Exploración de algunos conceptos no convencionales del triángulo

EXPLORACIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS NO CONVENCIONALES DEL
TRIÁNGULO CON CABRI
PONENCIA
A presentar en:
VIII CONGRESO COLOMBIANO DE INFORMÁTICA EDUCATIVA
Cali, Universidad Icesi, Julio 12-13-14, 2006
TEMÁTICA: COGNICIÓN, APRENDIZAJE Y CURRÍCULO
EUGENIO THERÁN PALACIO
FERNANDO FALCÓN DORADO
UNIVERSIDAD DE SUCRE
ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE COROZAL
COLEGIO LICEO CARMELO PERCY VERGARA DE COROZAL
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[email protected]
Fax: 5 2825736
Fax: 5 2840037
Fax: 5 2840210
1
EXPLORACIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS NO CONVENCIONALES DEL
TRIÁNGULO CON CABRI
Eugenio Therán Palacio
Universidad de Sucre
Escuela Normal Superior de Corozal
Fernando Falcón Dorado
Universidad de Sucre
Colegio Liceo Carmelo Percy Vergara de Corozal
RESUMEN
En este trabajo se presenta una posibilidad de explorar a partir de una situación problema
algunos conceptos no convencionales del triángulo como escintor, mescintor, vescintor,
escintriz, mescintriz, vescintriz y medianiz; utilizando el software Cabri Geómetrè que trae
incorporado la calculadora graficadora TI 92 plus. La experiencia se realiza con un grupo de
estudiantes del quinto semestre del programa de licenciatura en educación básica con énfasis en
matemáticas de la Universidad de Sucre. Se pretende que los alumnos generen conjeturas sobre la
base del conocimiento informal con miras a la construcción del concepto geométrico formal. Los
presupuestos teóricos que sustentan la investigación tienen en cuenta el principio de mediación
instrumental, las reflexiones sobre situaciones problémicas, los sistemas de representación en el
aprendizaje y comprensión de conocimiento matemático, la dinámica entre exploración y
sistematización como estrategia didáctica para promover el aprendizaje. La calculadora es un
instrumento para explorar acerca de propiedades y conceptos matemáticos y a la vez sistematizar
dichas exploraciones accediendo así a la cultura matemática.
1. INTRODUCCIÓN
Desde el año 2000 un grupo de educadores matemáticos de 24 Universidades Colombianas
y de 120 instituciones educativas de educación básica y media, bajo el liderazgo del Ministerio de
Educación Nacional, ha venido implementando el proyecto “Incorporación de Nuevas
Tecnologías al currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de
Colombia”. (I.N.T.C.M). El impacto positivo de este proyecto en el sistema educativo se ha
basado en estrategias y procesos de formación gradual en el conocimiento y manejo técnico de los
sistemas computacionales gráficos y algebraicos (en este caso la calculadora TI 92 plus) y la
reflexión pedagógica y didáctica respecto a sus posibilidades en la promoción del desarrollo del
pensamiento matemático1, además motivados por el deseo y la necesidad de explorar nuevas
situaciones problemas contextualizadas, un grupo de docentes del área de matemáticas de las
1
Talleres para la formación de docentes en el uso didáctico de nuevas tecnologías en la educación
matemática. Enlace Editores. (2004).
2
instituciones que apoyan esta investigación2, se hacían entre otras las siguientes preguntas en el
campo de la didáctica de las matemáticas: ¿Es posible generar conceptos de gran similitud con los
ya conocidos, tales como: bisectriz, mediatriz, mediana, lo mismo que los puntos notables en un
triángulo?, ¿Es posible obtener una recta con similitudes estructurales a la recta de Euler?. Por
otra parte, otro hecho que generó esta búsqueda ocurrió hace algún tiempo cuando un estudiante de
la Universidad del Valle del Cauca, se planteaba la siguiente situación problémica: “Un granjero
tiene un terreno triángular que quiere repartir de la manera más equitativa posible entre sus dos
hijos. Con la condición de que cada una de las partes quede con igual área e igual perímetro.
(La división debe hacerse con una línea recta)”.
