SESI´ON 10 Derivadas sucesivas. Derivadas impl´ıcitas 10.1

SESIÓN
10
Derivadas sucesivas. Derivadas implı́citas
Temas:
• Derivadas sucesivas.
• Derivadas implı́citas.
10.1
Derivadas sucesivas
Sea y = f (x) una función derivable. La derivada de f , denotada f 0 (x) es una función
de x, y puede tener derivada.
Nombre
Notación
Primera derivada de f
f 0 (x)
Descripción
d
f (x)
f 0 (x) =
dx
dy
; y0
dx
Segunda derivada de f
f 00 (x)
d2
f (x);
dx2
Tercera derivada de f
f 00 (x)
d
f (x)
dx
d2 y
; y 00
dx2
f 000 (x)
d3
f (x);
dx3
d
=
dx
f 000 (x) =
d3 y
; y 000
dx3
...
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d 00
f (x)
dx
Cálculo I. Ing. Civil (2007-2)
Derivadas sucesivas. Derivadas implı́citas
√
Ejercicio: Dada la función y = f (x) = x 1 − x, verificar que:
3 − 4x
2(2x − 3)
a) f 0 (x) =
b) f 00 (x) =
2/3
3(1 − x)
9(1 − x)5/3
10.2
Derivadas implı́citas
1) Las funciones y = f (x) se denominan funciones explı́citas, por ejemplo y =
f (x) = 3x2 . En estos casos, y en función de x de manera explı́cita. En tal caso:
y = f (x) =⇒
d
y = f 0 (x)
dx
2) En muchos casos no es fácil despejar y en términos de x. Por ejemplo y 5 −2xy 3 =
7x + 2, es una relación que define en forma implı́cita a y como función de x.
Tener presente que como y = f (x) aunque de manera implı́cita, por lo tanto:
d n
dy
(y ) = ny n−1
dx
dx
dy
Para calcular la derivada de y con respecto a x, se puede calcular
mediante
dx
derivación implı́cita.
dy
, si y 5 − 2xy 3 = 7x3 + 2.
Ejemplo. Hallar y 0 =
dx
Solución
y 5 − 2xy 3 = 7x3 + 2
derivar a ambos lados respecto de x
d
d 5
(y − 2xy 3 ) =
(7x3 + 2)
dx dx
dy
d
d
dy
d
5y 4
− 2x · 3y 2
+ y 3 (2x) =
(7x3 ) + 2
dx
dx
dx
dx
dx
5y 4
factorizar por
despejar
dy
dx
dy
dy
− 6xy 2
− 2y 3 = 21x2
dx
dx
dy
dx
dy
(5y 4 − 6xy 2 )
= 21x2 + 2y 3
dx
dy
21x2 + 2y 3
= 4
dx
5y − 6xy 2
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Cálculo I. Ing. Civil (2007-2)
Luego:
y0 =
Derivadas sucesivas. Derivadas implı́citas
21x2 + 2y 3
5y 4 − 6xy 2
dy
, si:
dx
√
3
2
2
3
(a) x + 3x y + 5xy + y = 0
(b) y x + y 3 = 3e2x .
Nota. Sea y función de x definida mediante una relación implı́cita. Se pueden obtener
las derivadas sucesivas de f .
Ejemplo:
Sea y función de x definida mediante la relación implı́cita: 2y − y 3 = x3 + x2 − 1.
x(3x + 2)
(3y 2 − 2)(3x + 1)
00
b)
y
=
a) y 0 =
2 − 3y 2
3xy(3x + 2)
Ejercicios. Hallar y 0 =
10.3
Método de derivación logarı́tmica
d
y, cuando f (x) consiste en productos,
dx
cuocientes, potencias o cuando f (x) es de la forma uv , donde u como v son funciones
de x.
Puede utilizarse este método para calcular
Ejemplo. Sea y = f (x) =
(2x − 1)3 (3x + 7)2
. Determinar y 0 .
e2x (4x − 5)3
Solución
y=
(2x − 1)3 (3x + 7)2
e2x (x + 2)3
ln y = ln
aplicar ln a ambos lados
(2x − 1)3 (3x + 7)2
e2x (x + 2)3
ln y = 3 ln(2x − 1) + 2 ln(3x + 7) − ln(e2x ) − 3 ln(x + 2)
ln y = 3 ln(2x − 1) + 2 ln(3x + 7) − 2x − 3 ln(x + 2)
derivando ambos lados, respecto de x
d
d
d
d
ln y = 3 ln(2x − 1) + 2 ln(3x + 7) − 2 − 3 ln(x + 2)
dx
dx
dx
dx
1 0
1
1
d
1
2x
y =3
·2+2
·3−
ln(e ) − 3
y
2x − 1
3x + 7
dx
x+2
6
6
3
0
y =y
+
−2−
2x − 1 3x + 7
x+2
(2x − 1)3 (3x + 7)2
y =
·
e2x (x + 2)3
0
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6
6
3
+
−2−
2x − 1 3x + 7
x+2
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Derivadas sucesivas. Derivadas implı́citas
Ejemplo. Sea y = f (x) = xx , calcular y 0 en el punto x = 3.
Solución:
y = xx
ln y = ln xx
ln y = x ln x
d
d
(ln y) =
(x ln x)
dx
dx
Derivando implı́citamente y aplicando fórmulas básica, queda
1 d
d
d
y = x (ln x) + ln x · x
y dx
dx
dx
1 0
1
y = x + ln x · 1
y
x
1 0
y = 1 + ln x
y
Por lo tanto: y 0 = y(1 + ln x),
o
y 0 = xx (1 + ln x)
En x = 3 , y 0 = f 0 (3) = 27(ln 3 + 1) ≈ 56, 66
x=3
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