Valoración del desempeño

Si se analizan los puntos de la gráfica, se obtiene:
3 8dcij\gjednXdcaVVnjYVYZhjegd[ZhdgVdegd[Zhdg!XdbZciZcaVh^\j^ZciZ
^c[dgbVX^‹c#
Plan C
AdheVgZhYZkVadgZhm!nfjZ
hZ\ZcZgVcXdcaVgZ\aVYZXd"
ggZhedcYZcX^V n2(m &%
XdggZhedcYZc V ejcidh fjZ
Zhi{c Va^cZVYdh! Zh YZX^g! hZ
ejZYZigVoVgjcVgZXiVfjZeVhZ
edgidYdhZhdhejcidh#
Plan A
m
50
100
150
200
250
300
a
85
170
255
340
425
510
La razón de proporcionalidad es k = 1.7, es decir a ≈ 1.7 m
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
4 :c Za b^hbd eaVcd jW^XV adh
ejcidhYZaVgZaVX^‹cZcigZc"
bZgdYZ_jZ\dhnXdhidYZaeaVc
7#=Voadb^hbdXdcZaeaVc8#
JhV jc Xdadg Y^[ZgZciZ eVgV
XVYVeaVc#
Plan B
– Explica las características de una gráfica que represente una relación
de proporcionalidad en el plano cartesiano.
– Grafica relaciones de proporcionalidad.
5 JhVaVh\g{[^XVheVgVXdciZhiVg
aVhh^\j^ZciZhegZ\jciVh/
Vª8j{cidYZWZeV\VghZZcXVYVeaVc
edg^gVaV[Zg^VnhjW^ghZV+_jZ\dh4
8dcZaeaVc6 $ 28
8dcZaeaVc7 $ 25
8dcZaeaVc8 $ 30
WAdhejcidhYZaeaVc7Zhi{cVa^cZVYdh]dg^odciVabZciZ#ª6fj‚hZYZWZ4
A que el valor es constante
Xª8j{cidYZWZeV\VgVa\j^ZcfjZkVVaV[Zg^V!eZgdcdhZhjWZVc^c\c_jZ\d4
dg^\Zc4
aC
ª8j{aZhhdcaVhXddgYZcVYVhYZZhZejcid4
ª6Xj{cidh_jZ\dhXdggZhedcYZaVVWhX^hVYZZhZejcid4
A 0 juegos
ª6fj‚XVci^YVYYZY^cZgdXdggZhedcYZaVdgYZcVYV4
a $ 10
(0, 0)
6 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgV!gZVa^XZcadh^\j^ZciZ#
V8dbZciZcaV^c[dgbVX^‹cYZagZXjVYgd#
W9ZVXjZgYdXdcaVh\g{[^XVh!VcVa^XZcfj‚eaVcZhZab{hWVgVid#DWhZgkZcfjZZhdYZeZcYZYZa
cbZgdYZ_jZ\dhfjZhZk^h^iZc#
Respuesta libre
AV\g{[^XVXVgiZh^VcVYZjcVgZaVX^‹cYZegdedgX^dcVa^YVYZhjcXdc_jcidYZejcidh
fjZZhi{chdWgZjcVgZXiV#AVgZXiVeVhVedgZadg^\ZcYZah^hiZbVYZZ_Zh#
4.7. Explicar las características de una gráfica que represente
una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.
8dcZaeaVc6 $ 10
8dcZaeaVc7 $ 25
8dcZaeaVc8 $ 0
Yª6Xj{aYZaVhigZh\g{[^XVheZgiZcZXZZaejcidZcZafjZhZXdgiVcadhYdhZ_Zh!ZhYZX^g!Zaejcid
193
201
201
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 8
Una gran variedad de situaciones en la vida cotidiana son
proporcionales; establecer la relación que rige una tabla o una gráfica
permite reconocer las tendencias que pueden seguir otras cantidades
que se rigen bajo la misma relación. También permiten comparar para
tomar decisiones.
Es un contenido básico para la comprensión del porcentaje. Favorece
la noción de variable y de función.
Se sugiere al profesor que induzca a los estudiantes a observar
las gráficas y determinar mediante las propiedades de éstas, los
comportamientos de la relación (en este caso de proporcionalidad)
por ejemplo, el estudiante puede notar que cuanto más inclinada es la
pendiente de una gráfica, es mayor la velocidad de cambio.
V^V_VgZcVjidb‹k^a
:cjck^V_ZZcVjidb‹k^a^ciZgk^ZcZckVg^VhbV\c^ijYZhgZaVX^dcVYVh/aVY^hiVcX^V!Zai^ZbedYZagZ"
Xdgg^Yd!aVkZadX^YVY!ZaXdchjbdYZ\Vhda^cV!ZcigZdigVh#
1 9dh Vjidb‹k^aZh!6 n 7! bVcijk^Zgdc
jcVkZadX^YVYXdchiVciZYjgVciZX^Zgid
i^Zbed#AV\g{[^XVgd_VbjZhigVaVgZaV"
X^‹cZcigZaVY^hiVcX^VgZXdgg^YVedgZa
Vjidb‹k^a6nZai^Zbed#
V8dbeaZiVadhYVidhfjZ[VaiVcZcaViVWaVYZa
Vjidb‹k^a6! VeVgi^gYZaV^c[dgbVX^‹cYZaV
\g{[^XV#
W6cdiVYZWV_dYZaVhiVWaVhaVhgZ\aVhYZXdggZh"
edcYZcX^V#GZegZhZciVZai^ZbedXdcaVaZigVi
naVY^hiVcX^VXdcaVaZigVY#
XIgVoV!XdcjcXdadgY^[ZgZciZ!aV\g{[^XVYZaVj"
idb‹k^a7!VeVgi^gYZadhYVidhYZaViVWaV#
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
– Interpreta una gráfica cartesiana de una relación de
proporcionalidad.
– Comprende cuándo una relación es proporcional o no proporcional.
– Identifica las relaciones de proporcionalidad y no proporcionalidad
que rigen los datos de tablas y/o gráficas.
Distancia (km)
6WV_d]VnYdhiVWaVhXdcYVidhYZadhgZXdgg^Ydh
YZadhYdhVjidb‹k^aZh#
2 8dciZhiZcaVhh^\j^ZciZhegZ\jciVhZc\gjed#
Vª6a\jcVYZaVhgZaVX^dcZh
ZhYZegdedgX^dcVa^YVY4 Sí, las dos
WªFj‚^cY^XVfjZjcV\g{[^XV
Zhi‚b{h^cXa^cVYVfjZaVdigV4 Que el automóvil
Automóvil A
Tiempo (h)
Distancia (km)
2
d=
202
Automóvil B
Tiempo (h)
Distancia (km)
0
0
0
0
1
80
1
100
1
2
200
2
1
2
250
240
3
300
1
3
2
280
1
3
2
350
4
320
4
400
3
202
194
Tiempo (h)
va más rápido
que el otro
80 t
d=
100 t
0USPTSFDVSTPT
3 AVh\g{[^XVhYZaVYZgZX]VbjZhigVcaVhgZaV"
X^dcZhZcigZaVY^hiVcX^VgZXdgg^YVnaVXVci^YVY
YZ\Vhda^cVfjZXdchjbZXVYVVjidb‹k^a0VcV"
a†oVaVhnXdciZhiVaVhh^\j^ZciZhegZ\jciVh/
Se sugiere la siguiente página de Internet para acceder a más ejemplos
de gráficas de proporcionalidad:
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/
guias/proporcionalidad/GuiaProporcionalidaddirecta/
GuiaProporcionalidadDirecta.htm
VªFj‚Vjidb‹k^ai^ZcZbZ_dggZcY^b^ZcidYZ\Vhda^cV4
Distancia (km)
El B
Wª8‹bdadhVWZh4Recorre más distancia con la
misma gasolina que A
XªFj‚h^\c^[^XVZcZhiZXVhdfjZjcV\g{[^XVZhi‚b{h
¹^cXa^cVYVºfjZaVdigV4Que la gasolina rinde más
Y:hiVhYdhgZaVX^dcZhhdcYZegdedgX^dcVa^YVY#
9VVabZcdhjcVegjZWVYZZaad#
En A ; y = x 12, en B; y = x 17
Z:hXg^WZadhYVidhfjZ[VaiVcZcaVhiVWaVhnZhXg^WZ
aVhgZ\aVhYZXdggZhedcYZcX^V# GZegZhZciVaVY^hiVc"
X^VgZXdgg^YVXdcaVaZigVYnaVXVci^YVYYZ\Vhda^cV
Xdchjb^YVXdcaVaZigVX#
d=
Automóvil B
Gasolina ( H)
Distancia (km)
1
12
1
17
2
24
2
34
5
60
5
85
10
120
10
170
15
180
15
255
20
240
20
340
12 c
d=
17 c
4 8dbeVgVadhgZhjaiVYdhfjZZcXdcigVhiZZcaVVXi^k^YVYVciZg^dgXdcadhYZijh
XdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVh#
5 >ckZhi^\VZaegZX^dVXijVaYZjca^igdYZ\Vhda^cV#
V:aVWdgVjcViVWaVfjZbjZhigZZaegZX^dYZ&%!'%!(%!)%n*%a^igdhYZ\Vhda^cV#
W<gV[^XVZcjceaVcdXVgiZh^VcdadhYVidhYZijiVWaV#
X:cXjZcigVaVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^VfjZgZaVX^dcVZacbZgdYZa^igdhYZ\Vhda^cVXdchjegZX^d#
4.7. Interpretar una gráfica cartesiana
de una relación de proporcionalidad.
Automóvil A
Gasolina ( H)
Distancia (km)
Gasolina ()
195
203
203
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 8
Esta lección se puede aprovechar para que el alumno dibuje y se divierta
mientras utiliza conocimientos básicos de geometría.
EaX†gXjadZcaVVgfj^iZXijgV
9ZhYZaVVci^\“ZYVYZaX†gXjad]Vh^YdVbea^VbZciZjhVYdZcZaZbZcidhVgfj^iZXi‹c^Xdh!egjZWV
YZZaadhdcadhVgXdhfjZVYdgcVcY^[ZgZciZhi^edhYZXdchigjXX^dcZh#
4PMVDJPOBSJP
1
a)
1 6cVa^XZcadhVgXdhfjZhZegZhZciVcn_jcidheaVcZZcjcVbVcZgVYZigVoVgadhZc
hjhXjVYZgcdhjhVcYdhjh^chigjbZcidh\Zdb‚ig^Xdh#8jVcYdhZ]VnVcejZhidYZ
VXjZgYdig{XZcadh#
b)
n
m
p
p'
q
q'
o
EVgVVnjYVgadh!hZbjZhigVcVa\jcdhigVodhVjm^a^VgZhXdca†cZVhejciZVYVh#6YZb{h!XjVcYdZhcZ"
XZhVg^d!hZYVcYVidhVY^X^dcVaZhYZigVod#
V6gXdYZbZY^dejcid#HZjh‹ZcaVVgfj^iZXijgVgdbVcVnYZaGZcVX^b^Zcid#Ig{XZcadYZiVabV"
cZgVfjZZahZ\bZcidBCb^YV-Xb#
c)
d)
a
e)
b
n
m
a
b
c
W6gXdYZ]ZggVYjgV#AdjhVgdchdWgZidYdadh{gVWZh#Ig{XZcadYZiVabVcZgVfjZZa{c\jadE¼DF¼
bVgXVYdXdcgd_db^YV')%§nfjZZahZ\bZcidEFb^YV-Xb#
f)
a p b
p
q
c
d
X6gXdd_^kVa#6gXdXVgVXiZg†hi^XdYZaZhi^ad\‹i^XdjhVYdedgadhZjgdeZdhZcaV:YVYBZY^V#Ig{"
XZcadYZiVabVcZgVfjZZahZ\bZcid67b^YV-Xb#
196
204
204
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
Y6gXdigZWdaVYd#HZ]VjhVYdVbea^VbZciZZcZaVgiZ{gVWZ# GZegdYoXVcadYZbVcZgVfjZZa
ig^{c\jadZfj^a{iZgd678b^YV+XbedgaVYd#
– Construye círculos a partir de diferentes condiciones.
0USPTSFDVSTPT
Se recomienda el siguiente texto para conocer más datos respecto a la
importancia del círculo en la arquitectura:
Concha Diez-Pastor Iribas. El círculo en la arquitectura: esencia y
transformación histórica. Anuario de la Universidad Internacional, 2007,
pp. 105-114.
Z6gXdYZiVa‹c# JhVYdZcZaVgiZ^cY^dnW^oVci^cd# GZegdYoXVcadYZbVcZgVfjZZaXjVYgVYd
BCEFb^YV+XbYZaVYd#
[ 6gXdVejciVYd#Egde^dYZaVVgfj^iZXijgV{gVWZ# GZegdYoXVcadYZiVabVcZgVfjZZagZXi{c"
\jadiZc\VY^bZch^dcZh672)Xbn682+Xb#EZhejcidbZY^dYZ67#AdhVgXdhhZigVoVc
VWg^ZcYdZaXdbe{hVaVbZY^YV9EnVedn{cYdadZcXVYVk‚gi^XZYZagZXi{c\jad#
2 EaVi^fjZcVciZhj\gjedZaegdXZY^b^ZcideVgV]VXZgVa\jcdhYZadhVgXdh#
4.4. Construcción de círculos a partir de diferentes condiciones.
197
205
205
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 86
87
Así como anteriormente se vio la importancia del trazo de triángulos,
el trazo de círculos es también muy importante en la geometría. Se
sugiere que el profesor mencione a sus estudiantes que existe una
caracterización del círculo (es decir, una propiedad que es cumplida por
una figura, si y sólo si esta figura es un círculo) y esta caracterización
consiste en que el círculo es la única figura tal que todos y cada uno de
sus puntos distan lo mismo del centro.
1 GZhjZakZadhh^\j^ZciZhegdWaZbVh#
V8dcZm^‹cV^ciZgcZi#9VcnXdcigVi‹Zchja†cZViZaZ[‹c^XVjchZgk^X^dYZ^ciZgcZih^cXVWaZ0 aZ
^c[dgbVgdcfjZejZYZXdcZXiVghZh‹adh^Zhi{VbZcdhYZ&%%bYZY^hiVcX^VYZhja†cZViZaZ[‹"
c^XV#:ah^\j^ZciZeaVcdZhi{]ZX]dVZhXVaV&/*%%%#BVgXVZcZaeaVcdidYVaVgZ\^‹cfjZVWVgXV
aVXdcZm^‹cYZhYZYdcYZ9VcnejZYZXdcZXiVghZV^ciZgcZi#
1
= 0.02 m = 2 cm . Se traza un círculo de radio 2 cm,
5000
con centro en la casa de Dany.
b) Se traza una cuerda cualquiera del círculo y entonces se traza la
mediatriz de esa cuerda, luego, se traza una segunda cuerda y su
mediatriz, el punto donde concurren ambas mediatrices es el centro
de la circunferencia.
c) Se unen los puntos formando así un triángulo, luego trazamos el
circuncentro del triángulo (es decir, el punto donde concurren las
mediatrices de cada uno de los lados). Ése es el punto buscado.
d) Un número infinito, pues tres puntos determinan una circunferencia
y si trazamos la recta perpendicular a la trazada, tenemos una
infinidad de puntos que junto con los otros dos determinan una
circunferencia (una por cada terna de puntos).
e) Trazamos el baricentro (el punto donde concurren las bisectrices del
triángulo). Éste es el punto buscado.
Avenida
Ori
37
Calle 1
Calle 1
Calle 1
39
38
Calle 1
40
ente
W:aeaVidgdid#JcVgfjZ‹ad\dZcXdcig‹ZhiVeVgiZYZjceaVidX^gXjaVgnfj^ZgZgZXdchigj^gad0
eVgVZaadZhcZXZhVg^d]VaaVgZaXZcigdYZaeaVidnigVoVgad#BVgXVZaXZcigdYZaeaVidnXdbegjZWV
XdcijXdbe{higVoVcYdZaeaVidXdbeaZid#E^hiV/gZXjZgYVaVhegde^ZYVYZhYZaVbZY^Vig^ofjZ
ZhijY^VhiZZcaVaZXX^‹c(+nigVoVYdhhZ\bZcidhfjZiZXdckZc\Vc#
198
206
206
Soluc.
Calle 1
73
( )
Casa de Dany
Calle 1
70
1
Calle 1
69
Calle 1
68
4PMVDJPOBSJP
a) 100 m
C†gXjadhnVa\db{h
:aigVodYZX†gXjadh!X^gXjc[ZgZcX^Vh!bZY^Vig^XZhnW^hZXig^XZhZhi^aZcaVgZhdajX^‹cYZegdWaZbVh
Y^kZghdh#
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
c) El hospital. Se desea construir un hospital que
X:a]dhe^iVa#HZYZhZVXdchigj^gjc]dhe^iVafjZfjZYZVaVb^hbVY^hiVcX^VYZigZhX^jYVYZhgZ"
quede a la misma distanciaBVgXVZaejcidYdcYZYZWZXdchigj^ghZZa]dhe^iVanXdbegjZWVXdc
de tres ciudades
egZhZciVYVhXdcjcejcid#
(representadas con un punto). Marca el punto
ijXdbe{hfjZZhi{VaVb^hbVY^hiVcX^VYZaVhigZhX^jYVYZh#
donde debe construirse el hospital y comprueba con tu compás que está a la misma distancia
de las tres ciudades.
– Resuelve problemas que se relacionan con el trazo de círculos.
0USPTSFDVSTPT
Se sugiere al maestro consultar el siguiente libro para conocer más
teoremas y demostraciones respecto a la construcción y propiedades de
figuras geométricas:
Bulajich Radmila y José Antonio Gómez. “Geometría”. Cuadernos de
Olimpiadas de Matemáticas. Instituto de Matemáticas, UNAM, 2002.
d) La cuerda floja. Traza varias circunferencias que pasen por los puntos A y B. ¿Cuántas pudiste
trazar? _______________________________
YAVXjZgYV[ad_V#IgVoVkVg^VhX^gXjc[ZgZcX^VhfjZeVhZcedgadhejcidh6n7# ª8j{ciVhejY^hiZ
Un número infinito
igVoVg4TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT
B
A
e) La gasolinera.Tres carreteras se cortan formando un triángulo. Se desea construir una gasolinera que esté dentro del triángulo y a la misma
distancia de las tres. Si las rectas representan
las carreteras, marca el punto donde consideras debe estarIlagZhXVggZiZgVhhZXdgiVc[dgbVcYdjcig^{c\jad#
gasolinera y comprueba con
ZAV\Vhda^cZgV#
HZYZhZVXdchigj^gjcV\Vhda^cZgV
tu compás que está a la misma distancia de las
fjZZhi‚YZcigdYZaig^{c\jadnVaVb^hbVY^hiVcX^VYZaVhigZh#
H^aVhgZXiVhgZegZhZciVcaVhXV"
tres rectas.
ggZiZgVh!
bVgXVZaejcidYdcYZXdch^YZgVhYZWZZhiVgaV\Vhda^cZgVnXdbegjZWVXdcijXdbe{h
fjZZhi{VaVb^hbVY^hiVcX^VYZaVhigZhgZXiVh#
2 Compara tus soluciones con las de tus compañeros y compañeras y platica con
ellos la manera en que las encontraste.
Los elementos principales de un círculo son su centro y su radio. A partir de estos dos elementos, el círculo queda determinado y puede trazarse.
También se pueden trazar círculos a partir de otros elementos; por ejemplo, a partir del
diámetro o de tres puntos de la circunferencia.
En los problemas de trazado de círculos, dependiendo de los elementos dados, puede
haber una solución, muchas soluciones, o bien, ninguna.
2 8dbeVgVijhhdajX^dcZhXdcaVhYZijhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVhneaVi^XVXdc
ZaadhaVbVcZgVZcfjZaVhZcXdcigVhiZ#
4.4.Resolución
Resoluciónde
deproblemas
problemasque
quese
serelacionan
relacionan con
con el
el trazo
trazo de
de círculos.
círculos.
4.4.
A
B
207
199
207
207
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 8
Se sugiere al profesor motivar el interés del estudiante relatando
brevemente la historia de este interesante número: π (pi) es un número
irracional, cociente entre la longitud de la circunferencia (perímetro) y
la longitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas,
física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras
cifras, es el siguiente:
DVgaVkjZaiV
8jVcidbVndgZhjcX†gXjad!bVndgZhhjX^gXjc[ZgZcX^VnbVndghjY^{bZigd#H^cZbWVg\d!]Vn
Va\dfjZcdkVg†V!ªhVWZhfj‚Zh4
1 GZcZiZXdcYdhXdbeVŠZgdhdXdbeVŠZgVh#KVcVigVWV_VgXdchZ^hX†gXjadh#EVgV
V\^a^oVgaVVXi^k^YVY!XVYVjcdejZYZigVWV_VgXdcYdhX†gXjadh#
! 3.1415926535897932384w
VGZXdgiZc+X†gXjadhYZXVgija^cVXdcgVY^dhYZ(Xb!)Xb!*Xb!+Xb!