Frente al problema planteado, se genera esta investigación que pretende explorar los
conceptos no convencionales del triángulo mediados por el uso del software Cabri, así como
construir un modelo geométrico adecuado y funcional que posibilite la validación de los conceptos
de escintor, mescintor, escintriz, mescintriz, vescintriz y medianiz; entendiéndose por estos
conceptos los siguientes:
Escintor de un triángulo es el segmento de recta inscrito en el triángulo que divide el
perímetro del mismo en dos partes iguales,
Mescintor : Escintor que parte del punto medio de uno de los lados,
Vescintor: Escintor que parte de uno de los vértices del triángulo,
Escintriz: La recta que divide al triángulo en dos regiones poligonales de igual área,
Mescintriz: Escintriz que pasa por el punto medio de uno de los lados,
Vescintriz: Escintriz que pasa por uno de los vértices del triángulo,
Medianiz: vescintriz que pasa por el punto medio de uno los lados del triángulo.
Esta propuesta asume los presupuestos teóricos desarrollados en el proyecto I.N.T.C.M.
(M.E.N. 2000) centrándose en lo que se ha denominado las situaciones problémicas. El primer
elemento teórico a considerar es el principio de mediación instrumental, que plantea que todo
conocimiento está mediado por los instrumentos con que se dispone, puesto que las reflexiones
iniciales del proyecto I.N.T.C.M. giraron alrededor del cambio en los ambientes de aprendizaje, al
disponer de herramientas computacionales con características de dinamismo, interactividad y
posibilidades de manipulación diferentes a las usadas hasta el momento3. Así mismo, el
acercamiento de los estudiantes a las matemáticas, a través de situaciones problémicas procedentes
de la vida diaria, de las matemáticas y de las otras ciencias son el contexto mas propicio para poner
en práctica el aprendizaje activo, la inmersión de las matemáticas en la cultura, el desarrollo de
procesos de pensamiento y para contribuir significativamente tanto al sentido como a la utilidad de
las matemáticas4.
2
Universidad de Sucre, Escuela Normal Superior de Corozal, Liceo Carmelo Percy Vergara de Corozal,
Colegio Antonio Lenis de Sincelejo y Colegio Simón Araújo de Sincelejo.
3
Tecnología Informática: Innovación en el currículo de matemáticas de la educación básica secundaria y
media. Enlace Editores Ltda. Bogotá (2004).
4
Lineamientos Curriculares de matemáticas. Ministerio de Educación Nacional. Editorial magisterio (1998).
3
2. DESCRIPCIÓN DE LAS ACTIVIDADES
Para iniciar se les pide a los estudiantes explorar libremente los conceptos de escintor,
mescintor, vescintor en triángulos equiláteros, isósceles y escalenos, para posteriormente realizar
las construcciones de estos objetos geométricos.
2.1. EXPLORACIÓN EN UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO
2.1.1. PRIMERA PARTE
Usando las herramientas del Cabri Geómetrè de la calculadora TI 92 plus, se desea
examinar exhaustivamente las áreas y perímetros de dos polígonos obtenidos al dividir el triángulo
equilátero dado por un segmento de recta o por una recta.
2.1.1.1 INSTRUCCIONES
•
•
•
•
Crear un triángulo equilátero ABC
Crear el punto medio M del lado AC y los puntos P y Q, sobre los lados AC y BC.
Trazar un segmento de recta por los puntos P y Q.
Trazar los polígonos PQC y ABQP. (Ver figura 1).
Figura 1.
•
Calcular los perímetros de los polígonos PQC y ABQP, llámelos P1 y P2 respectivamente.
(Ver figura 2).
Figura 2.
•
•
Arrastrar el punto P o el punto Q, hasta obtener P1 igual a P2 .
Luego validar los conceptos de escintor, mescintor y vescintor
4
•
•
•
•
•
Mover el triángulo ABC, por uno de sus vértices para verificar la invarianza de los
perímetros.
¿Cuántos escintores, mescintores y vescintores se pueden construir en un triángulo
equilátero?
¿Los puntos de corte de estas rectas, se encuentran inscritos o circunscritos en el triángulo?
¿Qué nombre le asignarías a estos puntos de corte?
¿Estarán alineados estos tres puntos? Si esta situación se verifica, ¿Qué nombre le
asignarías a tal recta?
2.1.2. SEGUNDA PARTE
•
•
•
Calcular las áreas de los polígonos en mención y llamar a estos valores A1 y A2 ,
respectivamente.
Desplazar el punto P o el punto Q hasta obtener iguales áreas.
Validar los conceptos de medianiz y mediana. (Ver figura 3).
Figura 3.
