PRACTICO 3. FUNCIONES CONTINUAS. 1. Definición y

PRACTICO 3. FUNCIONES CONTINUAS.
1. Definición y equivalencias.
Definición 1 Una función f : X → Y entre espacios topológicos (X, TX ) e
(Y, TY ) es continua si f −1 (A) ∈ TX para cada A ∈ TY .
Obviamente la continuidad depende de las topologı́as en X e Y . Por ejemplo,
si T1 y T2 son topologı́as en un conjunto X, entonces la función identidad
id : (X, T1 ) → (X, T2 ) es continua sii T1 ⊃ T2 . Por eso, cuando hay riesgo
de confusión, escribimos f : (X, TX ) → (Y, TY ), para dar a entender con
qué topologı́as estamos considerando dominio y codominio.
Definición 2 Sean (X, TX ) e (Y, TY ) espacios topológicos. Una función f :
X → Y es continua en x si para todo entorno V de f (x) existe un entorno
U de x tal que f (U ) ⊂ V .
Algunas equivalencias:
Ejercicio 1. Sea f : (X, TX ) → (Y, TY ). Son equivalentes:
1. f es continua.
2. f es continua en x para todo x ∈ X.
3. f −1 (C) es cerrado en TX para cada C cerrado en TY .
4. Para todo subconjunto A ⊂ X se cumple que f (A) ⊃ f (A)
Probar con ejemplos de funciones de R en R que no es cierto que si f es
continua entonces f (A) es abierto para cada A abierto, ni f (B) es cerrado
para cada B cerrado.
Ejercicio 2. Sea f : (X, T ) → (Y, S) y x un punto de X. En este ejercicio
se estudia la relación entre las siguientes afirmaciones:
1. f es continua en x
2. Para toda sucesión {xn } en X que converge a x, se cumple que la
sucesión f (xn ) converge a f (x).
a) Probar que 1 implica 2.
b) Probar que si (X, T ) cumple el primer axioma de numerabilidad, entonces
2 implica 1.
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c) Probar que no siempre son equivalentes, usando por ejemplo la función
identidad que va de (X, T ) a (X, D) donde X es un conjunto no numerable
y donde T es la topologı́a de los complementos numerables y D la discreta.
Con la definición dada es muy obvio que la composición de funciones continuas es continua.
Una función biyectiva entre espacios X e Y se dice un homeomorfismo si
tanto f como f −1 son continuas. En este caso, decimos que los espacios son
homeomorfos. Es claro que cuando f es un homeomorfismo un conjunto A
es abierto en X sii su imagen es un abierto en Y . Dos espacios homeomorfos
son exactamente el mismo objeto a los ojos de un topólogo. Por ejemplo, si
consideramos en todos los casos la topologı́a usual de R o R2 , una recta es
homeomorfa a una parábola, una elipse homeomorfa a una circunferencia.
La composición de homeomorfismos es también un homeomorfismo, por lo
que se tiene que la relación “X e Y son homeomorfos” es de equivalencia.
Ejercicio 3. Sea f de X = [0, 1] ∪ (2, 3] con la topologı́a usual, en Y = [0, 2]
también con la topologı́a usual, definida de la siguiente manera: f (x) = x si
x ∈ [0, 1], y f (x) = x − 1 si x ∈ (2, 3]. Probar que f es biyectiva de X en Y
y que es continua, pero que su inversa no es continua.
2. Espacio producto.
Sea X un conjunto, f : X → Y una función, y τ una topologı́a en Y .
Note que si se define τf = {f −1 (Z) : Z ∈ τ } se obtiene una topologı́a en
X. Es la mı́nima topologı́a en X que hace de f una función continua.
No puede hacerse lo mismo cuando son varias funciones fα : X → Yα ,
donde cada Yα se considera con una topologı́a τα : La colección S de todos
los conjuntos de la forma fα−1 (Aα ), donde cada Aα es un abierto en Yα no
es una topologı́a, y ni siquiera es una base de una topologı́a: por ejemplo
fı́jese en cual es la clase S resultante cuando se consideran las funciones
fi : R2 = R × R, para i = 1, 2 siendo fi (x1 , x2 ) = xi y donde R se toma con
la topologı́a usual.
Resolver este problema no es tan grave: la colección B de las intersecciones finitas de elementos de S es base de una topologı́a τ , que resulta ser la
mı́nima tologı́a en X para la cual todas las fα son continuas.
Sean (Xα , τα ) espacios topológicos, uno para cada α de un conjunto de
ı́ndices I. El producto de los conjuntos Xα es
X = Πα∈I Xα = {f : I → ∪α Xα : f (α) ∈ Xα para todo α ∈ I}
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Se define la función proyección sobre el α-ésimo eje como pα : X → Xα
ası́ : p(f ) = f (α), para cada f ∈ X.