,Xbn-Xb#
W8dcVnjYVYZ]^aVoVd]^adfjZhZVgZh^hiZciZncdZhi^gZVkZg^\“ZcaV
bZY^YVYZaXdcidgcdYZXVYVX†gXjad#
X:hXg^WVcZcaViVWaVadhYVidhfjZhZe^YZc#Ji^a^XZcjcVXVaXjaVYdgVeVgV
]VXZgaVhY^k^h^dcZh#
La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras
de origen griego “περιφέρεια” (periferia) y “περίμετρον” (perímetro) de
una circunferencia. Esta notación fue usada por primera vez en 1706
por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático
Leonhard Euler en su obra Introducción al cálculo infinitesimal de 1748.
Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al
matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (no
se debe confundir con el número de Arquímedes).
El valor de π ha sido conocido con distinta precisión a lo largo de la
historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en
las ecuaciones de la física, junto con el número e. Tal vez por ello sea la
constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales
y aficionados. La constancia de la razón de la circunferencia al diámetro
no es válida en geometrías no euclídeas.
Medida del contorno
18. 8 cm
25. 1 cm
31. 4 cm
37. 7 cm
44. 0 cm
50. 3 cm
Medida del diámetro
Medida del contorno ÷ Medida del diámetro
6 cm
8 cm
10 cm
12 cm
14 cm
16 cm
3. 14159
3. 14159
3. 14159
3. 14159
3. 14159
3. 14159
YDWhZgkZcfjZadhgZhjaiVYdhYZaViZgXZgVXdajbcVhdcbjneg‹m^bdhZcigZh†#
Zª6egdm^bVYVbZciZXj{ciVhkZXZhXVWZZaY^{bZigdZcZaXdcidgcdYZaX†gXjad4
3. 14
2 8dbZciZchjhgZhjaiVYdhXdcadhYZdigdhZfj^edh!aZVcaVh^\j^ZciZ^c[dgbVX^‹c
nXdciZhiZcaVhegZ\jciVhfjZk^ZcZcYZhej‚h#
:chZmid\gVYdZhijY^VhiZfjZZaXdcidgcdYZaX†gXjadgZX^WZZacdbWgZYZX^gXjc[ZgZcX^V
nfjZh^Y^k^YZhaVbZY^YVYZaVX^gXjc[ZgZcX^VYZXjVafj^ZgX†gXjadZcigZhjY^{bZigddW"
i^ZcZhjckVadgbjnXZgXVcdVacbZgdaaVbVYdE^#:hiZcbZgdhZh^bWda^oVXdcaVaZigV
\g^Z\VPni^ZcZjckVadgVegdm^bVYdYZ(#&)#
bZY^YVYZaVX^gXjc[ZgZcX^V
P2
bZY^YVYZaY^{bZigd
฀ ฀
KVadgVegdm^bVYdYZP/(#&)
Vª8‹bdhZejZYZXVaXjaVgaVbZY^YVYZaVX^gXjc[ZgZcX^VYZjcX†gXjadh^hZXdcdXZaVbZY^YVYZ
hjY^{bZigd4 Circunferencia = π × diámetro
W:aiVbVŠdYZaVX^gXjc[ZgZcX^VYZjcX†gXjadZhegdedgX^dcVaVaiVbVŠdYZhjY^{bZigd#ª8j{aZh
aVXdchiVciZYZegdedgX^dcVa^YVYYZZhVgZaVX^‹c4 Sí, 3. 14
200
208
208
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
3 GZhjZakZZhiVVXi^k^YVY0YZhej‚h!gZcZiZXdcijhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVhYZ
Zfj^ednXdbeVgZcgZhjaiVYdhnegdXZY^b^Zcidh#H^hdcY^[ZgZciZh!igViZcYZ]VaaVg
Y‹cYZhZZfj^kdXVgdc#
– Conoce el número irracional .
– Justifica la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia.
– Calcula el perímetro de un círculo.
9dŠVAj^hV]VXZbVciZaZhYZiZaVnaZhedcZa^hi‹cZcZaXdcidgcd#:cXVYVXVhdXVaXjaVaVb†c^bV
XVci^YVYYZa^hi‹cfjZcZXZh^iVeVgVXVYVi^edYZbVciZa#6c‹iVaVYZcigdYZXVYVjcd#
0USPTSFDVSTPT
V
Se sugiere al maestro que recomiende a sus estudiantes la siguiente
película respecto a la historia de un matemático que cree en las
matemáticas de la naturaleza:
Pi: El orden del caos
Dirección: Darren Aronofsky
País:Estados Unidos
Año: 1998
Género: Thriller
Ciencia ficción
123 cm
W
120 cm
X
112 cm
Y
176 cm
4 8dbeVgZchjhegdXZY^b^ZcidhngZhjaiVYdhXdcadhYZdigdhZfj^edh#
4.5. y 4.6. El número P. Justificación de la fórmula para calcular la
longitud de la circunferencia. Cálculo de perímetros de círculos.
201
209
209
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 8
En la presente lección se da una justificación de la fórmula para obtener
el área de un círculo, a continuación se propone una justificación
alterna:
El área del círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de
cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el
p!a
perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: A
2
Considerando la circunferencia como el polígono regular de infinitos
lados, entonces, el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y
el perímetro con la longitud, por tanto, el área interior es:
A
p!a
2
L!r
2
"2 ! $ ! r # ! r
2
2 !$ !r2
2
EcaVe^ooZg†V>
ªHVW†VhfjZjcX†gXjadhZejZYZigVch[dgbVgZcVa\dbjneVgZX^YdVjcgZXi{c\jadeVgVXVaXjaVg
hj{gZV4
1 JcVe^ooVfjZb^YZ'%XbYZY^{bZigdZhi{XdgiVYVZc&+gZWVcVYVh#
$ !r2
Una vez más el estudiante debe comprender que las fórmulas tienen
una justificación.
AVhgZWVcVYVhhZXdadXVcXdbdhZbjZhigV#
Vª6fj‚[^\jgV\Zdb‚ig^XVhZeVgZXZZhiZVggZ\adYZaVhgZWVcVYVh4
A un romboide
W8dcVnjYVYZZhiZVggZ\adWjhfjZcjcVbVcZgVYZXVaXjaVgZa{gZVYZaVe^ooVnZhXg^WVcZchj
XjVYZgcdhjegdXZY^b^Zcid# Área del romboide = b × h, b = circunferencia = π × D = πr h =r
__ _
ÍgZVYZaVe^ooV/
πr
2
2
2
2 8jVcYd]VnVciZgb^cVYdgZVa^XZcadh^\j^ZciZ/
V8dbZciZcZchj\gjedX‹bdad]^X^Zgdc#
WAZVcnXdbZciZcXdcaVVnjYVYZhjegd[ZhdgZah^\j^ZciZegdXZY^b^ZcideVgVdWiZcZgaV[‹gbjaV
YZa{gZVYZaX†gXjad#
202
210
210
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
>bV\^cVfjZeVgi^bdhaVe^ooVZcgZWVcVYVhXVYVkZob{heZfjZŠVh0dWhZgkVg{hfjZZcigZ
b{heZfjZŠVhhZVcaVhgZWVcVYVhZaVggZ\adhZeVgZXZg{b{hVjcgZXi{c\jad#
– Justifica la fórmula para calcular el área del círculo.
0USPTSFDVSTPT
En la siguiente página encontrará más definiciones y propiedades
relativas al círculo:
http:// math2.org/math/geometry/es-circles.htm
&#H^hZXdch^YZgVVaV[^\jgVXdbdjcgZXi{c\jad!ejZYZYZX^ghZfjZ/
™:a{gZVYZaX†gXjadZhVegdm^bVYVbZciZ^\jVaVa{gZVYZagZXi{c\jad!nZa{gZVYZa
gZXi{c\jadhZXVaXjaVbjai^ea^XVcYdWVhZedgVaijgV#
'#DWhZgkVfjZaVWVhZYZagZXi{c\jadZhaVb^iVYYZaeZg†bZigdYZaX†gXjadnaVVaijgV
YZagZXi{c\jadZhZagVY^dYZaX†gXjad#EdgadiVcid/
eZg†bZigd
ÍgZVYZaX†gXjad2
g
'
(#GZXjZgYV!VYZb{h!fjZZaeZg†bZigdYZaX†gXjadZh mY^{bZigd!ZcidcXZh/
Y^{bZigd
mY^{bZigd
ÍgZVYZaX†gXjad2
g
g ฀ ฀ ฀
'
'
)#;^cVabZciZ!YVYdfjZaVb^iVYYZaY^{bZigdZhZagVY^d!iZcZbdhfjZ/
ÍgZVYZaX†gXjad2 ฀ g g ฀ ฀ ฀g' ฀ g'
XªHZXjbea^g{h^ZbegZaVh^bea^[^XVX^‹cYZaeVhd(4=VojcVegjZWVXdccbZgdh/kZg^[^XVh^ )m. (
Zh^\jVaV)m . #
(
=VoegjZWVhXdcdigdhcbZgdhnkZg{hfjZh^ZbegZhZXjbeaZ#
3 8VaXjaVZa{gZVYZXdadgZcXVYV[^\jgV#IdbVaVhbZY^YVhcZXZhVg^Vh#
1. 93 cm2
5. 30 cm2
4. 07 cm2
4.5 y 1.4. Justificación de la fórmula para calcular el área del círculo.
:hYZX^g!Za{gZVYZjcX†gXjadZh^\jVaVaegdYjXidYZ fjZkVaZVegdm^bVYVbZciZ(#&)
edgZaXjVYgVYdYZaVbZY^YVYZagVY^d#
203
211
211
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección Mencione a sus estudiantes que una de las formas más difundidas
en la naturaleza es la circular. Casi todas las formas tienden a hacerse
más o menos “redondeadas”. Cuando en matemáticas un conjunto de
puntos tiene una propiedad común dicho conjunto se denomina lugar
geométrico.
El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro,
que se denomina centro, es una circunferencia.
El segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la
circunferencia es el radio de la circunferencia. El círculo es un muy útil
recurso para resolver distintos problemas, por ejemplo, problemas de
proporcionalidad, ya en una lección anterior vimos cómo gran parte de
la utilidad de una gráfica de pastel, se debe a las propiedades del círculo.
EcaVe^ooZg†V>>
:aX{aXjadYZ{gZVYZaX†gXjadhZVea^XVZcaVgZhdajX^‹cYZY^kZghdhegdWaZbVh#
1 AdhXa^ZciZhYZjcVe^ooZg†Ve^Y^Zgdcadh^\j^ZciZ/
:caVbZhV&]VW†VXjVigdeZghdcVh
ne^Y^ZgdcjcVe^ooVbZY^VcV#
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
:caVbZhV']VW†V+eZghdcVh
ne^Y^ZgdcjcVe^ooV\gVcYZ#
E^ooV
bZY^VcV
')Xb
E^ooV
\gVcYZ
(%Xb
:caVbZhV(]VW†VYdheZghdcVhne^Y^ZgdcjcVe^ooVX]^XV#
– Resuelve problemas que implican calcular el área de un círculo.
– Resuelve problemas que implican calcular el perímetro de un círculo.
'%Xb
E^ooV
X]^XV
:cXVYVbZhVhZgZeVgi^ZgdcaVe^ooVZceVgiZh^\jVaZh#
Vª:cfj‚bZhVaZidX‹b{he^ooVVXVYVeZghdcV4
En la 3
WªFj‚XVci^YVYYZe^ooVaZidX‹VXVYVeZghdcVZcXVYVbZhV4
2
BZhV&/113 cm
BZhV'/
118 cm2
BZhV(/
157 cm2
2 AdhXdhidhYZaVhe^ooVhhdc/
Pizza
Costo
Chica
$ 49
Mediana
$ 69
Grande
$ 89
Vª:cfj‚i^edYZe^ooVhVaZb{hXVgdZaXZci†bZigdXjVYgVYdYZe^ooV4
Wª8‹bdadVkZg^\jVhiZ4
204
212
212
En la chica
Dividiendo el costo entre el área de la pizza
0USPTSFDVSTPT
3 EaVi^fjZcVciZhj\gjedX‹bdgZhdak^ZgdcZhidhegdWaZbVh#
Le sugerimos recomendar a los estudiantes la siguiente página de
Internet, en la que encontrarán más propiedades interesantes del
círculo, de forma muy accesible:
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/area7.htm
4 AVe^ooV\gVcYZhZXdadXVZcjceaVidXdcaVbZY^YVfjZhZ^cY^XV!ªfj‚eVgiZYZa
eaVidfjZYVh^cXjWg^gedgaVe^ooV4
550 cm2
)%Xb
:hXg^WZijegdXZY^b^Zcid#
Parte sin cubrir = área del plato − área de la pizza
40 2
30 2
=π× _ –π _
2
20
= π × (400 − 152 ) = 550 cm2
5 :cdigVe^ooZg†VkZcYZce^ooVhYZadhh^\j^ZciZhYdhiVbVŠdh/
'*Xb
E^ooV
bZY^VcV
'*
(*Xb
E^ooV
\gVcYZ
$ 49
:aYjZŠdfj^ZgZfjZZaXdhidYZaVhe^ooVhhZVegdedgX^dcVaVhj{gZV#6cdiVZcZagZXjVYgdZaegZ"
X^dYZaVe^ooV\gVcYZ#
6 EaVi^XVXdcijhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVhX‹bdgZhdak^ZgdcadhegdWaZbVh)n*#
grande
Área de pizza mediana __
)
)( Área de pizza
(__
x
$25
4.6. Resolución de problemas que impliquen el cálculo del área y perímetro del círculo.
( ) ( )
205
213
213
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 9
Es importante que el maestro diferencie cuándo una actividad consiste
en la resolución de un problema. Para ello debe tener presente que, a
partir de los datos del problema, quiere obtenerse una información que
no es consecuencia inmediata de éstos.
Estas informaciones pueden proporcionarse a través de enunciados,
documentos, situaciones y experiencias, o de la construcción de algún
objeto (en este caso, del círculo). Estas actividades deben llevar al
estudiante a efectuar descubrimientos propios y no sólo a aquello que
queremos que aprenda. Es por ello necesario estimular en él un espíritu
de búsqueda que lo ayude a desarrollar la intuición matemática, esta
lección se puede aprovechar muy bien para este fin.
Se sugiere al maestro presentar el siguiente problema en adición a
los sugeridos en el libro: un artesano compró varias piezas, en una está
realizando los cortes para las bases de un cubilete de cacho, que se sabe
tienen forma circular. El radio de cada pieza es de 3 cm y el tamaño de la
pieza es aproximadamente de 1 metro por 80 cm y su valor es de 30 mil
pesos.
¿Cómo sería recomendable disponer las bases circulares de manera
que se aproveche al máximo la pieza de cuero? Hacen un dibujo
esquemático de la distribución y explican por qué es la forma en la cual
se aprovecha mejor la pieza. ¿Cuántas bases circulares alcanza a obtener
con ella?
¿Cuánto cuero se pierde de la pieza completa? ¿Aproximadamente a
cuánto dinero equivale esta pérdida en dicha pieza de cuero?
C^gXjaVcYd
ªHVW†VhfjZjcVgjZYVhZejZYZjhVgeVgVbZY^gY^hiVcX^Vh4
1 JcVW^X^XaZiVi^ZcZgjZYVhYZ+%XbYZY^{bZigd#
Vª8j{cidhbZigdhgZXdggZXjVcYdaVhgjZYVhYVc
jcVkjZaiVXdbeaZiV4 1. 884 m
Número de vueltas
de la rueda (x)
2
W6cdiVadhkVadgZhfjZ[VaiVcZcaViVWaV#
X:cZaai^bdgZc\a‹cZhXg^WZaVZmegZh^‹cfjZgZ"
aVX^dcVZacbZgdYZkjZaiVhnXdcaVY^hiVcX^V
gZXdgg^YVm#
3.5
4
Y=VoaV\g{[^XVXdggZhedcY^ZciZZceVeZab^a^b‚ig^Xd#
Sí
9.42
10
18. 84
65. 94
188. 40
35
y=
#ª8‹bdadhVWZh4
3. 77
6. 59
7. 54
5
100
ZªHZigViVYZjcVgZaVX^‹cYZegdedgX^dcVa^YVY4
Distancia recorrida
en metros (y)
1. 884 x
Por que y = Cx, donde C es una constante
2 JcVjidb‹k^ai^ZcZaaVciVhXdcjcgVY^dYZ%#'.b#
V8jVcYdZaVjidb‹k^agZXdggZ&%`b!ªXj{ciVhkjZaiVh]VcYVYdhjhaaVciVh45490 vueltas
Wª8j{cidh `^a‹bZigdh VkVcoV ZhiZ Vjid XjVcYd hjh aaVciVh YVc & %%% kjZaiVh XdbeaZiVh4
1,821 km
3 AVh gjZYVh iVbW^‚c ejZYZc hZg jc ^chigjbZcid eVgV bZY^g adc\^ijYZh#6 jcV
gjZYV YZ bVYZgV hZ aZ hj_ZiV jc eVad Zc hj XZcigd! YZ iVa bVcZgV fjZ aV gjZYV
ejZYV \^gVg Va YZha^oVgaV edg jcV hjeZg[^X^Z# AV gjZYV i^ZcZ jcV bVgXV eVgV hVWZg
Xj{cYd]VYVYdjcVkjZaiVXdbeaZiV#
VEVgVfjZjcVgjZYVVkVcXZjcbZigdXVYVkZofjZYVjcVkjZaiVXdbeaZiV!ªXj{cidYZWZbZY^g
hjgVY^d4 15. 9 cm
WªNeVgVfjZVkVcXZ&#*bZigdh4
23. 9
XHZb^Y^‹aVY^hiVcX^VZcigZYdh{gWdaZhXdcjcVgjZYVYZ('Xb
YZgVY^d#AVgjZYVY^d-kjZaiVh#ªFj‚Y^hiVcX^V]VnZcigZadhYdh
{gWdaZh4 16. 08
4 8dbZciVXdcijhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVhaVbVcZgVZcfjZgZhdak^ZgdcZhidhegd"
WaZbVhnadhgZhjaiVYdhVadhfjZaaZ\Vgdc#
206
214
214
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
5 GZVa^oVadh^\j^ZciZ/
VB^YZadhY^{bZigdhYZadhX†gXjadh# DWhZgkVfjZZaY^{bZigdYZaX†gXjad\gVcYZb^YZZaYdWaZ
fjZZaYZaX†gXjadeZfjZŠd#
Wª8j{ciVhkZXZhbVndgXgZZhfjZhZg{ZaeZg†bZigdYZaX†gXjad\gVcYZZcXdbeVgVX^‹cXdcZaYZa
2
4
eZfjZŠd4
ª8j{ciVhkZXZhbVndgXgZZhfjZhZg{Za{gZV4
– Resuelve problemas que impliquen el cálculo del perímetro de una
circunferencia.
– Resuelve problemas que impliquen el cálculo del área de una
circunferencia.
0USPTSFDVSTPT
Puede recomendar a sus estudiantes la siguiente página de Internet,
para verificar las fórmulas de perímetro y área del círculo, así como su
justificación:
http://www.escolar.com/geometr/04circycir.htm
X8VaXjaVZaeZg†bZigdnZa{gZVYZXVYVX†gXjadnYZhej‚hVcdiVijXdcXajh^‹c/
8†gXjad\gVcYZ
6&2
12. 56 cm2
8†gXjadeZfjZŠd
6'2
3. 4 cm2
12. 56 cm
E&2
E'2 6. 28 cm
8dcXajh^‹c/ 8jVcYd Za Y^{bZigd YZ jc X†gXjad VjbZciV Va YdWaZ! ªhj eZg†bZigd VjbZciV Va
Sí
ªHj{gZVVjbZciVVaYdWaZ4
No
#
6 6cdiVadhkVadgZhfjZ]VXZc[VaiVZcaVhh^\j^ZciZhiVWaVh#JhVijXVaXjaVYdgV/
Radio (cm)
1
2
4
8
10
Perímetro
6.28 cm
12.56cm
25.12cm
50.24 cm
62.8 cm
4
8
Radio (cm)
1
2
Área
3.14 cm2
12.56 cm2
50.24 cm2 200.96 cm2
10
314 cm2
VEVgVXVYViVWaVZaVWdgVaV\g{[^XVXdggZhedcY^ZciZZceVeZab^a^b‚ig^Xd#
Sí
Wª:aeZg†bZigdYZjcX†gXjadZhegdedgX^dcVaVhjgVY^d4
ª8‹bdadhVWZh4Porque la fórmula es P = 2π × r
Xª:a{gZVYZjcX†gXjadZhegdedgX^dcVaVhjgVY^d4 No
ª8‹bdadhVWZh4 Porque el área no aumenta proporcionalmente a la medida del radio
(
7 EVgVWVgc^oVgjcViVWaVXjVYgVYVYZjcbZigdYZaVYd!hZjh‹ YZa^igdYZWVgc^o#
)
ªEVgVWVgc^oVgYZ^\jVabVcZgVjcVbZhVX^gXjaVgYZjcbZigdYZY^{bZigd!hZjhVg{b{hYZ ( YZ
)
a^igddbZcdh4
Menos
ª8‹bdadhVWZh4Un círculo de ese diámetro tiene menor área
que un cuadrado de 1 mm de lado
0. 589 litros
ªFj‚XVci^YVYYZWVgc^ohZjhVg{eVgVWVgc^oVgaVbZhVX^gXjaVg4
4.6. Resolución de problemas que impliquen el cálculo del perímetro y el área del círculo.
YdWaZ4
207
215
215
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
RZeVhZbdhadVegZcY^Yd
Mientras los alumnos resuelven un problema, el maestro podrá conocer
y evaluar los procedimientos y las herramientas matemáticas que
utilizan, con el fin de favorecer su fortalecimiento y evolución.