•
•
•
•
Mover uno de los vértices del triángulo para verificar que las propiedades no se
modifican.
¿Cuántas medianices y medianas se pueden trazar en un triángulo equilátero?
¿Se cortan estos segmentos, dentro o fuera del triángulo?
¿Estarán alineados estos puntos? ¿Que nombre le darías a tales puntos y a la recta que
se origina?
Finalmente al mover el punto P o Q, se llega al instante en que P1 = P2 y A1 = A2 , en este
momento el granjero cumplió su sueño de repartir el terreno triángular en dos partes de tal
manera que sus perímetros y áreas sean iguales.
2.2. EXPLORACIÓN EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES
Usando las herramientas del Cabri Geómetrè de la calculadora TI 92 plus, se desea
examinar exhaustivamente las áreas y perímetros de dos polígonos obtenidos al dividir el triángulo
isósceles dado por un segmento de recta o por una recta.
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2.2.1. INSTRUCCIONES
Se seguirán las mismas pautas dadas para el triángulo equilátero, se anotarán las
observaciones significativas que se encuentren en el proceso y las posibles diferencias y
dificultades con respecto al proceso que se llevó a cabo en la primera exploración.
2.3. EXPLORACIÓN EN UN TRIÁNGULO ESCALENO
Debido a las dificultades y limitaciones que se presentaron en los dos triángulos anteriores,
con miras a validar los conceptos geométricos de escintor, mescintor y vescintor, esto hizo pensar
que se debía generar un procedimiento o modelo geométrico el cual aproximara con mayor
precisión a la validación de dichos conceptos, independientemente de cómo sea el triángulo en el
que se haga la exploración; para tal situación se propone el siguiente modelo:
2.3.1. INSTRUCCIONES
•
Construir un triángulo escaleno ABC.
•
Calcule su perímetro, llámelo P y obtenga
•
Transferir el valor de
•
•
•
•
Crear el punto medio, sobre el lado AB, llámelo M. y un punto K sobre el lado AB.
Trazar el segmento KB sobre el lado AB.
Trazar una semirecta con origen en K y que pase por B.
Trazar una circunferencia de radio OT con centro en K, originándose el punto Z de
intersección de la circunferencia con la semirecta KB.
Trace una circunferencia con centro en B y radio BZ, obteniéndose el punto N de
intersección entre el lado BC y la circunferencia trazada.
Por los puntos K y N trazar un segmento de recta.
Trazar los polígonos KBN y AKNC.
Calcule los perímetros y las áreas de los polígonos anteriores, llámelos P1 , P2 , A1 y A2
respectivamente.
Mover el punto k sobre el lado AB, hasta el instante de obtener aproximadamente que
P1 = P2 y A1 = A2 . (Ver figura 4).
•
•
•
•
•
P
.
2
P
sobre una semirecta cualquiera, obteniéndose el segmento OT.
2
En este momento se ha logrado el objetivo propuesto en la actividad.
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Figura 4.
2.3.2. PREGUNTAS ORIENTADORAS
1. ¿Que lugar geométrico genera la recta KM cuando el punto k se mueve sobre el lado AB?
2. Que tablas de datos se pueden crear tomando los perímetros y áreas, con la finalidad de hacer un
estudio pormenorizado para detectar los hechos donde los perímetros y las áreas de los polígonos
estudiados sean iguales.
3. Otro aspecto que llama la atención es la posibilidad de explorar estos conceptos en los
polígonos regulares e irregulares, hasta extenderlos a sólidos regulares.
3. ALGUNOS RESULTADOS
Algunas estrategias usadas por los estudiantes en la exploración libre propuesta para dar
solución al problema de dividir el triángulo en dos regiones poligonales con igual perímetro que
genera el concepto de escintor son las siguientes:
En la primera parte de la actividad los estudiantes encuentran las soluciones más factibles
para el triángulo equilátero, trazando segmentos inscritos que tengan como uno de sus extremos el
punto medio de un lado, como se puede ver en la figura 5.
Posteriormente profundizan en la exploración, intentando encontrar una estrategia que les
permitan encontrar escintores sin utilizar el “tanteo” con la manipulación que permite Cabri.
Figura 5.