Definición 3 Dados espacios topológicos (Xα , τα ), se define la topologı́a
producto como la mı́nima topologı́a que hace continuas a todas las funciones
pα .
Ejercicio 4. Probar que si X = Πα Xα tiene la topologı́a producto, entonces
las funciones pα son abiertas, es decir, llevan abiertos en abiertos.
Probar también que una función de un espacio Z en X es continua sii para
todo α se cumple que pα ◦ f : Z → Xα es continua.
Ejercicio 5. Sea X el conjunto de todas las funciones de [0, 1] en sı́ mismo,
es decir, X = [0, 1][0,1] . Como espacio producto tiene una topologı́a producto, donde en cada [0, 1] se considera la topologı́a usual de R. Describir los
abiertos de la base. Probar que no satisface el primer axioma de numerabilidad. Probar que es Hausdorff. Probar que una sucesión de funciones {fn }
converge según esta topologı́a sii converge puntualmente.
3. Espacio cociente.
Dadas una función sobreyectiva f : X → Y , y una topologı́a τ en X,
se define una topologı́a en Y , declarando que U es abierto si se cumple que
f −1 (U ) está en τ . Es claro que se obtiene una topologı́a en Y , y que es la
máxima topolgı́a en Y que hace que f sea continua. Esta topologı́a se llama
topologı́a cociente (bien dicho serı́a la topologı́a cociente respecto de f y la
topologı́a τ en X). Este es un lindo ejercicio para aprender a manejar la idea:
Ejercicio 6. Sea f una función sobreyectiva entre espacios topológicos
(X, T ) e (Y, S). Si f es continua y abierta, entonces la topologı́a S de Y
es la topologı́a cociente.
Ejercicio 7. Sea f continua y sobre de un espacio X en un espacio Y , donde
en Y se considera la topologı́a cociente. Entonces una función g del espacio
Y en otro Z es continua sii g ◦ f es continua.
El nombre de topologı́a cociente proviene del siguiente hecho: Sea X un
espacio topológico y R una relación de equivalencia en X. Entonces tiene
sentido considerar en el conjunto cociente la topologı́a cociente respecto de
la proyección p : X → X/R.
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Ejercicio 8. Sea R una relación de equivalencia en un espacio X. La clase de equivalencia de x se denota por [x]. Probar que un subconjunto A de
X/R es abierto en la topologı́a cociente si y sólo si ∪[x]∈A [x] es abierto en X.
Ejercicio 9. Probar que si el espacio cociente X/R es de Hausdorff, entonces R es un subconjunto cerrado del espacio producto X × X.
Ejercicio 10. Sea X = [0, 1] con la topologı́a usual y se consideran las siguientes relaciones de equivalencia en X:
Defina (x, y) ∈ R1 si (x = y) o bien (x = 0 e y = 1) o bien (x = 1 e y = 0).
Defina (x, y) ∈ R2 si x = y o si x = 1 − y.
En ambos casos, probar que son relaciones de equivalencia, determinar el
espacio cociente y hallar un subespacio de R2 homeomorfo al cociente. Se
pide fórmula para los homeomorfismos correspondientes.
El ejercicio anterior es una introducción a lo que se entiende por “pegar”
o “identificar”. Sea X un espacio, f una función de un subconjunto A de
X en X y se da una relación de equivalencia en X declarando que z1 y z2
son equivalentes si z1 = z2 o si f (z1 ) = z2 . Ası́ nomás, no es una relación
de equivalencia, se entiende la mı́nima relación de equivalencia que contiene
esos pares. Luego el espacio cociente de esta relación se llama el pegado de
X via la identificación f . Ejemplo: considerar X = D, donde D es el disco
unidad cerrado y se considera la función f : ∂D → D definida como f (z) = 1
para todo z ∈ ∂D. Se identifica todo el borde con un solo punto del borde.
El resultado del pegado es homeomorfo a la esfera.
Ejercicio 11. Se considera en R2 \ {(0, 0)} la siguiente relación de equivalencia: V y W son equivalentes si existe un real positivo λ tal que λV = W .
Probar que es de equivalencia y encontrar un subconjunto de R2 que sea
homeomorfo al espacio cociente.
Ejercicio 12. Se considera el cuadrado [0, 1] × [0, 1] y la función f : {0} ×
[0, 1] → {1} × [0, 1] dada por f (0, x) = (1, x). Probar que el espacio cociente
por esta identificación es homeomorfo a un cilindro. Hallar el homeomorfismo.
Ahora considere lo mismo pero con f (0, x) = (1, 1 − x). El espacio cociente
se llama la banda de Moebius. Hacer un dibujo.
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