Además de los problemas de esta sección, el maestro puede
aprovechar situaciones de la vida real en las cuales los alumnos, por
iniciativa propia u orientados por el maestro, indaguen todo lo que sea
posible con los datos que ésta ofrece.
Se presentan una serie de ejercicios para repasar lo aprendido,
se sugiere al maestro que aproveche esta sección para evaluar el
aprendizaje del estudiante y detectar aquellos temas en los cuales es
necesario seguir trabajando, a fin de que cada una de las lecciones del
bloque sea asimilada y comprendida.
:ajhdYZa^iZgVaZheVgVZmegZhVgbZY^YVhXdchi^ijn‹jc\gVcVkVcXZZcZaYZhVggdaadYZaV
bViZb{i^XV
>
HjWgVnVaVgZhejZhiVXdggZXiV
1 :caVhZhiVY†hi^XVhYZX^ZgiViZbedgVYV!ZaZfj^edAdh]VaXdcZhaaZkVWV*\daZhV
[Vkdgn-ZcXdcigV#ª8j{acbZgdZmegZhVbZ_dgaVY^[ZgZcX^VYZ\daZh4
V(
W( X&( Y&(
2 JcVZbegZhVgZ\^hig‹ZcjcbZh\VcVcX^Vhedg*%%%%%ne‚gY^YVhedg+%%%%%#
ª8j{acbZgdZmegZhVbZ_dgZaWVaVcXZYZZhVZbegZhV4
V&%%%%%
W&&%%%%% X&%%%%%
Y&&%%%%%
3 9dcAj^hfj^ZgZ]VXZgjcXdggVaeVgVhjhVc^bVaZh!aZ\jhiVg†VfjZ[jZgVZc[dg"
bVXjVYgVYVnYZ).b'YZ{gZV#ª8j{cidYZWZbZY^gZaaVYdYZaXdggVa4
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
– Resuelve los ejercicios de repaso de las lecciones vistas en el cuarto
bloque.
V')%&b W')%&b'
X,b Y,b'
4 AVh^\j^ZciZZhjcViVWaVYZegZX^dhYZjcVeVeZ"
aZg†VZcYdcYZhVXVcXde^Vh[didhi{i^XVh#
H^Xdch^YZgVbdhmVacbZgdYZXde^VhnnVaXdhid!ªXj{aZm"
egZh^‹cXdggZhedcYZVaViVWaV4
2
3
4
5
Vn2%#)%m
Yn2
Wm2%#)%n
Costo ($)
Número de copias
1
Xn2%#)% m
0.40
0.80
1.20
1.60
2.00
m
%#)%
5 EVgVXVaXjaVgZaeZg†bZigdYZjcX†gXjadhZjhVaV[‹gbjaVE2(#&)Y!YdcYZEZh
ZaeZg†bZigdnYZaY^{bZigd#
ª8j{a\g{[^XVXdggZhedcYZVZhiVZmegZh^‹c4
V
W
)%
(*
(*
(%
(%
'*
EZg†bZigd
EZg†bZigd
'*
'%
&*
&%
&
'
(
)
*
+
9^{bZigd
208
216
216
&*
&%
*
*
%
'%
,
-
.
&% &&
%
&
'
(
)
*
+
9^{bZigd
,
-
.
&% &&
(
)%
'!*
(%
'%
&%
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
0USPTSFDVSTPT
Y (!*
*%
EZg†bZigd
EZg†bZigd
X+%
Se sugiere al profesor el siguiente texto, como apoyo para reforzar la
enseñanza de los temas vistos en este bloque:
Jesús Alarcón, Elisa Bonilla, et al.. Libro para el maestro. Matemáticas.
Educación Secundaria. México: SEP, 2001.
'
&!*
&
%!*
&% &&
9^{bZigd
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
9^{bZigd
6 ª8j{aYZaVhh^\j^ZciZhZhjcV\g{[^XVYZgZaVX^‹cegdedgX^dcVaY^gZXiV4
V &'
W
&%
(
'!*
-
'
+
&!*
)
&
'
%!*
% & '
X +
&% &&
( ) * + , - . &% &&
% & '
Y
( ) * + , - . &% &&
'!*
*
'
)
&!*
(
&
'
%!*
&
% & '
( ) * + , - . &% &&
% & '
( ) * + , - . &% &&
7 8dch^YZgVfjZaVVaijgVYZaig^{c\jadZfj^a{iZgdb^YZ
&#,Xbnadhk‚gi^XZhYZaig^{c\jadXd^cX^YZcXdcadh
XZcigdhYZadhigZhX†gXjadh#:agVY^dYZadhX†gXjadh
b^YZ&Xb#8VaXjaVZaeZg†bZigdnZa{gZVYZaVeVgiZ
cZ\gV#
EZg†bZigd/ 3. 4 cm
ÍgZV/
0. 13 cm2
8 GZegdYjXZaV[^\jgVZcijXjVYZgcdYZbVcZgVfjZZa
ig^{c\jadb^YV+XbYZaVYd#
209
217
217
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
LVhbViZb{i^XVhZcadhbdhV^Xdh
En esta sección se muestran teselaciones muy famosas realizadas
por M.C. Escher. Considerando a los teselados del plano como un
disparador creativo que contribuye al diseño de formas modulares, se
desarrolla un procedimiento para agrupar formas de uso arquitectónico.
Existen diseños que teselan aperiódicamente, admitiendo el
cubrimiento del plano sin utilizar un patrón de repetición a distancias
constantes.
Se analizan los procedimientos y reglas para su generación
geométrica y su fractalización. Se propone una técnica para generar
teselados bidimensionales.
EgdWVWaZbZciZ]VhdWhZgkVYd!ZcijXVhVdZcaVXVaaZ!adhZiVhdbdhV^Xdh[dgbVYdhedg[^\jgVh\Zdb‚ig^XVh#
6YZb{hYZhZgWZaadhnh^b‚ig^Xdh!«ZbWdcVcbjnW^Zc
:hidhY^hZŠdhhZaaVbVciZhZaVYdh/hdc[^\jgVh\Zdb‚ig^XVhfjZedgh†b^hbVhdZcXdbW^cVX^‹cXjWgZcjcV
hjeZg[^X^ZeaVcV!h^cYZ_Vg]jZXdhc^hjeZgedcZghZ#
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
– Conoce y reproduce una teselación.
8de^VVaVYZgZX]Vadhh^\j^ZciZhiZhZaVYdh#
H^[jZgVh[VWg^XVciZYZbdhV^Xdhnijk^ZgVhfjZY^hZŠVgVa\jcdeVgVXjWg^gjce^hd!ªXj{aYZaVhh^"
\j^ZciZh[dgbVhZhXd\Zg†Vhh^ZaXa^ZciZfj^ZgZjhVgjchdadi^edYZVojaZ_d4ªEdgfj‚XgZZhfjZ
ZhaVbZ_dg[dgbVeVgVjcbdhV^Xd4
El hexágono, porque forma un teselado
210
218
218
0USPTSFDVSTPT
6Xdci^cjVX^‹chZbjZhigVX‹bdejZYZdWiZcZghZjciZhZaVYdVa]VXZgkVg^VX^dcZhVjcY^hZŠd
W{h^Xdh^beaZ#JhVij^bV\^cVX^‹cn]VojcdZcaVXjVYg†XjaVYZVWV_d#
Se sugiere al maestro pida al estudiante acceder a la siguiente dirección,
donde encontrará la historia, juegos y obras del famoso artista que
realizó las teselaciones más famosas del mundo, M. C. Escher:
http:// www.uv.es/~buso/escher/escher.html
AVhVci^\jVhX^k^a^oVX^dcZhji^a^oVWVc!XZgXVYZaVŠd)%%V#c#Z#!bdhV^XdheVgVaVXdchigjXX^‹cYZhjhXVhVh
niZbeadh#6adhbdhV^XdhiVbW^‚chZaZhaaVbViZhZaVYdh#
AVeVaVWgViZhZaVYdegdk^ZcZYZiZhhZaaVZ!fjZZgVZacdbWgZfjZadhgdbVcdhYVWVcVadheZfjZŠdh
VojaZ_dhjhVYdhZcZaeVk^bZcid#
211
219
219
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Y para terminar...
Se sugiere al maestro pida a los estudiantes realizar las actividades
propuestas en esta página, ya que la mayoría de ellos, seguramente se
encuentran familiarizados con los teléfonos celulares.
Es pertinente que el profesor siga las siguientes recomendaciones al
realizar esta actividad:
Al presentar o redactar un problema es importante que el maestro,
además de definir el propósito que persigue, procure que el problema
cumpla con determinadas condiciones:
– Que responda a una necesidad o interés del alumno.
– Que favorezca la búsqueda de estrategias para resolverlo.
– Que su solución incluya los conceptos matemáticos que se quieren
estudiar.
– Que pueda expresarse en algún tipo de lenguaje (aritmético,
geométrico, gráfico, etcétera) y si es posible se traduzca de uno a
otro.
– Que su grado de dificultad no sea tan alto como para desanimar a los
alumnos, ni tan bajo como para que sólo repitan lo que ya saben.
«>ckZhi^\jZbdh
ªFj‚eaVcXdck^ZcZXdcigViVg4
AdheaVcZhfjZd[gZXZcaVhXdbeVŠ†VhYZiZa‚[dcdhXZajaVgZh
cdh^ZbegZhdcXaVgdh!edgZaadejZYZhZgY^[†X^ahVWZgXj{a
Xdck^ZcZXdcigViVg#
:cZhiV^ckZhi^\VX^‹cjhiZYZhZmeadgVg{cZhiZegdWaZbV
Z^ciZciVg{cYVgVa\jcVhgZXdbZcYVX^dcZheVgVVa\jcdh
XVhdh#
AVegZ\jciVfjZ\j†VaV^ckZhi^\VX^‹cZh‚hiV/ªFj‚eaVc
aZXdck^ZcZXdcigViVgVjcVeZghdcV4
9VYdfjZZabZ_dgeaVcedYg†VYZeZcYZgYZajhdfjZ
hZegZiZcYVYVgVaiZa‚[dcd!ZhcZXZhVg^dXdch^YZgVg
adh^\j^ZciZ#
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
&kVg^dheaVcZhedh^WaZhn
'kVg^dhi^edhYZjhjVg^d
– Analiza un problema para determinar una solución óptima.
– Trabaja en equipo.
– Registra los datos obtenidos al resolver un problema.
IVgZV&/ Dg\Vc†XZchZeVgVVkZg^\jVgadheaVcZhfjZd[gZXZcjcVd
YdhZbegZhVhYZiZa‚[dcdh#
IVgZV'/ 8VYVjcdegZ\jciZ!VabZcdhVYdheZghdcVhfjZjhZciZa‚[dcdXZajaVg!Xj{cidh
0USPTSFDVSTPT
b^cjidhVabZhji^a^oVchjiZa‚[dcddXj{ciVhaaVbVYVh!XdbdYZXj{cidhb^cjidh!Zcfj‚]dgVg^dh
hdcaVhaaVbVYVhnh^hdcViZa‚[dcdhÄ_dhdVdigdhiZa‚[dcdhXZajaVgZh#8dch^YZgZcc^XVbZciZ
aaVbVYVhadXVaZh#
Sugiera a sus alumnos consultar la página de la Profeco para DBMDVMBS
FMHBTUPFOFMDFMVMBS:
http://www.profeco.gob.mx/encuesta/brujula/CDHBTUPDFMVMBSYMT
Dg\Vc^XZc aV^c[dgbVX^‹cfjZigV_didYdZa\gjed0edgZ_Zbead!]V\VcjcVeg^bZgV
XaVh^ÄXVX^‹cYZadhjhjVg^dhZcigZh\gjedh!Zc[jcX^‹cYZai^ZbedfjZjhVcZaiZa‚[dcd#
9Z[^cVc igZhi^edhYZjhjVg^dYZaiZa‚[dcdXZajaVg/jcdfjZadjhZbjnedXd!jcdfjZadjhZ
gZ\jaVgnjcdfjZadjhZbjX]d#
6cVa^XZc Va\jcdhYZadheaVcZhfjZXdch^\j^Zgdc#EVgVZaad!]V\VcaVhiVWaVhnaVh\g{ÄXVhfjZ
aZhejZYVcVnjYVg#HVfjZcVa\jcVhXdcXajh^dcZhXdbdaVhh^\j^ZciZh/
6jcVeZghdcVfjZ]VXZiVciVhaaVbVYVhVabZhZc]dgVg^de^XdaZedYg†VXdckZc^gb{hZaeaVciVafjZZa
eaVciVa°
212
220
220
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
AVgZXde^aVX^‹cYZYVidhZhiVY†hi^XdhhZ]V]ZX]dYZhYZadh
Xdb^Zcodh YZ aV X^k^a^oVX^‹c# =VX^V Za VŠd (%%% V#c#Z#!
adhWVW^adc^dhgZXde^aVWVc!ZciVWa^aaVhYZVgX^aaV!YVidhhd"
WgZaVegdYjXX^‹cV\g†XdaV#AdhZ\^eX^dhZhijY^VWVcYVidh
YZaVedWaVX^‹c^cXajhdVciZhYZXdchigj^gaVhe^g{b^YZh#
:ccjZhigdhY†Vh!aVgZXde^aVX^‹cYZYVidhZhiVY†hi^Xdh
VnjYVVZhijY^Vg[Zc‹bZcdhcVijgVaZh!hdX^VaZh!ZXdc‹b^"
Xdh!eda†i^Xdh!W^da‹\^Xdh!ZcigZbjX]dhdigdh#EVgV^ciZg"
egZiVgZhidhYVidh!hZji^a^oVcbZY^YVhXdbdZaegdbZY^d
naVbZY^VcV#EdgZ_Zbead!hZ\cYVidhYZa>C:<>>chi^ijid
CVX^dcVaYZ:hiVY†hi^XV!<Zd\gV[†VZ>c[dgb{i^XV!Zc'%%*!
aVedWaVX^‹cYZ&*VŠdhdb{h]VVegdWVYddX]d\gVYdh
YZZhXdaVg^YVYZcegdbZY^d#
Se le sugiere que en la entrada del bloque presente al estudiante los
temas que se abordarán.
Este bloque aborda de manera importante la parte de las
matemáticas dedicada a la probabilidad y la estadística. Se recomienda
al docente que un estudiante lea en voz alta la introducción del bloque
y que todo el grupo aporte ideas de por qué creen que es importante
la probabilidad y la estadística, y cómo influye en la organización del
mundo actual.
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
BLOQUE V
– Presentar los temas que se verán a lo largo de este bloque.
En este bloque
estudiarás:
™adhVa\dg^ibdhYZVY^X^‹cn
hjhigVXX^‹cYZcbZgdhXdc
h^\cd0
™aVhY^hi^ciVhgZegZhZciVX^dcZhYZ
jcVgZaVX^‹cZcigZXVci^YVYZh/
iVWaVYZYVidh!ZmegZh^‹c
Va\ZWgV^XV!\g{[^XV!Vh†Xdbd
adhk†cXjadhfjZ\jVgYVcZhiVh
gZegZhZciVX^dcZhZcigZh†0
™egdWaZbVhfjZ^bea^fjZcZa
X{aXjadYZ{gZVhYZY^kZghVh
[^\jgVh0
™aVhXdcY^X^dcZheVgVfjZjc
_jZ\dYZVoVghZV_jhid0
™aVhgZaVX^dcZhYZ
egdedgX^dcVa^YVY^ckZghV0
™aVhbZY^YVhYZiZcYZcX^VXZcigVa
nX‹bdhZjhVceVgVXdbeVgVg
ZaXdbedgiVb^ZcidYZYdhd
b{hXdc_jcidhYZYVidh#
1.4. Uso del lenguaje natural para explicar el significado de algunas fórmulas geométricas,
interpretando literales como números generales con los que es posible operar.
0USPTSFDVSTPT
Para apoyar su praxis en relación con el enfoque de la asignatura, le
sugerimos leer:
Luis Miguel García y María Luisa Pérez, Nuestros problemas favoritos
(15 años de la OMM), Olimpiada Mexicana de Matemáticas, 2001.
José Antonio Gómez (editor), Seis años de éxito. Olimpiada de
Matemáticas, 140 problemas, Academia de la Investigación Científica
sitesa, 1993.
213
221
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 9
La suma de dos números enteros de distinto signo es otro número
entero, cuyo valor absoluto es igual a la diferencia entre los valores
absolutos de los sumandos y cuyo signo es el del sumando de mayor
valor absoluto; como caso particular se presenta la suma de dos
números enteros opuestos, cuyo resultado es igual a cero.
Sumar un número entero positivo significa desplazarse hacia la
derecha en la recta numérica, y sumar un número entero negativo
significa desplazarse hacia la izquierda en la recta numérica.
Ejemplo:
1 AViVWaVXdci^ZcZjcgZ\^higd^cXdbeaZidYZaVhXVc^XVhfjZBVg^d\Vc‹neZgY^‹
ZckVg^dheVgi^Ydh#AVhXVc^XVhfjZ\Vc‹hZ^cY^XVcXdccbZgdhedh^i^kdhnaVh
fjZeZgY^‹!XdccZ\Vi^kdh#:hXg^WZadfjZ[VaiV#
Gané 8
Perdí 9
Perdí
Gané
Gané
Perdí 1
Perdí 2
Gané 6
No Gané ni perdí
+8
–9
–5
+4
+5
–1
–2
+6
0
2 BVg^d_jZ\VhZg^ZhYZYdheVgi^Ydh#AVh^\j^ZciZiVWaVbjZhigVadfjZeVh‹ZcXVYV
eVgi^YdnZagZhjaiVYd[^cVa#IVbW^‚c^cY^XVaVdeZgVX^‹cfjZeZgb^iZdWiZcZgZa
gZhjaiVYd[^cVa#
(+a)+(+b)=+(a+b)
+1 +2
0 1
E‚gY^YVhn\VcVcX^Vh
<Vc‚'neZgY†*#6[^cVaYZXjZciVh!ªX‹bdfjZY‚4HVWZghjbVgcbZgdhedh^i^kdhncZ\Vi^kdh
eZgb^iZgZhdakZgcjZkdhegdWaZbVh#
V6cdiVadhYVidhfjZ[VaiVc#
3
(+1)+(2)=+(1+2)
Primer partido
Segundo partido
Resultado final
Operación
Gané 15
Gané 28
Gané 43
(+15) + (+28) = 43
Gané 15
Perdí 28
Perdí 13
(+15) + (–28) = –13
Perdí 35
Gané 13
(–35) + (+13) = –22
(–18) + (–14) = –32
(+27) + (–25) = +2
(–32) + (+25) = –7
Perdí 18
Perdí 14
Perdí 22
Perdí 32
Gané 27
Perdí 25
Gané 2
Gané 25
Gané 14
Perdí 3
(–17) + (+14) = 3
Perdí 32
(+a)+(–b)=–(b–a) si a < b
Perdí 7
WGZhjZakZ/
–3
+1
–2
Perdí 27
0 1
(+1)+(–3)=–(3–1)
( &%213
·( &%27
·( ·&%2– 13
( ·&%2– 7
& ·*2 – 4
·& *24
·& ·*2– 6
& ·*2 – 4
X8dbeVgZcXdcVnjYVYZhjegd[ZhdgVdegd[ZhdgadhgZhjaiVYdh0h^]VnY^[ZgZcX^Vh!VkZg^\“ZcZc
fj‚hZZfj^kdXVgdcnXdgg^_Vc#
3 AZZaVh^\j^ZciZi‚Xc^XVeVgVhjbVgcbZgdhXdch^\cd!XdcZaVedndYZaVgZXiV
cjb‚g^XV#Ji^a^oVaVi‚Xc^XVeVgVgZhdakZgaVhhjbVhfjZVeVgZXZcYZhej‚h#
EVgVhjbVg * ·,/
EVhd&/HZjW^XVZaeg^bZghjbVcYdZcaVgZXiVcjb‚g^XV#
214
222
222
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
EVhd'/H^ZahZ\jcYdhjbVcYdZhedh^i^kd!hZXjZciVc]VX^VaVYZgZX]VaVhjc^YVYZhfjZ
^cY^XVZahZ\jcYdhjbVcYdnhZaaZ\VVagZhjaiVYd#H^ZahZ\jcYdhjbVcYdZhcZ\Vi^kd!hZ
XjZciV]VX^VaV^ofj^ZgYV#
– Suma números con signo.
