Cap´ıtulo 1 Introducción

Capı́tulo 1
Introducción
Diversos procesos naturales e industriales de interés fı́sico; biologico, etc.
son fenómenos de advección, difusión y reacción transitorios.
Este es el caso, por ejemplo, del funcionamiento de los reactores quı́micos;la
densidad de población de una especie natural o el estudio de la propagación
de sustancias contaminantes en diferentes medios.
La solución de dicha ecuación representa la concentración de la sustancia que
se dispersa y es una información muy importante en el estudio de diversos
problemas de interes ecológico como son: estimación del impacto ambiental por derrames de petroleo, ubicación optima de nuevas plantas industriales,determinación del sitio de una explosión nuclear y control de emisiones
industriales.
Debido a la complejidad de estos problemas no es posible en general obtener
una solución analı́tica para la ecuación de difusión-advección-reacción, por
lo que es necesario usar técnicas numéricas para hallar una solución aproximada.
La modelización numérica de estas aplicaciones tecnológicas requiere del uso
técnicas adecuadas para la resolución aducuada de las dificultades numéricas
que se presentan debido a la propia naturaleza del problema traducido en la
ecuación ası́ como de los problemas que surgen en el tratamiento numérico.
Justificación del uso de Métodos Numéricos en la Solución de las
EDP
Los métodos de aproximación analt́ica a la solución de EDP, proporcionan
frecuentemente información útil acerca del comportamiento de la solución en
5
6
valores crı́ticos de la variable dependiente, pero tienden a ser más difı́ciles
de aplicar que los métodos numéricos. Entre las consideraciones que justifican el uso de métodos numéricos para solucionar ciertos tipos de ecuaciones
diferenciales ordinarias y en derivadas parciales se encuentran: 1) Los datos
de los problemas reales presentan siempre errores de medición, y el trabajo
aritmético para la solución está limitado a un número finito de cifras significativas que resultan en errores de redondeo. Por lo tanto, incluso los métodos
analı́ticos proporcionan resultados que son aproximaciones numéricas; 2) La
evaluación numérica de las soluciones analı́ticas es a menudo una tarea laboriosa y computacionalmente ineficiente, mientras que los métodos numéricos
generalmente proporcionan soluciones numéricas adecuadas, de manera más
simple y eficiente (Smith, G. Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Oxford University Press, New York.1999.)
1. Introducción
1.1.
7
Objetivos
Se plantea la resolución de la ecuación de advección difusión longitudinal;(se pueden usar para resolver problemas de adveccion difusion en 2D
como en 3D );aplicando esquemas explicitos e implicitos en diferencias finitas.
Presentar criterios de estabilidad sencillos, los cuales garantizan la estabilidad
de los esquemas en diferencias finitas para resolver la ecuación de advección
dispersión longitudinal; los criterios obtenidos deben garantizar la estabilidad y convergencia, como función de los numéros de Couran y Péclet, con
todo esto se tiene a disposición métodos sencillos que son numéricamente
estables y convergentes y aśi no se considera necesario recurrir a métodos
más complicados para resolver la ecuación de advección dispersión para el
caso unidimensional.
1.2.
Extructura del trabajo
En el capitulo I hacemos un resumen de algunas definiciones y propiedades del análisis funcional ası́ como del método de diferencias finitas para ser
aplicados a problemas de advección difusión para el caso unidimensional.
En el capitulo II presentamos el modelo matemático a estudiar ası́ como a manera de motivación algunas aplicaciones diversas y luego vemos la
existencia y unicidad de la solución de nuestra ecuación modelo.
En el capitulo III Presentamos a la ecuación Advección difusión transitoria y realizamos su correspondiente análisis numérico, nos ocupamos de
la estabilidad la consistencia y la convergencia para los esquemas explicito
e implicito de Crank Nicolson respectivamente, necesarios para realizar la
implementación computacional y ver algunos experimentos.
En el capitulo IV hacemos referencia a la resolución numérica de los grandes sistemas de ecuaciones lineales y revisamos los métodos iterativos más
importantes para tratar sistemas de ecuaciones lineales, en especial los sistemas simétricos y definidos positivos que surgen en el tratamiento numérico de
las ecuaciones diferenciales, en nuestro caso la ecuación de advección difusión
unidimensional.
En el capitulo V damos algunos ejemplos numéricos sobre la ecuación de
advección difusión teniendo en cuenta el correspondiente análisis numérico
hecho en el capitulo III dode nos ocupamos de la estabilidad la consistencia
8
1.3. Preliminares
y la convergencia para los esquemas explicito e implicito de Crank Nicolson
respectivamente.
