 = 125
3
2.3 Combinaciones.
Son todas las agrupaciones de a m elementos tomados de un total de n elementos (m < n), de
tal manera que dos grupos no tengan iguales elementos y que ninguno esté más de una vez en
una agrupación:
Cm =
n
n!
m! (n − m)!
=(
n
m
)
Ejemplo:
1)
C
4
3
=
4!
=4
3!(4 − 3)!
(123 – 134 – 124 – 234 son todas las posibles combinaciones que se pueden obtener con los
números 1, 2, 3, 4).
Atención
Lección 22
La diferencia entre arreglo y combinación, es que en las combinaciones no
interesa el orden de los elementos en la agrupación y en los arreglos si.
7
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1. ¿De cuantas maneras pueden escogerse 4 lápices de un total de 10
diferentes?
Ejercicios
C
b) A
c) A
d) C
e) C
a)
6
4
10
4
6
4
10
4
10
6
2. De una caja se sacan dulces rojos, blancos y azules. Existen 6 blancos, 10
rojos y 2 azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar:
a) uno azul
b) uno blanco
c) uno rojo
d) que no sea blanco
e) que no sea rojo
f) que no sea azul
g) uno rojo y uno azul
3. ¿De cuántas maneras pueden ingresar a una sala 8 personas?
8
C
b) P
c) A
d) P
e) P + P
a)
8
7
8
7
8
5
3
4. ¿Cuál es el número de ordenaciones distintas que se realizan con los 3
primeros dígitos no nulos?
a) 120
b) 96
c) 5
d) 115
e) 25
5. ¿De cuántas formas pueden sentarse 7 personas alrededor de una mesa
redonda?
P
b) P
c) P
d) A
a)
8
7
6
7
Lección 22
6
8
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e) N. de las A.
6. ¿De cuántas maneras pueden elegirse comisiones de a 3 de un total de 50
personas?
C
b) C
c) A
d) A
e) C
a)
50
3
47
3
50
3
47
3
50
47
7. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda salga:
a) cara
b) sello
c) cara y sello
d) cara o sello
8. Se lanza 5 veces una moneda, ¿qué probabilidad existe de que salga siempre
cara?
a) 1/10
b) 1/2
c) 1/5
d) 1/32
e) 5/2
9. Al lanzar 2 dados. ¿Qué probabilidad existe de que salgan números que:
a) sumen 7
b) que sea uno el doble del otro
c) que sumen 12
10) ¿De cuántas formas distintas pueden estacionarse en una fila de un
estacionamiento 5 autos distintos?
a) 4!
b) 5!
c) 10!
d) 15!
e) N. de las A.
11. ¿Cuál es el número de ordenamientos que se hacen con 5 dígitos tomándolos
de a 3?
a)
Lección 22
C
5
3
9
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C
c) A
d) A
e) P
5
b)
2
5
3
5
2
3
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