0USPTSFDVSTPT
Como apoyo al tema de los números con signo, le sugerimos consultar
el libro del maestro publicado por la Secretaría de Educación Pública
sobre didáctica de las matemáticas en:
http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/
orientaciones/libromaestro.pdf
6h†! * ·,2·'
VGZhjZakZ#
' -210
·' -26
·' ·-2– 10
' ·-2– 6
* &%215
·* &%25
·* ·&%2– 15
* ·&%2
–5
:caVZmegZh^‹c·' -!Zaeg^bZgh^\cd¹ º^cY^XVfjZhZigViVYZaVdeZgVX^‹cVY^X^‹c#
:cXVbW^d!ZahZ\jcYdh^\cd¹ º!ZaYZ¹ -º!^cY^XVfjZhZigViVYZjccbZgdedh^i^kd#
AdhcbZgdhedh^i^kdhejZYZcgZegZhZciVghZiVbW^‚ch^cZah^\cd¹ º#EdgadiVcid!
™·' -ZhZfj^kVaZciZV·' -™ ' -ZhZfj^kVaZciZV' ™·'· -ZhZfj^kVaZciZV·'·WGZhjZakZ#
) ·(21
·) (2– 1
·) ·(2– 7
) (27
* ·,2 – 2
·* ·,2 –12
* ,212
·* ,2 2
4 8dbeVgVadhgZhjaiVYdhYZaVhdeZgVX^dcZhXdcadhYZagZhidYZa\gjed#
5 AZZaV^c[dgbVX^‹cnXdbeaZiVaViVWaV#
Número
5
–8
–3
2
4
Opuesto del número
–5
8
–2
Suma del número y de su opuesto
0
0
3
0
–4
0
0
Vª8j{aZhZagZhjaiVYdYZhjbVgjccbZgdnhjdejZhid4 Cero
WªFj‚cbZgdhjbVYdV·*YV%4
5
Xª8j{aZhZadejZhidYZ·*4
DWhZgkVfjZaVhjbVYZjccbZgdXdchjdejZhidZh^\jVaV%#·( (2%
5
5.1. Adición de números con signo.
GZXjZgYV#:adejZhidYZjccbZgdci^ZcZZab^hbdkVadgVWhdajidfjZZacbZgdc!
eZgdY^hi^cidh^\cd#
:adejZhidYZ·(Zh (#:adejZhidYZ (Zh·(
215
223
223
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 9
Se propone al profesor que presente al estudiante la siguiente secuencia
de pasos para realizar sumas de números con signo:
1. Cuando los números enteros tienen el mismo signo, se suman, y
el resultado queda con el mismo signo de los números que fueron
sumados.
Ejemplo:
1 3 5 8 ! 17
positivos
AVhjbVYZcbZgdhXdch^\cd
H^V*aZhjbdjccbZgd!ªejZYZhjXZYZgfjZZagZhjaiVYdhZVbZcdgfjZ*4
1 =Voadh^\j^ZciZ#
V8dbeVgVaVheVgZ_VhYZcbZgdhZhXg^W^ZcYdbVndgfjZdbZcdgfjZ#6ciZh!gZXjZgYV/
positivo
"1 " 3 " 5 " 8 ! "17
negativos
™qVqh^\c^[^XVkVadgVWhdajidYZacbZgdV!ZhYZX^g!^cY^XVhjY^hiVcX^VVaXZgd#AdhkV"
adgZhVWhdajidhh^ZbegZhdcedh^i^kdhdXZgd#
™:cigZb{hVaVYZgZX]VZhi{jccbZgdZcaVgZXiVcjb‚g^XV!bVndgZh#
negativo
2. Cuando los números tienen distinto signo, se resta el menor (en
valor absoluto) al mayor (en valor absoluto), y el resultado lleva el
signo del mayor (en valor absoluto).
Ejemplo: "5 3 ! "2 El resultado es negativo, porque |−5| > |3|
y −5 tiene signo negativo.
5 ("3) ! 2 El resultado es positivo, porque
|5| > |−3| y 5 tiene signo positivo.
Recuerde al estudiante la noción de valor absoluto. Los números +3
y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los
dos números están formados por el mismo número natural, el 3, aunque
con distinto signo. Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3,
y se indica así: |+3| = |−3 | = 3. El valor absoluto de un número entero
es el número natural que sigue al signo y se indica poniendo el número
entero entre barras.
Se sugiere hacerr énfasis en el hecho de que el valor absoluto es una
distancia, y como todas las distancias, es siempre positivo.
·'*
es menor que
(
·*
es menor que
·(
q·'*q
es menor que
q(q
q·*q
es mayor que
q·(q
q ,q
es igual a
,
·&'
es menor que
·.
q&,q
es mayor que
q,q
q·&'q
es mayor que
q·.q
CdiVfjZ·'*ZhbZcdgfjZZacbZgd(!eZgdi^ZcZjckVadgVWhdajidbVndg#
WGZk^hVijhgZhejZhiVhXdcijhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVh#
2 8dcVedndZcaVgZXiVcjb‚g^XV!gZhjZakZaVhh^\j^ZciZhhjbVh#
V' *27
Y·' ·*2–7
\·' *2 3
_ ' ·*2–3
W* *210
Z·* ·*2–10
]·* *2 0
`* ·*20
X( ,210
[·( ·,2–10
^ ·( ,24
a ( ·,2–4
3 GZcZiZXdcjcXdbeVŠZgddXdbeVŠZgVngZVa^XZcadh^\j^ZciZ#
V8dbeVgZchjhgZhjaiVYdhnXdgg^_VcadhZggdgZh#
WDWhZgkZcfjZZcaVhYdheg^bZgVhXdajbcVhadhhjbVcYdhi^ZcZcZab^hbdh^\cdnZcaVhYdh
ai^bVhadhhjbVcYdhi^ZcZch^\cdhY^[ZgZciZh#
X6eVgi^gYZadhgZhjaiVYdhYZaVhhjbVh! ZhXg^WVcjcVi‚Xc^XVfjZeZgb^iVhjbVgcbZgdhXdc
h^\cdhedh^i^kdhncZ\Vi^kdh#6cdiZcaVi‚Xc^XVZchjXjVYZgcd#
216
224
224
Si ambos términos tienen signo igual, se suman y se conserva el mismo signo, si tienen
signos distintos, se le resta el menor al mayor y se conserve el signo del término con el
valor absoluto mayor
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
4 8dcVnjYVYZijegd[Zhdgdegd[ZhdgVnaVeVgi^X^eVX^‹cYZijhXdbeVŠZgVhnXdb"
eVŠZgdh]V\Vcadh^\j^ZciZ/
– Determina el valor absoluto de un número entero.
– Sabe cuál es el número opuesto de un entero.
– Suma números con signo.
V8dbZciZcVa\jcVhYZaVhi‚Xc^XVheVgVhjbVgcbZgdhXdch^\cd#
WAZVcaVh^\j^ZciZi‚Xc^XVeVgVhjbVgcbZgdhXdch^\cd#DWhZgkZch^hZeVgZXZVVa\jcVhYZaVh
fjZjhiZYZhegdejh^Zgdc#
0USPTSFDVSTPT
8Vhd&#AdhYdhhjbVcYdhi^ZcZcZab^hbdh^\cd!edgZ_Zbead!·' ·*#
™ :a kVadg VWhdajid YZa gZhjaiVYd Zh ^\jVa V aV hjbV YZ adh kVadgZh VWhdajidh YZ adh
hjbVcYdh/q·'q q·*q2' *2,#
™ :ah^\cdYZagZhjaiVYdZhZab^hbdfjZZaYZadhhjbVcYdh!ZhYZX^g!ZcZaZ_Zbead!cZ\Vi^kd#
™ :cidcXZh!·' ·*2·,
Le sugerimos recomendar a los estudiantes la siguiente página de
Internet, donde encontrará ejercicios interactivos de valor absoluto:
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/
matematicas/conmates/unid-3/valor_absoluto.htm
8Vhd'#AdhhjbVcYdhi^ZcZch^\cdhY^[ZgZciZh!edgZ_Zbead! ' ·*#
™ :a kVadg VWhdajid YZa gZhjaiVYd Zh ^\jVa V aV Y^[ZgZcX^V ZcigZ adh kVadgZh VWhdajidh/
q·*q·q 'q2*·'2(#
™ :ah^\cdYZagZhjaiVYdZhZab^hbdfjZZafjZi^ZcZZahjbVcYdYZbVndgkVadgVWhdajid!
ZhYZX^g!ZcZaZ_Zbead!Zah^\cdYZ·*!cZ\Vi^kd#
™ :cidcXZh!' ·*2·(#
5 6ea^XVaVi‚Xc^XVVciZg^dgeVgVgZhdakZgaVhh^\j^ZciZhhjbVh#
V&* '(2 38
Y·'#* (#'2 0.7
W·&* ·'(2–38
Z·'#* ·(#'2 –5.7
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_·* ·*2 –10
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10
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1
· ( 2 –1
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)
4
_
_
6 GZhjZakZaVhh^\j^ZciZhZXjVX^dcZhXdcZaegdXZY^b^ZcidfjZifj^ZgVh#
m2
2
Y&' m2% m2
–12
W* m2'
m2
–3
Z·&' m2% m2
12
])*#+ m2+%#,m2
15.1
3
[·* m2% m2
5
^'*#' m2'+
0.8
X·* m2·' m2
\'(,#* m2&%%m2–137.5
m2
7 8dcVnjYVYZijegd[Zhdgdegd[ZhdgV!XdbeVgVijhgZhjaiVYdhXdcadhYZa\gjed#
H^ Zh cZXZhVg^d! ji^a^XZc jcV gZXiV cjb‚g^XV eVgV VednVg hjh gVodcVb^Zcidh#
8dbZciZcadh^\j^ZciZ#
:cZaXdc_jcidYZadhcbZgdhedh^i^kdhnZaXZgd!aVZXjVX^‹c* m2%cdi^ZcZhdajX^‹c#
EZgd!h^hZVŠVYZcadhcbZgdhcZ\Vi^kdh!aVZXjVX^‹ch†i^ZcZjcVhdajX^‹c0‚hiVZh·*#
5.1. Adición de números con signo.
V* m2,
225
217
225
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 9
El estudiante está acostumbrado a que un número se puede restar a otro
sólo si éste es mayor que el primero; en esta lección el alumno verá que
es posible realizar una resta aun cuando el sustraendo sea mayor que el
minuendo; es decir, que una resta se puede realizar con cualquier par de
números con signo.
El estudiante debe observar que restar números con signo es
equivalente a sumar a un número el opuesto de otro, por ejemplo:
5 3 ! 5"# 3
Restar un número entero positivo significa desplazarse hacia la
izquierda en la recta numérica.
1 JhVaVXVaXjaVYdgVeVgVkZg^[^XVgh^aVhh^\j^ZciZhgZhiVhhdcXdggZXiVh!eZgdcd
jhZhaViZXaVYZaVgZhiV#
Resta
2 231 – 975 = 1 356
3 800 – 1 097 = 2 703
$
–4
Resta
5 420 – 856 = 4 564
4 075 – 786 = 3 209
¿Es correcta?
No
Sí
Y^[ZgZcX^V hjhigVZcYd2 b^cjZcYd
*
&*
2 '%
2 6]dgV!Xdcij\gjednXdcaVVnjYVYZijegd[Zhdgdegd[ZhdgV!aZVcaVi‚Xc^XVfjZ
hZegdedcZeVgVgZhdakZgaVgZhiV -··(!jhVcYdaVegde^ZYVYVciZg^dg#9Zh"
ej‚h!gZe^iVcaVi‚Xc^XVXdcjcVdYdhgZhiVhb{h#
0
(+4)–(–2)=4+2=–6
+2
+4
No
Sí
b^cjZcYd·hjhigVZcYd2Y^[ZgZcX^V
'%
·
&*
2
*
Restar un número entero negativo significa desplazarse hacia la
derecha en la recta numérica.
0
¿Es correcta?
EgdWVWaZbZciZjhVhiZaVh^\j^ZciZegde^ZYVY/:cjcVgZhiV!h^hZhjbVaVY^[ZgZcX^VdgZ"
hjaiVYd!XdcZahjhigVZcYd!hZdWi^ZcZZab^cjZcYd#
(–4)–(+2)=–4–2=–6
–2
–6
AVgZhiVYZcbZgdhXdch^\cd
ªHZejZYZgZhiVgjccbZgd\gVcYZYZjccbZgdeZfjZŠd4ª:agZhjaiVYdYZjcVgZhiVejZYZ
hZgbVndgfjZZab^cjZcYd4
># Eg^bZgeVhd/aaVbVg mVaVY^[ZgZcX^V
WjhXVYV#
-··(2m
>># HZ\jcYd eVhd/ Vea^XVg aV egde^ZYVY VciZg^dg#
m ·(2 -
B^cjZcYd·HjhigVZcYd29^[ZgZcX^V
9^[ZgZcX^V HjhigVZcYd2B^cjZcYd
>>>#IZgXZgeVhd/WjhXVgZakVadgYZm!XdcVedndZcaVgZXiVcjb‚g^XV#ªFj‚cbZgdhjbV"
YdV·(YV -4
+6
:hYZX^g!
«GZhiVg -··(Zfj^kVaZVWjhXVgZacbZgdfjZhjbVYdV·(YV -
:caVZmegZh^‹c -··(!Zaeg^bZgh^\cd·^cY^XVfjZhZigViVYZaVdeZgVX^‹chjhigVXX^‹c#
:cXVbW^d!ZahZ\jcYdh^\cd·!ZaYZ·(!^cY^XVfjZhZigViVYZjccbZgdcZ\Vi^kd#
#
218
226
226
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
3 GZcZiZXdcjcXdbeVŠZgddXdbeVŠZgVnji^a^XZcaVi‚Xc^XVVciZg^dgeVgVgZhda"
kZgaVhh^\j^ZciZhgZhiVh#H^adYZhZVc!Ve‹nZchZZcjcVgZXiVcjb‚g^XV#
minuendo – sustraendo =
diferencia
diferencia + sustraendo =
minuendo
(–4) – (–5) = x
x + (–5) = (–4)
(+9) – (+9) = x
x + (+9) = (+9)
(+8) – (–2) = x
(+15) – (–15) = x
(–8) – (+7) = x
(0) – (–9) = x
5–2 =x
2–5 =x
–2 – 5 = x
–2 – (–5) = x
– Resta números con signo.
– Representa una adición o una sustracción en la recta numérica.
diferencia
0USPTSFDVSTPT
x = +1
x=0
x = +10
x = +30
x = –15
x = +9
x=3
x = –3
x = –7
x=3
x + ( –2) = (+8)
x + (–15) = (+15)
x + (+7) = (–8)
x + (–9) = 0
x+2=5
x+5=2
x + 5 = –2
x + (–5) = –2
Se sugiere recomendar al estudiante acceder a la siguiente página
de Internet, donde encontrará ejercicios interactivos sobre suma de
números con signo:
http://www.aaamatematicas.com/add65_x1.htm#section2
4 GZhjZakZadhh^\j^ZciZhegdWaZbVh#
V6cVhVX‹*eZhdhYZhjVaXVcX†VZaajcZh!bZi^‹-eZhdhZabVgiZh!hVX‹igZheZhdhZab^‚gXdaZh!
hVX‹'eZhdhZa_jZkZhnbZi^‹&eZhdZak^ZgcZh#ª6a[^cVaYZaVhZbVcVi^ZcZb{hdbZcdhY^cZgd
ZcaVVaXVcX†VfjZVaeg^cX^e^d4 Menos
ª8j{cidb{hdXj{cidbZcdh4
1 menos
W:cjcVhZg^ZYZ_jZ\dhYZXVc^XVh!EZeZeZgY^‹(XVc^XVh!ajZ\d\Vc‹'najZ\deZgY^‹*#ª8‹bd
fjZY‹EZeZVa[^cVa4 Con 6 canicas menos que al inició
XBVg^d_j\‹YdheVgi^Ydh#:cZaeg^bZgdeZgY^‹igZhXVc^XVh#CdgZXjZgYVX‹bdaZ[jZZcZahZ\jcYd!
5 AZZXVYVegdWaZbVnXdadgZVZagZXjVYgdfjZXdciZc\VaVZmegZh^‹cfjZXdggZh"
edcYZVagZhjaiVYd#
V9dŠVIZgZ\Vhi‹VeZhdhedgaVbVŠVcV#EdgaViVgYZ\Vhi‹WeZhdh#AZfjZYVgdcXeZhdh#ª8j{cid
iZc†VedgaVbVŠVcV4
V W X
X·V W
V·W·X
V W·X
WAViZbeZgVijgVWV_‹V\gVYdhedgaVbVŠVcVnedgaVcdX]ZWV_‹W\gVYdhb{h#ª8j{cidWV_‹Zc
idiVa4
V·W W"V
V W
XBVg^dYZW†VVeZhdh#H^eV\‹WeZhdhZabZheVhVYdnXeZhdhZhiZbZh!ªXj{cidYZWZVc4
V W X
V·W X
V W·X
V·W·X
5.1. Análisis de técnicas para restar números con signo.
eZgdhVWZfjZVXVW‹\VcVcYdjcVXVc^XV#ª8‹bdaZ[jZZcZahZ\jcYdeVgi^Yd4 Ganó 4 canicas
219
227
227
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 9
Un cuadrado semimágico es un arreglo de números dispuestos en un
cuadrado de m casillas de lado, de tal forma que la suma de los números
sea la misma en cada fila y columna del cuadrado.
Un cuadrado mágico es un cuadrado semimágico en el que la suma
de los números en las dos diagonales principales es igual a la suma de los
números de cualquier hilera del cuadrado. En esta lección se presenta
un ejemplo de resolución de problemas por medio de la suma y resta
de números con signo mediante la construcción de algunos cuadrados
mágicos.
El origen de los cuadrados mágicos nos es desconocido. Sabemos
que fueron manejados por los chinos y los hindúes antes de nuestra era,
pero ignoramos todo lo referente a su concepción.
La leyenda dice que en el año 2200 antes de nuestra era (a.n.e.), el
emperador chino Shu vio el cuadrado mágico de 3 × 3 en el caparazón
de una tortuga en el río Lo. Lamentablemente, en nuestros tiempos las
fábricas de tortugas no utilizan estampados tan bonitos.
?jZ\dhXdccbZgdh
HVWZghjbVgngZhiVgcbZgdhedh^i^kdhncZ\Vi^kdhVbea†VaVhedh^W^a^YVYZhYZgZhdakZgegdWaZbVh#
1 ªGZXjZgYVhadhXjVYgVYdhb{\^Xdh4HZaaVbVcVh†edgfjZVahjbVgZc[dgbV]dg^"
odciVa!kZgi^XVadY^V\dcVa!h^ZbegZhZdWi^ZcZZab^hbdgZhjaiVYd#
VGZVa^oVaVhhjbVh]dg^odciVaZh!kZgi^XVaZhnY^V\dcVaZhYZah^\j^ZciZXjVYgVYdb{\^XdnkZg^[^XVfjZ
ZcidYdhadhXVhdhaVhjbVZhXZgd#
=dg^odciVaZh
KZgi^XVaZh
9^V\dcVaZh
(·) &2
(·'·&2 0
( %·(2 0
·' % '2 0
·) % )2 0
·& % &2 0
·& )·(2 0
& '·(2 0
0
WEg^bZgd XdbeaZiV Za XjVYgVYd b{\^Xd n YZhej‚h VcdiV aVh hjbVh ]dg^odciVaZh! kZgi^XVaZh n
Y^V\dcVaZh#:agZhjaiVYdh^ZbegZYZWZhZg·.#CdhZkVaZgZeZi^gcbZgdh#
0
=dg^odciVaZh
–7
0 – 7 – 2 = –9
– 5 – 3 – 1 = –9
– 4 + 1 – 6 = –9
–5
–4
1
KZgi^XVaZh
9^V\dcVaZh
0 – 5 – 4 = –9
– 7 – 3 + 1 = –9
– 2 – 1 – 6 = –9
0 – 3 – 6 = –9
– 2 – 3 – 4 = –9
–6
EgdWVWaZbZciZnViZY^hiZXjZciVYZfjZeVgVZcXdcigVgjccbZgdZcZaXjVYgVYdb{"
\^XdcZXZh^iVhXdcdXZgdigdhYdhcbZgdhfjZZhi‚cZcaVb^hbVa†cZV!nVhZV]dg^odciVa!
kZgi^XVad^cXa^cVYV#EdgZ_Zbead!ZcjcVa†cZVZhi{cadhcbZgdh·'n·&0aVhjbVYZZhdh
YdhcbZgdhXdcZacbZgdfjZ[VaiVYZWZhZg·./
ZhYZX^g!·( 2·.