1.3.
1.3.1.
Preliminares
Definiciones
Soporte Compacto
sea Ω ⊂ <n , Ω es un conjunto abierto y una función f : Ω → < el soporte se denota y define:
Sop(f ) = {x ∈ Ω/f (x) 6= 0}
Espacio C∞
0 (Ω)
Dado
Ω ⊆ <n abierto
C0∞ (Ω) = {f ∈ C ∞ /Sop(f ) es compacto} = D(Ω)
Espacio
Ck∞ (Ω)
Sea K un conjunto compacto tal que K ⊂ Ω C0∞ (Ω) Representa al espacio vectorial de las funciones de prueba que son nulas fuera de K
Distribución
Un funcional lineal f definido en el espacio de las funciones de prueba en
Ω es una distribución en Ω cuando para todo compacto K de Ω existe una
constante c > 0 y un entero m > 0 (dependiendo de K en general ), tales
que
|(f, u)| ≤ ckukK,m para todo u en Ck∞ (Ω)
y kukK,m = max|Dp u(x)|; x ∈ K, |p| ≤ m
Convergencia Puntual en D0 (Ω)
Una suceción (fm )m∈N de D0 (Ω) converge para la distribución f cuando
para todo ϕ ∈ C0∞ (Ω) se verifica
lı́m (fm , ϕ) = (f, ϕ)
m→∞
1. Introducción
9
Cuando este es el caso escribiremos
lı́m fm = f en D0 (Ω)
m→∞
Espacios Lp (Ω)
sea Ω ⊂ <n
f medible y 0 < p < ∞
Z
p
p
L (Ω) = f medible/ |f | < ∞
kf k = (|f |p )1/p
Ω
Desigualdad de Yung
Si 0 < p < ∞
1
p
+
1
q
=1
entonces
ab ≤
ap
p
+
bq
∀a
q
≥ 0, b ≥ 0
Desigualdad de Holder
Para 1 ≤ p, q ≤ ∞
tal que 1 = p1 + 1q
f g ∈ L1 (Ω)
si f ∈ Lp (Ω) y g ∈ Lp (Ω) entonces
kf gkL1 (Ω) ≤ kf kLp (Ω) kgkLq (Ω)
y
Espacio L1loc (Ω)
Sea Ω ⊂ <n
f medible , f es localmente integrable en Ω si
Z
|f (x)|dx < ∞ ∀K ⊂ Ω compacto
K
L1loc (Ω) = {f medible /f es integrable }
Para 1 < p < ∞
Lploc (Ω)
Z
= {f medible /
|f (x)|p dx < ∞∀K ⊂ Ω compacto }
K
Teorema 1
Si f y g ∈ L1loc (Ω) entonces
Tf = Tg
( en el esentido de las distribuciones ) Si y sólo si f=g
10
1.3. Preliminares
Espacios de Sobolev
W k,p (Ω) = {f ∈ Lp (Ω)/Dα f ∈ Lp (Ω) , ∀α ∈ N n
0 ≤ |α| ≤ k}
Si p = 2 entonces W k,2 (Ω) = H k (Ω)
Observaciones
1) El espacio W k,p (Ω) es un espacio vectorial.
2) Dα f son derivadas en el sentido de las distribuciones; para cada W k,p (Ω)
definimos la norma de f dada por,
XZ
p
kf kk,p =
|Dα f (x)|p dx
|α|≤k
Ω
Teorema 2
El espacio de Sovlolev es de Banach.
Espacio Hok (Ω)
Designamos por Hok (Ω) la adherencia de Cok (Ω) en H k (Ω) es decir
Hok (Ω)
Hok (Ω) = Cok (Ω)
Corolario
D(Ω) es denso en Hok (Ω)
Teorema 3 Desigualdad de Sobolev
Suponga 1 ≤ p < n y 1q = p1 − n1
y co =
n
ϕ ∈ D(R
se tiene :
(n−1)p
((n−p)
n
co X
|ϕ| ≤
kDi ϕkLp (Rn
n i=1
entonces, para cada
1. Introducción
1.3.2.
11
Método de Diferencias Finitas
Este método de diferencias finitas consiste en reemplazar un dominio continuo espacio tiempo por un conjunto de puntos (cada uno de ellos llamados
nodos) llamado malla o red computacional; plantearemos los esquemas de diferencias en cada uno de los nodos interiores del mallado teniendo en cuenta
las moléculas computacionales. Es decir tenemos que prescindir de la ecuación (es) en derivadas parciales por un sistema de ecuaciones algebraicas,
pues se aproximan a los operadores diferenciales por diferencia finita, de esta
forma se obtiene una ecuación algebraica en cada punto de la malla, estas
ecuaciones algebraicas involucran los valores de las funciones en el punto
considerado y en sus vecinos cercanos (llamado molécula computacional). De
esta manera nuestro problema se transforma en uno de álgebra matricial.
