Práctica 8

Práctica 8
Miscelánea
Coordenadas polares
Podemos representar gráficamente una curva descrita mediante una función de una variable en
coordenadas polares con el radio como función del ángulo: r=f(q)
Coordenadas polares Hr, θL :
:
x = r cos θ
y = r sen θ
x2 + y2 ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π,
r=
f HθL = r
PolarPlot@f@θD, 8θ, a, b<D
PolarPlot@2 Cos@θD + 2 Sin@θD, 8θ, 0, 2 π<D
¿Qué es r = 2 cos(q) +2 sen(q) ?
SimplifyBr == 2 Cos@θD + 2 Sin@θD ê. :r →
x2 + y 2 , θ →
y
ArcTanB F>F
x
ContourPlotAx2 + y2 == 2 Hx + yL, 8x, −1, 3<, 8y, −1, 3<E
Si quisiera el paso inverso, esto es, pasar de la ecuación en coordenadas cartesianas a coordenadas polares:
SimplifyAx2 + y2 == 2 Hx + yL ê. 9x →
r Cos@θD, y → r Sin@θD=E
Coordenadas cilíndricas y esféricas
Podemos representar gráficamente una superficie descrita mediante una función de dos variables en
coordenas cilíndricas z=f(r,q) y esféricas r=f(f,q).
Coordenadas cilíndricas Hr, θ, zL
2
practic8.nb
x = r cos θ
y = r sen θ
z=z
r=
x2 + y2 ≥ 0,
0 ≤ θ ≤ 2 π,
f Hr, θL = z
RevolutionPlot3D@f@r, θD, 8r, a, b<, 8θ, c, d<D
RevolutionPlot3D@2 r, 8r, 0, 1<, 8θ, 0, 2 π<,
Axes → None, Boxed → False, BoxRatios → 81, 1, 1<D
¿Qué es z = 2 r ?
SimplifyBz == 2 r ê. :r →
x2 + y2 , θ →
y
ArcTanB F>F
x
Si quisiera el paso inverso, esto es, pasar de la ecuación en coordenadas cartesianas a coordenadas
cilíndricas:
SimplifyB2
x2 + y2
z ê. 9x →
r Cos@θD, y → r Sin@θD, z → z=F
Coordenadas esféricas Hρ, φ, θL
x = ρ cos θ sen φ
y = ρ sen θ sen φ
z = ρ cos φ
ρ=
x2 + y 2 + z2 ≥ 0 ,
0 ≤ φ = arccos
z
≤ π,
x2 + y 2 + z2
y
0 ≤ θ = arctan J N ≤ 2 π
x
f Hφ, θL = ρ
SphericalPlot3D@f@φ, θD, 8φ, a, b<, 8θ, c, d<D
SphericalPlot3D@3, 8φ, 0, π<, 8θ, 0, 2 π<, Axes → None, Boxed → FalseD
¿Qué es r=3?
practic8.nb
SimplifyBρ
3 ê. :ρ →
x2 + y 2 + z2 , θ →
y
ArcTanB F, φ → ArcCosB
x
F>F
z
x +y +z
2
3
2
2
Si quisiera el paso inverso, esto es, pasar de la ecuación en coordenadas cartesianas a coordenadas
esféricas:
SimplifyB
x2 + y2 + z2
3 ê. 9x →
ρ Cos@θD Sin@φD, y → ρ Sin@θD Sin@φD, z → ρ Cos@φD=F
Superficies de revolución
También Mathematica nos permite dibujar las superficies de revolución generadas por la rotación sobre el
eje z de una curva r−1 (x)=z en el plano xz.
RevolutionPlot3DAr−1 @xD, 8x, a, b<E
x2 + y2 = Hr HzLL2
siendo
con
r HzL = x.
RevolutionPlot3D@2 x, 8x, −1, 1<, Boxed → False,
Axes −> None, PlotStyle → FaceForm@Red, BlueD, BoxRatios → 81, 1, 1<D
donde esta superficie procede de la rotación en el plano xz de la curva:
z = r−1 (x)= 2 x ï x = r(z)= z
2
ï
2
la superficie es: x2 + y2 = z
4
Aplicaciones de las Integrales Iteradas
Con las integrales dobles y triples podemos calcular:
Área de una región plana PÃ2
g2HxL
A(P)=Ÿ ŸP 1 ‚ A = Ÿa Ÿ g1HxL ‚ y ‚ x
b
h2HyL
A(P)=Ÿ ŸP 1 ‚ A = Ÿc Ÿh1HyL ‚ x ‚ y
d
si P={(x,y)Œ2, a£x£b g1(x)£y£g2(x)}
si P={(x,y)Œ2, c£y£d h1(y)£x£h2(y)}
Volumen de un sólido tridimensional QÃ3
g2HxL
f 2Hx,yL
V(Q)=Ÿ Ÿ ŸQ 1 ‚ V =Ÿa Ÿ g1HxL Ÿ f 1Hx,yL ‚ z ‚ y ‚ x
b
g2(x), f1(x,y)£z£f2(x,y)}
.......
Ejemplo 1:
si Q={(x,y,z)Œ3 , a£x£b
g1(x)£y£
4
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‡ ‡x 1 y x
2
4
0
2
¿Cuál es la región de la que estoy calculando el área?
RegionPlot[inecuación, {x,a,b}, {y,c,d} ]
RegionPlot[ And[inecuación1,inecuación2.....], {x,a,b}, {y,c,d} ]
RegionPlotBAndB0 ≤ x ≤ 2,
x
2
≤ y ≤ 2F, 8x, −1, 5<, 8y, −1, 3<, AspectRatio → Automatic,
Frame → None, Axes → True, PlotStyle → Red, BoundaryStyle → ThickF
Ejemplo 2:
Y para calcular el volumen de un sólido:
‡
1
3
−
1
‡
−
1−3 x2
2
1−3 x2
3
‡
1−3 x2 −2 y2
1 z y x
−
1−3 x2 −2 y2
2
Donde ese sólido, al que le estoy calculando el volumen, se puede dibujar con:
RegionPlot3D[And[ inecuación, {x,a,b}, {y,c,d},{z,e,f} ]
RegionPlot3D[And[ inecuación1,inecuación2.....], {x,a,b}, {y,c,d},{z,e,f} ]
RegionPlot3DBAndB −
1
3
−
1 − 3 x2 − 2 y2 ≤ z ≤
≤ x≤
1
3
,−
1 − 3 x2
2
≤ y≤
1 − 3 x2
,
2
1 − 3 x2 − 2 y2 F, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, −1, 1<,
ColorFunction → "BlueGreenYellow", Mesh → None, NormalsFunction → NoneF
Si en vez de representar la intersección de varias inecuaciones quisiéramos la unión, usamos
Or en vez de And
RegionPlot3DAOrAx 2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 ≤ zE, 8x, −4, 4<, 8y, −4, 4<,
8z, −4, 4<, Boxed → False, Axes → None, ColorFunction → "FruitPunchColors"E
Ejercicios
1.-Dibuja el siguiente paraboloide circular x2 + y 2 = -(z-h) con h=?
usando coordenadas cilíndricas.
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2.-Dibuja el siguiente cilindro circular x2 + y 2 = R
coordenadas esféricas.
2
5
con R=? usando
3.-Calcula el volumen del sólido intersección del cilindro x2 + y 2 =
m 2 donde m = ? con la esfera x2 + y 2 + z2 = p2 con p = ?
(1)