·' ·& 2·.
ªFj‚cbZgdhjbVYdV·(YV·.4
X=Voadb^hbdfjZZcZa^cX^hdVciZg^dg#:cZhiZXVhdaVhjbVh^ZbegZYZWZhZg(#+#
4.6 –3.2 2.2
–1.2
220
228
228
3.6
5.6
=dg^odciVaZh
4.6 – 3.2 + 2.2 = 3.6
–1.2 + 1.2 + 3.6 = 3.6
0.2 + 5.6 – 2.2 = 3.6
KZgi^XVaZh
9^V\dcVaZh
4.6 – 1.2 + 0.2 = 3.6 4.6 + 1.2 – 2.2 = 3.6
–3.2 + 1.2 + 5.6 = 3.6 2.2 + 1.2 + 0.2 = 3.6
2.2 + 3.6 – 2.2 = 3.6
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
Y=Voadb^hbdfjZZcZa^cX^hdVciZg^dg#:cZhiZXVhdaVhjbVh^ZbegZYZWZhZg ( #
'
=dg^odciVaZh
1
_3
2
_1
4
1
3 3
–_ + 1 + _ = _
4
4 2
_3 + _1 – _1 = _3
2 2 2 2
_1 + 0 + _5 = _3
4
4 2
1
–_
2
0
_5
4
KZgi^XVaZh
1 3 1 3
–_ + _ + _ = _
4 2 4 2
1
3
1+_+0=_
2
2
3
3 _1 _
_
– + 5 =_
4 2 4 2
– Resuelve problemas que implican suma y resta de números con
signo.
– Resuelve y elabora cuadrados mágicos.
9^V\dcVaZh
1
1 5 _
3
=
–_ + _ + _
4 2 4 2
3
3 _1 _
_
– + 5 =_
4 2 4 2
0USPTSFDVSTPT
2 8dcijhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVhnXdcVnjYVYZijegd[Zhdgdegd[ZhdgV!]V\Vc
adh^\j^ZciZ#
VKZg^[^fjZch^eVgVXdbeaZiVgXVYVXjVYgVYdidYdhji^a^oVgdcadhb^hbdhcbZgdh#DgYZcZcadh
cbZgdhYZXVYVXjVYgVYdYZbZcdgVbVndg0YZWZchZgcjZkZcbZgdhncdhZYZWZgZeZi^g
c^c\jcd# Cuadrado 1: –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 cuadrado 2: –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1 1, 0, 11
cuadrado 3: –3.2, –2.2, –1. 2, 0.2, 1.2, 2.2, 3.6, 4.6, 5.6
1 1 3 5 _
3
cuadrado 4: - _, - _, 0, _, _ ,_, 1, _
,
4 4 2 4 4 2
En la siguiente página de Internet encontrará una guía para la
elaboración de cuadrados mágicos, así como datos históricos y
matemáticos sobre ellos:
http://www.geocities.com/cuadradosmagicos/como_hacerlos.htm
IUUQSFEFTDPMBSJMDFFEVNYFEVDPOUJOVBNBUFMVHBSFTNBUFJIUN
2
W8dbegjZWZcfjZaVhdX]dhjbVhYZXVYVXjVYgVYdYVcZagZhjaiVYdfjZhZZhiVWaZX^‹# H^]Vn
ZggdgZh!Xdgg†_Vcadh#
3 :caVh^\j^ZciZZhigZaaVb{\^XV]Voadh^\j^ZciZ/
V6cdiVadhcbZgdhfjZ[VaiVcYZbVcZgVfjZaVhjbVYZXjVigdcbZgdhZca†cZVh^ZbegZhZV
aVb^hbV#CdhZkVaZgZeZi^gcbZgdh#
WJcVkZofjZiZgb^cZh!XdbeVgVijZhigZaaVXdcaVhYZdigdhXdbeVŠZgdheVgVkZgh^Xd^cX^YZc#
3
–1
–4
3
0
2
5.1. Resolución de problemas mediante la suma y la resta de números con signo.
X>ckZciZcjcXjVYgVYdb{\^Xdh^\j^ZcYdZhiVh^cY^XVX^dcZh/
™:hXg^WVc! YZbZcdgVbVndg! cjZkZcbZgdhXdchZXji^kdh0 YZegZ[ZgZcX^VZbe^ZXZcXdcjc
cbZgdcZ\Vi^kd# –4, –5, 0, 1, –3, –7, –6, –1, –2
™6XdbdYZcadhcjZkZcbZgdhZcZaXjVYgVYd#:acbZgdfjZZhi{ZcbZY^dYZaVhZg^ZYZWZ
XdadXVghZZcaVXVh^aaVXZcigVanaVhjbVYZigZhcbZgdhZca†cZVYZWZhZg^\jVaVaig^eaZYZZhiZ
cbZgd#
™KZg^[^fjZcfjZaVhdX]dhjbVhYVcZab^hbdgZhjaiVYd#
221
229
229
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 9
Es muy común en los cursos de secundaria, cuando se aborda la
enseñanza de relaciones, proponer actividades en las que el estudiante
debe tabular la expresión algebraica de una relación y construir la gráfica
correspondiente marcando los puntos de los valores obtenidos. Sin
embargo, no en todos los casos los estudiantes alcanzan a culminar con
éxito la actividad, ni mucho menos tienen la oportunidad de realizar
exploraciones que les permitan desarrollar algunas nociones acerca del
concepto de relación. Esto se debe a diferentes factores. Por ejemplo,
cuando un estudiante trata de tabular una expresión algebraica puede
encontrar problemas si su bagaje aritmético no es el adecuado, y en
consecuencia la construcción de la gráfica correspondiente resulta por
demás imposible. Así que con este tipo de actividad tan común es muy
difícil que el estudiante tenga la oportunidad de realizar exploraciones
que le permitan desarrollar nociones acerca del concepto de relación.
Por eso se sugiere que cuando el estudiante muestre dificultad para
encontrar una regla de correspondencia, tabular una relación o
graficarla, se detecte cuál es el problema, pues de esta forma, si se trata
de una deficiencia aritmética (o algún otro obstáculo), puede buscar
resolverla y continuar con la asimilación del concepto de relación.
IVg^[VhiZaZ[‹c^XVh
AVhiVg^[VhYZiZa‚[dcdhkVg†VchZ\caVXdbeVŠ†VnZai^edYZhZgk^X^dfjZYVc#=VniVg^[VheVgV
aaVbVYVhadXVaZhdYZaVg\VY^hiVcX^V!eVgViZa‚[dcdh[^_dhdXZajaVgZh!eVgViZa‚[dcdheWa^XdhYZ
iVg_ZiVdYZbdcZYVh!ZcigZdigVh#
1 AVhh^\j^ZciZh\g{[^XVhbjZhigVcaVhiVg^[VhYZjcVXdbeVŠ†VfjZd[gZXZY^[ZgZciZh
hZgk^X^dh#8dcWVhZZcaV^c[dgbVX^‹cYZaVh\g{[^XVhgZhedcYZaVhegZ\jciVh#
Tiempo (minutos)
Número de llamadas
Tiempo (minutos)
Tiempo (minutos)
Vª:cfj‚\g{[^XVhZbjZhigVjcViVg^[VZcaVfjZZaXdhidYZaVaaVbVYVcdYZeZcYZYZadhb^cjidh
fjZYjgZ4 En la 3
W9ZaVh\g{[^XVhZcaVhfjZZaXdhidYZeZcYZYZaVYjgVX^‹cYZaVhaaVbVYVh!ªZcXj{aXjZhiVad
b^hbdjcVaaVbVYVYZ&b^cfjZjcVYZ(b^c4 En la 4
222
230
230
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
2 7jhXVZcaVh\g{[^XVhadhYVidhfjZ[VaiVcZcaVhiVWaVhnVc‹iVadh#
Celular a celular
Llamadas locales
Minutos
Costo
($)
Núm. de
llamadas
Costo
($)
Minutos
1
4
2
4
20
150
150
1
20
32
40
5
10
10
5
100
150
8
12.50
5
15.00
6
y = 2.5x
165
y = 4x
si 0 ≤ x ≤ 100,
y = 150
8dciZhiVaVhegZ\jciVhn]VoadfjZhZe^YZ# si x > 100
y = 1.5x
10
110
– Calcula valores faltantes a partir de varias representaciones (gráficas,
tabulares y algebraicas).
– Relaciona las representaciones que corresponden a la misma
situación.
– Identifica relaciones de proporcionalidad directa.
Teléfono público
Costo
($)
Minutos
3
Teléfono fijo a celular
Costo
($)
5
5
4
6
8
10
si 0 ≤ x ≤ 3,
y=5
si x > 3
y=x+2
2
0USPTSFDVSTPT
Se sugiere leer el siguiente libro como apoyo para la enseñanza de las
matemáticas:
K. C. Cole, El universo y la taza de té. Las matemáticas de la verdad y la
belleza,. Barcelona: Ediciones B, 1999.
V:caViVg^[VYZaaVbVYVhadXVaZh!adfjZhZeV\VedgjhVgZaiZa‚[dcdcdZhegdedgX^dcVaVacbZgd
el valor permanece constante
Wª:cXj{aZhYZaVhgZaVX^dcZhVciZg^dgZhadfjZhZeV\VedgZahZgk^X^diZaZ[‹c^Xdh†ZhegdedgX^dcVa
VacbZgdYZb^cjidhfjZhZjhVZaiZa‚[dcd4 En las dos primeras
minutos es constante
el valor de _
costo
ª8‹bdadhVWZh4
X8dch^YZgVaVhYdhgZaVX^dcZhfjZhdcYZegdedgX^dcVa^YVY#GZegZhZciVXdcmZacbZgdYZb^"
cjidhnXdcnZaXdhid# :hXg^WZaVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^VYZXVYVjcVnVc‹iVaVZcaVeVgiZ
^c[Zg^dgYZaViVWaVXdggZhedcY^ZciZ#
4 :c\gjednXdcVnjYVYZijegd[Zhdgdegd[ZhdgV!gZVa^XZcadh^\j^ZciZ/
VGZk^hZcaVhgZhejZhiVhfjZZcXdcigVgdcZcaVhVXi^k^YVYZhVciZg^dgZh#
W8dbeaZiZcaVh^\j^ZciZ^c[dgbVX^‹c/
AV\g{[^XV(Zhi{[dgbVYVedgYdheVgiZh/jcVgZXiV]dg^odciVanjcV^cXa^cVYVZhi{cigVoVYVhXdc
Xdadggd_d#
AVhVWhX^hVhmYZadhejcidhYZaVgZXiV]dg^odciVakVcYZ%V&%%#AVhdgYZcVYVhnYZ
idYdhZhdhejcidhkVaZc&*%!ZhYZX^g!cdYZeZcYZcYZakVadgYZm#
:cidcXZh!eVgVkVadgZhYZmbZcdgZhd^\jVaZhfjZ&%%! aVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^VYZaV
gZaVX^‹cZhn2 150
1.5 x
EVgVkVadgZhYZmbVndgZhfjZ&%%!aVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^VYZaVgZaVX^‹cZhn2
X6cdiZcaVhYdhgZ\aVhYZXdggZhedcYZcX^VYZaVgZaVX^‹cZcigZcbZgdYZb^cjidhYZaaVbVYVh
YZiZa‚[dcdeWa^XdnXdhid\g{[^XV)/
EVgVkVadgZhYZmbZcdgZhd^\jVaZhfjZ(b^c!n2 5
EVgVkVadgZhYZmbVndgZhfjZ(b^c!n2 x + 2
5.2. Cálculo de valores faltantes a partir de varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas). Relación entre
las representaciones que corresponden a la misma situación. Identificación de relaciones de proporcionalidad directa.
YZaaVbVYVh#9VVabZcdhjcVegjZWVYZZaad#Mientras las llamadas aumentan entre 0 y 100,
223
231
231
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 9
En esta lección se expone la manera en que se grafican funciones como
la variación del tiempo, la distancia y la velocidad. Algunos problemas
son fáciles de comprender por los alumnos, como los de velocidades
y compraventa; los que pueden presentar cierta dificultad son los de
inversiones, acertijo y geometría; y los más complejos suelen ser los de
mezclas. Cuando la resolución de problemas de enunciado verbal es
abordada en la forma tradicional, no es común que haya cambios en la
actitud y motivación de los alumnos. Pero cuando se trabaja con ayuda
de la computadora y en equipos, por lo general se aprecian avances
positivos en su actitud y motivación. Es por esto que se recomienda que,
de ser posible, organice al grupo para acceder a la computadora y ver
cómo una función se puede tabular y graficar por este medio.
Los estudiantes mejorarán su capacidad de reflexión,
conceptualización y comprensión de los problemas algebraicos verbales,
puesto que habrá un mejor desempeño en la representación simbólica
del enunciado verbal y en la resolución de las ecuaciones planteadas.
Además, el alumno utilizará con más frecuencia la graficación como un
método alternativo eficaz, el cual a su vez contribuye a la visualización y
validación de la resolución del problema.
I^Zbed!Y^hiVcX^VnkZadX^YVY
ª:cfj‚igVbdZakZ]†Xjad^WVb{hVeg^hV4ª:cfj‚ejcidZmVXidgZWVh‹VdigdkZ]†Xjad4hdc
Va\jcVhYZaVhegZ\jciVhfjZhZejZYZcXdciZhiVgVeVgi^gYZaV\g{[^XVYZjcVgZaVX^‹cZcigZ
Y^hiVcX^Vni^Zbed#
1 AV\g{[^XV&XdggZhedcYZVagZXdgg^YdYZjcig{^aZg!YZa9^hig^id;ZYZgVaVaV8^jYVY
YZBdgZa^V#
:caVW^i{XdgVYZak^V_Z!ZhYZX^g!ZcZa^c[dgbZfjZZaX]d"
[ZgegZhZciVVaVZbegZhVhdWgZZagZXdgg^Yd! hZgZedgiV
adh^\j^ZciZ/
™ HVa†YZa9^hig^id;ZYZgVaZa_jZkZh'*YZbVgodVaVh)/(%
YZaVbVŠVcV#
™ BZYZijkZh‹adYdhkZXZh!aVeg^bZgVZcIdajXV!eVgVXVg\Vg
Y^ZhZanedcZgaVadcV#AVhZ\jcYVZcaVXVhZiVYZXdWgd!
jcedXdVciZhYZ6iaVXdbjaXd!eVgVVabdgoVg#
™ 9ZO^cVe‚XjVgdVBdgZa^VZaXVb^cdZhi{ZcgZeVgVX^‹c#
>ciZgegZiVaV\g{[^XVeVgVXdciZhiVgaVhh^\j^ZciZhegZ\jciVh#
Vª9ZXj{cidh`^a‹bZigdh[jZZagZXdgg^Yd4 de 302 km
Distancia (km)
Wª8j{cidi^ZbedYjg‹idYdZagZXdgg^Yd411 horas,20 min
Xª:cfj‚eVgiZZaig{^aZgVkVco‹b{hg{e^Yd4
De Atlacomulco a Zinapécuaro
Yª:cXj{aVkVco‹b{hYZheVX^d4De Zinapécuaro a Morelia
Zª6fj‚kZadX^YVYegdbZY^dgZXdgg^‹Zaeg^bZgigVbd
YZ+%`b4 A 40 km/h
[ª8j{cidi^ZbedhZYZijkdZaig{^aZgaVeg^bZgVkZo4
1 hora
\ª8j{cidi^ZbedhZYZijkdaVhZ\jcYVkZo4
1.5 horas
]ª6fj‚]dgVaaZ\‹VBdgZa^V4 15:50
Tiempo (h)
2 GZcZiZXdcVa\jcdhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVh#8dbeVgZchjhgZhjaiVYdhnXd"
bZciZcadh^\j^ZciZ/ª8‹bdejZYZVkZg^\jVghZ!VeVgi^gYZaV\g{[^XV!Zcfj‚eVgiZ
Zaig{^aZgVkVco‹b{hg{e^YdnZcXj{ab{hYZheVX^d4
Entre más pronunciada sea la pendiente de la gráfica,
mas rápido avanza el trailer
232
224
232
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
3 AV\g{[^XV'XdggZhedcYZVjceVhZdfjZY^dBVg^d#>ciZgeg‚iVaV!ZhYZX^g!^cY^XV
X‹bd[jZhjbdk^b^ZcidYZhYZfjZZbeZo‹]VhiVfjZiZgb^c‹#
– Calcula valores faltantes a partir de varias representaciones (gráficas,
tabulares y algebraicas).
– Relaciona las representaciones que corresponden a la misma
situación.
– Identifica relaciones de proporcionalidad directa.
se detuvo 20 min y caminó otros
250m en 5min
4 AVhgZXiVhYZaV\g{[^XV(XdggZhedcYZcVabdk^b^Zcid
YZigZhX^Xa^hiVh!6!7n8!fj^ZcZhhVa^ZgdcVab^hbd
i^ZbednYZab^hbdaj\Vg#
Distancia (m)
Caminó los primeros 250m en 5 min
Tiempo (min)
AViVWaVXdci^ZcZaVgZaVX^‹cZcigZaVY^hiVcX^VgZXdgg^YVnZa
i^ZbedYZadhigZhX^Xa^hiVh#
Ciclistas
C
x (min)
0
20
40
60
B
y (km)
0
4
8
12
n2
x/15
A
y (km)
0
8
16
24
n2
2x/5
y (km)
0
12
24
36
n2
Tiempo (min)
3x/5
8dciVgdc]VhiVigZhnhVa^ZgdcXdgg^ZcYd#6adh(%hZ\jcYdh
?jVc!fjZ]VX†VYZ_jZo!aZh\g^i‹«Vaid
AVhYdhgZXiVhYZaV\g{[^XV)YZhXg^WZcaVgZaVX^‹cZcigZZa
i^ZbednaVY^hiVcX^VfjZgZXdgg^ZgdcaVhc^ŠVh# >ciZgegZiVaV
\g{[^XV#
Distancia (m)
5 BVg†VnHdc^V_j\VgdcVkZgfj^‚caaZ\VWVb{haZ_dh
ZcjcVXVggZgVYZ(%hZ\jcYdh#NVfjZBVg†VZhb{h
eZfjZŠV!Hdc^VaVYZ_‹edcZghZ&*bZigdhVYZaVciZ#
María corre desde la posición 15m hasta
la de 21m en 30 seg; Sonia corre desde la
salida hasta los 50m en 30 seg
Tiempo (s)
6 GZcZiZ Zc Zfj^ed! n XdbeVgZc n XdbZciZc hjh gZhejZhiVh#KZVc h^ idYdh
ZcXdcigVgdcfjZ!ZcZaai^bdegdWaZbV!Hdc^VgZWVhVVBVg†V#6kZg^\“Zc!h^cd
ad]Vc]ZX]d!VadhXj{cidhhZ\jcYdhaVgZWVhV# En el segundo 10
5.2. Cálculo de valores faltantes a partir de varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas). Relación entre
las representaciones que corresponden a la misma situación. Identificación de relaciones de proporcionalidad directa.
W:hXg^WZYZWV_dYZXVYVXdajbcVaVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^V
YZXVYVgZaVX^‹c#
Distancia (km)
V6cdiVVfj‚X^Xa^hiVXdggZhedcYZXVYVXdajbcV#
225
233
233
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 9
Cada rama de las matemáticas se ha desarrollado para resolver ciertos
problemas. De esta manera, la geometría evolucionó por la necesidad de
los egipcios de calcular perímetros y áreas de terrenos para determinar
el pago de impuestos, así como la trigonometría por el interés de los
astrónomos de predecir el movimiento de los cuerpos celestes. El
concepto de relación fue impulsado principalmente por la física, ya que
al intentar describir el movimiento de ciertos objetos, se estableció la
relación entre la distancia que cubre el objeto y el tiempo que está en
movimiento.
Se recomienda que pida a los estudiantes efectuar las siguientes
actividades por equipos:
– Construye una gráfica que relacione la edad con el peso
correspondiente en cada momento y otra gráfica que relacione la
edad con la estatura.
– Traza una gráfica que relacione los meses del año con el número
de horas de luz diurna en cada uno.
– Traza una gráfica que relacione las horas del día con la
temperatura correspondiente en cada una.
– Traza una gráfica que relacione la longitud del lado de un
cuadrado con el perímetro correspondiente.
– Traza una gráfica que relacione la longitud del lado de un
cuadrado con su área.