Vamos a trabajar en un dominio Ω = [a, b] × [c, d] acotado en R2 con las
particiones siguientes
a = x0 < x 1 < x 2 < · · · < x M = b
c = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = d
Donde el tamaño de los pasos ∆t, ∆x,puede ser homogéneo o no, si lo
tomamos homogéneo en este caso tenemos
∆x = xi − xi−1 =
b−a
=h
M
∆t = tj − xj−1 =
d−c
=k
m
Tenemos entonces el dominio discreto.
D = {(xi , tj )/i = 0, 1, 2, ...M, j = 0, 1, 2, ...m}
Obtención de fórmulas en diferencis finitas para la aproximación
de derivadas de funciones
La forma más usual para obtener expresiones en diferencias finitas de los
valores de las derivadas de funciones consiste en combinar de forma adecuada
desarrollos en serie de Taylor de dichas funciones.
Ello exige, admitir cierta regularidad para las funciones con las que se opere en el sentido de exigir que la función pueda desarrollarse en serie de Taylor
12
1.3. Preliminares
Figura 1.1: Ej. de malla de diferencias finitas con nodo central (xo , yo )
hasta el último término que nos interese y siendo h > 0 y k > 0,consideremos
los desarrollos en series:
3
3
4
4
2 ∂2
u(x∗ ,y ∗ )+ h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ h24 ∂ 4 u(x∗ ,y ∗ )+...
∂x2
∂x
∂x
(1.1)
3
4
3
4
2 ∂2
u(x∗ ,y ∗ )− h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ h24 ∂ 4 u(x∗ ,y ∗ )−...
∂x2
∂x
∂x
(1.2)
3
4
3
4
2 ∂2
u(x∗ ,y ∗ )+ k6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ k24 ∂ 4 u(x∗ ,y ∗ )+...
∂y 2
∂y
∂y
(1.3)
3
3
4
4
2 ∂2
u(x∗ ,y ∗ )− k6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ k24 ∂ 4 u(x∗ ,y ∗ )...
∂y 2
∂y
∂y
(1.4)
∂
u(x∗ +h,y ∗ )=u(x∗ ,y ∗ )+h ∂x
u(x∗ ,y ∗ )+ h2
∂
u(x∗ −h,y ∗ )=u(x∗ ,y ∗ )−h ∂x
u(x∗ ,y ∗ )+ h2
∂
u(x∗ ,y ∗ +k)=u(x∗ ,y ∗ )+k ∂y
u(x∗ ,y ∗ )+ k2
∂
u(x∗ ,y ∗ −k)=u(x∗ ,y ∗ )−k ∂y
u(x∗ ,y ∗ )+ k2
2 ∂2
∂2
u(x∗ ,y ∗ )+hk ∂x∂y
u(x∗ ,y ∗ )+
∂x2
3
3
2
3
2
k2 ∂ 2
∂3
u(x∗ ,y ∗ )+ h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ h2 k ∂2 u(x∗ ,y ∗ )+ hk2
u(x∗ ,y ∗ )+
2 ∂y 2
∂x
∂x ∂y
∂x∂y 2
∂
∂
u(x∗ +h,y ∗ +k)=u(x∗ ,y ∗ )+h ∂x
u(x∗ ,y ∗ )+k ∂y
u(x∗ ,y ∗ )+ h2
+
∂3
∗ ∗
+ k63 ∂y
3 u(x ,y )+···
(1.5)
2 ∂2
∂2
u(x∗ ,y ∗ )−hk ∂x∂y
u(x∗ ,y ∗ )+
∂x2
2
2
3
3
2
3
2
3
k ∂
∂
u(x∗ ,y ∗ )+ h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )− h2 k ∂2 u(x∗ ,y ∗ )+ hk2
u(x∗ ,y ∗ )−
2 ∂y 2
∂x
∂x ∂y
∂x∂y 2
∂
∂
u(x∗ +h,y ∗ −k)=u(x∗ ,y ∗ )+h ∂x
u(x∗ ,y ∗ )−k ∂y
u(x∗ ,y ∗ )+ h2
+
∂3
∗ ∗
− k63 ∂y
3 u(x ,y )+···
(1.6)
1. Introducción
13
2 ∂2
∂2
u(x∗ ,y ∗ )−hk ∂x∂y
u(x∗ ,y ∗ )+
∂x2
2
2
3
3
2
3
2
3
k ∂
∂
u(x∗ ,y ∗ )− h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )+ h2 k ∂2 u(x∗ ,y ∗ )− hk2
u(x∗ ,y ∗ )+
2 ∂y 2
∂x
∂x ∂y
∂x∂y 2