Una de las respuestas dadas por algunos estudiantes, es la siguiente: “siguiendo los pasos
de la guía se encontró que el triángulo AQP y el polígono QPCB tienen los mismos perímetros,
esto significa que el segmento QP es un escintor del triángulo ABC. Ahora bien la actividad exige
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buscar todos los escintores posibles; por ser el triángulo equilátero se puede rotar para así poder
encontrar los demás escintores, mediante la herramienta transferencia de medidas se trasladan
las medidas de los segmentos BQ y PC en todos los lados del triángulo y se trazan los segmentos
de igual medida a la de PQ y que unan cada pareja de segmentos de medida QB y PC, estos
nuevos segmentos son escintores, en total son seis. Con respecto a los vescintores existen tres y los
mescintores también son tres. Por otra parte al mover el segmento QP para obtener polígonos de
igual perímetro se obtiene una cantidad infinita de pareja de polígonos que cumplen con la
condición, es decir existe una cantidad indefinida de escintores y por cada uno existen cinco más
que resultan de la rotación del triángulo”.(ver figura 6).
Figura 6.
En esta respuesta se puede apreciar que el estudiante al construir el escintor ubica dos
puntos en lados diferentes del triángulo, luego traza un segmento de recta a partir de estos puntos y
posteriormente traza los dos polígonos que resultan de la división del triángulo a través del
segmento de recta. Después mediante la opción del arrastre del software Cabri, logra que los
perímetros sean equivalentes. Luego con la opción de transferencia de medidas transfiere los
valores de las distancias QB y PC en los lados del triángulo a partir de cada uno de los vértices,
seguidamente une uno de los extremos del segmento mayor con el extremo del segmento menor
pero ubicados en lados opuestos y así sucesivamente, de tal manera que logra trazar seis segmentos
de recta, que en efecto son escintores del triángulo. Finalmente concluye que existen infinitos
escintores, porque el proceso de transferencia de medidas lo puede repetir indefinidamente. Cabe
anotar que una de las limitantes de esta conjetura es que el punto P no puede estar por encima de
L/2. Un aspecto importante es la deducción de una ecuación para hallar el segundo extremo del
segmento a partir de uno ya conocido, como lo expresa el estudiante: “Tomemos L=3, se escoge
un segmento AP=0.5. Buscamos el perímetro de las dos regiones, encontramos que son
aproximadamente iguales. Perímetro del polígono APQC = AP + PQ + QC + AC, ahora el
perímetro del triángulo PQB = PB + QB + PQ.
Si partimos de un lado de 3 cm: 0.5 + y + x + 3 = 2.5 + ( 3 – x) + y, 0.5 + x = 2.5 – x
2x = 2.5 – 0.5, X =
(2.5 − 0.5) , de aquí llamemos z al segmento AP y tenemos que:
2
(2.5 – 0.5)=(L – Z) – Z y por tanto x =
(l − 2 z )
l
para valores de Z que estén en 0, ” (ver
2
2
figura 7).
8
Figura 7.
4. CONCLUSIONES
La experiencia denota una riqueza conceptual, en la medida en que los conocimientos
involucrados posibilitan la validez de conjeturas y la modelación de una situación problema que
desencadena otras situaciones problemas. Hay que anotar también que la intermediación de la
herramienta tecnológica mostró novedosas formas de validar los conceptos de escintor, mescintor
y vescintor. Esta situación presenta varios matices: inicialmente se presenta un problema de
existencia, luego el de la unicidad y posteriormente el de la generalización mediante modelos
algebraicos. La exploración libre posibilitó encontrar soluciones insospechadas, por ejemplo, la
posibilidad de la existencia de infinitos escintores para el triángulo equilátero. De igual forma se
hizo una exploración libre para los triángulos isósceles y escalenos, encontrándose algunos
resultados que están en la fase de análisis e interpretación.
5. REFERENCIAS
MEN (1998). Matemáticas. Lineamientos Curriculares. Bogotá, Editorial Magisterio.
MEN (1999). Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas: Apoyo a los Lineamientos
Curriculares. Serie Lineamientos Curriculares. Bogotá, Enlace Editores Ltda
MEN (2004). Pensamiento Geométrico y Tecnologías Computacionales. Bogotá, Enlace Editores
Ltda
MEN (2002). Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el
Aula de Matemáticas. Serie Memorias. Bogotá, Enlace Editores Ltda.
MEN (2004). Tecnología Informática: Innovación en el Currículo de Matemáticas de la
Educación Básica Secundaria y Media. Serie Estudios. Bogotá, Enlace Editores Ltda.
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