IVWaVhYZkVadgZhn\g{[^XVh
AVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^V!aViVWaVYZkVadgZhnaV\g{[^XVhdcigZhbVcZgVhYZZmegZhVgjcV
gZaVX^‹cZcigZYdhXdc_jcidhYZXVci^YVYZh#6eVgi^gYZjcVYZZaaVhejZYZhXdcdXZgaVhdigVhYdh#
1 6cVa^oVaVgZaVX^‹cfjZZm^hiZZcigZadhXdc_jcidhYZXVci^YVYZhYZXVYViVWaVn
]VoadfjZhZ^cY^XV#
Tabla 1
y=x+2
x
0
1
2
3
y
2
3
4
5
x
0
1
2
3
Tabla 2
Tabla 3
y = 3x
y = 2x + 1
y
0
3
6
9
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
V6cdiVadhcbZgdhfjZ[VaiVcZcaViVWaV&#
W8dbeaZiVXdceVaVWgVhaVhgZ\aVhYZXdggZhedcYZcX^VYZaVhiVWaVh'n(/
™IVWaV'#8jVafj^ZgkVadgnYZahZ\jcYdXdc_jcidZh^\jVaV Al triple dx
™IVWaV(#8jVafj^ZgkVadgnYZahZ\jcYdXdc_jcidZh^\jVaV 1 más el doble de x
X6cdiVZcadhZheVX^dhXdggZhedcY^ZciZhYZaVhiVWaVh'n(aVhgZ\aVhYZXdggZhedcYZcX^V#
Yª:cXj{aiVWaVadhXdc_jcidhYZXVci^YVYZhhdcegdedgX^dcVaZh4 En la 2
2 :c Za eaVcd XVgiZh^Vcd hZ gZegZhZciVgdc Va\jcdh eVgZh YZ XddgYZcVYVh YZ
aV iVWaV ( n hZ jc^Zgdc Xdc jcV gZXiV# :hiV gZXiV Zh aV \g{[^XV YZ aV gZ\aV YZ
XdggZhedcYZcX^V/ y = 2x + 1
V =Voadb^hbdXdcVa\jcdheVgZhYZXddgYZ"
cVYVhYZaViVWaV&nYZhej‚hXdcVa\jcdhYZaV
iVWaV'#IgVoVaVhgZXiVhXdcXdadgZhY^[ZgZciZh#
W9ZaVhigZhgZXiVhigVoVYVh!]VnjcVfjZeVhVedg
Zadg^\Zc#
ª6fj‚iVWaVXdggZhedcYZ4 A la tabla 2
ª8j{aZhaVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^V4
y = 3x
3 8dcWVhZZcaVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^Vn2'm·*!]Voadh^\j^ZciZ/
V8dbeaZiVaViVWaV)#EVgV]VXZgad!i^ZcZhfjZYVgaZkVadgZhVaVkVg^VWaZmnZc[jcX^‹cYZZhidh
kVadgZhdWi^ZcZhadhYZaVkVg^VWaZn#EdgZ_Zbead!h^mkVaZ&!n2'&·*2'·*2·(#
226
234
234
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
WGZegZhZciVZcZaeaVcdXVgiZh^VcdVa\jcdheVgZhYZXddgYZcVYVhnigVoVaV\g{[^XVeVgVZhVgZ\aV
YZXdggZhedcYZcX^V#
– Analiza la relación entre la regla de correspondencia, la tabla de
valores y la gráfica de una relación.
Tabla 4
y = 2x - 5
x
1
y
-3
0
2
–1
–5
–1
–7
0USPTSFDVSTPT
En la siguiente página encontrará más información respecto de tablas de
valores y gráficas de relaciones:
http://iesmonterroso.org/dmatematicas/programa/pprograma/
4esob/funciones.htm
4 8dcWVhZZcaV\g{[^XVfjZhZbjZhigVZchZ\j^YV!ZaVWdgVaViVWaV*YZkVadgZhn
ZcXjZcigVaVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^V#
Tabla 5
x
y
–6
–2
–1
0
1
2
–8
0
2
4
6
8
5 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgV]V\Vcadh^\j^ZciZ/
V8dbeVgZchjhgZhjaiVYdhZcigZidYdZa\gjed#
W8dbZciZcadh^\j^ZciZ/aVhgZ\aVhYZXdggZhedcYZcX^VfjZ]VcZhijY^VYdi^ZcZcZhiV[dgbV\Z"
cZgVa/n2bm W#EdgZ_Zbead!ZcaVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^Vn2'm·*!bkVaZ'nWkVaZ
·*#DWhZgkZcfjZZakVadgYZWZhZaejcidYdcYZaVgZXiVXdgiVZaZ_ZkZgi^XVa#
X:hXg^WVcVa\jcVhgZ\aVhZcaVhfjZWhZV^\jVaV%#8dbegjZWZcfjZadhXdc_jcidhYZXVci^YVYZh
fjZhZdWi^ZcZcXdcZhVhgZ\aVhhdcegdedgX^dcVaZh# y = –2x, y = 15x, y = 100x
6 GZhjZakZZaVcZmd+YZaVhe{\^cVh !"V !##
I:8CDAD<Ï6
5.2 Análisis de la relación entre la regla de correspondencia, la tabla de valores y la gráfica.
y = 2x + 4
227
235
235
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 9
Se propone aprovechar esta lección para hacer énfasis en que el área de
una figura plana no depende de su perímetro; como apoyo para este
objetivo, se recomienda la siguiente actividad.
Los alumnos forman diferentes figuras con cinco cuadrados, calculan
los perímetros y el área de cada una de las figuras.
1. Se muestra a los alumnos una figura formada por cinco cuadrados
mínimo, y calcular su área.
Después de que los alumnos hayan terminado, se les puede hacer ver
que existen figuras con perímetros diferentes pero igual área; es decir, el
perímetro de una figura no depende de su área.
9^hZŠdh
6aXdbeVgVghjeZg[^X^Zh!VkZXZhaVeZgXZeX^‹ck^hjVaVnjYVndigVh°«Zc\VŠV
1 DWhZgkVadhhZ^hY^hZŠdhn!h^c]VXZgX{aXjadhZhXg^idh!XdciZhiVaVhegZ\jciVhYZ
aVh^\j^ZciZe{\^cV#
6
7
8
228
236
236
9
: 7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
;
– Resuelve problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas
figuras planas.
0USPTSFDVSTPT
Se sugiere consultar, como guía para construcciones y trazos
geométricos, el siguiente libro:
J. Álvarez, J. L. Casado y M. D. Gómez, Dibujo técnico, Ediciones SM,
Madrid, 1997.
Vª:cXj{aYZadhY^hZŠdhaVeVgiZgd_VZhbZcdgfjZaVVoja4 En ninguno
Wª:cXj{aaVeVgiZVojaZhbZcdgfjZaVgd_V4 En B,D,E y F
Xª:cXj{aZhaVeVgiZVojaZh^\jVaVaVgd_V4
En A y en C
Diseño
Área roja
Área azul
Área total
A
18 cm2
20 cm2
18 cm2
20.6 cm2
19.3 cm2
20.5 cm2
18 cm2
16 cm2
18 cm2
15.4 cm2
16.7 cm2
15.5 cm2
18 cm2
36 cm2
36 cm2
36 cm2
36 cm2
36 cm2
B
C
D
E
F
3 8dbeVgVijhegdXZY^b^ZcidhngZhjaiVYdhXdcdigdhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVh
YZa\gjed#:mea^fjZcX‹bdad\gVgdcXdbeVgVgaVhhjeZg[^X^Zhh^c]VXZgX{aXjadh
ZhXg^idh!ZcadhXVhdhZcfjZad]VnVcad\gVYd#
4 :aVWdgVjcY^hZŠd!Y^[ZgZciZYZadhVciZg^dgZh!ZcZafjZaVeVgiZgd_VhZV^\jVaVaV
VojandigdZcZafjZaVgd_VhZVbZcdgfjZaVVoja#JhVij_jZ\dYZ\ZdbZig†V#
Respuesta libre
5.3. Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas figuras planas.
2 EVgVkZg^[^XVgijhVci^X^eVX^dcZh!XVaXjaVnVcdiVadhYVidhfjZhZe^YZcZcaViVWaV#
229
237
237
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
La siguiente actividad vincula el perímetro de una figura geométrica con
las ecuaciones.
Actividad:
Dados dos números positivos s y p, busquen un rectángulo de
perímetro 2s cm y área p cm2 para los siguientes valores de s y p:
s = 15 y p = 36
s = 41 y p = 402
s = 39 y p = 402
A partir del enunciado anterior, en principio es conveniente
organizar la clase de modo que puedan formarse al menos seis grupos
de alumnos, con el fin de que cada uno reciba un par de valores y por lo
menos dos grupos distintos trabajen con el mismo par. Esto permitirá,
durante la puesta en común, la confrontación de procedimientos
y resultados por parte de cada grupo, para continuar luego con la
elaboración de conclusiones en conjunto y el reconocimiento de los
nuevos conocimientos enseñados.
Los valores de s y p han sido seleccionados de modo tal que el
problema tenga una solución entera (a), una solución irracional (b)
y una sin solución (c). Por otra parte, la elección de valores enteros se
realizó con el propósito de facilitar la tarea de los alumnos en el sentido
de que la complejidad del cálculo no desvíe el objetivo central del
problema.
La respuesta al inciso a) puede lograrse por medio de muy pocos
intentos numéricos (tanteo). Es decir, buscar valores para x y y tales que
su suma sea 15, calcular su producto y compararlo con 36. Para resolver
el inciso b), los alumnos deberán formular o reformular el problema en el
marco algebraico 2x + 2y = 2s; (x) – (y) = p, o bien, x + y = s; (x) – (y) = p.
Después de una etapa de familiarización que permita a los alumnos
darse cuenta de que no es posible encontrar la solución por tanteo,
pueden desplegar distintos procedimientos, como por ejemplo, dibujar
varios rectángulos de perímetro 41 y calcular su área, u organizar
sus resultados en una tabla de cuatro columnas: x, y, x + y, (x) (y),
buscando el valor 402 en la última columna. Pronto constatarán que no
es posible encontrar ese número.
Si los alumnos trabajan únicamente con valores enteros de x y de
y, pueden pensar que el problema no tiene solución, dado que en este
caso no es posible encontrar valores que verifiquen las condiciones del
238
Lección
Lección100
100
9^bZch^dcZhYZhXdcdX^YVh
8jVcYdhZXdcdXZcaVhbZY^YVhYZVa\jcVhY^bZch^dcZhYZjcV[^\jgVhZejZYZXVaXjaVghj{gZVn
hjeZg†bZigd#ªHVW†VhfjZiVbW^‚chZejZYZ]VXZgad^ckZghd!ZhYZX^g!hZejZYZXVaXjaVgaVbZY^YV
YZjcVY^bZch^‹ch^hZXdcdXZZa{gZVdZaeZg†bZigdnaVbZY^YVYZdigVhY^bZch^dcZh4
1 GZhjZakZadhh^\j^ZciZhegdWaZbVh#EVgVZaad!eaVciZVjcVZXjVX^‹cXdbdaVhfjZ
VegZcY^hiZZcaVhaZXX^dcZh*'V*+ngZhj‚akZaV#DWhZgkVZaZ_Zbead#
V9dŠVAj^hVejhda^hi‹cVagZYZYdgYZ
jceVŠjZadXjVYgVYd# DXje‹&#+b#
ª8j{cidb^YZZaaVYdYZaeVŠjZad4
WJcXdgiZgZXiVc\jaVgYZiZaVb^YZ(%b
YZ aVg\d n i^ZcZ jc {gZV YZ &* b '#
ª8j{cidb^YZYZVcX]d4
H^mgZegZhZciVZaaVYdYZaeVŠjZad!aV
ZXjVX^‹cZh/
:XjVX^‹c/
30x = 15
)m2&#+
x = 0.5m
m2 &#+
)
m2%#)b
Mide 0.5m de ancho
HdajX^‹c/8VYVaVYdb^YZ%#)b#
HdajX^‹c/
Xª8j{aZhaVVaijgVYZjcgdbWd^YZfjZ
i^ZcZjc{gZVYZ&+Xb'njcVWVhZ
YZ)Xb4
Y:aeZg†bZigdYZjcgZXi{c\jadb^YZ
.XbnZaaVg\db^YZ(Xb# ª8j{cid
b^YZZaVcX]d4
:XjVX^‹c/
:XjVX^‹c/
4x = 16
x = 4cm
HdajX^‹c/ Su altura es de 4 cm
2(3 + x) = 9
x = 1.5cm
HdajX^‹c/ El ancho mide 1.5 cm
2 8dbeVgVXdcijhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVhYZ\gjedaVhZXjVX^dcZhfjZXVYV
jcdeaVciZ‹#GZk^hZcX‹bdaVhgZhdak^Zgdc#
230
238
problema. Sería necesario que usted propicie el trabajo con números
decimales a partir de preguntas tales como: ¿existe algún rectángulo
tal que las medidas de sus lados estén comprendidas entre los pares
considerados? Las sucesivas aproximaciones decimales permitirán
concluir que no es posible “llegar exactamente a 402”, y ésta es la forma
adecuada para introducir (o profundizar en) la noción intuitiva de
número irracional. La utilización de calculadoras científicas facilita la
tarea de los alumnos.
También es posible que los alumnos dibujen varios rectángulos de
perímetro 41 por el método de compensación, que es adecuado para
trabajar la propiedad: entre todos los rectángulos de igual perímetro, el
cuadrado es el de mayor área.
Asimismo, pueden representar gráficamente ambas ecuaciones e
intentar aproximarse a las condiciones bajo las cuales ambas gráficas
se intersecan. De no suceder, resultaría interesante proponer este
trabajo. En el caso del inciso c), los intentos numéricos y gráficos no
permiten que los alumnos determinen el rectángulo. Esta vez no hay
puntos comunes en las gráficas de ambas ecuaciones: todos los pares
que verifican x + y = 39 son menores que 402, incluso en el caso del
cuadrado.
Resultaría conveniente preguntar si es posible encontrar un
rectángulo de igual perímetro que el de un cuadrado y cuya área sea
mayor.
3 :cadhh^\j^ZciZhegdWaZbVhiVbW^‚ci^ZcZhfjZXVaXjaVgVa\jcVYZaVhbZY^YVh
YZjcV[^\jgV!eZgdV]dgVcdZhcZXZhVg^dfjZeaVciZZhjcVZXjVX^‹c0gZhj‚akZadh
XdcZaegdXZY^b^ZcidfjZegZ[^ZgVh#
Vª8j{cidb^YZXVYVaVYdYZjck^Yg^dXjVYgVYdXdcjc{gZVYZ'#'*b'4
GZhejZhiV/
1.5 m
WHZkVVXZgXVgXdcWVgVcYVajc_VgY†cXjVYgVYdXjnV{gZVZhYZ).b'#H‹adhZcZXZh^iVXZgXVeVgV
YdhaVYdhedgfjZZcadhdigdhYdh]Vnjcbjgd#H^Za]ZggZgdXdWgV'%%ZabZigdYZWVgVcYVa!
ªXj{cidhZaZYZWZeV\Vg4
GZhejZhiV/
$2,800
XJcig^{c\jadb^YZ*%Xb'YZ{gZV#H^aVWVhZb^YZ&%Xb!ªXj{cidb^YZaVVaijgV4
GZhejZhiV/
10 cm
YHZi^ZcZjcXjVYgVYdXdbdZah^\j^ZciZ/
H^hZVjbZciVXVYVaVYdVaYdWaZ!hjeZg†bZigdZh,'Xb#ª8j{aZhZakVadgYZm4
9cm
ZAVadc\^ijYYZjciZggZcdgZXiVc\jaVgZhZaig^eaZYZhjVcX]d0h^hjeZg†bZigdb^YZ-%b!ªXj{aZh
hdchjhY^bZch^dcZh4
GZhejZhiV/
largo = 30m ancho = 10m
[ HZi^ZcZaVh^\j^ZciZ^c[dgbVX^‹cYZjcYZeVgiVbZcidgZXiVc\jaVg/hj{gZVZhYZ+%b'0iVcidaV
bZY^YVYZaaVg\dXdbdaVYZaVcX]dhdcbZigdhXdbeaZidh#ª8j{aZhejZYZchZghjhY^bZch^dcZh4
:cXjZcigVidYVhaVhgZhejZhiVhnhjWgVnVaVhfjZhdcb{hegdWVWaZheVgVjcYZeVgiVbZcid#
GZhejZhiVh/ 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10
4 8dbZciVnXdbeVgVijhgZhjaiVYdhnegdXZY^b^ZcidhXdcijhXdbeVŠZgVhnXdbeV"
ŠZgdhYZ\gjed#
5.3. Resolución de problemas del cálculo de perímetros
y áreas y su vinculación con el tema de ecuaciones.
GZhejZhiV/
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
– Resuelve problemas de cálculo de perímetros y áreas involucrando
ecuaciones algebraicas.
231
239
239
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 101
100
En esta lección se sugiere retomar lo estudiado en lecciones anteriores
respecto de la proporcionalidad. Es conveniente inducir al estudiante
a inferir la relación que hay entre la forma, el perímetro y el área de
triángulos, cuadriláteros y polígonos de más de cuatro lados.
El área y el perímetro de una figura geométrica son un claro ejemplo
de una relación que no es de proporcionalidad, ya que no depende un
dato del otro.
La transición de la aritmética al álgebra enfrenta a los estudiantes con
nuevos conceptos y demanda la adquisición de nuevas habilidades, de
tal modo que en esa transición surgen diversos retos y dificultades. Por
esta razón se le recomienda a usted que integre el enfoque geométrico
al enfoque algebraico bajo la forma de “acertijos”, que consisten en
“adivinar” cuáles deben ser las medidas de una figura para obtener un
área o un perímetro dados.
ÍgZVhnkVg^VX^‹c
8jVcYdaVhbZY^YVhYZadhaVYdhYZjcXjVYgVYdVjbZciVcVaYdWaZ!ªZa{gZViVbW^‚cVjbZciVVa
YdWaZ4!ªnZaeZg†bZigd4
1 8dbeaZiVaViVWaVngZhedcYZ#
V Adh eZg†bZigdh YZ kVg^dh XjVYgVYdh ªhdc
egdedgX^dcVaZhVaVhbZY^YVhYZadhaVYdhYZ
ZhdhXjVYgVYdh4
Cuadrado
Medida de un
lado (cm)
Perímetro
(cm)
0
0
4 cm
8 cm
12 cm
16 cm
20 cm
24 cm
28 cm
1
2
3
4
5
6
7
YªEdgfj‚4
Área (cm2)
0
1 cm2
4 cm2
9 cm2
16 cm2
25 cm2
36 cm2
49 cm2
Sí
W ªEdgfj‚4 Porque si el lado aumenta, el
perímetro aumenta proporcionalmente
X ªAVh{gZVhYZkVg^dhXjVYgVYdhhdcegdedgX^d"
cVaZhVaVhbZY^YVhYZadhaVYdh4 No
área
no es constante
Porque _
lado
2 8dch^YZgV&%gZXi{c\jadhXdcZhiVhXVgVXiZg†hi^XVh/idYdhi^ZcZcjcaVYdYZ(Xb#
:adigdaVYdb^YZ!ZcZaeg^bZggZXi{c\jad!&Xb0ZcZahZ\jcYd!'Xb0ZcZaiZgXZ"
gd!(Xb0nVh†hjXZh^kVbZciZ]VhiVaaZ\VgV&%Xb#6Xdci^cjVX^‹cVeVgZXZcadh
eg^bZgdhXjVigdgZXi{c\jadh/
V8dbeaZiVaViVWaV#
Base (cm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Perímetro (cm)
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Área (cm2)
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
W8dciZhiV/
™ 8jVcYdjcaVYdYZjcgZXi{c\jadZh[^_dnZadigdkVg^VWaZ!ªadheZg†bZigdhYZadhgZXi{c\jadh
fjZhZkVcdWiZc^ZcYdhdcegdedgX^dcVaZhVaVhbZY^YVhYZaaVYdkVg^VWaZ4
232
240
240
No
ª8‹bdadhVWZh4 Porque mientras la base aumenta, la altura permanece
constante
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
™ ªAVh{gZVhYZadhgZXi{c\jadhhdcegdedgX^dcVaZhVaVhbZY^YVhYZaaVYdkVg^VWaZ4 Si
área
no es constante
ª8‹bdadhVWZh4 lado
_
– Resuelve problemas de cálculo de perímetros y áreas vinculados con
variación proporcional.
– Comprende cuándo una relación es proporcional o no proporcional.
