Matemáticas

Matemáticas
para administración y economı́a
Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul
Unidad I
(Capı́tulo 16 del texto)
Cálculo de Varias Variables
1.1 Funciones de varias
variables.
1.2 Derivadas parciales.
1.3 Aplicaciones de las
derivadas parciales.
1.4 Diferenciación parcial
implı́cita.
1.5 Derivadas parciales de
orden superior.
1.6 Regla de la cadena.
1.7 Máximos y mı́nimos
para funciones de dos
variables.
1.8 Multiplicadores de
Lagrange
Motivación
Suponga que la compañı́a de novedades A&S determina que
las ganancias por dos tipos de artı́culos que produce son de 9
y 7 dólares la unidad
¿Qué variables intervienen en la determinación de las
ganancias de la compañı́a?
¿Qué relación existe entre las variables anteriores?
Funciones de varias variables
Funciones de dos variables
Definición
Una función f de variables independientes x y y es una regla
que asigna a cada par ordenado (x; y) de números reales, en
algún conjunto dado D, uno y sólo un número real
representado por f (x; y).
El dominio de la función f es el conjunto de todos los pares
ordenados (x; y) de números reales para los cuales la
expresión f (x; y) puede calcularse.
Graficas en el espacio
Definiciones
1
Para la función multi variables
z = f (x; y), el dominio puede
representarse de manera
geométrica por medio de una
región en el plano.
2
La función misma puede
representarse en un sistema
coordenado rectangular
tridimensional.
3
Tal sistema se forma cuando
tres ejes de números reales
mutuamente perpendiculares
en el espacio, se intersecan en
el origen
Graficas en el espacio
Ejemplo
Una superficie puede esbozarse con
ayuda de las intersecciones de la
superficie con los planos coordenados .
Suponga la grafica de la función
2x + 3y + z = 6, encontrando las
intersecciones de esta función con los
planos, es decir,
Para el plano xy, hagamos z = 0
y por lo tanto 2x + 3y = 6, que
es la grafica de una lı́nea recta en
el plano xy
Para el plano yz, hagamos x = 0
y tenemos 3y + z = 6.
Por último, para el plano xz,
hagamos y = 0 y tenemos
2x + z = 6
Graficando cada lı́nea recta en sus
respectivos planos y uniéndolas
tenemos:
Ejemplo
Dominio y su representación en el plano xy
1
Para cada una de las funciones:
f (x, y) =
1
2
x+3
y−2
Calcule, si existe: f (2, 0) y f (0, 2).
Halle el dominio de f , y represente gráficamente en el plano
xy.
Solución
Sutituyendo x = 2 y y = 0, es decir, f (2, 0) en la funcion problema
f (2, 0) =
2+3
5
5
=
=−
0−2
−2
2
Sutituyendo x = 0 y y = 2, es decir, f (0, 2) en la funcion problema
f (2, 0) =
0+3
3
= =∞
2−2
0
Para encontrar el dominio, observamos que la funcion tiene una forma
racional, por lo tanto necesitamos encontrar los puntos donde el
denominador presenta una discontinuidad. denominador es y − 2 su
discontinuidad y − 2 = 0, entonces, despejando para y
y =0+2
y=2
Por lo tanto, la funcion tienen una dicontinuidad en y = 2
Graficamente
Dominio
Si f (x, y) =
entoces
x+3
y−2 ,
Dom f = (x, y)
donde y 6= 2
Funciones de producción de Coob-Douglas
La producción Q de una fábrica con frecuencia se considera
como una función de la cantidad de inversión de capital, K, y
del tamaño de la fuerza laboral, L.
Las funciones de producción de la forma:
Q(K, L) = AK α L1−α
donde A y α son constantes positivas y 0 < α < 1 se conocen
como funciones de producción de Coob-Douglas
Ejemplo
Definición
Suponga que en cierta fábrica la producción está dada por la función de
producción de Cobb-Douglas
Q(K, L) = 30K 1/4 L3/4
unidades,
donde K es la inversión de capital en unidades de $1000 y L es el
tamaño de la fuerza laboral en horas-trabajador en unidades de 1000.
1
Calcule la producción si la inversión es $256000 y se utilizan 10000
horas-trabajador de mano de obra.
2
Demuestre que la producción en (1) se triplicará si se triplican a la vez la
inversión de capital y la fuerza laboral.
Solución
Sustituyendo K por 256 y L por 1, la función se transforma a
Q(K, L) = 30K 1/4 L3/4 = 30(256)1/4 (1)3/4
= 30(4)(1) = 120
Ahora tripliquemos cada uno de los factores, es decir,
sustituyamos a K por 768 y L por 3, entonces
Q(K, L) = 30K 1/4 L3/4 = 30(768)1/4 (3)3/4
= 30(5,26)(2,27) = 360
Curvas de nivel
Definición
Una curva de nivel de
f en c es el conjunto
de puntos (x; y)
correspondiente en el
plano XY que
satisface f (x; y) = c
Ejemplo
Encontrar las curvas
de nivel z = 3,
z = 15 y z = 35 para
la siguiente función:
z = x2 + y 2
Curva del producto constante o Isocuanta
Definición
Si la producción Q(x; y) de un proceso de manufactura
está determinada por los factores x y y (por ejemplo, horas de
mano de obra e inversión de capital) entonces la curva de nivel
Q(x; y) = C,
C>0
se denomina curva del producto constante o isocuanta.
Curva de indiferencia
Definición
Un consumidor que está considerando la compra de una
cantidad de unidades de cada uno de dos artı́culos se asocia
con una función de utilidad U (x; y), que mide la satisfacción
total (o utilidad) que el consumidor obtiene al tener x
unidades del primer artı́culo e y unidades del segundo. Una
curva de nivel U (x; y) = C, C > 0 de la función utilidad se
denomina curva de indiferencia y proporciona todas las
combinaciones de x y y que conducen al mismo nivel de
satisfacción del consumidor.
Ejemplo
Suponga que la utilidad obtenida por un consumidor de x unidades
de un artı́culo y de y unidades de un segundo artı́culo está dada por
la función de utilidad
U (x; y) = x3/2 y.
Si el consumidor posee actualmente x = 16 unidades del primer
artı́culo y y = 5 unidades del segundo,
Halle el nivel actual de utilidad del consumidor y trace la
curva de indiferencia correspondiente.
Solución
Para encontrar el nivel
actual de utilidad
sustituyamos x = 16 y
y = 5 en la función
U (x; y) = x3/2 y
= (16)3/2 20 = 64(5)
= 320
Graficando la curva de
indiferencia U (x, y) = 320