∑ ∑

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
NOMENCLATURA PROGRAMACION LINEAL
• Formato de un problema de programación lineal.
Minimizar (Min) o Maximizar (Max) Z = C1 X 1 + C2 X 2 +...+ Cn X n
Sujeto a: (S.a:)
>
a11 X 1 + a12 X 2 + ... + a1n X n ≤ b1
>
a 21 X 1 + a 22 X 2 + ... + a 2 n X n ≤ b2
..
..
..
..
>
a m1 X 1 + a m 2 X 2 + ... + a mn X n ≤ bm
Con X 1 , X 2 ,..., X n ≥ 0
Dicho problema se puede expresar también como:
n
Min. o Max. Z = ∑ C j X j
j =1
n
∑a
j =1
ij
> b ; (i = 1...m)
Xj≤
Con X j ≥ 0 (j = 1...n)
• Significado de los elementos.
Z:
Función a optimizar (maximizar o minimizar).
Se denomina Función Objetivo.
Cj:
Coeficiente de coste. Representa el coste unitario asociado a una
variable X j .
Los coeficientes de coste conforman el
C = (C1 , C 2 ,..., C j ,..., C n ) de dimensión (1 x n).
X j:
vector
de
costes
Variable de decisión. Representa a las magnitudes que optimizan la
función objetivo, constituyendo las incógnitas del problema. Las
variables de decisión se agrupan en el vector de variables de decisión
X = ( X , X ,..., X ,..., X ) t de dimensión (n x 1).
1
bi :
Javier Osorio
2
j
n
Elemento de lado derecho. Representa una disponibilidad máxima o un
requisito mínimo que ha de cumplirse. Se agrupan en el vector de lado
derecho b de dimensión (m x 1).
1
PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ b2 ⎟
⎜ ... ⎟
b =⎜ ⎟
⎜ bi ⎟
⎜ ... ⎟
⎜ ⎟
⎝ bm ⎠
ai j :
Coeficientes tecnológicos. Representan la relación existente entre una
variable de decisión X j y un elemento de lado derecho bi . Son datos del
problema y se agrupan en la denominada matriz de restricciones A de
dimensión (m x n)
⎡ a11
⎢a
A = ⎢ 21
...
⎢a
⎣ m1
n
∑a
j =1
ij
a12
a 22
...
am2
... a1n ⎤
... a 2 n ⎥
... ... ⎥
... a n n ⎥⎦
x j >≤ bi : Esta desigualdad representa la i-esima restricción.
X 1 , X 2 ,..., X n ≥ 0 : Restricción de no negatividad. Restringe las variables de
decisión a valores no negativos.
• Formato Matricial de un problema de programación.
Min o Max Z = C ⋅ X
S.a:
>b
A⋅X ≤
X ≥0
• Solución Básica Factible de un problema de Programación Lineal.
Sea:
: Matriz de restricciones
⎧ A ( m × n)
⎪
A = ( B , N ) ; ⎨ B ( m × m)
: Matriz básica
⎪ N (m × (n − m)) : Matriz no básica
⎩
⎧ X (n × 1)
: Vector de variables de decisión
⎪
: Vector de variables básicas
X = ( X B , X N ) ; ⎨ X B (m × 1)
⎪ X ((n − m) × 1) : Vector de variables no básicas
⎩ N
2
Javier Osorio
PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
⎛ X B ⎞ ⎛ B −1 ⋅ b ⎞
⎟ se le denomina Solución Básica.
⎟ =⎜
Al conjunto X = ⎜
⎝ XN⎠ ⎝ 0 ⎠
Si X B = B −1 ⋅ b ≥ 0 se le denomina Solución Básica Factible (SBF).
Javier Osorio
3