3 8dbeVgVijhgZhejZhiVhXdcaVhYZijhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVhnXdbZciVXdc
ZaadhX‹bdaVhdWijk^hiZ#
4 8dch^YZgVadhig^{c\jadh678!679!67:n67;#
C
D
E
F
A
B
V8dbeaZiVaViVWaV!eVgVZaadb^YZadfjZhZVcZXZhVg^d#
Triángulo
Base
Altura
Perímetro
Área
ABC
7. 85 cm
7. 85 cm
7. 85 cm
7. 85 cm
4. 5 cm
4. 5 cm
4. 5 cm
4. 5 cm
20. 35 cm
19. 95 cm
20. 05 cm
21. 35 cm
17. 66 cm2
17. 66 cm2
17. 66 cm2
17. 66 cm2
ABD
ABE
ABF
5 HZigVoVceda†\dcdhgZ\jaVgZhXdcY^[ZgZciZcbZgdYZaVYdheZgdXdchZgkVcYd
h^ZbegZaVbZY^YVYZhjhaVYdh/'#*Xb#8dbeaZiVaViVWaVnYZiZgb^cVh^ZaeZg†"
bZigdZhegdedgX^dcVaVacbZgdYZaVYdh#
Número de lados
Perímetro
3
1. 5 cm
10 cm
17. 5 cm
25 cm
37. 5 cm
50 cm
4
7
10
15
20
El perímetro sí
es prorpocional
6 8dbeVgVXdcijhXdbeVŠZgVhnXdbeVŠZgdhijhgZhejZhiVhYZaVhVXi^k^YVYZh)n*#
5.3. Resolución de problemas del cálculo de perímetros
y áreas y su vinculación con el tema de variación proporcional.
W:caV[^\jgVigVoVdigdhYdhig^{c\jadhfjZXjbeaVcXdcadh^\j^ZciZ/
™YZWZciZcZgaVb^hbV{gZVfjZadhVciZg^dgZh0
™ZaeZg†bZigdYZjcdYZadhig^{c\jadhYZWZhZgbZcdgfjZZaeZg†bZigdYZadhfjZnVZhi{cn
ZaYZadigdYZWZhZgbVndg#
233
241
241
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 102
101
Aplicamos la probabilidad a casi todas las decisiones conscientes que
tomamos. La ropa que nos ponemos depende de nuestra apreciación
del tiempo atmosférico; cuando atravesamos una calle, nos aseguramos
de que la probabilidad de chocar con un vehículo sea aceptablemente
pequeña; se compran bombillas “por si acaso”; en el sector de los
seguros en su conjunto, ya sean de vida, de determinadas posesiones u
otros, todo se basa en valoraciones de los riesgos. Si los seres humanos
no hubiesen sido capaces de manejar intuitivamente y de forma natural
muchas ideas en las que interviene la probabilidad, nuestra civilización
nunca hubiese podido evolucionar.
En los juegos de azar la probabilidad desempeña una función
principal. Se sugiere que inicie en el grupo una discusión respecto de los
juegos de azar que los alumnos conocen, cuáles son equitativos y cuáles
no lo son.
?jZ\dhZfj^iVi^kdh>
6a\jcdh_jZ\dhYZVoVghdcY^kZgi^Ydh!eZgd]VnfjZiZcZgXj^YVYdedgfjZaVegdWVW^a^YVYYZ
eZgYZgejZYZhZgbVndgfjZaVegdWVW^a^YVYYZ\VcVg#
1 GZcZiZXdcdigdhYdhXdbeVŠZgdhdXdbeVŠZgVheVgV_j\VgVaVcoVgYdhYVYdh#
8VYVjcdYZWZZhXd\ZgjcVYZaVhh^\j^ZciZhdeX^dcZheVgV\VcVg/
™fjZadhYdhYVYdhXV^\VcZccbZgdeVg!
™fjZadhYdhYVYdhXV^\VcZccbZgd^beVg!
™fjZjcYVYdXV^\VZccbZgdeVgnZadigd^beVg#
6ciZhYZZbeZoVgV_j\Vg/
VY^hXjiVch^Za_jZ\dZhZfj^iVi^kd!ZhYZX^g!h^aVhigZhdeX^dcZhi^ZcZc^\jVaegdWVW^a^YVYYZ\VcVg0
WXVYVjcdZa^_VjcVdeX^‹cYZ\VcVg0
X]V\VcZchjXjVYZgcdjcViVWaVXdbdaVh^\j^ZciZeVgVgZ\^higVgadhgZhjaiVYdh#
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Número esperado
de veces
Un par y un impar
15
15
30
. 25
. 25
. 5
Total
60
1
15
15
30
60
Recuento
Dos números pares
Dos números impares
respuesta
variable
Y:acbZgdidiVaYZkZXZhfjZkVcVaVcoVgadhYVYdhZh+%# ª8j{ciVhkZXZhZheZgVcfjZXV^\Vc
YdhcbZgdheVgZhnYdhcbZgdh^beVgZh4ª8j{ciVhkZXZhjceVgnjc^beVg46ciZhYZZbeZ"
oVgV_j\Vg!VcdiZcZhidhcbZgdhZcaVfj^ciVXdajbcVYZaViVWaV#
Z:caVXdajbcVYZGZXjZcidedc\VcbVgXVh!fjZejZYZcV\gjeVgYZX^cXdZcX^cXd0Vh†$$$$#AV
[gZXjZcX^VVWhdajiVZhZacbZgdYZbVgXVhnaV[gZXjZcX^VgZaVi^kV!ZacbZgdYZbVgXVhZcigZ
ZaidiVaYZaVcoVb^Zcidh#
6]dgVh†!«V_j\Vg
2 8dcVnjYVYZaYdXZciZ!XdcXZcigZcadhgZhjaiVYdhYZa\gjedZcjcViVWaVfjZY^"
Wj_ZcZcZae^oVgg‹c#9Zhej‚hXdbZciZcaVhh^\j^ZciZhegZ\jciVh#
No
Vª8dch^YZgVcfjZZa_jZ\dZhZfj^iVi^kd4
ªEdgfj‚4
relativa del tercer caso, es el doble de cada una de las otras
234
242
242
Porque la frecuencia
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
W9ZVXjZgYdXdcadhgZhjaiVYdhYZaViVWaV/
™ª8j{aZhaV[gZXjZcX^VgZaVi^kVYZahjXZhd¹YdhcbZgdheVgZhº4
0. 25
– Reconoce cuándo un juego de azar es equitativo y cuándo no lo es.
™ª8j{aZhaV[gZXjZcX^VgZaVi^kVYZahjXZhd¹YdhcbZgdh^beVgZhº4
0 .25
0. 50
0USPTSFDVSTPT
™ª8j{aZhaV[gZXjZcX^VgZaVi^kVYZahjXZhd¹jceVgnjc^beVgº4
Se sugiere al profesor leer el siguiente libro, en el que se expone de
forma amena una introducción a la probabilidad:
John Haigh, Matemáticas y juegos de azar, Editorial Metatemas,
Barcelona, 2003.
3 8dbeaZiVaViVWaVeVgVfjZejZYVhdWhZgkVgadh(+gZhjaiVYdhedh^WaZhYZaZmeZ"
g^bZcidfjZXdch^hiZZcaVcoVgYdhYVYdh#9Zhej‚hXdciZhiVaVhegZ\jciVh#
V9Zadh(+gZhjaiVYdhedh^WaZh/
™ª8j{cidhXdggZhedcYZcVYdhcbZgdheVgZh4
™ª8j{cidhXdggZhedcYZcVYdhcbZgdh^beVgZh4
™ª8j{cidhXdggZhedcYZcVjceVgnjc^beVg4
18
1
2
3
4
5
6
9
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
9
3
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)(3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)(5,6)
(6,1) (6,2) (6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
4
5
6
Wª8j{aZhaVegdWVW^a^YVYiZ‹g^XVYZahjXZhd¹YdhcbZgdheVgZhº4H^cdgZXjZgYVhadfjZh^\c^[^XV¹egd"
WVW^a^YVYiZ‹g^XVº!XdchjaiVaVaZXX^‹c,(!¹AVbZY^YVYZadegdWVWaZ#º
XªNYZahjXZhd¹YdhcbZgdh^beVgZhº4
YªNYZahjXZhd¹jceVgnjc^beVgº4
0. 25, 15, 30, 60,
0. 25
0. 5
Z:mea^XVedgfj‚Za_jZ\dfjZgZVa^oVhiZXdcijhYdhXdbeVŠZgdhdXdbeVŠZgVhcdZhZfj^iVi^kd/
Porque la probabilidad teórica de los tres casos no es la misma
4 8dcVnjYVYZijegd[Zhdgdegd[ZhdgV!XdbeVgZcZc\gjedadhgZhjaiVYdhYZaV
VXi^k^YVY(#
5 ?jcidXdcjcXdbeVŠZgddXdbeVŠZgVgZVa^oVadh^\j^ZciZ#
VIgVXZcZchjXjVYZgcdjcViVWaVXdbdaVYZaVe{\^cVVciZg^dg!eZgdXdch^YZgVcYdh‹adYdhhj"
XZhdh/¹aVhjbVZhjccbZgdeVgºn¹aVhjbVZhjccbZgd^beVgº#
W8VYVjcdZa^_VjcdYZadhhjXZhdh/aVcXZcadhYVYdh+%kZXZhngZ\^higZcadhgZhjaiVYdhZcaViVWaV#
X9ZiZgb^cZch^Za_jZ\dZhZfj^iVi^kdnZmea^fjZcedgfj‚/ Sí, porque la frecuencia relativa
teórica es igual en los dos casos
5.4. Reconocimiento de juegos equitativos y no equitativos.
235
243
243
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 103
102
En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar
los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un
número, con el fin de poder realizar un estudio matemático.
Ejemplos:
r Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar
tres monedas; supongamos que a cada elemento de su espacio
muestral E ={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx} le asignamos un
número real, el correspondiente al número de caras (discreta).
r Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar
tres monedas; supongamos que a cada elemento de su espacio
muestral E ={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx} le asignamos un
número real, el correspondiente al número de caras (discreta).
r Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos
dados; podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos
aparecidos en cada dado (discreta).
r Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar a 500
personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona
con su talla es una variable aleatoria (continua).
r Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100
sandías de una plantación y pesarlas. La ley que asocia a cada
sandía con su peso es una variable aleatoria (continua).
Se recomienda al profesor pedir a los alumnos dar más ejemplos de
eventos en los cuales sería necesario cuantificar los resultados.
?jZ\dhZfj^iVi^kdh>>
8jVcYdjc_jZ\dcdZhZfj^iVi^kdhZejZYZad\gVgfjZadhZV!bdY^[^XVcYdVa\jcVhXdcY^X^dcZh#
1 GZcZiZXdcjcXdbeVŠZgddXdbeVŠZgVnaZVcadh^\j^ZciZ#
?jVcnBVg†VgZVa^oVcZah^\j^ZciZ_jZ\d/
™8VYVjcd^c^X^VZa_jZ\dXdc'%[^X]Vh#
™AVcoVcYdhYVYdhnXVaXjaVcaVY^[ZgZcX^VZcigZadhcbZgdhfjZhVaZc#
™H^aVY^[ZgZcX^VZh%!&d'!BVg†V\VcVn?jVcaZYVjcVYZhjh[^X]Vh#
™H^aVY^[ZgZcX^VZh(!)d*?jVc\VcVnBVg†VaZYVjcVYZhjh[^X]Vh#
™:a_jZ\diZgb^cVXjVcYdjcdYZadhYdhhZfjZYVh^c[^X]Vh#
V8dbZciZch^Za_jZ\daZheVgZXZZfj^iVi^kddcd#6cdiZchjXdcXajh^‹c/
No es
equitativo
WGZVa^XZcZa_jZ\dnkZg^[^fjZch^ZhkZgYVYadfjZXdcXajnZgdc#9ZcjZkdXdciZhiZcaVegZ\jciV/
ªZa_jZ\dZhZfj^iVi^kd4
No
XIZ‹g^XVbZciZ!Za_jZ\dcdZhZfj^iVi^kd!edgfjZaVegdWVW^a^YVYYZfjZaVY^[ZgZcX^VhZV%!&d'
ZhbVndgfjZaVegdWVW^a^YVYYZfjZaVY^[ZgZcX^VhZV(!)d*#EVgVXdbegdWVgZhiVV[^gbVX^‹c
gZVa^XZcadh^\j^ZciZ/
GZk^hZcaViVWaVYZaVaZXX^‹c&%&!¹?jZ\dhZfj^iVi^kdh>º!ZcaVfjZVeVgZXZcadh(+gZhjaiVYdhfjZ
Zhedh^WaZdWiZcZgVaaVcoVgYdhYVYdh#8VaXjaZcaVhY^[ZgZcX^VhnVc‹iZcaVhZcaVh^\j^ZciZiVWaV#
ª:cXj{cidhYZadh(+XVhdhaVY^[ZgZcX^VZh%!&d'4
1
1
2
3
4
5
6
2
3
1 ) ( 2)
( 1 ) (0 ) ( 1 )
( 2 ) ( 1 ) (0 )
( 3) ( 2 ) ( 1 )
( 4) ( 3) ( 2 )
( 5) (4) (3)
( 0 ) (
4
(3 ) (
5
En 24
6
4) ( 5 )
( 2 ) ( 3) ( 4)
( 1 ) (2 ) ( 3)
(0) ( 1 ) ( 2 )
( 1 ) ( 0) ( 1 )
(2 ) ( 1 ) (0)
IZ‹g^XVbZciZ!ªXj{aZhaVegdWVW^a^YVYYZfjZaVY^[ZgZcX^VhZV%!&d'4
24 _
_
=2
36
3
ª:cXj{cidhYZadh(+XVhdhaVY^[ZgZcX^VZh(!)d*4
En 12
:ciZdg†V!ªXj{aZhaVegdWVW^a^YVYYZfjZaVY^[ZgZcX^VhZV(!)d*4
_1
3
Y8dbdejZYZcYVghZXjZciV! BVg†Vi^ZcZkZciV_VZcZa_jZ\d! ejZhhjegdWVW^a^YVYYZ\VcVgZh
' !b^ZcigVhfjZaVegdWVW^a^YVYYZfjZ?jVc\VcZZh & #6h†!BVg†Vi^ZcZZaYdWaZYZegdWVW^a^YVY
(
(
YZ\VcVgfjZ?jVc# EVgVfjZZa_jZ\dhZVZfj^iVi^kd! BVg†ViZcYg†VfjZYVgb{h[^X]VhfjZ?jVc#
H^?jVcYVjcV[^X]VXjVcYdBVg†V\VcV!ªXj{ciVh[^X]VhYZWZg†VYVgBVg†VXjVcYd?jVc\VcV!eVgV
fjZZa_jZ\dhZV_jhid4
244
236
244
2
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
2 8dcVnjYVYZaegd[Zhdgdegd[ZhdgVXdbeVgZchjhgZhejZhiVhZc\gjed#H^]VnY^h"
XgZeVcX^Vh!igViZcYZVkZg^\jVgfj^‚ci^ZcZgVo‹c#
– Analiza las condiciones para que un juego sea equitativo.
3 ?jZ\VXdcjcXdbeVŠZgddXdbeVŠZgVVaVcoVgYdhbdcZYVhVaV^gZ#JcdYZjhiZ"
YZh\VcVh^aVhbdcZYVhXd^cX^YZc!ZhYZX^g!h^aVhYdhXVZcZc{\j^aVdZchda#:adigd
\VcVh^jcVbdcZYVXVZZc{\j^aVnaVdigVZchda#GZe^iVcZaZmeZg^bZcid)%kZXZhn
gZ\^higZcadhgZhjaiVYdhZcaVh^\j^ZciZiVWaV#6ciZhYZ^c^X^VgZa_jZ\d!XVYVjcdZa^_V
jchjXZhdnZcaVai^bVXdajbcVVcdiZcadfjZZheZgVcfjZhjXZYV#
Sucesos
Recuento
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Número esperado
de veces
Suceso A: las
monedas coinciden
20
20
.5
20
Suceso B: las
monedas no coinciden
20
20
.5
20
Total
40
40
1
40
0USPTSFDVSTPT
Se sugiere invitar a los alumnos a ingresar al siguiente sitio, donde
encontrará una gran variedad de juegos matemáticas relacionados con la
probabilidad:
http://www.matejoven.mendoza.edu.ar/matejue/matejueg.htm
VHjbZcaVh[gZXjZcX^VhVWhdajiVhYZidYVhaVheVgZ_VhYZa\gjednXdcZhV^c[dgbVX^‹cXVaXjaZcaVh
[gZXjZcX^VhgZaVi^kVhYZadhhjXZhdh6n7#6c‹iZcaVhVXdci^cjVX^‹c#
™;gZXjZcX^VgZaVi^kVYZahjXZhd6/
0 .5
Wª8dch^YZgVcfjZZhjc_jZ\dZfj^iVi^kd4
™;gZXjZcX^VgZaVi^kVYZahjXZhd7/
Sí
ªEdgfj‚4
0. 5
Porque la
probabilidad de que suceda A es la misma de que suceda B
CdiZcfjZaVh[gZXjZcX^VhgZaVi^kVhhdcaVhbZY^YVhYZaVegdWVW^a^YVY[gZXjZcX^VaYZadh
hjXZhdh6n7ZmegZhVYVhZc[dgbVYZX^bVa#
V9^Wj_VZcijXjVYZgcdjcY^V\gVbVYZ{gWdaeVgVZcXdcigVgidYdhadhgZhjaiVYdhedh^WaZhYZZhiZ
ZmeZg^bZcid#:cidiVaYZWZchZgdX]dgZhjaiVYdh#8dciZhiVadh^\j^ZciZ/
™9ZadhdX]dgZhjaiVYdhedh^WaZh!ªXj{cidhXdggZhedcYZcVahjXZhd64 6
™ª8j{cidhXdggZhedcYZcVahjXZhd74 2
™IZ‹g^XVbZciZ!ªXj{aZhaVegdWVW^a^YVYYZahjXZhd64 0. 75
™ª8j{aZhaVegdWVW^a^YVYYZahjXZhd74 0 .25
W:ciZdg†V!aVegdWVW^a^YVYYZahjXZhd6ZhZaig^eaZfjZaVYZahjXZhd70edgadiVcidZa_jZ\dcd
ZhZfj^iVi^kd#JcVbVcZgVYZ]VXZgadZfj^iVi^kdZhaVh^\j^ZciZ#8dbea‚iVaV#
™8VYVkZofjZhZYVZahjXZhd6!Za_j\VYdggZX^WZ 1
[^X]Vh#
3
™8VYVkZofjZhZYVZahjXZhd7!Za_j\VYdggZX^WZ
[^X]Vh#
5.4. Análisis de condiciones para que un juego sea equitativo.
4 >bV\^cVV]dgVfjZ_jZ\VhXdcjcXdbeVŠZgdVaVcoVgigZhbdcZYVh#:cZhiZXVhd
adhhjXZhdhhZg†Vc/6¹9^heVgZ_dº!h^XVZcYdh{\j^aVhnjchdadYdhhdaZhnjc
{\j^aV!n7¹IgZh^\jVaZhº!h^XVZcigZhhdaZhdigZh{\j^aVh#
237
245
245
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 104
103
Como resultado de la actividad 1, el alumno habrá podido observar
que en la relación entre el alto y el ancho de los rectángulos de la misma
área, si se invierte la razón entre los datos correspondientes, se forma
una proporción. Por eso este tipo de relaciones es de proporcionalidad
inversa.
Decimos que una función es de proporcionalidad inversa cuando la
relación numérica entre sus variables es de proporcionalidad inversa.
Su expresión algebraica es y kx La gráfica de una función de
proporcionalidad inversa es una curva, simétrica respecto del origen
de coordenadas, que se llama hipérbola. La gráfica de las funciones de
proporcionalidad inversa no pasa por el origen de las coordenadas (0,
0).
Siendo k la constante de proporcionalidad inversa:
r! Si k es positiva, la gráfica se sitúa en el 1er. y 3er. cuadrantes.
r! Si k es negativa, está en el 2o. y 4o. cuadrantes.
r! Si |k| > 1, la parábola se aleja del origen, y si |k| < 1, se acerca.
GZaVX^dcZh^ckZghVbZciZ
egdedgX^dcVaZh>
ª8dcdXZhZaY^X]d/¹:cigZbZcdhWjggdhb{hdadiZhº4=VngZaVX^dcZhZcigZXVci^YVYZhZcaVhfjZ!
XdbdgZoVZaY^X]d!VaY^hb^cj^gjcVXVci^YVYVjbZciVaVdigV#
1 9^Wj_VZceVeZaXjVYg^XjaVYdidYdhadhgZXi{c\jadhfjZejZYVh!fjZiZc\VcjcVhj"
eZg[^X^ZYZ(+XjVYgdh!edgZ_Zbead!aVYd6YZjcVjc^YVYnaVYd7YZ(+jc^YVYZh#
6cdiVZcaViVWaVaVhY^bZch^dcZhYZadhgZXi{c\jadhfjZY^Wj_VhiZ#
2 ;dgbV jc Zfj^ed YZ igZh d XjVigd ^ciZ\gVciZh!