∂
∂
u(x∗ ,y ∗ )+k ∂y
u(x∗ ,y ∗ )+ h2
u(x∗ −h,y ∗ +k)=u(x∗ ,y ∗ )−h ∂x
+
∂3
∗ ∗
+ k63 ∂y
3 u(x ,y )+···
(1.7)
2 ∂2
∂2
u(x∗ ,y ∗ )+hk ∂x∂y
u(x∗ ,y ∗ )+
∂x2
3
2
3
3
2
k2 ∂ 2
∂3
u(x∗ ,y ∗ )− h6 ∂ 3 u(x∗ ,y ∗ )− h2 k ∂3 u(x∗ ,y ∗ )− hk2
u(x∗ ,y ∗ )−
2 ∂y 2
∂x
∂x ∂y
∂x∂y 2
∂
∂
u(x∗ −h,y ∗ −k)=u(x∗ ,y ∗ )−h ∂x
u(x∗ ,y ∗ )−k ∂y
u(x∗ ,y ∗ )+ h2
+
3
− k63 partial
∂y 3
(1.8)
u(x∗ ,y ∗ )+···
Con los ocho desarrollos anteriores podemos obtener diferentes formas de
aproximar las derivadas parciales (de primer y segundo orden ) de la función
u en el punto (x∗ , y ∗ ) .
En efecto de (1) puede despejarse la primera derivada parcial de u respecto
a x obtenindose
u(x∗ + h, y ∗ ) − u(x∗ , y ∗ ) h ∂ 2
h2 ∂ 3
∂
∗ ∗
u(x∗ , y ∗ ) =
−
u(x
,
y
)
−
− ···
∂x
h
2 ∂x2
6 ∂x3
Es decir:
∂u
u(x∗ + h, y ∗ ) − u(x∗ , y ∗ )
≈
(1.9)
∂x
h
Es una fórmula en diferencias finitas progresiva, aproxima la derivada
parcial respecto a x de la función u en (x∗ , y ∗ ) con error de truncatura:
Etr = 0(h)
De (2) tenemos :
u(x∗ , y ∗ ) − u(x∗ − h, y ∗ )
∂u
≈
∂x
h
(1.10)
Es una fórmula de diferencias finitas progresiva, con un error de truncatura:
Etr = (h)
Restando (2) de (1) obtendramos la fórmula centrada
14
1.3. Preliminares
u(x∗ + h, y ∗ ) − u(x∗ − h, y ∗ )
∂u
≈
∂x
2h
Con error de truncatura
Etr = o(h2 )
(1.11)
De(3)y (4) se tiene para aproximar la primera derivada parcial respecto
a y las fórmulas y errores.
Progresiva
∂u
u(x∗ , y ∗ + k) − u(x∗ , y ∗ )
≈
(1.12)
∂y
k
Etr = 0(k)
Regresiva
∂u
u(x∗ , y ∗ ) − u(x∗ , y ∗ − k)
≈
∂y
h
(1.13)
Etr = 0(k)
Centrada
u(x∗ , y ∗ + k) − u(x∗ , y ∗ − k)
∂u
≈
∂y
h
(1.14)
Etr = 0(k 2 )
Para aproximar la segunda derivada parcial de u respecto a x en el punto
(x , y ∗ ) podrı́a, sumarse (11) con (12) lo que nos conducira a la fórmula.
Centrada
∂u2
u(x∗ − h, y ∗ ) − 2u(x∗ , y ∗ ) + u(x∗ + h, y ∗ )
≈
(1.15)
∂x2
h2
∗
Etr = 0(h2 )
Y sumando (3) con (4) se obtendrá.
u(x∗ , y ∗ − k) − 2u(x∗ , y ∗ ) + u(x∗ , y ∗ + k)
∂u2
≈
∂y 2
k
(1.16)
Etr = 0(k 2 )
Para aproximar la segunda derivada cruzada podran sumarse (5) y (8) y
a esto restarle (6) y (7) y tendremos:
1. Introducción
15
∂2u
u(x∗ + h, y ∗ + k) − u(x∗ − h, y ∗ + k) − u(x∗ + h, y ∗ − k) + u(x∗ − h, y ∗ − k)
≈
∂x∂y
4hk
(1.17)
k3
h3 2
Etr = 0( , h , hk, k 2 , )
k
h
GENERALIDADES SOBRE EL TRATAMIENTO DE UN PROBLEMA DE EVOLUCIÓN
El tratamiento numérico mediante diferencias finitas de este tipo de problemas se fundamenta en dos pasos: en primer lugar se produce a realizar
una discretización temporal del problema y tras ello se realiza una discretización espacial, mediante un esquema de diferencias finitas como los esquemas
planteados.
