Cálculo de la Recta Tangente - Almagro

Cálculo de la Recta Tangente
Nota:
f(x) es una función cualquiera
a es un valor cualquiera del eje x
Introducción
Ya aprendimos a calcular la pendiente de la recta tangente a una función f(x), para eso,
primero utilizamos un límite (que era una indeterminación de 0/0) en el valor en que
queríamos la pendiente de la recta tangente, luego a través de ese límite, calculamos una
función (llamada derivada de f(x) o simplemente f’(x)) que nos permitía hallar el valor de
dicha pendiente simplemente calculando el valor de esa función derivada f’(x) para el
valor de x que queríamos sin tener que hacer el límite. Sin embargo, si queremos hallar la
ecuación de la recta tangente, nos faltaría conocer el valor de la ordenada al origen.
Para comenzar el análisis, observemos una función cualquiera y su recta tangente:
El punto marcado con un círculo, que es el punto en donde la recta es tangente a la
función, se llama “punto de tangencia” y es común a la función y a la recta, es decir, se
tocan o comparten sus coordenadas (x;y).
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Cálculo de la Recta Tangente – Matemática – Escuela Técnica ORT – 2013 – Ezequiel Wajs
Supongamos que el valor del eje x donde queremos conocer la ecuación de la recta
tangente es a, conocemos algunas características de dicha recta tangente:
• Su pendiente, que es el valor de la derivada en x = a, o sea f’(a)
• Un punto de la recta, que es el mismo de la función, o sea (a;f(a))
Afortunadamente, con estos datos, basta para hallar la ordenada al origen y armar la
ecuación de la recta tangente.
Recordamos que la ecuación de una recta cualquiera es:
=
y mx + b
Donde m es la pendiente y b la ordenada al origen. Como ya dijimos aproximadamente
10100 veces: la pendiente de la recta tangente es igual al valor de la derivada en ese
punto. Matemáticamente:
m = f ′(a )
Faltaría hallar la ordenada al origen “b”, si conocemos m y un par de coordenadas (x;y) de
la recta, podríamos despejar b de la ecuación de la recta:
b= y − mx
Ya dijimos que el punto de x en donde estamos calculando la recta tangente se llama a por
lo tanto, la coordenada de x que conocemos es a y la coordenada de y que conocemos, es
el valor de la función cuando x vale a ya que la función y la recta valen lo mismo para ese
valor, por lo tanto, el valor de y será f(x) especializada en a, o sea, f(a).
Por lo tanto, conocemos x (a), y (f(a)) y m (f’(a)). Por lo tanto, la ordenada al origen es:
=
b f (a ) − ma
ó reemplazando m
b = f (a ) − f ′(a ) ⋅ a
Y queda calculada la recta tangente. A continuación, haremos algunos ejemplos
demostrativos.
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Ejemplo 1
Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x) = x 2 para los siguientes valores de x
x=
1 x=
−2 x =
2 x=
0
Empezamos con el primero:
El punto de intersección entre la recta tangente y la función cuando x vale 1 será
( x; y )
(1; f (1))
(1;12 )
(1;1)
La pendiente de la recta tangente será el valor de la derivada cuando x vale 1:
f ′( x) = 2 x
f ′(1) = 2 ⋅1 = 2
(ya sabemos cómo se calcula una derivada, por eso no introdujimos el cálculo y usamos
directamente su valor)
Ahora para el cálculo de b reemplazamos x e y por el par de valores que calculamos antes
y la pendiente por la que acabamos de calcular:
b= y − mx
b = 1 − 2 ⋅1
b = −1
Ya podemos armar la ecuación de la recta tangente para el punto (1;1)
y=
mx + b
tg
ytg (1;1)
= 2x −1
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Repetimos el procedimiento para cuando x=-2
( x; y )
(−2; f (−2))
(−2;(−2) 2 )
(−2; 4)
f ′( x) = 2 x
f ′(−2) =⋅
2 (−2) =
−4
b= y − mx
b = 4 + 4 ⋅ (−2)
b = −4
ytg ( −2;4) =
−4 x − 4
Repitiendo para x=2
( x; y )
(2; f (2))
(2; 4)
f ′(2) = 2 ⋅ 2 = 4
b = 4 − 4⋅2
b = −4
ytg (2;4)
= 4x − 4
Y para x = 0 se obtiene (el cálculo queda pendiente para el lector):
ytg (0;0) = 0 x + 0 = 0 Que es una recta horizontal
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Gráficamos la función y todas las rectas que calculamos para verificar que son tangentes en los puntos que calculamos (la función
está graficada en azul, las tangentes en los colores indicados en el recuadro de la derecha que dice “Historia”:
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