XdbeVgZchjhgZXi{c\jadhnV\gZ\jZcVaViVWaVYZ
XVYVjcdadhfjZcdiZc\Vc#
3 8dciZhiVaVhh^\j^ZciZhegZ\jciVh/
V8jVcYdZaaVYd6XgZXZ!ªfj‚hjXZYZXdcZaaVYd74Decrece
WH^ZaaVYd6XgZXZVaYdWaZ!edgZ_Zbead!YZ(jc^YVYZhV+
jc^YVYZh!ªfj‚hjXZYZXdcZaaVYd74Decrece a la mitad
H^ZaaVYd6XgZXZVaig^eaZ! edgZ_Zbead! YZ'jc^YVYZhV+
Área = 36 cuadros
Medida del
lado A (x)
Medida del
lado B (y)
1
36
2
3
4
6
9
12
18
36
18
12
9
6
4
3
2
1
a
jc^YVYZh!ªfj‚hjXZYZXdcZaaVYd74Decrece a la 3 parte
XªAVhbZY^YVhYZaaVYd7hdcY^gZXiVbZciZegdedgX^dcVaZhVaVhbZY^YVhYZaaVYd64
No
ª8‹bdadhVWZh4 Porque al aumentar el lado A, no aumenta el lado B
9VYVjcVgZaVX^‹cZcigZYdhXdc_jcidhYZXVci^YVYZh!XjVcYdjcVXVci^YVYYZjcXdc_jcid
VjbZciVckZXZhnaVXVci^YVYYZadigdXdc_jcidY^hb^cjnZckZXZh!hZY^XZfjZaVh
XVci^YVYZh YZ jcd YZ adh Xdc_jcidh hdc ^ckZghVbZciZ egdedgX^dcVaZh V aVh XVci^"
YVYZhYZadigd#
:cjcXdc_jcidYZgZXi{c\jadhYZ{gZVYVYV!aVhbZY^YVhYZjcaVYdhdc^ckZghVbZciZ
egdedgX^dcVaZhVaVhbZY^YVhYZadigdaVYd#
Y8jVcYdaVhXVci^YVYZhYZYdhXdc_jcidhhdcY^gZXiVbZciZegdedgX^dcVaZh!ZaXdX^ZciZYZXVc"
i^YVYZhfjZhZXdggZhedcYZcZhXdchiVciZ#6cVa^oVadhYVidhYZaViVWaVYZaVVXi^k^YVY&nigViV
YZ^YZci^[^XVgfj‚ZhXdchiVciZXjVcYdaVhXVci^YVYZhhdc^ckZghVbZciZegdedgX^dcVaZh
El producto de los factores es la constante
8jVcYd aVh XVci^YVYZh YZ jc Xdc_jcid hdc ^ckZghVbZciZ egdedgX^dcVaZh V aVh YZ digd!hjXZYZfjZZaegdYjXidYZaVhXVci^YVYZhfjZhZXdggZhedcYZch^ZbegZZhZab^hbd!
ZhYZX^g!ZhXdchiVciZ#
238
246
246
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
Z>YZci^[^XVaVhYdhZmegZh^dcZhfjZXdggZhedcYZcVaVgZaVX^‹cZcigZaVhbZY^YVhYZadhaVYdh6n
7#AVhbZY^YVhYZaaVYd6hZgZegZhZciVg{cXdcaVaZigVmnaVhbZY^YVhYZaaVYd7hZgZegZhZciVc
XdcaVaZigVn#
n2(+m
mn2(+
n2 m (+
n2m (+
– Resuelve problemas que involucran proporcionalidad inversa.
– Grafica una regla de proporcionalidad inversa.
– Determina la regla de correspondencia de una relación de
proporcionalidad inversa.
n2 (+
m
(+
4 AV\g{[^XVXdggZhedcYZVaVgZaVX^‹cZcigZadhaVYdhYZagZXi{c\jadYZ{gZV(+!n2 m #
VKZg^[^XVfjZaVheVgZ_VhYZbZY^YVhfjZZcXdcigVhiZeVgV
adhaVYdhmnnhdcXddgYZcVYVhYZejcidhYZaV\g{[^XV#
EdgZ_Zbead!kZg^[^XVh^ZaejcidYZXddgYZcVYVh&!(+
eZgiZcZXZVaV\g{[^XV#
0USPTSFDVSTPT
Se sugiere al profesor acceder a la siguiente página de Internet para
obtener más ejemplos de problemas de proporcionalidad inversa y sus
gráficas:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_
formas_de_expresar/inversa.htm
WDWhZgkVfjZadhejcidhcdZhi{cVa^cZVYdh#AVXjgkV
fjZ[dgbVchZaaVbV]^e‚gWdaV#
XJW^XVZaejcidfjZi^ZcZedgVWhX^hVZacbZgd-#
4 .5
ª8j{aZhhjdgYZcVYV4
KZg^[^XVfjZZhVVWhX^hVnZhVdgYZcVYVhZVcaVhbZ"
Y^YVhYZadhaVYdhYZjcgZXi{c\jadYZ{gZV(+/
8 × 4. 5 =36
YKZg^[^XVfjZaVhXddgYZcVYVhYZXjVafj^ZgdigdejcidYZaV\g{[^XVhZVcaVhbZY^YVhYZadhaVYdh
YZjcgZXi{c\jadYZ{gZV(+#
ZHZ\caV\g{[^XV!XjVcYdadhkVadgZhYZaVhVWhX^hVhmYZXgZXZc!ªfj‚hjXZYZXdcadhkVadgZhYZ
aVhdgYZcVYVhn4 Crecen
aVhdgYZcVYVh4
8jVcYdaVhVWhX^hVhXgZXZc!ªfj‚hjXZYZXdcadhkVadgZhYZ
Decrecen
a) Quedan 2 000 H de
agua en la reserva.
Si se
Alcanzaría
consumen
para…
diariamente
(y)
(x)
200 días
10 H
100 días
20 H
40 días
50 H
y = 2000/x
inversa
b) Un vehículo consume
c) Un automovilista debe
13 H de gasolina por
recorrer 600 km.
kilómetro.
Kilómetros
(x)
Litros (y)
100
200
500
y = 13
1300 l
2600 l
6500 l
x
directa
Si va a la
velocidad
de… (x)
d) La tarifa del taxi es de
$12.50, más $3.50
por kilómetro.
Tardaría…
(y)
Número de
km (x)
10 h
6h
5h
1
2
4
y = 12.
60 km/h
100 km/h
120 km/h
y = 600/x
inversa
Cantidad a
pagar (y)
$ 16
$ 19. 50
$ 26.50
5 + 3. 5x
Ninguna
5.5. Situaciones de proporcionalidad inversa.
5 EVgVXVYVh^ijVX^‹c!ZcXjZcigVadhkVadgZhfjZ[VaiVc!VcdiVaVgZ\aVYZXdggZh"
edcYZcX^Vn!ZcZaai^bdgZc\a‹c!^cY^XVh^aVh^ijVX^‹cZhYZegdedgX^dcVa^YVY
Y^gZXiV!YZegdedgX^dcVa^YVY^ckZghVdc^c\jcVYZaVhYdh#
239
247
247
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección
Lección 105
104
En esta lección retomamos la proporcionalidad inversa con más
ejemplos. Se sugiere que el estudiante esta vez cree sus propias
relaciones de proporcionalidad.
Una vez que el alumno ha asimilado la noción de proporción
directa, la idea de proporción inversa le será más sencilla de entender.
La proporción inversa es una relación que se presenta constantemente
en la vida cotidiana. Por ejemplo, si un estanque se vacía a través de un
grifo de forma constante, el tiempo y la cantidad de agua en el estanque
varían en forma inversamente proporcional, es decir, el tiempo aumenta
a la misma velocidad que disminuye el contenido del tanque.
Otra forma en la que se le puede explicar la proporción inversa
al alumno es la siguiente: dos magnitudes son inversamente
proporcionales si existe una relación entre ellas de tal forma que al
multiplicar cualquier cantidad de una de ellas por un número, el valor
correspondiente de la otra queda dividido por el mismo número.
Ejemplo:
En el reparto de 90 discos entre un grupo de personas, el número
de personas y el número de discos que le corresponde a cada una son
inversamente proporcionales.
Núm. personas
1
2
3
5
6
Núm. discos
90
45
30
18
15
La regla de correspondencia de esta relación es: y
GZaVX^dcZh^ckZghVbZciZ
egdedgX^dcVaZh>>
AVhgZaVX^dcZhYZegdedgX^dcVa^YVYY^gZXiVd^ckZghVcdh‹adhZejZYZcZhijY^VgnVegZcYZg!
iVbW^‚chZejZYZcXgZVg#
1 GZVa^oVadfjZhZ^cY^XV#
VAZZaVhh^\j^ZciZh^chigjXX^dcZheVgVXgZVgigZhgZaVX^dcZhYZegdedgX^dcVa^YVY#
Eg^bZgdhZeaVciZVjcVh^ijVX^‹cbjai^ea^XVi^kV!edgZ_Zbead/
CbZgdYZc^ŠdhedgcbZgdYZXjVYZgcdhedgc^Šd2cbZgdidiVaYZXjVYZgcdh
>#EVgVXgZVgaV eg^bZgVgZaVX^‹chZ[^_VZa
kVadgYZaeg^bZg[VXidg!edgZ_Zbead!Za
cbZgdYZc^Šdhh^ZbegZZh'%#:acbZgd
idiVaYZXjVYZgcdhkVg^Vg{Zc[jcX^‹cYZa
cbZgdYZXjVYZgcdhedgc^Šd#
EdgZ_Zbead!jcbVZhigdZcigZ\VVkZ"
XZhjcXjVYZgcd!VkZXZhYdh!ZiX#!VXVYV
jcdYZadh'%VajbcdhYZjc\gjed#
Hay 20 alumnos
Se dan 3 cuadernos por niño
Núm. de cuadernos
por alumno (x)
Núm. total de
cuadernos (y)
Núm. de
alumnos (x)
Núm. total de
cuadernos (y)
1
2
3
20
40
10
20
36
40
30
60
60
>>>#EVgVXgZVgaViZgXZgVgZaVX^‹chZ[^_VZaegd"
YjXid!edgZ_Zbead!ZcidiVa]Vn&%%%XjV"
YZgcdh# :acbZgdYZXjVYZgcdhedgc^Šd
YZeZcYZg{YZacbZgdYZc^Šdh#
EdgZ_Zbead!hZY^Zgdc&%%%XjVYZgcdh
V XVYV ZhXjZaV eVgV fjZ adh gZeVgi^ZgVc
ZcigZadhVajbcdh# JcVZhXjZaVi^ZcZ&%%
Vajbcdh!digV'%%!ZiX‚iZgV#
90
x
>>#EVgVXgZVgaVhZ\jcYVgZaVX^‹chZ[^_VZa
hZ\jcYd[VXidg!edgZ_Zbead!(XjVYZgcdh
edgc^Šd# :acbZgdidiVaYZXjVYZgcdh
kVg^Vg{V]dgVZc[jcX^‹cYZacbZgdYZ
Vajbcdh#
EdgZ_Zbead! jcY^gZXidgZcigZ\VigZh
XjVYZgcdhVXVYVc^Šd# :ceg^bZg\gVYd
]Vn&%Vajbcdh0ZchZ\jcYd!'%0ZiX‚iZgV#
108
120
W:hXg^WZadhYVidhfjZ[VaiVcZcaVhiVWaVh#
X>cY^XVh^XVYVgZaVX^‹cZhYZegdedgX^dcVa^YVY
Y^gZXiV!^ckZghV!dcdZhYZegdedgX^dcVa^YVY#
GZaVX^‹c>/ Proporcionalidad directa
GZaVX^‹c>>/Proporcionalidad directa
GZaVX^‹c>>>/ Proporcionalidad inversa
Se dan en total 1000 cuadernos
Núm. de
alumnos (x)
100
200
250
500
240
248
248
Núm. de
cuadernos por
alumno (y)
10
5
4
2
Y6cdiVaVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^VYZXVYV
gZaVX^‹c/
GZaVX^‹c>/ y = 20 x
GZaVX^‹c>>/ y = 3 x
GZaVX^‹c>>>/
y = 1000/x
7BMPSBDJØOEFMEFTFNQF×P
2 GZcZiZXdcjcVXdbeVŠZgVdXdcjcXdbeVŠZgdngZVa^XZcadh^\j^ZciZ/
– Resuelve problemas que involucran proporcionalidad inversa.
– Grafica una regla de proporcionalidad inversa.
– Determina la regla de correspondencia de una relación de
proporcionalidad inversa.
V6eVgi^gYZaVh^\j^ZciZh^ijVX^‹cbjai^ea^XVi^kV!eaVciZZcigZhgZaVX^dcZh#EVgVZaadYZX^YVcZakVadg
fjZiZcYg{XVYVXdchiVciZ!nVc‹iZcadZcZaZcXVWZoVYdYZXVYViVWaV#9ZX^YVcadhkVadgZhYZaV
eg^bZgVkVg^VWaZadhfjZkVcZcaVeg^bZgVXdajbcVnXVaXjaZcadhkVadgZhYZaVdigVkVg^VWaZ#
8jdiVYZXVYVb^ZbWgdedgcbZgdYZb^ZbWgdh2^c\gZhdidiVaYZaVXddeZgVi^kV
Relación 1
Cuota por miembro =
$ 50
Núm. de
miembros
5
10
15
50
Relación 2
Número de miembros =
11
Ingreso
total
$ 250
$ 500
$ 750
$ 2500
Cuota por
miembro
50
100
500
1000
Ingreso
total
550
1100
5500
11000
0USPTSFDVSTPT
Relación 3
Ingreso total =
En la siguiente página encontrará más ejercicios que involucran
proporcionalidad inversa:
http://www.rmm.cl/index_sub.php?id_contenido=2555&id_
seccion=1655&id_portal=266
550
Núm. de
miembros
Cuota por
miembro
5
10
15
50
3000
1500
1000
300
W>cY^fjZch^aVhgZaVX^dcZhhdcYZegdedgX^dcVa^YVYY^gZXiV!^ckZghV!dcdhdcYZegdedgX^dcVa^YVY#
GZaVX^‹c&/ P. directa
GZaVX^‹c'/ P. directa
GZaVX^‹c(/ P. inversa
X:hXg^WVcaVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^VYZXVYVgZaVX^‹c
GZaVX^‹c&/
y = 50 x
GZaVX^‹c'/
y = 11 x
GZaVX^‹c(/
1500
y=_
x
3 8dcVnjYVYZhjegd[Zhdgdegd[ZhdgV!XdbeVgZcaVhgZhejZhiVhfjZY^ZgdcZcaV
VXi^k^YVYVciZg^dg#
4 :hXd\ZjcVYZaVhh^ijVX^dcZhbjai^ea^XVi^kVhfjZhZegZhZciVcZchZ\j^YV!degd"
e‹cjcV!nYZhVggdaaVigZhgZaVX^dcZhVeVgi^gYZZaaV#=VoaVhiVWaVhZcijXjVYZgcd!
XdbdaVhYZaVVXi^k^YVY'#9ZWV_dYZXVYViVWaVVcdiVZai^edYZegdedgX^dcVa^YVY
Y^gZXiV!^ckZghVnaVgZ\aVYZXdggZhedcYZcX^VYZaVgZaVX^‹c#
`^a‹bZigdhedg]dgVedg]dgVhYZak^V_Z2`^a‹bZigdhgZXdgg^Ydh
<VcVcX^Vedgh^aaV cbZgdYZh^aaVhkZcY^YVh2\VcVcX^VidiVa
5 ªFj‚gZaVX^dcZhhZ[dgbVch^hZjhVjcVh^ijVX^‹cVY^i^kVZcaj\VgYZjcVbjai^ea^"
XVi^kV4«8dbegj‚WVad9ZhVggdaaVnVcVa^oVaVhigZhgZaVX^dcZhfjZhZYZhegZcYZc
Va[^_Vgjci‚gb^cdZcaVh^\j^ZciZh^ijVX^‹c/
aVYdV aVYdW2hZb^eZg†bZigdYZagZXi{c\jad#
5.5. Situaciones de proporcionalidad inversa.
H^ijVX^dcZheVgVZhXd\Zg/aVYd6 ฀฀aVYd72{gZVYZagZXi{c\jad
241
249
249
4VHFSFODJBTEJEÈDUJDBT
Lección 106
105
La media, la mediana y la moda son valores que tipifican una muestra
y en torno de los cuales se agrupa la mayoría de los datos, éstos se
denominan estadígrafos.
La media corresponde a la suma de todos los datos, dividida entre el
número total de ellos. Es lo que se conoce como “promedio”. La media
aritmética es uno de los estadígrafos más usados, por el hecho de que es
muy fácil calcularla.
La moda corresponde al valor que más se repite y sirve para describir
una distribución si sólo se desea tener una idea aproximada y rápida de
dónde está la mayor concentración de observaciones. También se utiliza
para describir la forma de algunas distribuciones. Puede ocurrir que en
un conjunto de datos no haya moda, como en: {3, 4, 7, 9, 10, 11, 13}. O
también que haya varios valores con la mayor frecuencia, en cuyo caso
la moda queda indeterminada.
La mediana es aquel valor que ocupa el lugar central, de modo que
la mitad de los casos queda por debajo de ese valor, y la otra mitad por
arriba. Si consideramos por ejemplo: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 16, 18, 25}.
La mediana es M = 11. Si el conjunto de valores es un número par,
entonces se calcula la media aritmética con los dos valores del centro.
:ahVaVg^dgZegZhZciVi^kd
8jVcYdjcXdc_jcidi^ZcZbjX]dhYVidh!ejZYZhZgi^aXdcdXZgjcYVidfjZhZVgZegZhZciVi^kd
YZaXdc_jcid#EZgdªXj{aZhZabZ_dggZegZhZciVciZ4
1 AViVWaVbjZhigVadhhVaVg^dhYZaeZghdcVaVYb^c^higVi^kdYZjcVZbegZhV#
Cargo
Gerente
Subgerente
Contadores
Secretarias
Cantidad
1
1
2
3
Salario ($)
75 000
40 000
20 000 c/u
6 000 c/u
™Adhb^ZbWgdhYZah^cY^XVidY^XZcfjZZahVaVg^dgZegZhZciVi^kdYZZhiZeZghdcVaZhYZ+%%%#
™:ahjW\ZgZciZY^XZfjZZahVaVg^dgZegZhZciVi^kdZhYZ'%%%%#
™:a\ZgZciZ^cY^XVfjZZahVaVg^dgZegZhZciVi^kdZhXVh^YZ'*%%%#
VªFj^‚cXdch^YZgVhfjZi^ZcZgVo‹c4
El gerente
WªEdgfj‚adXdch^YZgVhVh†4Porque su estimación es más cercana al promedio
2 8dbeVgVijhde^c^dcZhXdcaVhYZijhXdbeVŠZgdhnXdbeVŠZgVhYZ\gjed#9Zh"
ej‚haZVcaVh^\j^ZciZ^c[dgbVX^‹c#
CdgbVabZciZ!jcVXdaZXX^‹cYZYVidhejZYZiZcZgkVg^dhkVadgZhgZegZhZciVi^kdh#
Adhh^\j^ZciZhkVadgZhejZYZchZggZegZhZciVi^kdhYZjcVXdaZXX^‹cYZYVidh/
AVbZY^VVg^ib‚i^XVhZdWi^ZcZVahjbVgidYdhadhYVidhnY^k^Y^gZagZhjaiVYdZcigZ ZacbZgdYZYVidh#
AVbZY^VcVZhZakVadgYZaXZcigdYZaXdc_jcidYZYVidhXjVcYdZhi{cdgYZcVYdhYZ
bZcdgVbVndgdYZbVndgVbZcdg#8jVcYd]VnYdhkVadgZhXZcigVaZhhZdWi^ZcZaVbZY^V
YZVbWdheVgVXVaXjaVgaVbZY^VcV#
AVbdYVZhZaYVidfjZb{hkZXZhhZgZe^iZ!ZhYZX^g!ZafjZi^ZcZbVndg[gZXjZcX^V#
:hidhigZhkVadgZhhZaaVbVc¹bZY^YVhYZiZcYZcX^VXZcigVaº#
6jcfjZaVbZY^VVg^ib‚i^XVZhaVbZY^YVfjZb{hhZji^a^oV!ZcbjX]dhXVhdhZhb{hi^a
aVbZY^VcVdaVbdYV#
3 9ZaZ_ZbeadYZadhhVaVg^dh/
VªFj^‚cdfj^‚cZhji^a^oVgdcaVbZY^VVg^ib‚i^XVeVgVZmegZhVgZahVaVg^dgZegZhZciVi^kd4
El gerente se aproximó más a la media
WªFj^‚cZhji^a^oVgdcaVbdYV4 Los miembros del sindicato
XªNaVbZY^VcV4
242
250
250
El subgerente