Siendo sencilla la idea sobre la que se sustenta los esquemas numéricos
en diferencias finitas para la resolucin aproximada de problemas evolutivos
como el antes planteado, aparecen nuevas cuestiones que será necesario analizar tales como, ¿Qué relación debe haber entre el tamaño de paso temporal
y los tamaños de discretización espacial para garantizar la convergencia ?;
¿Qué error es de esperar que tengan las soluciones obtenidas mediante este
este esquema numérico ? ¿cúal es la diferencia entre la solución exacta unj
sobre los puntos de la malla y la solución aproximada Ujn ? etc.
DEFINICIÓN (ERROR DE TRUNCAMIENTO
τ
)
Dado el problema Lu = f
L : Operador diferencial, complementado con ciertas condiciones del problema lleva a
Lh U = fh
Lh :Aproximación al operador diferencial.
Definimos error de truncatura como
Lh u − fh = τ
El cuál es la cantidad por la que solucion exacta no satisface el esquema
numérico (Es lo que hay que eliminar a la EDP para para obtener las ecuaciones discretas)
16
1.3. Preliminares
DEFINICIÓN (CONSISTENCIA)
Un método es consistente con el problema en una cierta norma discreta
de <n cuando ∆t, ∆x → 0 λ = cte. si
n
lı́m
máx {kτ k} = 0
∆x→0
∆t→0
0≤n∆t≤T
DEFINICIÓN (ESTABILIDAD)
El concepto de Estabilidad de un esquema númerica nos permite analizar
como pequeños errores iniciales se trasmiten en las sucesivas etapas de calculo
de la solución aproximada.
EL MÉTODO DE VON NEUMANN
La idea de Von Neumann consiste en el estudio de las soluciones exactas
del tipo u(x, y) = f (t)eikx de la ecuación en derivadas parciales. Al sustituir
en la misma encontramos el valor de f (t) , una vez conocidas las propiedades
de las soluciones exactas de la ecuación en derivadas parciales se trata de
ver si el esquema en en derivadas cumple las propiedades
discretas análogas
√
n
ikj∆x
tomando soluciones discretas Uj = fn e
con i = −1 Dado que al pasar
a la ecuación discreta se pierde el caracter exacto de la solución, lógicamente
tendremos una diferencia cuantitativa entre la sollucion numérica y la exacta.
Lo que se pretende con el análisis de estabilidad es decidir si al menos las
propiedades cualitativas de f (t) son conservadas por su aproximación discreta
fn .
DEFINICIÓN (CONVERGENCIA DEL ESQUEMA )
Diremos que un esquema numérico es convergente si en un punto cualquiera del dominio (x, t) ∈ (0, L)x(0, T ) se cumple que la solución aproximada en
este punto tiende a la solución de la ecuación en derivadas parciales cuando
∆x → 0, ∆y → 0 para un valor fijo de los valores iniciales.
Teorema 4 Teorema de Lax
Dado un problema de valores iniciales bien planteado matemáticamente y
una aproximación en diferencias finitas a él que satisface la condici’on de
1. Introducción
17
consistencia, entonces la estabilidad es condicion necesaria y suficiente para
la convergencia.
Consistencia + Estabilidad=Convergencia
Ejemplo
Como ejemplo presentamos el siguiente:
Teorema Análisis de la Ecuación de Advección Difusión Transitorio
La ecuación de convección difusión
∂u
∂2u
∂u
+α
=β 2
∂t
∂x
∂x
x ∈ h0, bi t ∈ [0, T ]
Con el esquema explicito:
Cr
Cr
m+1
m
m
m
Uj
= λ+
Uj−1 + (1 − 2λ) Uj + λ −
Uj+1
2
2
Es Consistente de orden 1 para el tiempo y de orden 2 para el espacio.
∆t
Pe =
Es Estable para 0 < Cr ≤ P2e < 1 14 ≤ λ < 12 donde Cr = α ∆x
∆x
Cr
α β λ = Pe y
Es Convergente.
18
1.3. Preliminares